Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto di un telaio piano in
c.a.: Analisi delle Sollecitazioni
secondo il Metodo degli
Spostamenti
Bozza del 03/04/2008
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI
Predimensionamento degli elementi dell’intera struttura.
Analisi delle sollecitazioni
di uno dei telai trasversali
Metodo degli Spostamenti
Metodo di Hardy-Cross
(con vincoli ausiliari)
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a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI
Analisi dei carichi
Predimensionamento
Definizione delle
combinazioni di carico
Metodo degli Spostamenti (MdS)
Analisi delle sollecitazioni
Metodo dei vincoli ausiliari
Progetto e verifica degli
elementi strutturali
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a cura di Enzo Martinelli
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DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICO
Valutazione delle azioni orizzontali
Oltre ai carichi verticali che sono stati già quantificati nella fase di predimensionamento,
sulla struttura agiscono pure forze orizzontali che riproducono l’azione del sisma secondo
una Analisi Statica Lineare.
Tali azioni hanno natura inerziale e, dunque, risultano:
- Applicate al livello degli impalcati, laddove si concentra gran parte delle masse
strutturali;
- Proporzionali a tali massa strutturali.
Poiché il sisma (con livelli di intensità “distruttivi”) è un evento raro, l’entità dei carichi
verticali presenti in contemporanea al sisma si può ottenere sommando ai carichi e
sovraccarichi permanenti G e G’ una parte dei sovraccarichi variabili:
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Gk  Gk ' 2Qk
a cura di Enzo Martinelli
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DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICO
Valutazione delle azioni orizzontali
Impalcato Tipo
- Carichi sull’impalcato
mi=Wi/g
zi
Wi '  G1  G2  0.3  Qk 
  g k  g 'k 0.3  qk   L1  L2   l1  l2  l3  
 g sb,k  g 'sb,k 0.3  qsb,k  L1  L2   lsb
- Tamponatura
Wi ' '  G2,tamp 
 g 'k ,tamp 2  L1  L2  l1  l2  l3

H i  H i 1 

2
- Parapetto
Wi ' ' '  G2, par 
 g 'k , par  L1  L2  2  lsb   hpar
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Wi  Wi 'Wi ' 'Wi ' ' '
a cura di Enzo Martinelli
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DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICO
Valutazione delle azioni orizzontali
Impalcato di Copertura
- Carichi sull’impalcato
mi=Wi/g
zi
W3 '  G1  G2  2,neve  Qk ,neve 
 g k  g 'k   L1  L2   l1  l2  l3  lsb 
- Tamponatura
W3 ' '  G2,tamp 
 g 'k ,tamp2  L1  L2  l1  l2  l3  
H3
2
- Parapetto
W3 ' ' '  G2, par 
 g 'k , par 2  L1  L2  l1  l2  l3  lsb   hpar
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W3  W3 'W3 ' 'W3 ' ' '
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DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICO
Valutazione delle azioni orizzontali
L’azione orizzontale complessiva Fh è proporzionale al peso totale della struttura:
ag  S  2.5 Wtot
Fh 

q
g
Wtot  W1  W2  W3
Massima accelerazione attesa al suolo
Zona 2 ->
Fattore di amplificazione dovuto al suolo
Categoria A ->
Fattore di struttura
q  q0  K R
Strutture a telaio in
Bassa Duttilità
Telai a più piani e
più campate
dy
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du
d
q0  3.0  a u a y
a u a y  1.3
q  3 1.3 1.0  3.9
S=1.00
K R  1.0
Struttura regolare
Fh
auFh
ayFh
ag=0.25g
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DEFINIZIONE DELLE COMBINAZIONI DI CARICO
Valutazione delle azioni orizzontali
L’azione orizzontale Fh si ripartisce
in altezza secondo in proporzione ai
termini Wizi
Fi 
Wi zi
3
W z
i 1
Ipotesi semplificate di ripartizione
dell’azione di piano tra i vari piani:
- Impalcato infinitamente rigido nel
suo piano;
- Telai piani di uguale rigidezza
traslante.
 Fh
i i
Piano i-esimo
F3
Fi ,t 
F2
F1
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Fi
Fi
4
Telaio piano
d’interesse
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VERIFICA PRELIMINARE DEI PILASTRI
Le dimensioni dei pilastri è stata scelta esclusivamente con un progetto a compressione
controllando che i livelli di tensione assiale non superassero fissati valori di soglia:
N

bhfcd
È, tuttavia, opportuno, prima di passare all’analisi completa della struttura, controllare che
tali dimensioni consentano di garantire anche i seguenti requisiti:
- avere una sufficiente rigidezza traslazionale (ovvero, dar luogo a spostamenti orizzontali
relativamente piccoli per effetto delle azioni sismiche);
- comportino l’utilizzo di quantità di armature compatibili con i valori massimi consentiti
dalla normativa (pilastri troppo piccoli potrebbero richiedere una armature As maggiori del
4% dell’area di calcestruzzo).
Entrambi questi controlli hanno natura preliminare e, quindi, devono essere effettuati alla
luce di analisi semplificate.
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a cura di Enzo Martinelli
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VERIFICA PRELIMINARE DEI PILASTRI
Schema “Shear-Type”
F3
Gli spostamenti relativi di piano possono calcolarsi
come segue:
n
F2
di 
F1
F
k
k i
3
K
j
j1
( i)
Kj(i) 
12EIj(i)
Hi3
Il controllo può ritenersi soddisfatto se risulta:
di
 0.005
Hi
Quanto ai momenti si ha:
Mj(i) 
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6EIj(i)
Hi2
 di
a cura di Enzo Martinelli
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VERIFICA PRELIMINARE DEI PILASTRI
Stimando gli sforzi normali assumendo, per esempio, un valore ridotto rispetto a quelli
stimati nella fase di predimensionamento:
Nj(i,23) 
Nj(i,1)
2
ej(i,23) 
Mj(i)
Nj(i,23)
È possibile effettuare un
progetto
preliminare
dell’armatura:
f
As
   cd  0.04
bh
fsd
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a cura di Enzo Martinelli
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ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
Combinazioni di Carico allo S.L.U.
Combinazione 1
Fd  1.3  Gk  1.5  Qk  1.5  0.5  Qk,neve
10
11
12
7
8
9
4
5
6
1
2
3
Bozza del 03/04/2008
Combinazione 2
Combinazione 3
Fd  Gk   2,i  Qk ,i  Ei
Fd  Gk    2,i  Qk,i  Ei
i
i
F3,t
F2,t
F1,t
10
11
12
10
11
12
F3,t
7
8
9
7
8
9
F2,t
4
5
6
4
5
6
F1,t
1
2
3
1
2
3
a cura di Enzo Martinelli
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ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
Combinazioni di Carico allo S.L.U.
Impalcato-Tipo


gt,1,2  Cc,y  gk  gk ' 
qt,1,2  Cc,y  qt 
l2  l3
2
l2  l3
2
 33.50 kN / m
 11.50 kN / m
Impalcato di copertura


gt,3  Cc,y  gk  gk ' 
qt,3  Cc,y  qt 
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l2  l3
2
l2  l3
2
 27.72 kN/m
 11.55 kN/m
a cura di Enzo Martinelli
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ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
Combinazioni di Carico allo S.L.U.
Il valore dei carichi permanenti e variabili agenti sulle varie travi è già stato valutato
all’atto di effettuarne il predimensionamento. In particolare, sono stati quantificati i valori
di gk e qk che ora vanno combinati come precisato sopra. Siano dati, ad esempio, i seguenti
valori di gk e qk:
Combinazione 1
Fd  1.3  Gk  1.5  Qk  0.5  Qk ,neve 
Combinazione 2
Fd  Gk   2,i  Qk,i  Ei
i
Combinazione 3
Fd  Gk   2,i  Qk,i  Ei
i
pd,1,2  1.3  33.50  1.5  11.55  60.87 kN/m
pd,1,2  33.50  0.30  11.55  36.97 kN/m
pd,3  1.3  27.72  1.5  0.5  8.66  42.53 kN/m
pd,3  27.72  27.72 kN/m
F1  F2  F3  0
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Vanno applicate le forze orizzontali Fi con segno
opposto per le due combinazioni 2 e 3
a cura di Enzo Martinelli
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METODO DEGLI SPOSTAMENTI: Scrittura delle equazioni
- Combinazione 2 F3
10
11
12
p3
Elenco delle incognite
n.9 rotazioni nodali
F2
F1
j4, j5, j6, j7, j8, j9, j10, j11, j12
p2
7
8
9
n.3 spostamenti nodali relativi di piano
d1, d2, d3
p1
4
5
Equazioni
6
n.9 equazioni di equilibrio alla
rotazione dei nodi
1
2
3
 Mi, j  0
i  4...12
j
n.3 di equilibrio alla traslazione
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Tagliante di piano

i, j  colonne
livellok
Mi, j  Mj,i
hk
np
  Fk  0
i k
k  1...3
a cura di Enzo Martinelli
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METODO DEGLI SPOSTAMENTI: Scrittura delle equazioni
F3
F2
F1
10
7
4
1
11
8
5
2
12
9
6
q3
q2
q1
Equazioni
M10,7  M10,11  0
M11,8  M11,10  M11,12  0
M12,9  M12,11  0
M7, 4  M7,8  M7,10  0
M8,5  M8,7  M8,9  M8,11  0 M9,6  M9,8  M9,12  0
M4,1  M4,5  M4,7  0
M5,2  M5, 4  M5,6  M5,8  0
M6,3  M6,5  M6,9  0
Espressione generale del momento
3
Mi, j  Wi, j  ji  Vi,j  j j  Ui,j  di, j  i, j
W4,1  W4,5  W4,7   j 4  V45  j5  V47  j7  U4,1  d1  U4,7  d2   4,5  0
W5,2  W5,4  W5,6  W5,8   j5  V5,4  j4  V5,6  j6  V5,8  j8  U5,2  d1  U5,8  d2  5,4  5,6  0
W6,3  W6,5  W6,9   j6  V6,5  j5  V6,9  j9  U6,3  d1  U6,9  d2  6,9  0
W7 ,4  W7,8  W7,10   j7  V7,4  j 4  V7,8  j8  V7,10  j10  U7,4  d2  U7,10  d3   7,8  0
W8,5  W8,7  W8,9  W8,11   j8  V8,5  j5  V8,7  j7  V8,9  j9  V8,11  j11  U8,5  d2  U8,11  d3  8,7  8,9  0
W9,6  W9,8  W9,12   j9  V9,6  j6  V9,8  j8  V9,12  j12  U9,6  d2  U9,12  d3  9,8  0
W10,7  W10,11   j10  V10,7  j7  V10,11  j11  U10,7  d3  10,11  0
W11,8  W11,10  W11,12   j11  V11,8  j8  V11,10  j10  V11,12  j12  U11,8  d3  11,10  11,12  0
W12,9  W12,11   j12  V12,9  j9  V12,11  j11  U12,9  d3  12,11  0
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METODO DEGLI SPOSTAMENTI: Scrittura delle equazioni
F3
F2
F1
10
11
12
7
8
9
4
5
6
q3
Equazione corrente
q2
M
M17,44,,10
M410
M
M
M
M
M
M
M
MM
MM
12
7M
,71,74 M
2,85,11
,8
511
,2
8,8,5 M
39,,6
6,9
612
,3,99,6


F
F13F2F02 F3 F3 0 0
hh1 23
hh1h32
hh1h
32
q1
Espressione generale del momento
Mi, j  Wi, j  ji  Vi,j  j j  Ui,j  di, j  i, j
1
2
V1,4  j 4  U1,4  d1  W4,1  j 4  U4,1  d1
h1
3

V2,5  j5  U2,5  d1  W5,2  j5  U5,2  d1
 U4,1  j4  U5, 2  j5  U6,3  j6 
h1

h1
U1, 4  U4,1  U2,5  U5, 2  U3,6  U6,3
h1
 U4,7  j 4  U5,8  j5  U6,9  j6  U7,4  j7  U8,5  j8  U9,6  j9 
 F1  F2  F3  0
 d1  F1  F2  F3
U4,7  U7, 4  U5,8  U8,5  U6,9  U9,6
 U7,10  j7  U8,11  j8  U9,12  j9  U10,7  j10  U11,8  j11  U12,9  j12 
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V3,6  j6  U3,6  d1  W6,3  j6  U6,3  d1
h2
 d2  F2  F3
U7,10  U10,7  U8,11  U11,8  U9,12  U12,9
h3
 d3  F3
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METODO DEGLI SPOSTAMENTI: Forma Matriciale



















 4,5
0
 

  j4  
  

 j  


0
5,6 
  5, 4
  5 
 

  j6  
 6,5
0
 

 
 

j
0
7 ,8
 

  7 
   8,7   8,9 
  j8  
0
 

 
 
 9,8
0
 

  j9  



 

 j  
 10,11
0
10
 

 
 
0
  11,10   11,12 
  j11  
 

 j  

0
12,11
 

  12  

  d 1  F1  F2  F3  
0
 

 
 
0
d
F

F
 
3

  2  2
 

 d  
0
F3

  3 
 
 W4, j V4,5

0
V4,7
0
0
0
0
0
 U4,1
 U4,7
0
j

 V

W
V5,6
0
V5,8
0
0
0
0
 U5,2
 U5,8
0
 5,4 j 5, j



0
V
W
0
0
V
0
0
0

U

U
0
 6,j
6,5
6,9
6,3
6,9


j


 V7,4
0
0
0
V7,10
0
0
0
 U7,4
 U7,10 
 W7,j V7,8


j
 0
V8,5
0
V8,7  W8, j V8,9
0
V8,11
0
0
 U8,5
 U8,11 


j


0
V9,6
0
V9,8  W9, j
0
0
V9,12
0
 U9,6
 U9,12 
 0
j


 0
0
0
V10,7
0
0
0
0
0
 U10,7 
 W10,j V10,11


j
 0
0
0
0
V11,8
0
V11,10  W11, j V11,12
0
0
 U11,8 


j


0
0
0
0
V12,9
0
V12,11  W12, j
0
0
 U12,9 
 0
j


U1,4  U4,1





h
1




U2,5  U5,2
  U4,1  U5,2  U6,3

0
0
0
0
0
0

0
0


h1


U

U
3,6
6,3




h1


U4,7  U7,4





h2


U5,8  U8,5


0
0
0
0

0
  U4,7  U5,8  U6,9  U7,4  U8,5  U9,6

h
2




U6,9  U9,6


h2



U7,10  U10,7 


h3




U

U
8
,
11
11
,
8
 0
0
0
 U7,10  U8,11  U9,12  U10,7  U11,8  U12,9
0
0



h3


U9,12  U12,9 



h3


Matrice di rigidezza (indipendente dalla
combinazione di carico)
Bozza del 03/04/2008
Vettore delle
forze nodali
Vett. delle azioni
nodali eq. Ai carihi
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
METODO DEGLI SPOSTAMENTI
Soluzione del sistema
Asta
Lij
b
h
Inerzia
Vij
Uij
[cm]
[cm]
[cm4]
Wij
[cm]
[kNm]
[kNm]
[kN]
1,4
350
40
50
416667
119047.7
59523.9
51020.4
4,7
350
40
50
416667
119047.7
59523.9
51020.4
7,10
350
40
50
416667
119047.7
59523.9
51020.4
2,5
350
80
50
833333
238095.1
119047.6
102040.8
5,8
350
80
50
833333
238095.1
119047.6
102040.8
8,11
350
80
50
833333
238095.1
119047.6
102040.8
3,6
350
40
50
416667
119047.7
59523.9
51020.4
6,9
350
40
50
416667
119047.7
59523.9
51020.4
9,12
350
40
50
416667
119047.7
59523.9
51020.4
4,5
450
30
60
540000
120000.0
60000.0
40000.0
5,6
500
30
60
540000
108000.0
54000.0
32400.0
7,8
450
30
60
540000
120000.0
60000.0
40000.0
8,9
500
30
60
540000
108000.0
54000.0
32400.0
10,11
450
30
60
540000
120000.0
60000.0
40000.0
11,12
500
30
60
540000
108000.0
54000.0
32400.0
=
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a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
METODO DEGLI SPOSTAMENTI
Calcolo dei Momenti flettenti e del Taglio nelle aste
Il calcolo dei momenti può essere condotto sulla base degli spostamenti:
Mi, j  Wi, j  ji  Vi,j  j j  Ui,j  di, j  i, j
Per ogni asta è possibile valutare il valore del taglio alle estremità:
qji
Mij
Mji
Lij
Ti, j 
pi, j  Li, j
2
Bozza del 03/04/2008

Mi, j  Mj,i
Li, j
Tj,i  
pi, j  Li, j
2

Mi, j  Mj,i
Li, j
a cura di Enzo Martinelli
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METODO DEGLI SPOSTAMENTI
Calcolo degli sforzi di Normali nelle aste
F3
T10,11
N10,11
T11,10
N7,10
T10,7
T7,10
F2
N7,10
N10,11
N117,,810 T
T10
T11
 T11,10
NN
12,11
11,12
9,,12
N
 N103,11TT
N1110,12
,8
,11  F
711
,10
N7,4
T7,8
N11,12
T12,11
T8,11
T9,12
N8,11
N8,9
N8,5
N9,12
T8,9
T9,8
T4,7
T5,8
T4,5
T4,1
T5,2
N9,6
T6,9
T5,6
T5,4
N8,9
T9,6
T8,5
F1
N12,9
T12,9
T11,8
T8,7
T7,4
T11,12
N11,8
N7,8
N7,8
N11,12
T6,5
T6,3
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DIAGRAMMI DELLE CARATTERISTICHE DELLA
SOLLECITAZIONE (N, T, M) – Combinazione 2
N
M
T
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a cura di Enzo Martinelli