Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto di un telaio piano in
c.a.: Progetto delle travi di
fondazione.
Bozza del 21/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Travi di Fondazione
Assunzioni di progetto
Per le combinazioni 2 e 3 i valori di calcolo delle sollecitazioni si ricavano assumendo gli
sforzi normali desunti dall’analisi ed i corrispondenti momenti resistenti amplificati per gRd.
Combinazione 3
Combinazione 2
N i ,Ed ( k )

M i ,Ed ( k )  M Rd N i ,Ed ( k )

G
L
3
ei
e Ed
e Ed ( k ) 
3
3
i 1
i 1
(k)
L

6
 t ,Ed
(k)

 N i ,Ed ( k )
i 1
  M i ,Ed ( k )   N i ,Ed ( k )  e i ,Ed ( k )
i 1
Bozza del 21/05/2008
3
3
 N i ,Ed ( k )
L B

e i ,Ed ( k ) 
 1  6 

L


e Ed
(k)
L

6
 t ,Ed ( k ) 
I momenti si intendono positivi se antiorari sulla trave di fondazione
2   N i ,Ed ( k )
i 1
L

3    e i ,Ed ( k )   B
2


a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Considerazioni Preliminari
Avendo progettato la sezione trasversale, è possibile passare a valutarne le caratteristiche
della sollecitazione considerando anche la sua rigidezza flessionale EI nell’ambito della
teoria delle travi elastiche su suolo elastico alla Winkler.
w
yG
G
IV
p
 4 w 
EI
4
44 
k 0B
EI
B
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a cura di Enzo Martinelli
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Progetto e Verifica delle armature
Schema di Calcolo
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
[1]
2
gd ( k )
3
[2]
[3]
4
[4]
5
Ad ogni nodo sono associate due componenti libere di spostamento:
- traslazione verticale w;
(k)
(k)
(k)
g

g
g

g
 g cls  A f
d
g
t
g
- rotazione j.
s  w1 1 w 2  2
F  V1 M1 V2
F0  V0 ,1
w 3 3
M 2 V3
M 0 ,1 V0 ,2
Bozza del 21/05/2008
w 4 4
M 3 V4
M 0 ,2 V0 ,3
w5
 5 T
M 4 V5
M 0 ,3 V0 ,4
M 5 T
M 0 ,4 V0 ,5
M 0 ,5 T
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Schema di Calcolo
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
[1]
2
[2]
gd ( k )
3
[3]
4
[4]
5
Nello spirito del metodo degli spostamenti è possibile costruire una
matrice di rigidezza che colleghi le azioni applicate agli spostamenti
prodotti:
Ks  F  F0
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a cura di Enzo Martinelli
Schema di Calcolo
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008







K 







1
2
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3
4
5















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Progetto e Verifica delle armature
Matrice di rigidezza del generico elemento e.

s = w i , i , w j ,  j


f = Ti , Mi , T j , M j

wx   A1 e αx s x  A2 e αx c x  A3 e αx s x  A4 e αx c x
wI x   A1ex sx  cx   A2ex sx  cx   A3ex sx  cx   A4ex sx  cx 
s = G a
a = G s
-1
wi  w0
 i   w I 0
w j  wl 
 j  w I l 
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0


α


e αl  sl

αe αl  s  c 
l
l

1
α
e αl  cl
αe αl  sl  cl 
0
α
e αl  sl
 αe αl  sl  cl 
1 
 α 
e αl  cl 

αe αl  sl  cl  
a cura di Enzo Martinelli
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Progetto e Verifica delle armature
Matrice di rigidezza del generico elemento e.

s = w i , i , w j ,  j


f = Ti , Mi , T j , M j

w II x   2α 2 A1 e αx c x  2α 2 A2 e αx s x  α 2 A3 e αx c x  2α 2 A4 e αx s x
wIII x   2α 3 A1eαx sx  cx   2α 3 A2eαx sx  cx   2α 3 A3eαx sx  cx   2α 3 A4 eαx sx  cx 
(e)
f = H  a =(H  G ) s = K s
-1





f=  EI  





w 




w II x 0 


III
w x l 



w II x l 
III
x 0
 
 
 
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 2α


2
2 
H=  EI  α   αl
2αα sl  cl 

  2eαl c
l

 2α
0
- 2αααl sl  cl 
2eαl sl
 2α
-2
- 2αααl sl  cl 
2eαl cl


0

αl
- 2αα sl  cl 

αl

 2e sl

2α
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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Azioni di Incastro perfetto sul generico elemento
(e)
f0 = H  a0 =H  G  (-s0) = -K  s0
-1
s0 
 w 1 x 0 




 p0 


I
w
 I 
1 x 0 

1

    p 0

 k  pl  


 w 1 x l 
I
 p l  






- w I

1 x l 

 
Per l’elemento generico vale la seguente
relazione tra forze nodali e spostamenti nodali:
(e)
(e)
(e)
(e)
(e)
f = K  s - K  s0 = K  s + f0
 
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a cura di Enzo Martinelli
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Progetto e Verifica delle armature
Espressioni sintetiche della matrice di rigidezza locale
K (e)
 1
 
 
 3
2

2



 6

 
 2  4
  2
 1  k 0  b  ζ  senh 2al  sen 2al 
ψ 2  k 0  b  ζ  senh 2al  sen 2al 
ψ 3  k 0  b  ζ  cosh 2al  cos 2al 
ψ4  k0  b  ζ  senh al  sen al 
ψ5  k0  b  ζ  coshal  sen al  senhal  cosal 
ψ6  2  k0  b  ζ  coshal  senal  senhal  cosal 
ζ 
1
cosh2al  cos2al  2
3
2  2
2
2  3
2  4

2
5
3
6

2  4

2
1

3

2  2

2  4 
 2 
5 
3 
3 


2  2 
2 
2   3 
E’ possibile definire una matrice
di rigidezza locale per ogni
elemento in funzione di:
-  uguale per tutti;
- l dipendente dai singoli elementi.
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 1
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
gd ( k )
2
l=L0
K (1)
 1
 
 
 3
2
  2 
 6

 
 2  4
  2
3
2  2
2
2  3
2  4

2
5
3
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4
3
6

2  4

2
1

3

2  2

2  4 
 2 
5 
3 
3 


2  2 
2 
2   3 







K 







5















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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 1
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
gd ( k )
2
4
3
5
l=L0
s0 
 w 1 x 0 




 q
 - wI

1 x 0

 1 0 

   

 k  q
 
 w 1 x l 
0 




I
- w 1 x l 
F0  V0 ,1
M 0 ,1 V0 ,2
M 0 ,2 V0 ,3
M 0 ,3 V0 ,4
M 0 ,4 V0 ,5
M 0 ,5 T
 
F0  

 
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a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Vettore delle forze nodali applicate
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
gd ( k )
2
F  V1 M1 V2

F ( k )  0 0 N Ed ,4( k )
Bozza del 21/05/2008
4
3
M 2 V3
M Ed , 4( k )
N Ed ,5 ( k )
M 3 V4
M Ed ,5 ( k )
M 4 V5
N Ed ,6 ( k )
I momenti si intendono positivi se antiorari sulla trave di fondazione
5
M 5 T
M Ed ,6 ( k )
0 0

T
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
2
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gd ( k )
3
4
5
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Soluzione
s K
Soluzione del sistema globale
Estrazione delle componenti di
spostamenti locale e calcolo delle
costanti di integrazione:
a def
(e)
a
(e)
1
F  F0 
 a0
(e)
  s
G
( e ) 1 ( e )
 s 0( e )

wx   A1 e αx s x  A2 e αx c x  A3 e αx s x  A4 e αx c x
wI x   A1ex sx  cx   A2ex sx  cx   A3ex sx  cx   A4ex sx  cx 
w II x   2α 2 A1 e αx c x  2α 2 A2 e αx s x  α 2 A3 e αx c x  2α 2 A4 e αx s x
wIII x   2α 3 A1eαx sx  cx   2α 3 A2eαx sx  cx   2α 3 A3eαx sx  cx   2α 3 A4 eαx sx  cx 
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a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
N i ,Ed ( k )
L0
Anno Accademico 2007/08
Esempio Numerico
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
gd ( k )
60
60
30
30
N4 ,Ed
( 2)
0.8  b  y c,4
y c,4
(2)
s ' 
( 2)
As=15.70 cm2
Combinazione 2
 216.64 kN
 fcd  N4 ,Ed
30
As=15.70 cm2
As=12.56 cm2
60
( 2)
216640

 79.64 mm
0.8  300  11.33
N5,Ed( 2 )  714.21 kN
M 5,Ed ( 2 )  471.00 kNm
N6,Ed( 2 )  524.10 kN
M 6,Ed ( 2 )  382.23 kNm
f
0.0035
 0.00218  sd
79.64  30
Es


h

h

M 4 ,Ed ( 2 )  M Rd N 4 ,Ed ( 2 )  0.8  b  y c, 4 ( 2 )  f cd    0.4  y c,4 ( 2 )   2  A s  f sd    d'  
2

2

 0.8  300  79.64  11.33  300  0.4  79.64   2  1256  391 300  30  323.49 kNm
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
L0=100
N i ,Ed ( k )
Anno Accademico 2007/08
Esempio Numerico
L2=590
L1=460
L0=100
M i ,Ed ( k )
gd ( k )
q
50
70
25
yG 
yG
G
Caratteristiche geometriche e meccaniche
della sezione e della trave
50  100  50  2  25  30  15
 41.92 cm
50  100  2  25  30
30
E cm
f 
 22000  ck 
 10 
0.3
 27085.18 MPa
100
 25  303

50  1003
2
IG 
 50  100  50  41.92  2  
 25  30  41.92  152   5692628cm 4
12
 12

EI  Ecm IG  27085.18  5.692 1010  1.5419 1015 Nmm
q t ,d  g g q t  1.0  0.50 1.00  2  0.30  0.25  25.00  16.25 kN / m
k  k 0 Bm  0.01 1400  14.0 N / mm 2
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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 1
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
gd ( k )
2
4
3


-1
6
2
EI=1.542x10 kNm =0.2182 m



3
6

2  4 
 1

 


2  2
 2 
 
5 
2
2  4
K 
 3

2
3
2
3

2 


K ( 1 )   2  

6
3 
2  4
1




2
2



2


1.8508
10
9.25213
10
1.8501
10
9.25097
10



5
3
2  4
2 

9.25213 10
6.16773 
10
9.25097 10
3.0837 10
2
3
2
3
 


2  10  9.25213 10
1.8501
10
9.25097
102   1.8508

9.25097 10
3.0837 10
9.25213 10
6.16773 10

Bozza del 21/05/2008

l=L0=1.0 m
k=1.4x104 kN/m2
7
6
6
7
6
6
6
6
7
6
7
6
6
6
6
6
5















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Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 1
1.8508 107
K
9.25213 106
1.8501 107
9.25097 106 0 0 0 0 0 0
9.25213 106
6.16773 106
9.25097 106
3.0837 106
0 0 0 0 0 0
1.8501 107
9.25097 106
1.8508 107
9.25213 106
0 0 0 0 0 0
9.25097 106
0
0
0
0
0
0
3.0837 106
0
0
0
0
0
0
9.25213 106
0
0
0
0
0
0
6.16773 106
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
F0 
Bozza del 21/05/2008
8.1249
1.35414
8.1249
1.35414
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 2
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
2
3
k=1.4x10-8 kN/m2


-1
9
2
EI=1.542x10 kNm =0.00003882 m 



3
6
2  4 
 1

 


2  2
2 
 

2
5
2
K 
 32

 24
3
3
2

 
K( 2)   2  

2  4
3 
1
 6


   
2
2

213917.
452638.
181898.
428129.
2


2
5
63
2 

4 1.35367


452638.
10
428129.
660744.

2
3
2
3
 

428129.2   213917.
2   
181898.
452638.

428129.
660744.
452638. 1.35367 106

Bozza del 21/05/2008

l=L1=4.6 m
gd ( k )
4
5















Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 2
1.8508 107
K
9.25213 106
1.8501 107
9.25097 106
0
0
0 0 0 0
0
0
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9.25213 106
6.16773 106
9.25097 106
3.0837 106
1.8501 107
9.25097 106
1.87219 107
8.7995 106
9.25097 106
0
3.0837 106
0
8.7995 106
181898.
7.5214 106
428129.
428129.
213917.
660744.
452638.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
660744.
0
0
0
0
452638.
0
0
0
0
1.35367 106
0
0
0
0
428129.
0
0
0
0
F0 
Bozza del 21/05/2008
8.1249
1.35414
45.2906
27.0937
37.1657
28.4478
0
0
0
0
181898.
428129.
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0 0 0 0
0 0 0 0
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0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 3
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
2
3
k=1.4x10-8 kN/m2


-1
9
2
EI=1.542x10 kNm =0.00003882 m 



3
6
2  4 
 1

 


2  2
2 
 

2
5
2
K 
 32

 24
3
3
2

 
K ( 3)   2  

2  4
3 
1
 6


    2
2

2


120446.
290894.
79763.8
251063.
2
5
63
2 

4


 10 2 251063.
290894.
1.07224
502626.
2
3
3
 


2   
79763.8
251063.2   120446.
290894.

251063.
502626.
290894. 1.07224 106

Bozza del 21/05/2008

l=L2=5.9 m
gd ( k )
4
5















Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 3
1.8508 107
9.25213 106
9.25213 106
7
1.8501 10
9.25097 106
0
0
0
0
0 0
0
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0
0
0 0
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6.16773 106
9.25097 106
3.0837 106
6
7
6
9.25097 10
1.87219 10
6
6
6
K
1.8501 107
9.25097 10
0
3.0837 10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8.7995 10
181898.
8.7995 10
7.5214 10
428129.
428129.
0
660744.
0
0
0
0
0
0
0
F0 
Bozza del 21/05/2008
6
8.1249
1.35414
45.2906
27.0937
84.3863
17.7845
47.2206
46.2323
0
0
181898.
428129.
334363.
428129.
660744.
161744.
161744. 2.42591 106
79763.8
251063.
251063.
0
0
502626.
0
0
0
79763.8
251063.
120446.
290894.
0
0
0
251063.
502626.
290894.
0 0
0 0
0 0
0 0
1.07224 106 0 0
0
0 0
0
0 0
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 4
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
2
gd ( k )
4
3
k=1.4x10-8 kN/m2


-1
9
2
EI=1.542x10 kNm =0.00003882 m 



3
6
2  4 
 1

 


2  2
2 
 

2
5
2
K 
 32

 24
3
3
2

 
K(4 )   2  

2  4
3 
1
 6


    2
2

2


1.8508
10
9.25213
10
1.8501
10
9.25097
10
2
5
3
2 

4


10 29.250973 10
9.25213 210
6.16773
3.0837 10
3
 



2   1.8508
2   10
1.8501 10
9.25097 10
9.25213 10

9.25097 10
3.0837 10
9.25213 10
6.16773 10

Bozza del 21/05/2008

l=L0=1.0 m
7
6
6
7
6
6
6
6
7
6
7
6
6
6
6
6
5















Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Assemblaggio: elemento 4
K
1.8508 107
9.25213
1.8501
106
107
9.25213 106
6.16773
106
9.25097
106
1.8501 107
9.25097 106
0
0
0
0
0
0
9.25097
106
3.0837 106
0
0
0
0
0
0
1.87219
107
106
8.7995
9.25097 106
0
0
3.0837 106
0
0
8.7995 106
181898.
428129.
7.5214 106
428129.
660744.
0
0
0
0
0
0
0
0
181898.
0
0
0
0
660744.
161744.
2.42591 106
0
79763.8
251063.
0
251063.
502626.
0
0
0
0
0
0
79763.8
251063.
1.86284 107
8.96124 106
251063.
502626.
428129.
334363.
161744.
428129.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
F0 
Bozza del 21/05/2008
8.1249
1.35414
45.2906
27.0937
84.3863
17.7845
55.3455
44.8781
8.1249
1.35414
8.96124 106
1.8501
107
9.25097 106
1.8501 107
9.25097 106
7.23997 106
9.25097 106
106
107
9.25213 106
9.25213 106
6.16773 106
9.25097
3.0837 106
1.8508
3.0837 106
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Vettore delle forze nodali
N i ,Ed ( k )
L0
L1
L2
L0
M i ,Ed ( k )
1
gd ( k )
2
4
3
5
F  0, 0, N4Ed, M4Ed, N5Ed, M5Ed, N6Ed, M6Ed, 0, 0
F
0.00
0.00
216.64
-323.49
s K
Bozza del 21/05/2008
714.21
1
-471.00
524.10
F  F0 
-382.23
0.00
0.00
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Diagramma degli spostamenti
-4
-6
2
-2
-0.0025
-0.005
-0.0075
-0.01
-0.0125
Trave elastica
-0.015
Trave rigida
-0.0175
Bozza del 21/05/2008
4
6
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Diagramma del Taglio
Trave elastica
Trave rigida
-6
-4
200
-2
2
-200
-400
Bozza del 21/05/2008
4
6
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto e Verifica delle armature
Diagramma del Momento Flettente
600
Trave elastica
Trave rigida
400
200
-6
-4
-2
2
-200
-400
-600
Bozza del 21/05/2008
4
6