Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto di un telaio piano in c.a.: Progetto delle travi di fondazione. Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Travi di Fondazione Dimensionamento della sezione D.M. 14/01/2008 Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Travi di Fondazione Dimensionamento della sezione Per le combinazioni 2 e 3 i valori di calcolo delle sollecitazioni si ricavano assumendo gli sforzi normali desunti dall’analisi ed i corrispondenti momenti resistenti valutati secondo quanto riportato nella slide precedente. Combinazione 2 M i ,Ed ( k ) M Rd Ni ,Ed ( k ) Combinazione 3 N i ,Ed ( k ) G L 3 ei e Ed e Ed ( k ) 3 3 i 1 i 1 (k) L 6 t ,Ed (k) N i ,Ed ( k ) i 1 M i ,Ed ( k ) N i ,Ed ( k ) e i ,Ed ( k ) i 1 Bozza del 21/05/2008 3 3 N i ,Ed ( k ) L B e i ,Ed ( k ) 1 6 L e Ed (k) L 6 t ,Ed ( k ) I momenti si intendono positivi se antiorari sulla trave di fondazione 2 N i ,Ed ( k ) i 1 L 3 e i ,Ed ( k ) B 2 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Travi di Fondazione Dimensionamento della sezione 16,15 Combinazione 1: Valori derivanti dall’analisi delle sollecitazioni Combinazione 2, 3: Valori derivanti dall’applicazione dei criteri di gerarchia delle resistenze Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Dimensionamento della sezione: base d’impronta Il dimensionamento della base d’impronta B della trave può determinarsi in via preliminare e semplificata imponendo che la massima tensione che si realizza all’interfaccia fondazioneterreno non superi un certa «tensione nominale di riferimento» funzione del tipo di terreno. B N.B.: Deve essere chiaro che questo è un metodo semplificato di predimensionamento e che la fondazione dovrebbe (in linea di principio) essere verificata in termini di carico limite del complesso fondazione-terreno. Poiché tale verifica riguarda aspetti geotecnici (SLU GEO), si rimenda ai corsi specifici per i dettagli in merito. Nel seguito si conducono progetto e e verifica della trave rovescia facendo esclusivo riferimento ai cosiddetti SLU strutturali (SLU STR). yG G B Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Analisi delle sollecitazioni allo SLU STR e verifiche Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Analisi delle sollecitazioni allo SLU STR e verifiche Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Considerazioni Preliminari Avendo progettato la sezione trasversale, è possibile passare a valutarne le caratteristiche della sollecitazione considerando anche la sua rigidezza flessionale EI nell’ambito della teoria delle travi elastiche su suolo elastico alla Winkler. w yG G IV p 4 w EI 4 44 k 0B EI B Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Schema di Calcolo N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 [1] 2 gd ( k ) 3 [2] [3] 4 [4] 5 Ad ogni nodo sono associate due componenti libere di spostamento: - traslazione verticale w; (k) (k) (k) g g cls A f d g t g - rotazione j. s w1 1 w 2 2 F V1 M1 V2 F0 V0 ,1 w 3 3 M 2 V3 M 0 ,1 V0 ,2 Bozza del 21/05/2008 w 4 4 M 3 V4 M 0 ,2 V0 ,3 w5 5 T M 4 V5 M 0 ,3 V0 ,4 M 5 T M 0 ,4 V0 ,5 M 0 ,5 T a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Schema di Calcolo N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 [1] 2 [2] gd ( k ) 3 [3] 4 [4] 5 Nello spirito del metodo degli spostamenti è possibile costruire una matrice di rigidezza che colleghi le azioni applicate agli spostamenti prodotti: Ks F F0 Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Schema di Calcolo Progetto e Verifica delle armature Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Bozza del 21/05/2008 K 1 2 Anno Accademico 2007/08 3 4 5 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Matrice di rigidezza del generico elemento e. s = w i , i , w j , j f = Ti , Mi , T j , M j wx A1 e αx s x A2 e αx c x A3 e αx s x A4 e αx c x wI x A1ex sx cx A2ex sx cx A3ex sx cx A4ex sx cx s = G a a = G s -1 wi w0 i w I 0 w j wl j w I l Bozza del 21/05/2008 0 α e αl sl αe αl s c l l 1 α e αl cl αe αl sl cl 0 α e αl sl αe αl sl cl 1 α e αl cl αe αl sl cl a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Matrice di rigidezza del generico elemento e. s = w i , i , w j , j f = Ti , Mi , T j , M j w II x 2α 2 A1 e αx c x 2α 2 A2 e αx s x α 2 A3 e αx c x 2α 2 A4 e αx s x wIII x 2α 3 A1eαx sx cx 2α 3 A2eαx sx cx 2α 3 A3eαx sx cx 2α 3 A4 eαx sx cx (e) f = H a =(H G ) s = K s -1 f= EI w w II x 0 III w x l w II x l III x 0 Bozza del 21/05/2008 2α 2 2 H EI α 2αeαl sl cl 2eαl c l 2α 0 -2αe αl sl cl 2e αl sl 2α -2 -2αe αl sl cl 2eαl cl αl -2αe sl cl αl 2e sl 2α 0 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Azioni di Incastro perfetto sul generico elemento (e) f0 = H a0 =H G (-s0) = -K s0 -1 s0 w 1 x 0 p0 I w I 1 x 0 1 p 0 k pl w 1 x l I p l - w I 1 x l Per l’elemento generico vale la seguente relazione tra forze nodali e spostamenti nodali: (e) (e) (e) (e) (e) f = K s - K s0 = K s + f0 Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Espressioni sintetiche della matrice di rigidezza locale 1 3 ( e ) 2 2 K 6 2 4 2 1 k 0 b ζ senh 2al sen 2al ψ 2 k 0 b ζ senh 2al sen 2al ψ 3 k 0 b ζ cosh 2al cos 2al ψ4 k0 b ζ senh al sen al ψ5 k0 b ζ coshal sen al senhal cosal ψ6 2 k0 b ζ coshal senal senhal cosal ζ 1 cosh2al cos2al 2 3 2 2 2 2 3 2 4 6 2 4 2 5 2 1 3 3 2 2 2 4 2 5 3 3 2 2 2 2 3 E’ possibile definire una matrice di rigidezza locale per ogni elemento in funzione di: - uguale per tutti; - l dipendente dai singoli elementi. a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 1 N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 gd ( k ) 2 l=L0 K (1) 1 3 2 2 6 2 4 2 3 2 2 2 2 3 2 4 2 5 3 Bozza del 21/05/2008 4 3 6 2 4 2 1 3 2 2 2 4 2 5 3 3 2 2 2 2 3 K 5 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 1 N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 gd ( k ) 2 4 3 5 l=L0 s0 w 1 x 0 q - wI 1 x 0 1 0 k q w 1 x l 0 I - w 1 x l F0 V0 ,1 M 0 ,1 V0 ,2 M 0 ,2 V0 ,3 M 0 ,3 V0 ,4 M 0 ,4 V0 ,5 M 0 ,5 T F0 Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 1 N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 2 gd ( k ) 3 4 5 l=L0 2 coshl cosl senl senhl 2 2 EI q f0 k senl senhl 2 coshl cosl senhl senl Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Vettore delle forze nodali applicate N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 gd ( k ) 2 F V1 M1 V2 F ( k ) 0 0 N Ed ,4( k ) Bozza del 21/05/2008 4 3 M 2 V3 M Ed , 4( k ) N Ed ,5 ( k ) M 3 V4 M Ed ,5 ( k ) M 4 V5 N Ed ,6 ( k ) I momenti si intendono positivi se antiorari sulla trave di fondazione 5 M 5 T M Ed ,6 ( k ) 0 0 T a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 2 Bozza del 21/05/2008 gd ( k ) 3 4 5 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Soluzione s K Soluzione del sistema globale Estrazione delle componenti di spostamenti locale e calcolo delle costanti di integrazione: a def (e) a (e) 1 F F0 a0 (e) s G ( e ) 1 ( e ) s 0( e ) wx A1e αxs x A 2 e αx c x A3eαxs x A 4 eαx c x q k wI x A1ex sx cx A2ex sx cx A3ex sx cx A4ex sx cx w II x 2α 2 A1 e αx c x 2α 2 A2 e αx s x α 2 A3 e αx c x 2α 2 A4 e αx s x wIII x 2α 3 A1eαx sx cx 2α 3 A2eαx sx cx 2α 3 A3eαx sx cx 2α 3 A4 eαx sx cx Bozza del 21/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni N i ,Ed ( k ) L0 Anno Accademico 2007/08 Esempio Numerico L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) gd ( k ) 60 60 30 30 N4 ,Ed ( 2) 0.8 b y c,4 y c,4 (2) s ' ( 2) As=15.70 cm2 Combinazione 2 216.64 kN fcd N4 ,Ed 30 As=15.70 cm2 As=12.56 cm2 60 ( 2) 216640 79.64 mm 0.8 300 11.33 N5,Ed( 2 ) 714.21 kN M 5,Ed ( 2 ) 471.00 kNm N6,Ed( 2 ) 524.10 kN M 6,Ed ( 2 ) 382.23 kNm f 0.0035 0.00218 sd 79.64 30 Es h h M 4 ,Ed ( 2 ) M Rd N 4 ,Ed ( 2 ) 0.8 b y c, 4 ( 2 ) f cd 0.4 y c,4 ( 2 ) 2 A s f sd d' 2 2 0.8 300 79.64 11.33 300 0.4 79.64 2 1256 391 300 30 323.49 kNm Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni L0=100 N i ,Ed ( k ) Anno Accademico 2007/08 Esempio Numerico L2=590 L1=460 L0=100 M i ,Ed ( k ) gd ( k ) q 50 70 25 yG yG G Caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione e della trave 50 100 50 2 25 30 15 41.92 cm 50 100 2 25 30 30 E cm f 22000 ck 10 0.3 27085.18 MPa 100 25 303 50 1003 2 IG 50 100 50 41.92 2 25 30 41.92 152 5692628cm 4 12 12 EI Ecm IG 27085.18 5.692 1010 1.5419 1015 Nmm q t ,d g q t 1.0 0.50 1.00 2 0.30 0.25 25.00 16.25 kN / m k k 0 Bm 0.01 1400 14.0 N / mm 2 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 1 N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 gd ( k ) 2 4 3 -1 6 2 EI=1.542x10 kNm =0.2182 m 3 6 2 4 1 2 2 2 5 2 2 4 K 3 2 3 2 3 2 K ( 1 ) 2 6 3 2 4 1 2 2 2 1.8508 10 9.25213 10 1.8501 10 9.25097 10 5 3 2 4 2 9.25213 10 6.16773 10 9.25097 10 3.0837 10 2 3 2 3 2 10 9.25213 10 1.8501 10 9.25097 102 1.8508 9.25097 10 3.0837 10 9.25213 10 6.16773 10 Bozza del 21/05/2008 l=L0=1.0 m k=1.4x104 kN/m2 7 6 6 7 6 6 6 6 7 6 7 6 6 6 6 6 5 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 1 1.8508 107 K 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0 9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0 1.8501 107 9.25097 106 1.8508 107 9.25213 106 0 0 0 0 0 0 9.25097 106 0 0 0 0 0 0 3.0837 106 0 0 0 0 0 0 9.25213 106 0 0 0 0 0 0 6.16773 106 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F0 Bozza del 21/05/2008 8.1249 1.35414 8.1249 1.35414 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 2 N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 2 3 k=1.4x10-8 kN/m2 -1 9 2 EI=1.542x10 kNm =0.00003882 m 3 6 2 4 1 2 2 2 2 5 2 K 32 24 3 3 2 K( 2) 2 2 4 3 1 6 2 2 213917. 452638. 181898. 428129. 2 2 5 63 2 4 1.35367 452638. 10 428129. 660744. 2 3 2 3 428129.2 213917. 2 181898. 452638. 428129. 660744. 452638. 1.35367 106 Bozza del 21/05/2008 l=L1=4.6 m gd ( k ) 4 5 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 2 1.8508 107 K 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 1.8501 107 9.25097 106 1.87219 107 8.7995 106 9.25097 106 0 3.0837 106 0 8.7995 106 181898. 7.5214 106 428129. 428129. 213917. 660744. 452638. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 660744. 0 0 0 0 452638. 0 0 0 0 1.35367 106 0 0 0 0 428129. 0 0 0 0 F0 Bozza del 21/05/2008 8.1249 1.35414 45.2906 27.0937 37.1657 28.4478 0 0 0 0 181898. 428129. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 3 N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 2 3 k=1.4x10-8 kN/m2 -1 9 2 EI=1.542x10 kNm =0.00003882 m 3 6 2 4 1 2 2 2 2 5 2 K 32 24 3 3 2 K ( 3) 2 2 4 3 1 6 2 2 2 120446. 290894. 79763.8 251063. 2 5 63 2 4 10 2 251063. 290894. 1.07224 502626. 2 3 3 2 79763.8 251063.2 120446. 290894. 251063. 502626. 290894. 1.07224 106 Bozza del 21/05/2008 l=L2=5.9 m gd ( k ) 4 5 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 3 1.8508 107 9.25213 106 9.25213 106 7 1.8501 10 9.25097 106 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 6 7 6 9.25097 10 1.87219 10 6 6 6 K 1.8501 107 9.25097 10 0 3.0837 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8.7995 10 181898. 8.7995 10 7.5214 10 428129. 428129. 0 660744. 0 0 0 0 0 0 0 F0 Bozza del 21/05/2008 6 8.1249 1.35414 45.2906 27.0937 84.3863 17.7845 47.2206 46.2323 0 0 181898. 428129. 334363. 428129. 660744. 161744. 161744. 2.42591 106 79763.8 251063. 251063. 0 0 502626. 0 0 0 79763.8 251063. 120446. 290894. 0 0 0 251063. 502626. 290894. 0 0 0 0 0 0 0 0 1.07224 106 0 0 0 0 0 0 0 0 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 4 N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 2 gd ( k ) 4 3 k=1.4x10-8 kN/m2 -1 9 2 EI=1.542x10 kNm =0.00003882 m 3 6 2 4 1 2 2 2 2 5 2 K 32 24 3 3 2 K(4 ) 2 2 4 3 1 6 2 2 2 1.8508 10 9.25213 10 1.8501 10 9.25097 10 2 5 3 2 4 10 29.250973 10 9.25213 210 6.16773 3.0837 10 3 2 1.8508 2 10 1.8501 10 9.25097 10 9.25213 10 9.25097 10 3.0837 10 9.25213 10 6.16773 10 Bozza del 21/05/2008 l=L0=1.0 m 7 6 6 7 6 6 6 6 7 6 7 6 6 6 6 6 5 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Assemblaggio: elemento 4 K 1.8508 107 9.25213 1.8501 106 107 9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0 1.87219 107 106 8.7995 9.25097 106 0 0 3.0837 106 0 0 8.7995 106 181898. 428129. 7.5214 106 428129. 660744. 0 0 0 0 0 0 0 0 181898. 0 0 0 0 660744. 161744. 2.42591 106 0 79763.8 251063. 0 251063. 502626. 0 0 0 0 0 0 79763.8 251063. 1.86284 107 8.96124 106 251063. 502626. 428129. 334363. 161744. 428129. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F0 Bozza del 21/05/2008 8.1249 1.35414 45.2906 27.0937 84.3863 17.7845 55.3455 44.8781 8.1249 1.35414 8.96124 106 1.8501 107 9.25097 106 1.8501 107 9.25097 106 7.23997 106 9.25097 106 106 107 9.25213 106 9.25213 106 6.16773 106 9.25097 3.0837 106 1.8508 3.0837 106 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Vettore delle forze nodali N i ,Ed ( k ) L0 L1 L2 L0 M i ,Ed ( k ) 1 gd ( k ) 2 4 3 5 F 0, 0, N4Ed, M4Ed, N5Ed, M5Ed, N6Ed, M6Ed, 0, 0 F 0.00 0.00 216.64 -323.49 s K Bozza del 21/05/2008 714.21 1 -471.00 524.10 F F0 -382.23 0.00 0.00 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Diagramma degli spostamenti -4 -6 2 -2 -0.0025 -0.005 -0.0075 -0.01 -0.0125 Trave elastica -0.015 Trave rigida -0.0175 Bozza del 21/05/2008 4 6 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Diagramma del Taglio Trave elastica Trave rigida -6 -4 200 -2 2 -200 -400 Bozza del 21/05/2008 4 6 Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto e Verifica delle armature Diagramma del Momento Flettente 600 Trave elastica Trave rigida 400 200 -6 -4 -2 2 -200 -400 -600 Bozza del 21/05/2008 4 6