A cura di
Maria Giovanna Melis
Insiemi
Intersezione
Sui quali si
possono
definire
Unione
Complemento
Operazioni
Differenza
e proprietà
Differenza
Si
rappresentano
con
simmetrica
Potenza
Diagrammi
Rappresentare e risolvere
problemi
di
Si utilizzano
anche per
Carroll
Rappresentare classificazioni
indotte da relazioni
Rappresentare operazioni
tra insiemi
Eulero - Venn
Rappresentare corrispondenze
tra gli elementi di due insiemi
(diagramma sagittale)
ad albero
U
PROPRIETA’ degli OPERATORI
, U
Gli operatori
e U sono operatori binari (lavorano
su due insiemi per volta come gli operatori +, -, x, :
lavorano su due numeri alla volta).
U
Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le
seguenti proprietà:
U
U
U
U
U
-A
U
-A
B= B
C=A
U
-A
B)
(B
U
- (A
A commutativa
A = A idempotenza
=
C) associativa
U
Proprietà dell’operatore intersezione
Proprietà dell’operatore intersezione U
Per tutti gli insiemi A, B, C valgono le
seguenti proprietà:
- (A U B) U C = A U(B U C) associativa
-A U B = B U A commutativa
-A U A = A idempotenza
-A U
=
Insieme INTERSEZIONE
A
U
B
A inter B
)
V
La congiunzione (
V
Legami tra le operazioni
con gli insiemi e il calcolo
dei predicati
r
z
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
r
z
U
A
r
B
z
L’intersezione degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi comuni ad
A e B (cioè di quegli elementi di A che appartengono anche a B)
Insiemi DISGIUNTI
Da notare che se gli insiemi A e B non hanno
elementi in comune, l’insieme intersezione è allora
l’insieme vuoto ( ) .
U
A
B=
La Colombo Bozzolo presenta due rappresentazioni con il diagramma di Venn:
E
E
A
B
A
B
Il diagramma di Eulero – Venn è la rappresentazione grafica degli insiemi e delle
relazioni fra essi.
Si rappresentano gli elementi di un insieme dentro una regione piana limitata da una
linea chiusa.
Tale rappresentazione grafica non è il “contorno geometrico” di una figura piana.
A
Non a e Non b e Non c
a e Nb e Nc
aebec
b e c e Na
C
B
Leonard Euler, svizzero, 1707 – 1783
John Venn, inglese, 1834 - 1883
U: numeri da 1 a 9
U
Sequenza del 3
Numeri pari
argomento
predicato
Valore di verità
X
È nella sequenza del 3
e è numero pari
VERO O FALSO
Il 3
è nella sequenza del 3
e è pari
FALSO
IL 6
è nella sequenza del 3
e è pari
VERO
IL 4
è nella sequenza del 3
e è pari
FALSO
Insieme UNIONE
A U B
A unione B
La disgiunzione inclusiva: vel (V)
U
A
B
z
r
r
z
rVz
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
L’unione degli insiemi A e B è l’insieme di tutti gli elementi che
appartengono ad A o a B o ad entrambi
Insieme DIFFERENZA
U
A
r
B
z
A
-
B
B
-
A
Il corrispondente connettivo non ha un
nome, è la <<non implicazione>>; si
indica con *
r
z
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
r
La differenza degli insiemi A e B è l’insieme
degli elementi di A che non appartengono a B
*
z
Insieme DIFFERENZA SIMMETRICA (
A
)
B
La disgiunzione esclusiva: aut (W)
r
z
rWz
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
U
A
r
B
z
La differenza simmetrica tra A e B è l’insieme degli elementi di A che
non appartengono a B e di quelli di B che non appartengono ad A
U: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
A : dispari
B : primi
Dispari
Primi
3
13
La parte tratteggiata rappresenta
l’intersezione, cioè la congiunzione degli
attributi <<Dispari e Primi>>, e ancora
l’intersezione dell’insieme dei Dispari con
l’insieme dei Primi
2
5
7
Non
Non Dispari
11
1
Non dispari – Non primi
4
9
Primi
15
16
12 10 8
14
6
Quindi, le possibilità sono quattro:
1.
Essere dispari e primo
2.
Essere dispari e non primo
3.
Non essere dispari e essere primo
4.
Non essere dispari e non essere primo
Non dispari - primi
Dispari – Non Primi
B
a e b e non c
A
B
C
a e b e c
A
non a e b e non c
Carroll
non a e b
e c
non a e
a e non b non b e c
e c
a e non b e non c
non a e non b e non c
Nella classificazione secondo tre
attributi, le possibilità sono otto
U:
4, 79, 81,7, 40, 6, 54, 92, 111, 95, 83, 35, 100, 72, 9, 47, 12, 63, 14, 114, 15, 84
A: multipli di 3
B: divisibili per 2
C: compresi tra 10 e 80
B
Multipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra 10 e 80
B
NON multipli di 3 E divisibili per 2 E NON compresi tra
10 e 80
84
100
6
A
114
54
72
12
63
111
40
NON multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e
80
4
Multipli di 3 E divisibili per 2 E compresi tra 10 e 80
14
Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON compresi tra
10 e 80
35
79
15
A
92
C
9
81
47
95
Multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra 10 e
80
7
NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E compresi tra
10 e 80
83
NON multipli di 3 E NON divisibili per 2 E NON
compresi tra 10 e 80
Insieme COMPLEMENTARE
La negazione: non
U
A
r
r
1
0
0
1
r
Se A è un sottoinsieme di U, si chiama complementare di A rispetto
a U l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A.
Nell’insieme N dei numeri naturali,
l’insieme P dei numeri pari e
l’insieme D dei numeri dispari sono
l’uno il complementare dell’altro.
N
Nell’insieme U delle lettere
dell’alfabeto, il complementare
dell’insieme delle consonanti è
l’insieme delle vocali.
U
C
D
P
V
Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad
U di A/B
L’ implicazione
“se r allora z”
U
A
r
B
z
r
z
r
z
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
U: i numeri da 1 a 12
Trovare il numero che risponda alla seguente implicazione:
“se è pari e multiplo di 3, allora ha due cifre”
B
U
U
Inclusione: C
A
U
11
3
A
2
B
A: pari
B: multiplo di 3
C: a due cifre
6
10
1
5
4
C
12
8
7
9
Insieme COMPLEMENTARE rispetto ad
U di A B
La doppia implicazione
U
A
r
B
z
r
z
r
z
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Insieme delle parti di un insieme o insieme POTENZA
Dato un insieme P si chiama insieme delle parti di P
oppure insieme potenza di P, l’insieme di tutti i
sottoinsieme di P
E’ utile, in questo caso, elencare in ordine tutti i sottoinsiemi di P con un
diagramma ad albero.
P
P = a, b, c
a
b
Si sono ottenuti otto
sottoinsiemi. Il loro insieme è
detto insieme delle parti di P
c
P=
a,b,c
,
a,b
,
a,c
,
a
Non b
Non c
a,b,c
a,b
,
Non a
b,c
Non c
c
c
a
a,c
,
b
,
Non b
b
c
b,c
,
c
Non c
b
c
Non c
Classificando i triangoli rispetto agli angoli si ha una
partizione dell’insieme T dei triangoli in tre
sottoinsiemi
T
t acutangoli
t ottusangoli
t rettangoli
Suddividendo i numeri naturali in pari e dispari si ha una
partizione dell’insieme IN in due sottoinsiemi:
Numeri
pari
IN
Numeri
dispari
A
B
A
A
T
C
A
B
I
B
U
T
C
A U B U C
T
R
B
B
A U B
C
A
B
I
A
U
3
U
C
U
A
A
(B U C)
C
A
B
C
(C –A) U B
Confrontiamo
A
A
e
non B
B
le tre diverse rappresentazioni:
B
e
A e B
non A
A
Non A e Non B
B
NON B
B
AeB
A
NON
A
NON B
B
A e Non B
Non A e B
AeB
Ae
Non B
NON B
Non A e
Non B
NON A
Non A
eB
Non A e
Non B
I diagrammi ad albero visualizzano operazioni mentali di analisi e classificazione.
Un diagramma ad albero è costituito da un insieme di nodi e da un insieme di rami che
collegano i nodi.
Es.
U:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
A: Pari
B: Primi
Pari
C: Multipli di 3
Non Pari
(2, 4, 6, 8, 10, 12)
Primi
(1, 3, 5, 7, 9, 11)
Non Primi
(4,6,8,
(2)
10,12)
(2) (6, 12)
(4,
8,10)
(3,5,
Primi
7,11)
(3)
Non Primi
(1, 9)
(5, 7, (9)
11)
(1)
U : POLIGONI
A: essere convessi
B: avere quattro lati
C: avere assi di simmetria
P
In una classe :
10 bambini hanno sorelle;
5 hanno fratelli;
3 hanno sia fratelli che sorelle;
12 sono figli unici.
Quanti sono gli alunni della classe?
sorelle
10
3
5
fratelli
12
10+5+12= 27
In una palestra di 30 atleti,
U = insieme degli atleti
25 praticano il nuoto;
10 praticano l’atletica;
A=
insieme Nuoto
B=
insieme Atletica
2 non praticano né il nuoto né l’atletica.
Quanti atleti praticano solo il nuoto?
Quanti entrambi gli sport?
U
A
B
18
2 atleti non praticano né nuoto né
atletica, ne segue che 28 atleti
praticano invece nuoto o atletica o
entrambi.
28 – 10
7
3
28 – 21
28 – 25
30 - 2
2
Bambini e Sport
Tra questi bambini:
Angelo, Bruno, Carlo, Daria, Elisa, Franco, Giorgio, Ilaria, Luca, Marco, Nadia e
Orietta,
Alcuni praticano il Tennis: Angelo, Carlo, Orietta, Ilaria e Nadia
Alcuni praticano il calcio: Bruno, Ilaria, Carlo, Franco
Alcuni praticano la corsa: Carlo, Orietta, Franco, Daria, Giorgio e Luca
1- Quali e quanti bambini praticano tutti e tre gli sport?
2- Quali e quanti bambini praticano un solo sport?
3- Quali e quanti praticano almeno uno sport?
4- Quali e quanti nessuno sport?
Per risolvere questo problema si possono utilizzare tre diverse rappresentazioni:
Diagramma di Eulero - Venn
Diagramma ad albero
Diagramma di Carroll
A: Tennis
U = un gruppo di bambini che praticano sport
B: Calcio
C: Corsa
B
B
Angelo
Ilaria
Nadia
C
A
Carlo
Bruno
B
Carlo
Orietta
Angelo
Elisa
Marco
C
A
Orietta
Daria
Franco Giorgio
Luca
A
B
Ilaria
Nadia
Franco
Daria
Giorgio
Luca
A
Bruno
Elisa
Marco
C
C
C
Alcuni autori hanno proposto questa diversa
rappresentazione del diagramma di Carroll
U
A
B
Tennis
Calcio
Angelo
Ilaria
Bruno
Nadia
Carlo
Orietta
Franco
Marco
Daria
Giorgio
Luca
Elisa
C
Corsa
Carlo
C
Ilaria
C
B
Orietta
C
Nadia
Angelo
Franco
C
C
B
Luca
Giorgio
Bruno Daria
C
B
A
A
C
B
Marco
Elisa
C
U =
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
A= Multipli di 5
B= Minori di 5
C= dispari
Minori di 5
Non
dispari
Dispari
Multipli di 5
Non Multipli
di 5
Non Minori di 5
Dispari
0
1
3
2
Un’altra rappresentazione con il
diagramma di Carroll
5
4
7
Non
dispari
10
9
6
8
Questa rappresentazione è anche
conosciuta come
“Diagramma di Karnaugh”
Disponi questi nomi nel diagramma di Carroll:
Case, libro, sedie, pulcino, palla,, quaderno, Antonio,
evidenziatore, Luca, bambini
maschili
singolari
Non
singolari
Non maschili
Disponi gli articoli nel diagramma di Venn
U= tutti gli articoli
A: essere singolare
B: essere determinativo
C: essere maschile
A
U
C
B
Per i più piccoli:
4 zampe
Non 4 zampe
Diagramma di
Venn
Classificazioni secondo un attributo
Attributo: avere quattro zampe
Negazione dell’attributo: non avere quattro zampe
4 zampe
Diagramma di Carroll
Non 4 zampe
Diagramma ad albero
U
Riferimenti bibliografici:
Clara Colombo Bozzolo, Primi elementi di logica,
insiemi, relazioni, La scuola, 1993
Gia Filipozzi Maricchiolo, Logica, probabilità,
statistica e informatica, Fabbri editori, 1990
Tenuta, Itinerari di logica, probabilità, statistica,
informatica, La scuola, 1992
Lanciotti, Marazzani, Logica, Carocci Faber,
2004
Fine