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pressione e densità
S
S
Un elemento di superficie può essere
rappresentato da un
vettore S che ha come modulo S e
direzione perpendicolare all’elemento
stesso
Si definisce pressione p , il modulo della forza normale per unità di
superficie
p = F /S
La pressione è una grandezza scalare: si misura in pascal : Pa
Altre unità di misura sono il bar ( 1 bar = 105 Pa); l’atmosfera
(101325 Pa) e il millimetro di mercurio o torr (760 mmHg = 1 atm)
2
La densità ρ di un fluido omogeneo (massa / volume) può
dipendere da molti fattori, quali la temperatura e la
pressione del fluido stesso.
Per i liquidi, in generale, la densità ρ è dappertutto
costante e si può vedere che la pressione aumenta
linearmente con la profondità.
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La pressione in un fluido
F
applichiamo una forza perpendicolare alla
superficie di un fluido in quiete
(la reazione elastica è maggiore nei
liquidi che non nei gas)
F
aprendo dei fori in punti qualunque della
superficie, il fluido fuoriesce in
direzione perpendicolare alla superficie
(con “violenza” tanto maggiore quanto
maggiore è l’intensità della forza)
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La pressione in un fluido
F
la forza F si trasmette all’interno del
fluido in modo tale che su ogni punto
della superficie del fluido esiste una
forza perpendicolare alla sup. , rivolta
verso l’interno, che tende a ridurre il
volume del fluido
F esercita una pressione sul fluido
F
in un fluido in equilibrio possono agire solo
forze che si equilibrino tra loro
la
pressione esercitata da una forza sulla
superficie di un elemento (ossia un piccolo
volume) viene trasmessa in ogni punto del
fluido e in ogni direzione
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Il principio di PASCAL
La pressione esercitata su un fluido racchiuso in un
recipiente si trasmette invariata a qualsiasi punto del
fluido e alle pareti del recipiente che lo contiene
Un applicazione comune del principio di Pascal è il torchio idraulico
F1
pistone piccolo
pistone grande
A2
A1
F2
F1/A1 = F2/A2
Una piccola forza F1 sul pistone
piccolo produce una variazione
di pressione, che si trasmette
attraverso il liquido al pistone
grande
Poiché l’area del pistone grande
è molto maggiore di quella del
pistone piccolo
la forza F2 è molto maggiore di F1
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La legge di Stevino
Prendiamo una colonna di liquido di sezione di area A ed
altezza h (la risultante delle forze sul piano orizzontale
sarà nulla in quanto la colonna considerata si suppone non
avere accelerazione in senso orizzontale)
La massa di tale
colonna liquida è:
m = ρ V = ρAh
il peso è : P = m g =
=ρAhg
ρ A h = m (def. di densità)
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la legge di Stevino
Indichiamo con p la pressione in cima alla colonna
0
pA = p0 A + P = p0 A + ρ A h g
p = p0 + ρ h g
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Alla base della colonna la pressione sarà maggiore di quella alla
sommità, perché oltre alla forza di pressione sarà presente il peso
della colonna. Indicando con p la pressione sul fondo, la forza verso
l'alto esercitata dalla superficie inferiore per bilanciare la forza
esercitata dalla parte superiore sarà ( dalla definizione, per i moduli
si ha F = p · A ):
pA = p0 A + P = p0 A + ρ A h g
ovvero
p = p0 + ρ g h
Il risultato è appunto che la pressione aumenta linearmente con la
profondità e ad una profondità h essa è aumentata di una
quantità ρ g h rispetto alla pressione po della quota di riferimento
rispetto cui è misurata la profondità h.
Questo risultato è noto come legge di Stevino.
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Se si pesa un corpo immerso in acqua si nota che la
bilancia segna un valore inferiore a quello che
segnerebbe se il corpo venisse pesato in aria.
Evidentemente il processo di pesatura in acqua
implica l'esistenza di una forza che bilanci
parzialmente la forza di gravità.
Ciò va sotto il nome di
Principio di Archimede
ARCHIMEDE (287-212 a.C.)
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Il principio di Archimede:
Un corpo immerso in un fluido in equilibrio subisce una
spinta diretta dal basso verso l'alto di intensità pari al
peso del volume del fluido spostato.
Qualsiasi solido più leggero di un fluido, se
collocato nel fluido, si immergerà in misura tale
che il peso del solido sarà uguale al peso del
fluido spostato (Lib. I, Prop. 5).
Un solido più pesante di un fluido, se collocato in esso,
discenderà in fondo al fluido e se si peserà il solido nel
fluido, risulterà più leggero del suo vero peso, e la
differenza di peso sarà uguale al peso del fluido spostato
(Lib. I, Prop. 7).
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il principio di Archimede
In un fluido stazionario di densità ρ isoliamo un volume V
per mezzo di una superficie di contorno impermeabile e priva
di massa, di area S.
V
S
Essendo la massa m del fluido contenuto
in S in equilibrio,
il suo peso mg = ρ V g
sarà controbilanciato dalle forze
esercitate su esso dal fluido circostante
e poiché tali forze dipendono solo dalle
condizioni all'esterno di S,
qualsiasi altro oggetto avente la stessa superficie esterna S
necessariamente verrà sospinto verso l'alto dalle stesse forze,
cioè da forze la cui risultante è sempre uguale al peso del fluido
spostato.
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il principio di Archimede
F1
Un fluido che circonda un corpo
esercita una forza di
galleggiamento verso l’alto,
F2
dovuta al fatto che la pressione
aumenta con la profondità
L
ρ
La forza F2 che agisce sul corpo verso l’alto è maggiore della
forza F1 che agisce verso il basso
Le forze che agiscono verso destra e verso sinistra si
eliminano a vicenda, avendo lo stesso modulo
(ρ: densità del fluido)
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il principio di Archimede
Calcoliamo questa forza (di galleggiamento)
faccia superiore del cubetto
F1 = P1 A = P1 L2
faccia inferiore del cubetto
P2 = P1 + ρ g L
(h = L : legge di Stevino; ρ: densità del fluido)
F2 = P2 A = (P1 + ρ g L) L2 = P1 L2 + ρ g L3 = F1 + ρ g L3
Se fissiamo la direzione positiva verso l’alto, la forza verticale
risultante esercitata dal fluido sul cubetto è:
Ftot = F2 – F1 = ρ g L3 = ρ g V dove ρ g V è il peso del fluido
che occuperebbe lo stesso volume del cubo
Più in generale, se una parte di volume V di un corpo viene
immersa in un fluido di densità ρ, la forza di galleggiamento può
essere espressa come Fg = ρ g V
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Il principio di ARCHIMEDE
PROBLEMA
Quale frazione del volume totale di un iceberg emerge dall’acqua?
La densità
del ghiaccio è ρ = 0,92 g/cm3
del mare è
ρ = 1,03 g/cm3
Il peso dell’iceberg è: Pi = ρi Vi g
il peso di vol. dell’acqua
spostata dà la forza di spinta:
Pa = ρa Va g, ma
Pa =Pi,poiché
ρa V a g = ρi V i g
l’iceberg è in equilibrio
Va
Vi
=
0,92
ρi
=
= 89%
ρa
1,03
Il volume dell’acqua spostata è il volume della parte immersa dell’iceberg
quindi l’ 11% dell’iceberg emerge
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dinamica dei fluidi
equazione di BERNOULLI
In un fluido incomprimibile, in moto stazionario
pressione dinamica
P + 1 ρ v2 + ρ g h = costante
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pressione statica
E’ DERIVABILE DAL TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA
Viene utilizzata per determinare la velocità di un fluido per
mezzo di misure di pressioni
h : altezza relativa ad un arbitrario punto di riferimento
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APPLICAZIONI dell’EQUAZIONE di BERNOULLI
1) Liquido che esce da un foro su un recipiente
Poiché il liquido che esce dal foro è a contatto con l’atmosfera,
la pressione in quel punto e Patmosfera proprio come sulla superficie
superiore del fluido ; la velocità con cui esce è
v =
2 g h
modulo della velocità di un corpo che cade in
caduta libera
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2) flusso d’aria e portanza in un’ala di aeroplano
L’ala è disegnata in modo che l’aria scorra più rapidamente sulla
superficie superiore che non su quella inferiore
la pressione sulla superficie superiore è ridotta e viene generata
una forza risultante verso l’alto detta portanza
3) effetto Bernoulli su un foglio di carta
CURIOSITA’
Se teniamo un foglio di carta per un estremo si piega verso il
basso.
Soffiando parallelamente alla superficie della carta riduciamo la
pressione superiore . . .
La carta si solleva in direzione quasi orizzontale
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Un paradosso idrostatico
I tre recipienti hanno la stessa base e sono pieni di
acqua fino allo stesso livello
Sebbene l’acqua nel recipiente più grande pesi di più, parte
del peso è sostenuta dalla forza normale esercitata dai lati
La pressione esercitata alla stessa quota è la stessa in tutti i
recipienti ( principio di Pascal)
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“altra avventura” sono le bolle di sapone . . . . .
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Considerazioni liberamente tratte da :
Fondamenti di fisica 1
Halliday- Resnick
Fisica 1
Wilson- Buff
Fisica. Meccanica
Invito alla fisica 1
di
Walker
Tipler
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