Moto di un proiettile
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in
aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo
sparo di una pallottola sono esempi di questo moto.
Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale
moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove
Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola.
Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità,
supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in
particolare le forze di attrito dell'aria e quelle del vento.
Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto,
supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a
muoversi obliquamente con velocità v0
Facendo un po' di conti si scopre che la funzione del moto ha la
forma: y =ax2 +bx: la TRAIETTORIA è una parabola passante per
l'origine e con concavità rivolta verso il basso.
v0
Scheda 4 moto di un proiettile
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente.
Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di
questo moto.
Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi
e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di
un proiettile è una parabola.
Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla
l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria
e quelle del vento.
Rappresentiamo in un sistema di assi
cartesiani il moto, supponendo che
l’origine sia il punto nel quale il
proiettile inizia a muoversi con velocità
v0 e con un angolo di inclinazione
v0
g : accelerazione di gravità
v0 : velocità iniziale,
θ
θ
: angolo formato col terreno (alzo)
10
Le coordinate del punto P (x,y) che
individua la posizione del proiettile
al passare del tempo t sono
x = v0x t
y = v0y t - 1/2 g t2
g
f( x)
v0
v0x: componente orizzontale della
velocità iniziale v0
v0y: componente verticale della
velocità iniziale v0
v0y
0
0v0x
L'accelerazione è quella
gravitazionale ed essendo diretta
verso la terra è negativa, quindi va
sottratta
x
10
L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha così :
y = v0y / v0x x - 1/2 g x2/ v0x2
che ha la forma: y =ax-bx2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e con
concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un proiettile è
una parabola.
Nel caso in cui un proiettile
venga lanciato da un'altezza h,
y ha anche un termine noto,
che significa che parabola
descritta non passa per (0, 0).
4
5
4
f( x)
f( x)
2
0
0
x
2
0
0
0
2
x
4
4
10
• Per ottenere la traiettoria in funzione dell’alzo
θ : essendo
v0x = v0 cos θ
v0y = v0 sin θ
si ottiene
x = (v0 cos θ) t
y = (v0 sin θ) t - 1/2 g t2
La funzione che si ottiene eliminando t è
y = (tang θ) x -[ g/2 v0 2cos2 θ ] x2
• Per ottenere l’altezza massima del proiettile
corrispondente ad un certo valore di v0 e di θ si può
determinare il vertice della parabola. Perciò si avrà :
ymax= v0 2sin2 θ /g
75°
60
° 45°
30°
15°
f( x)
ymax
θ
0
0
x
10
Gittata
• Per ottenere la gittata intersecando
con l'asse delle x si ha :
Gittata = v02 sin 2θ /g
• Variamo la funzione per
l'alzo a che varia da 0° a
90°. Si può osservare che la
gittata massima si ottiene per
45° e che le gittate sono
uguali per angoli che
differiscono ugualmente da
45°,cioè per angoli
complementari.