A. Martini
IL MOTO DI UN PROIETTILE
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
ALLORA CERCHIAMO DI CAPIRE COME SI
MUOVE UN PROIETTILE, DESCRIVENDONE IL
MOTO CON ALCUNE “SEMPLICI” EQUAZIONI.
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE,
SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
VOGLIAMO VEDERCI PIU’ CHIARO?
ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
E OSSERVIAMO LO SPARO:
ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
E OSSERVIAMO LO SPARO:
A T T E N Z I O N E !!!
ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
E OSSERVIAMO LO SPARO:
ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
E OSSERVIAMO LO SPARO:
COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL
PROIETTILE NON E’ UNIFORME:
SE LO ANALIZZASSIMO SCOPRIREMMO CHE E’ UN
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL
PROIETTILE NON E’ UNIFORME:
SE LO ANALIZZASSIMO SCOPRIREMMO CHE E’ UN
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL
PROIETTILE NON E’ UNIFORME:
SE LO ANALIZZASSIMO SCOPRIREMMO CHE E’ UN
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
A T T E N Z I O N E !!!
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
BUUUMMMM
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL
PROIETTILE E’
RETTILINEO UNIFORME
COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL
PROIETTILE E’
RETTILINEO UNIFORME
COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL
PROIETTILE E’
RETTILINEO UNIFORME
RETTILINEO UNIFORME
RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Sarà meglio verificare sperimentalmente
queste affermazioni!
Per prima cosa studiamo la
GITTATA
Nel nostro laboratorio c’è una rotaia inclinata
La cui inclinazione è variabile
La cui inclinazione è variabile
Posizioniamo una macchina fotografica di fronte a questa
apparecchiatura
Prendiamo ora una pallina d’acciaio
Ed una lampada stroboscopica
Mettiamo la pallina in cima alla rotaia
La illuminiamo con la lampada e la lasciamo andare, dopo
aver aperto l’otturatore della macchina
La illuminiamo con la lampada e la lasciamo andare, dopo
aver aperto l’otturatore della macchina
Hai visto com’è andata ?
Se il nostro amico fosse
stato il bersaglio,
l’avremmo colpito ?
Allora affidiamoci alla matematica e cerchiamo di
scrivere un’equazione che descriva la gittata e che ci
permetta di controllarla
Vogliamo cercare di non
sbagliare?
Io vi aiuto volentieri, ma ho bisogno di alcune precisazioni del professor Albert
Sentiamo: cosa vuoi sapere?
Vorrei sapere:
A quale altezza arriva il proiettile
Quanto tempo impiega ad arrivare
al suolo
E dove cade
Dunque, consideriamo un sistema di riferimento XY
Y
X
E supponiamo che il proiettile abbia una velocità iniziale V secondo una direzione
che forma con l’asse X un angolo a
Y
V
a
X
In questo caso l’altezza h raggiunta dal proiettile
È uguale a quella che avrebbe raggiunto se fosse stato lanciato verso
l’alto a velocità Vy
Y
h
Vy V
a
X
Bene, allora adesso ti calcolo questa altezza
Y
h
Vy V
a
X
Nella direzione h, il moto è uniformemente
accelerato, con accelerazione uguale a -g
02 – Vy2 = - 2gh
Nell’apice la velocità è uguale a zero e alla base è
uguale a Vy, per cui possiamo applicare una nota
Y
relazione della cinematica:
Poiché è:
Vy = V sen a
Si ha:
Vf2 – Vi2 = 2as
-V 2 sen2 a = - 2gh
E quindi:
V sen a
h=
h
2g
2
2
Vy V
a
X
Nella direzione h, il moto è uniformemente
accelerato, con accelerazione uguale a -g
02 – Vy2 = - 2gh
Nell’apice la velocità è uguale a zero e alla base è
uguale a Vy, per cui possiamo applicare una nota
Y
relazione della cinematica:
Poiché è:
Vy = V sen a
Si ha:
Vf2 – Vi2 = 2as
-V 2 sen2 a = - 2gh
E quindi:
V sen a
h=
h
2g
2
2
Vy V
a
X
Molto bene questa formula me la ricorderò sicuramente
V sen a
h=
h
2g
2
2
Ora vorrei sapere il tempo totale della durata del moto del proiettile
Per raggiungere
Ora vorreil’altezza
sapere ilh,tempo totale della durata del moto del proiettile
il proiettile impiega un
tempo t1 che può essere
calcolato con la relazione:
Per raggiungere l’altezza h,
il proiettile impiega un
tempo t1 che può essere
calcolato con la relazione:
V
a=
t
Ora basta sostituire le
grandezze corrispondenti,
per ottenere:
0 - Vsena
-g =
t1
Da qui si ricava:
Vsena
t1 =
g
Un tempo uguale viene
impiegato dal proiettile per
ricadere al suolo, quindi il
tempo totale sarà:
2Vsena
t=
g
Bene, vorrà dire che cercherò
di ricordare anche questa
formula, assieme a quell’altra
V sen a
h=
2g
2
2Vsena
t=
g
2
E ora forse è giunto il
momento di calcolare la
GITTATA S, cioè lo
spostamento che il proiettile
avrebbe fatto nel tempo t, se
si fosse mosso di moto
rettilineo uniforme, con
velocità:
V cos a
V sen a
h=
2g
2
2Vsena
t=
g
2
E ora forse è giunto il
momento di calcolare la
GITTATA S, cioè lo
spostamento che il proiettile
avrebbe fatto nel tempo t, se
si fosse mosso di moto
rettilineo uniforme, con
velocità:
V cos a
V sen a
h=
2g
2
2Vsena
t=
g
Eccomi qua: son pronto!
2
Questo spostamento quindi è
ricavabile con l’equazione del moto
rettilineo uniforme:
S = Vt
Nel nostro caso scriveremo:
S = V t cos a
Ora sostituiamo:
2Vsena
S = V cos a
g
Da cui si ottiene:
2V 2
S=
sena cos a
g
V sen a
h=
2g
2
2Vsena
t=
g
2
Questo spostamento quindi è
ricavabile con l’equazione del moto
rettilineo uniforme:
S = Vt
Nel nostro caso scriveremo:
S = V t cos a
Ora sostituiamo:
2Vsena
S = V cos a
g
Da cui si ottiene:
2V 2
S=
sena cos a
g
V sen a
h=
2g
2
2Vsena
t=
g
2
Questo spostamento quindi è
ricavabile con l’equazione del moto
rettilineo uniforme:
S = Vt
Nel nostro caso scriveremo:
S = V t cos a
Ora sostituiamo:
V sen a
h=
2g
2
2Vsena
t=
g
2Vsena
S = V cos a
g
Da cui si ottiene:
2V 2
S=
sena cos a
g
Ma allora è facilissimo
calcolare la gittata e anche
trovare la condizione per
avere la
GITTATA MASSIMA
2
2V 2
S=
sena cos a
g
E’ chiaro che in questa formula, a parità di velocità iniziale V,
la gittata è massima quando è massimo il termine
sen a cos a
Bene, adesso
tocca a me!
2V 2
S=
sena cos a
g
Sarai d’accordo con me che S è massimo
quando la funzione sen a cos a è massima
E questo si verifica per l’angolo a per cui la
derivata prima di sen a cos a è uguale a zero
e la derivata seconda è minore di 1.
Calcoliamo allora la derivata prima di sen a cos a
y = sena cos a
y ' = cos a cos a - senasena
cosa cosa - senasena = 0
Per le formule di prostaferesi si ha:
cos a cos a - senasena = cos 2a
Per cui:
cos 2a = 0
Poiché l’angolo a, nel nostro caso non può superare i 90°
(per ovvi motivi), la relazione precedente è verificata per
a = 45°
dato che il coseno di 90° è uguale a zero.:
Per essere sicuri che per un angolo di 45° la gittata sia massima, e non minima,
occorre che, contemporaneamente, la derivata seconda della funzione y (y”) sia minore
di1.
Calcoliamo, dunque, da derivata di
z = cos 2a
z' = -2sen2a
Essendo il seno di 90° uguale a uno, risulta:
z ' = y" = -2
Possiamo allora affermare che la gittata maggiore di tutte, a parità della velocità di
partenza, si ha per l’angolo:
a = 45°
Possiamo verificare quanto ci ha insegnato il professor Mat
facendo un esperimento con l’apparecchiatura vista in
precedenza. A quel punto saremo in grado di colpire il
bersaglio!
FINE
FINE ?
No, non è finita, perché dobbiamo ancora dimostrare
sperimentalmente che il moto del proiettile è composto da un
moto rettilineo uniforme orizzontale ed uno uniformemente
accelerato verticale.
Per fare questo utilizzeremo
un Marmug ed uno speciale
trampolino di lancio
FINE !