“La
sezione
aurea”
A cura di
Emanuela Ferlini ed Alessia Lagomarsini
classe 2a F
Indice
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Introduzione
Dimostrazione della sezione aurea
La sezione aurea in alcune figure geometriche
La sezione aurea nella natura
La sezione aurea nell’uomo
La successione di Fibonacci
La sezione aurea nella pittura
La sezione aurea nella musica
“Introduzione”
La sezione aurea In arte e matematica, è una proporzione geometrica basata su un
rapporto specifico nel quale la parte maggiore sta alla minore come l’intero sta alla
parte maggiore. Viene espressa più chiaramente in modo grafico come una linea
intersecata in modo tale che il rapporto che lega AC e CB è lo stesso di quello tra AB e
AC. Vedi figura.
Questo rapporto ha il valore numerico di 0.618…. Riconosciuta come un rapporto
esteticamente piacevole, la sezione aurea è stata utilizzata come base per la
composizione di elementi pittorici o architettonici. In realtà, vari esperimenti
suggeriscono che la percezione umana mostra una naturale preferenza per le
proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artisti tenderebbero dunque, quasi
inconsciamente, a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti.
Platone è generalmente considerato il padre degli studi sulla sezione aurea, la cui
definizione è contenuta nel trattato sugli Elementi del matematico greco Euclide
(attivo nel III secolo a.C.). La sezione aurea suscitò un profondo interesse tra gli
artisti e i matematici del Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della
Francesca, e Leon Battista Alberti; era allora nota come “divina proporzione” e veniva
considerata quasi la chiave mistica dell’armonia nelle arti e nelle scienze. De divina
proportione è anche il titolo del trattato redatto dal matematico rinascimentale Luca
Pacioli e illustrato da 60 disegni di Leonardo da Vinci, pubblicato nel 1509, che ebbe
notevole influsso sugli artisti e gli architetti del tempo, ma anche nelle epoche
successive. [1]
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Dimostrazione
Se AB è il segmento dato, si conduca la per perpendicolare
ad AB nell’estremo B e si prenda su di esso il segmento
BO, metà di AB, indi col centro in O si descriva la
circonferenza di raggio OB, che risulterà tangente in B
alla retta AB. Si unisca A con O e si chiamino C e D le
intersezioni della retta AO con la circonferenza; si porti
infine su AB il segmento AE congruente ad AC.
Proveremo che AE è il segmento cercato, cioè che sussiste la
proporzione:
AB : AE = AE : EB
Infatti per il teorema della secante e della tangente (se da
un punto si conducono ad una circonferenza una secante
e una tangente, il segmento determinato dalla
circonferenza sulla tangente è medio proporzionale fra i
segmenti determinati sulla secante e aventi un estremo in
quel punto) si ha:
AD : AB = AB : AC
Da cui scomponendo si ottiene:
(AD – AB) : AB = (AB – AC) : AC
Ma siccome AB è congruente a CD e AC è congruente ad
AE si ha pure:
AD – AB = AD – CD = AC = AE
B – AC = AB – AE =EB
Perciò l’ultima proporzione diventa:
AE : AB = EB : AE
Da cui invertendo:
AB : AE = AE : EB
La sezione aurea nella natura
Troviamo la sezione aurea nelle dimensioni di
molte foglie, ad esempio in quella di rosa: la
larghezza della foglia è sezione aurea della
lunghezza.
Tornando poi alla sequenza di Fibonacci possiamo
dire che due scienziati Von Ettingshausen e
Prokorni, hanno trasferito questo metodo in
natura e precisamente in botanica. Questi
scienziati sono arrivati alla conclusione che,
poiché la crescita delle piante avviene mediante la
divisione delle cellule, le dimensioni fondamentali
delle piante delle diverse età, negli stessi periodi
dell'anno, devono per forza presentarsi come
la successione di Fibonacci.In effetti, se
misuriamo lo stelo di una pianta da un germoglio
all'altro, troviamo i rapporti AB : BC, BC: CD, CD :
DE, che rimandano al tasso di crescita della
successione di Fibonacci.Inoltre possiamo
osservare che le foglie crescono seguendo una
spirale nella quale il rapporto tra il passo e la
curvatura è pari a 1,618.
“La sezione aurea nell’uomo”
Già Vitruvio indicava la regola che l'uomo,
se in piedi con le gambe chiuse e le braccia
distese in orizzontale, può essere inscritto
in un cerchio (si veda l'immagine di
Leonardo), di cui il centro cade sulle parti
genitali; la lunghezza globale del corpo
viene tagliata dalla vita in due segmenti
di cui il più lungo è una sezione aurea.
L'uomo se in piedi con gambe divaricate e
braccia leggermente inclinate verso il
basso, può essere contenuto entro un
pentagono regolare, il cui centro coincide
nuovamente con le parti genitali. Lo
scultore greco Policleto (ca. 420 a.C.)
affermava che nell'uomo perfetto la
lunghezza complessiva del corpo viene
suddivisa dai fianchi secondo la sezione
aurea (canone). La distanza tra i genitali
e la laringe viene tagliata dall'ombelico in
un rapporto aureo, mentre quella tra la
testa e l'ombelico è analogamente tagliata
dalla laringe.
La successione di Fibonacci
Nel diciannovesimo secolo, Eduard Lucas (studioso
francese di teoria dei numeri) chiamò con il nome di
Fibonacci una successione che si presenta in un facile
problema del Liber Abaci. Supponiamo che una coppia di
conigli adulti sia allevata in una conigliera.
Ammettiamo che i conigli comincino a prolificare all'età
di due mesi, generando una coppia maschio-femmina
alla fine di ogni mese. Se nessuno dei conigli muore,
quanti conigli si troveranno nella conigliera in capo a
un anno? Un grafo ad albero mostra ciò che avviene. Il
numero di coppie all'inizio di ogni mese è
successivamente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...... Ogni numero che
compare in questa successione è la somma dei due
numeri che lo precedono. Alla fine dei dodici mesi le
coppie di conigli saranno 377. La proprietà più
importante della successione di Fibonacci è costituita dal
fatto che il rapporto tra due numeri consecutivi di essa è
alternativamente maggiore e minore del rapporto aureo e
che, al procedere della successione, la differenza va
diminuendo sempre più, sicché la successione di questi
rapporti ammette come limite il rapporto aureo.
La sezione aurea nella pittura
Utilizzando la sezione aurea nei suoi
dipinti Leonardo inoltre scoprì che,
guardando le opere, si poteva creare un
sentimento di ordine.
In particolare Leonardo incorporò il
rapporto aureo in tre dei suoi capolavori:
La Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di
Vitruvio.
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Nella Gioconda il rapporto aureo è stato
individuato:
nella disposizione del quadro
nelle dimensioni del viso
nell’area che va dal collo a sopra le mani
in quella che va dalla scollatura dell’abito
fino a sotto le mani.
Ne L’Ultima cena, Gesù, il solo
personaggio veramente divino, è dipinto
con le proporzioni divine, ed è racchiuso in
un rettangolo aureo.
La sezione aurea nella musica
(Introduzione)
Il suono viene captato dal nostro organo dell'udito, ossia vengono sottoposti a
vibrazioni gli organi di Corti, che possiamo paragonare alle asticciole di un carillon.
Siamo abituati a sud- dividere in sette note (do,re,mi,fa,sol,la,si). I suoni sono in
successione e la distanza tra un do e il do successivo viene definita ottava. Un gruppo di
otto note successive si chiama "scala" e la sua ultima nota è la prima di un' eventuale
ottava più alta. La scala può cominciare con qualsiasi nota, ma quella che comincia con
do, per ragioni varie, è la più "naturale". Quando costruiamo la scala di do, per esempio,
sentiamo che le distanze tra i diversi suoni non sono sempre uguali. Le distanze do-re,
re-mi, fa-sol, sol-la, la-si sono ognuna un tono, mentre le distanze mi-fa e si-do sono
un semitono. Raggruppando il numero di vibrazioni dei dodici semitoni che si
susseguono ricaviamo una proporzione continua.
Il numero delle variazioni che si differenziano per otto semitoni si comporta quindi
come la sezione aurea:
T1:T9=T9:T17=1:1,618
La sezione aurea nella musica
Negli organi di corti dell'apparato uditivo
umano, cui compete la selezione dei suoni,
si deve poter riscontrare il principio della
sezione aurea; non solo, ma essa è anche
punto di riferimento nella costruzione di
canne di organo e altri strumenti
musicali.
Possiamo anche ipotizzare che negli organi
di Corti dell'apparato uditivo umano, che
reagiscono alle tonalità pure, operi il
principio dei numeri della seccessione di
Fibonacci.
In un violino, il cui timbro dipende dalle
dalle possibilità di vibrazione di tutte le
parti, la sezione aurea gioca sicuramente un
ruolo; in effetti se misuriamo uno
Stradivari vediamo che esso è contenibile
entro quattro pentagoni regolari i cui lati
fungono da tangenti, determinando una
linea estremamente armoniosa
Sezione aurea nelle opere
Beethoven, Ludwing van , compositore tedesco
(Bonn 1770 -Vienna 1827). La sua vita,
trascorsa quasi per intera a Vienna, fu
travagliata da infelici esperienze sentimentali e
da ristrettezze economiche. A dodici anni già
componeva; divenne sordo a trentadue anni, e ciò
contribuì a imprimere nel suo animo una visione
drammatica della vita. Compositore fecondissimo,
fu con Haydn e Mozart il più grande esponente
del classicismo viennese, in una delle sue
opere:”33 variazioni sopra un valzer di Diabelli”,
Beethoven suddivide la sua composizione in parti
corrispondenti ai numeri di Fibonacci. L’impulso
a comporre quest’opera venne dall’invito che nel
1821 Anton Diabelli rivolse a quasi tutti i
compositori di Vienna, sollecitandoli a scrivere
una variazione su un Valzer da lui stesso
composto. Beethoven ha posto alla base della sue
variazioni non la melodia e le successioni
armoniche, quanto piuttosto la struttura formale e
ritmica del tema, cosicché W. Riezler parla di
variazione di struttura. E quanta esperienza
personale entri in tutto ciò lo rivela la 22°
variazione.
S.A. nelle altre figure geometriche
Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni
corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è
rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si
disegni un quadrato di lato a i cui vertici
chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e
procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere
il segmento AE in due chiamando il punto medio
A'. Utilizzando il compasso e puntando in A'
disegnare un arco che da F intersechi il
prolungamento del segmento AE in B. Con una
squadra disegnare il segmento BC perpendicolare
ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo
nel quale Ab è diviso dal punto E esattamente nella
sezione aurea:
AE:AB=EB:AE
La Sezione Aurea
nelle altre figure geometriche
PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO
CONTENUTI
All’interno di un pentagono, ogni
lato forma con due diagonali (il
segmento che unisce due punti non
adiacenti) un triangolo dagli angoli con
misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà
spiegate in precedenza. Ogni lato
forma, con il punto d’incontro di due
diagonali consecutive, un triangolo
dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le
proprietà descritte in precedenza.
Cioè il lato del pentagono regolare è
la sezione aurea di una sua diagonale
e il punto d' intersezione tra due
diagonali divide ciascuna di esse in
due segmenti che stanno nel rapporto
aureo.