Controrelazione su:
Interpretazione e didattica della
matematica
Una prospettiva ermeneutica
Francesca Ferrara
Mirko Maracci
Università di Torino
Università di Siena
Piano dell’opera
Ermeneutica
vs
epistemologia
Pre-supposizioni
Immagini
Artefatto
Cultura
Semiotica
Prospettiva ermeneutica

Cosa si intende per prospettiva ermeneutica?

Cosa apporta alla/comporta per la didattica
della matematica?
ricerca in didattica della matematica
pratica didattica
Cosa si intende per ermeneutica?
L’ermeneutica è la dottrina del comprendere:
quel processo nel quale noi conosciamo
un’interiorità sulla base dei segni che ci sono
dati sensibilmente
dall’esterno (Jung, 2002;
Ermeneutica
Dilthey, 1986).
L’ermeneuticaSemiotica
è
essa
stessa
‘solo
interpretazione’ (Vattimo, 2002).
Dunque se non si sono segni da interpretare
non c’è alcunché da comprendere.
… verso quale semiotica?



Peirce?
Saussure?
Vygotskij?
Quale visione della matematica
e dell’apprendimento della
matematica si portano dietro
questi approcci?
Sono
ugualmente
compatibili/coerenti con
Nontutte
mi ritrovo
con la prospettiva
un approccio ermeneutico?
epistemologica
di Peirce (Bagni)
Cosa vuol dire che due teorie o approcci sono
compatibili
o coerenti?
Plenary
Assume l’esistenza
di una (CERME6,
logica oggettiva
Panel
on Theories,
Monaghan)
L’individuo
è una sorta
di astrazione
Epistemologia vs Ermeneutica (Rorty)
“Discorso normale”
condotto all’interno di un sistema condiviso di
convenzioni su cosa sia:
un contibuto rilevante
una risposta ad una domanda
un buon argomento…

“discorso anormale”
condotto in assenza di un tale sistema

Quale discorso?

Qual è il tema del
discorso?





La matematica
(savoir à enseigner)
La matematica
(savoir savant)
La matematica
(savoir de l’élève)
La didattica della
matematica

Chi sono gli attori?
Quali sono le voci?






Allievi
Insegnanti
Artefatti
Ricercatori in didattica
Matematici
Policy-makers
Qual è il contesto del discorso?


La classe
La Scuola
La scuola
La ricerca
Assumere una prospettiva ermeneutica

Chi? In relazione a cosa?





Ricercatori in didattica della matematica rispetto
all’insegnamento/apprendimento della matematica
Ricercatori in didattica della matematica rispetto
alla matematica
Ricercatori in didattica della matematica rispetto
alla ricerca in didattica della matematica
Insegnanti rispetto alla propria attività di
insegnamento
…
Assumere una prospettiva ermeneutica

Chi? In relazione a cosa?





Ricercatori in didattica della matematica rispetto
all’insegnamento/apprendimento della matematica
Ricercatori in didattica della matematica rispetto
alla matematica
Ricercatori in didattica della matematica
rispetto alla ricerca in didattica della
matematica
Insegnanti rispetto alla propria attività di
insegnamento
…
Una prospettiva ermeneutica in/sulla
ricerca in didattica della matematica
Sembra mancare “sistema condiviso di
convenzioni…” che è proprio del “discorso
normale”.
Il discorso in ricerca della didattica della
matematica è anormale.
La prospettiva ermeneutica più che una scelta
appare una necessità.
Possiamo andare oltre?
Una prospettiva ermeneutica in/sulla
ricerca in didattica della matematica
Proliferare di quadri teorici, di approcci…
Frammentazione che mina: il nostro costituirsi
in una comunità, i rapporti con altre comunità
(insegnanti,
matematici,
policy-makers),
l’impatto sul mondo della Scuola.
Molti sforzi si stanno compiendo per affrontare
questa frammentazione.
(CERME 4, 5 e 6; ZDM, 2008; Progetti di ricerca: TELMA, ReMath)
Una prospettiva ermeneutica in/sulla
ricerca in didattica della matematica
l’ermeneutica coglie le relazioni tra i vari
discorsi, come tra le linee di una possibile
conversazione,
una conversazione che non
È necessario
presuppone
matrici
disciplinari comuni ai
riconoscere
l’esistenza
parlanti, dima
fin che
dura mantiene la
contributi
tra loro
speranza
dell’accordo. Questa
speranza non
incommensurabili,
ma
punta alla
di un terreno comune
non scoperta
necessariamente
esistente in incompatibili.
precedenza, ma semplicemente
all’accordo, o almeno a un disaccordo
stimolante e fruttuoso. (Rorty)
Assumere una prospettiva ermeneutica

Chi? In relazione a cosa?





Ricercatori in didattica della matematica
rispetto all’insegnamento/apprendimento della
matematica
Ricercatori in didattica della matematica
rispetto alla matematica
Ricercatori in didattica della matematica rispetto
alla ricerca in didattica della matematica
Insegnanti rispetto alla propria attività di
insegnamento
…
Una prospettiva ermeneutica sulla
matematica ed il suo insegnamento
“contribuirà[anno] ad allontanarci da una
concezione
di
una
matematica
assolutamente “oggettiva” “da tramandare”
Indipendente da:
soggetti, contesto socio-culturale, momento storico
Cosa vuol dire per un
insegnante assumere
una prospettiva
ermeneutica?
Paradigma messo in
discussione non da ora.
Quale alternativa?
Una prospettiva ermeneutica sulla
matematica


allontanarci da una concezione di una
matematica assolutamente “oggettiva”, cioè
di una matematica indipendente da:
soggetto, contesto socio-culturale, momento
storico.
Non esiste una conoscenza “intrinsecamente
corretta”; ogni conoscenza in quanto tale ha
un carattere provvisorio (Balacheff).
Una prospettiva ermeneutica sulla
matematica
M dei Test: PISA,
TIMSS, INVALSI
M dei manuali e
delle case editrici
Matematica come oggetto istituzionalizzato
M degli
educatori
M dei
policy-makers
M dei
matematici
Una prospettiva ermeneutica sulla
matematica
Non si può prescindere da
M dei manuali e
M dei Test: PISA,
questa considerazione.
delle case editrici
TIMSS, INVALSINon esiste una
scelta obbligata.
Non c’è identità di vedute nella
ricerca
internazionale:
Matematica come oggetto
istituzionalizzato
(TDS+IA+ATD vs
Costruzionismo alla Papert)
M degli
educatori
M dei
policy-makers
M dei
matematici
Quale discorso?

Qual è il tema del
discorso?






Chi sono gli attori?
Quali sono le voci?
 Allievi
La matematica
(savoir à enseigner)
 Insegnanti
La matematica
 Artefatti
(savoir savant) Quali costrutti
specifici?
 Ricercatori in didattica
La matematica
 Matematici
(savoirSpecifici
de l’élève)di un approccio
ermeneutico
 Policy-makers
La didattica
della per un’analisi ”più fine”
Strumento
matematica
Qual è il contesto del discorso?


La classe
La Scuola
La scuola
La ricerca
Emergenza di costrutti specifici

Incompatibilità
Incommensurabilità
Irriducibilità

Circolo ermeneutico

Presupposizione
Pre-supposizioni e circolo ermeneutico



L’individuo deve essere considerato in un
dato momento in un dato contesto socio
culturale ed è caratterizzato da proprie presupposizioni.
Tali pre-supposizioni guidano il rapportarsi
dell’individuo con il mondo.
Pre-supposizioni non sono definitive ma
possono essere arricchite, approfondite,
trasformate dal rapporto con il mondo.
Pre-supposizioni

conoscenze anteriori:




si apprende con e contro le proprie conoscenze
anteriori (Castela, Bachelard)
concezioni (ck¢ Balacheff), any knowing has a
provisional character, or rather, any knowing could be
revisited, its domain of validity can be modified as a
result of some perturbation
intuizioni (Fischbein),
discorso matematico ed elementi del discorso
che acquisiscono significato uno dall’altro

discorso della matematica come sistema autopoietico
(Sfard)
Pre-supposizioni e circolo ermeneutico



Strumento di analisi di … ? Strumento di
progettazione di … ?
Per/da chi?
Esempio
Quale livello di granularità?
bacchette cinesi
Un esempio: le bacchette cinesi
Rispetto alla granularità, le pre-supposizioni
possono essere considerate…
da un punto di vista olistico : dicono qualcosa
sull’intero processo di costruzione di
conoscenza?
da un punto di vista analitico: dicono qualcosa
sui processi cognitivi in atto?
Le bacchette cinesi: problema 1



“bisogna toglierli, cavarne più che si può”
“Va bene, sì, ne abbiamo cavati tanti”
“si riesce quando due diventano uguali”
Le bacchette cinesi: problema 1



“bisogna toglierli, cavarne più che si può”
“Va bene, sì, ne abbiamo cavati tanti”
“si riesce quando due diventano uguali”
Assenza concreta delle bacchette
INDICALITÀ
Valutazione dell’assenza di bacchette
ICONICITÀ
Una possibile interpretazione
ASSENZA DI STRATEGIA




“bisogna toglierli, cavarne più che si può”
(prima presupposizione) QUANDO FERMARSI?
“Va bene, sì, ne abbiamo cavati tanti”
(seconda presupposizione) TANTI QUANTI?
“Via i B, con quelli di sopra siamo a posto”
(terza presupposizione - decisiva)
“si riesce quando due diventano uguali”
(quarta presupposizione - generalità)
STRATEGIA EFFICACE
PROBLEMA 1
Le bacchette cinesi: problema 2




“non si può togliere questi da quelli, non ce
ne sono abbastanza lì”
“stavolta ci han dato un esercizio impossibile”
“però se li aumentiamo … con l’altra, si può
moltiplicare questi cioè … sì … finché non
diventano abbastanza”
“bisogna far diventare questo uguale a
questi!”
Una possibile interpretazione
ASSENZA DI STRATEGIA




“non si può togliere questi da quelli, non ce ne sono
abbastanza lì” (prima presupposizione)
COME OPERARE?
“stavolta ci han dato un esercizio impossibile”
(seconda presupposizione)
IMPOSSIBILITÀ?
“però se li aumentiamo … con l’altra, si può
moltiplicare questi cioè … sì … finché non diventano
abbastanza” (terza presupposizione - decisiva)
“bisogna far diventare questo uguale a questi!”
(quarta presupposizione - generalità)
STRATEGIA EFFICACE
PROBLEMA 2
Le bacchette cinesi: riflessioni
Nell’esperienza descritta le potenzialità
dell’artefatto dipendono dalle sue caratteristiche
semiotiche e i dati sperimentali suggerisono
che l’importanza delle bacchette da calcolo (per
gli allievi considerati) è da collegarsi alla loro
notevole componente iconica e a un secondario
aspetto indicale. (p. 73)
TUTTAVIA…
Aspetti importanti: artefatti
(disposizione matriciale - bacchette)



Qual è la trasparenza degli artefatti?
(inizialmente non trasparenti)
Qual è il significato delle trasformazioni
considerate?
(trasformazioni matematiche soggiacenti)
Quale concezione di incognita algebrica e di
equazione emerge?
La trasparenza degli artefatti
the transparency of any instrumental tool is an emergent
phenomenon intricately interwoven with learners’
current activities and participation in specific
practices, such as collaborative inquiry within
classrooms. From this perspective, artifacts become
efficient, relevant, and transparent through their use
and in relation to the transformations that they
undergo in the hands and dialogues of users.
Meira, L. & Peres, F. (2004). A dialogue-based approach for evaluating
educational software. Interacting with Computers, 16(4), 615-633.
Latour (1987) - Lave e Wenger (1991) - Roschelle (1996) - Ainley (2000)
Aspetti importanti: le regole del gioco
(schemi d’uso degli artefatti)



Le possibilità creative del linguaggio vanno
ricercate nel contesto del gioco
Questo gioco ha un ben definito significato
algebrico, per gli studenti?
Lo scopo è quello di abbassare il numero
delle bacchette, ma gli studenti si rendono
conto del significato di ciò?
Artefatti, trasparenza, schemi d’uso
significati
matematici
MATEMATICA
SOGGETTO
RUOLO
INSEGNANTE
ARTEFATTO
Compito / schemi
d’uso
Il pericolo maggiore è che i significati matematici ai quali rimanda
l’uso di un artefatto restino inaccessibili al soggetto
Artefatti, trasparenza, schemi d’uso








Trasparenza degli artefatti
Trasparenza dei compiti pedagogici che coinvolgono gli
artefatti (riflessioni sulla progettazione)
Relazione tra i soggetti e gli artefatti (schemi d’uso)
Relazione tra i soggetti e il compito/problema (scelta degli
schemi d’uso)
Relazione tra i soggetti e la matematica
Relazione tra gli artefatti e la matematica (significati che
emergono dall’uso e significati matematici)
Relazione tra gli artefatti, i soggetti e i segni
Mediazione semiotica (Mariotti, Bartolini Bussi)
Aspetti importanti: Tecnica e tecnologie
… preziosa possibilità di impiegare nuove
tecnologie, sempre più efficienti.
Il rischio, però, è di trovarci di fronte a una
matematica “oggettificata” dalla tecnica, a una
matematica che funziona e che dunque esiste in
assoluto. Per parte nostra, preferiamo rivalutare
una matematica “inventata”, naturalmente
“inventata per uno scopo”, inventata in un
contesto culturale e sociale … (p. 77)
Aspetti importanti: Tecnica e tecnologie


non è solo il caso delle nuove tecnologie che
si porta dietro questo rischio, ma l’uso di
qualsiasi tipo di artefatto
la parola tecnica e la parola tecnologia si
possono allargare agli artefatti in generale (in
cui allora rientrano anche le bacchette cinesi
dell’esempio)
Aspetti importanti:
Procedura oggettualizzata
Aspetti importanti:
Procedura oggettualizzata



Nell’esempio delle bacchette cinesi, si parla
di procedura oggettualizzata
Ma: la procedura è davvero oggettualizzata?
Il rischio non è che sia oggettualizzata dalla
tecnica acquisita grazie alle trasformazioni
operate con le bacchette?
Aspetti importanti:
Procedura oggettualizzata





Quando una procedura è oggettualizzata?
Lo è solo in termini della possibilità di una
sua ri-applicazione nella risoluzione di nuovi
problemi?
Oppure lo è quando si coglie la matematica
ad essa soggiacente?
procedura vs significato
l’acquisizione di una procedura non implica
l’acquisizione dei significati matematici
Aspetti importanti: Iconicità


importanza dell’iconicità per Peirce
diversi tipi di icona: immagini,
diagrammi
metafore,
Aspetti importanti:
Iconicità
Mettendo in moto il meccanismo,




il suo movimento mi prova la proposizione
Esempio del meccanismo di Wittgenstein: anche qui la
rappresentazione è importante. Ma accanto a questa è
Transformational
necessaria l’immaginazione del movimento
(Simon,
1996)
Tra ilSTATICITÀ
funzionamento fisico e laReasoning
proposizione
matematica
si colloca la mediazione della rappresentazione visuale
Immaginazione
(p. 53)
Da DINAMICITÀ
un lato c’è l’immagine della macchina, dall’altro la
Metafore
macchina concreta in cui è incorporato
il contenuto
(Lakoff & Nunez, 2000)
matematico
A fare la differenza è l’evocazione del meccanismo in
movimento, il quale descrive fisicamente la traiettoria
Aspetti importanti: Iconicità




importanza dell’iconicità per Peirce
diversi tipi di icona: immagini, metafore, diagrammi
Secondo Radford, dato che il ruolo epistemologico del
“ragionamento diagrammatico” consiste nel rendere
apparenti alcune relazioni nascoste, esso si collega alle
azioni di oggettualizzazione, e un diagramma può essere
considerato un mezzo semiotico di oggettualizzazione
(pp. 67-68)
mezzo semiotico di oggettualizzazione (objectification
= costruzione di nuova conoscenza)
Aspetti importanti: Iconicità
Aspetti importanti: Iconicità
Contenuti matematici di “livello elevato” (di alto grado
matematico) sembrano meno suscettibili di un efficace
collegamento a segni di tipo iconico, dunque sarebbero
meno iconicamente consistenti. (p. 57)
Che cosa può funzionare
come mezzo semiotico
di oggettificazione?
Gesti?
Artefatti?
Metafore?
Altri tipi di segni?
Aspetti importanti:
Ruolo dell’insegnante
Ogni insegnante sa bene che un allievo ha sempre un
“vissuto” (culturale, ma anche affettivo) che precede
l’esperienza in aula e che influenza in modo a volte
decisivo l’apprendimento. La nostra conclusione è
più generale: rivaluta una posizione attiva del
discente, il quale nel momento interpretativo, un
momento che si rinnova continuamente, costruisce
un senso al sapere in gioco. E l’insegnante è una
figura chiave a tale proposito: deve infatti seguire
questa fase delicatissima con la necessaria
consapevole prudenza.
Aspetti importanti:
Ruolo dell’insegnante
Ogni insegnante sa bene che un allievo ha sempre un
“vissuto” (culturale, ma anche affettivo) che precede
l’esperienza in aula e che influenza in modo a volte
decisivo l’apprendimento. La nostra conclusione è
più generale: rivaluta una posizione attiva del
discente, il quale nel momento interpretativo, un
momento che si rinnova continuamente, costruisce
un senso al sapere in gioco. E l’insegnante è una
figura chiave a tale proposito: deve infatti seguire
questa fase delicatissima con la necessaria
consapevole prudenza.
Aspetti importanti:
Ruolo dell’insegnante





nella progettazione e nell’organizzazione delle
esperienze matematiche per l’allievo (positum)
rispetto al processo di oggettualizzazione /
oggettificazione
nel rendere accessibili i significati matematici (ai
quali rimanda l’uso di artefatti o più in generale)
nel guidare la presa di consapevolezza da parte
degli allievi dei significati emergenti
nel favorire le relazioni tra i significati emergenti
e i significati matematici
Aspetti importanti:
Ruolo dell’insegnante


Quale tipo di analisi sul ruolo dell’insegnante
può fornire un approccio ermeneutico?
Ci sono elementi di analisi specifici?

Le azioni dell’insegnante rispetto alla gestione del
circolo ermeneutico? Se e come interviene? Con
quale obiettivo?
Grazie a tutti per l’attenzione
&
Grazie a Giorgio