Struttura dei dati panel
yit 
Variabile dipendente osservata in N unità in T occasioni
xkit 
K variabili indipendenti osservate in N unità in T occasioni
 it 
Residuo pertinente all’unità i e all’occasione t
Di solito “incolloniamo” i dati:
Var.1
 y11 
y 
Unità 1
 12 
 y1t 
 
 y21 
 y22 
Y  
 y2t 
 . 
 
 yn1 
 
Unità n  yn 2 
 ynt 
 x111
x
 112
 x11t

 x121
 x122
X 
 x12t
 .

 x1n1
x
 1n 2
 x1nt
Var.k
x211
.
x212
.
x21t
.
x221
.
x222
x22t
.
.
.
.
x2 n1
.
x2 n 2
x2 nt
.
.
xk11 
xk 12 
xk1t 

xk 21 
xk 22 

xk 2 t 
. 

xkn1 
xkn 2 

xknt 
 11  Occasione 1
 
 12  Occasione 2
 1t  Occasione t
 
 21 
 22 
  
  2t 
 . 
 
  n1 
 
 n2 
  nt 
Vediamo un esempio:
60
C=40+0.45 R
50
C=30+0.45 R
Consumi
40
30
C=20+0.45 R
20
C=10+0.45 R
10
C=1.5+4.12 R
0
0
5
10
15
Reddito
Stessa “pendenza” diverse “intercette”!!!!
20
25
In altri termini la elasticità del consumo rispetto al reddito
sono le stesse per tutti gli individui,
ciò che cambia è il “punto di partenza, cioè il consumo
che corrisponde ad un reddito 0
I dati sezionali “nascondono” questo fatto:
Sottostimano il “punto di partenza” (l’intercetta)
Sovrastimano l’elasticità (la pendenza)
Vi è Distorsione: essa distorsione si annulla solo se
l’intercetta per ogni individuo è la STESSA
Cioè una stima sezionale ipotizza un MODELLO di
comportamento in cui la parte non spiegata della
relazione (l’intercetta) è la stessa per tutti gli individui
Cioè nega l’ETEROGENEITA’ tra individui
1) E’ venuta alla luce una ipotesi del modello che non era
stata esplicitata: l’omogeneità tra le parti non osservate di
ciascun individuo.
2) Solo una certa configurazione dei dati (osservazioni in
più occasioni) consente di esplicitare ed affrontare
l’eterogeneità
3) Il modo in cui rappresentiamo con dati (simboli) il
fenomeno (modello) hanno una influenza diretta sulle
leggi che regolano il linguaggio (la tecnica ) e quindi
sulle conclusioni
4) Dobbiamo sempre occuparci del processo che ha
generato i dati che può non essere neutrale per il modello
Casistica di non neutralità delle misure.
Consideriamo un collettivo di unità statistiche, il DGP ha tra le sue
caratteristiche più importanti la relazione (se c’è) che lega le
misure effettuate sulle diverse unità. La casistica possibile è
ampia, tra le assunzioni più comuni:
1. Indipendenza (nota e utile, tuttavia un DGP poco verosimile: ad
es: imprese di uno stesso settore, pazienti di una stessa città….)
2. Di solito misure ripetute relative ad una stessa unità sono più
“simili” di quelle tra unità diverse
3. Di solito misure vicine nel tempo e nello spazio tendono ad
essere più simili di quelle più lontane
Un problema dei dati sezionali:
l’eterogeneità non osservata
•Molte caratteristiche individuali non sono osservate, alcune sono
anche non osservabili (es. Capacità imprenditoriale, entusiasmo,
propensione al rischio)
•Queste variano tra gli individui e sono denominate “eterogeneità
non osservata”
•Se queste caratteristiche sono correlate con la variabile di interesse
e/o con le variabili osservate, allora la stima dei coefficienti è
DISTORTA
•DISTORSIONE DA VARIABILE OMESSA.
•I dati di panel consentono di correggere questo BIAS
(digressione sulle variabili omesse)
Supponiamo che il modello “vero” sia (in forma vettoriale):
y  X11  X 2 2  
Se ignoriamo X2

b1  X 1 X 1'
sarà

1

X 1' y  1  X 1 X 1'

Eb1   1  X 1 X

' 1
1

1

X 1' X 2  2  X 1 X 1'

1
X 1'
X 1' X 2  2  1  P1.2  2
La matrice P contiene le pendenze OLS di X2 su X1. Ad esempio nella relazione
consumo   * prezzo   * reddito
sia reddito   * prezzo
ignorando il
reddito :
Eb       
Cov( prezzo , reddito)

Var ( prezzo )
Sulla matrice di var-covar il discorso è più complesso:
X X 
Var (b )   X MX 
con M  I  X X X 
Var (b1 )  
' 1
1
2
1
' 1
1
2
1.2
1
2
2
' 1
2
X 2'
cioè

 1 
1
Varb1   Var (b1.2 ) 1   2  X 1' X 2 X 2 X 2'
 

1
X 2' X 1
Con due variabili:
Var (b1 ) 
2
con
s11
Var (b1.2 ) 
2

s11 1  r122

s11    xi1  x1 
2
con
r122  correl ( x1 x2 )
Distorsione nella stima sia sui coefficienti che sulla Var
Dobbiamo specificare la forma della eterogeneità, ciò implica ipotesi sulla
matrice di varianza-covarianza, cioè sulla struttura dei residui del modello
In generale le varianze dei (residui) del modello non saranno omoschedastiche
saranno caratterizzate da diverse componenti che vanno “scorporate” in modo
ottenere stime corrette.
Questo tipologia di modelli è detta “a componenti di varianza”.
Naturalmente si avranno diversi tipi di modelli a seconda delle ipotesi
sulle componenti di varianza che potranno essere, in prima istanza,
di tipo deterministico o stocastico
Un discorso analogo vale anche per la Covarianza che, però, definisce modelli
Diversi, in gran parte legati alla analisi di serie storiche
Un esempio Costi e produzione di 6 imprese per 4 anni:
I DATI
impresa
1
2
3
4
5
6
t=1
3,5
3,9
19,0
35,2
33,2
73,1
Costi (Y)
Produzione (X)
t=2
t=3
t=4
t=1
t=2
t=3
t=4
4,3
4,6
5,8
214
419
588 1025
5,5
8,1 16,4
696
811 1640 2506
26,0
32,4 44,7 3202 4802 5821 9275
51,1
61,0 77,9 5668 7612 10206 13702
40,0
43,1 57,7 6000 8222 8484 10004
98,8 138,9 191,6 11796 15551 27218 30958
LOGARITMI:
impresa
1
2
3
4
5
6
t=1
1,25
1,35
2,95
3,56
3,50
4,29
Costi (Y)
t=2
t=3
1,45 1,52
1,71 2,10
3,26 3,48
3,93 4,11
3,69 3,76
4,59 4,93
t=4
1,77
2,80
3,80
4,36
4,06
5,26
Produzione (X)
t=1
t=2
t=3
t=4
5,37 6,04
6,38 6,93
6,55 6,70
7,40 7,83
8,07 8,48
8,67 9,14
8,64 8,94
9,23 9,53
8,70 9,01
9,05 9,21
9,38 9,65 10,21 10,34
Adattiamo un modello lineare:
OLS: a=-4.18
b=0.89
ln(Y)=a+bln(X)+
Var=0.04
r²=0.98
7
6
5
Impr.1
Impr.2
4
Impr.3
Impr.4
3
Impr.5
Impr.6
Stima
2
1
0
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Abbiamo una PRIMA stima del modello quindi possiamo stimare i residui
eˆi ,t  yi ,t    xi ,t
E dai residui Varianze individuali e correlazioni
Ovviamente dobbiamo ipotizzare una “forma” per Varianze e Covarianze
IPOTESI:
Per le varianze individuali: Costanti nel tempo
Per le correlazioni: processo AR(1)
• Sotto queste ipotesi la stima è possibile mediando (rispetto al tempo)
i quadrati dei residui per ogni individuo
T
 i2 
2
ˆ
e
 it
t 1
T
•Calcolando l’autocorrelazione con lag=1
 eˆ
T

eˆ
i ,t i ,t 1
t 2
 eˆ 
T
t 2
2
i ,t

Consideriamo i residui per per ciascuna impresa:
t=1
t=2
t=3
t=4
t=1
t=2
t=3
t=4
t=1
t=2
t=3
t=4
t=1
t=2
t=3
t=4
t=1
t=2
t=3
t=4
t=1
t=2
t=3
t=4
y
x
1,25 5,37
1,45 6,04
1,52 6,38
1,77 6,93
1,35 6,55
1,71 6,70
2,10 7,40
2,80 7,83
2,95 8,07
3,26 8,48
3,48 8,67
3,80 9,14
3,56 8,64
3,93 8,94
4,11 9,23
4,36 9,53
3,50 8,70
3,69 9,01
3,76 9,05
4,06 9,21
4,29 9,38
4,59 9,65
4,93 10,21
5,26 10,34
y*
0,65
1,23
1,53
2,02
1,68
1,81
2,43
2,81
3,02
3,38
3,54
3,96
3,52
3,78
4,04
4,30
3,57
3,84
3,88
4,02
4,17
4,41
4,90
5,01
e
-0,60
-0,22
0,01
0,25
0,33
0,10
0,33
0,01
0,07
0,12
0,06
0,16
-0,04
-0,15
-0,07
-0,06
0,07
0,15
0,12
-0,04
-0,12
-0,18
-0,03
-0,25
Var
correl
0,13
0,99
0,03
-0,95
0,00
-0,92
0,00
-0,62
0,01
-0,25
0,01
-0,95
Scopriamo che le varianze per impresa sono diverse cioè c’è eteroschedasticità:
(significatività test F per l’uguaglianza delle varianze)
impresa1 impresa2
impresa3 impresa4 impresa5 impresa6 overall
impresa1
1,000
0,225
0,006
0,007
0,039
0,050
0,083
impresa2
0,225
1,000
0,060
0,069
0,307
0,369
0,828
impresa3
0,006
0,060
1,000
0,934
0,317
0,262
0,029
impresa4
impresa5
0,007
0,039
0,069
0,307
0,934
0,317
1,000
0,356
0,356
1,000
0,295
0,894
0,034
0,176
impresa6
0,050
0,369
0,262
0,295
0,894
1,000
0,220
E che le autocorrelazioni tra i residui della stessa impresa sono MOLTO diverse da 0
impresa1
0,99
impresa2
-0,95
impresa3
-0,92
impresa4
impresa5
-0,62
-0,25
impresa6
-0,95
Infatti se utilizziamo GLS (con stima elementare della matrice Var/covar)
(varianze residui sulla diagonale e AR1 nei blocchi di impresa)
0,05
0,83
0,69
0,48
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,83
0,05
0,83
0,69
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,69
0,83
0,05
0,83
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,48
0,69
0,83
0,05
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,39
0,99
0,98
0,96
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,99
0,39
0,99
0,98
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,98
0,99
0,39
0,99
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,96
0,98
0,99
0,39
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,13
0,98
0,96
0,92
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,98
0,13
0,98
0,96
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,96
0,98
0,13
0,98
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,92
0,96
0,98
0,13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,11
0,96
0,92
0,84
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,96
0,11
0,96
0,92
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,92
0,96
0,11
0,96
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,84
0,92
0,96
0,11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0,05
0,82
0,68
0,46
0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,82
0,05
0,82
0,68
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,68
0,82
0,05
0,82
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,46
0,68
0,82
0,05
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,18
1,00
1,00
1,00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,00
0,18
1,00
1,00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,00
1,00
0,18
1,00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,00
1,00
1,00
0,18
Otteniamo stime diverse per i coefficienti:
a= -5.91 b=1.10
NB. Non è stima FGLS! Dimostra solo che
i residui non sono omoschedastici e incorrelati
A questo punto dobbiamo modificare il modello semplice:
Formuliamo una ipotesi di dipendenza:
yit  f ( x1it , x2it ,..., xkit )
Sviluppiamo un modello: (a componenti di varianza)
yit   0  1 x1it   2 x2it  ...   k xkit   it
Variabili
esplicative
 it  i  uit
Componente individuale
Costante nel tempo
uit ~ N (0,  u2 )
Errore “Composto”
Diversi modi per specificare l’errore
(ce ne sono altri…)
 it  i  uit
Effetto
Individuale
Effetto
temporale
 it  i  t  uit
Errore
casuale
Effetto individuale
Due possibilità di trattamento (due dgp):
• Effetti FISSI: i sono constanti e vengono trattati come una
intercetta
yit   0  i   1 x1it   2 x2it  ...   k xkit  uit
• Effetti CASUALI: i sono estrazioni da una distribuzione di
probabilità data e diventano componenti stocastiche dell’errore,
cioè i i hanno una “loro” varianza
yit   0  1 x1it   2 x2it  ...   k xkit   it
yit   0  1 x1it   2 x2it  ...   k xkit  (i  uit )
Stima per effetti FISSI
1.
Eliminazione dei i:(scarti dalla media – stimatore “within”)
( yit  yi )   xit  xi    it   i 
ma
2.
 it   i   i  uit   i  ui   i  i  uit  ui 
Eliminazione dei i:(punti medi – stimatore “between”)
yi  xi   i
N.B. Perdita di osservazioni – minore efficienza
Stima delle intercette individuali:
Least Square Dummy Variables (LSDV)
I metodi di eliminazione non stimano i i,cioè non forniscono una
misura delle caratteristiche non osservate.
Se si è interessati alla stima dei i è necessario adottare un altro
stimatore.:
 y11 
y 
 12 
 y1t 
 
 y21 
 y22 
Y  
 y2t 
 . 
 
 yn1 
y 
 n2 
 ynt 
1
1

1

0
0
X 
0


0
0

0
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0
.
0 1
0 1
0 1
x211 . xk11 
x212 . xk12 
x21t . xk1t 

x221 . xk 21 
x222 . xk 22 

x22t . xk 2t 
. 
.
.

x2 n1 . xkn1 
x2 n 2 . xkn 2 

x2 nt . xknt 
  11 
 
 12 
  1t 
 
 21 
 22 
  
  2t 
 . 
 
  n1 
 
 n2 
  nt 
Riassumendo: EFFETTI FISSI
4 stimatori
overall
yit   0  xit   it
within ( yit  yi )   xit  xi   uit
between yi  xi   i
LSDV
yit   0  i  xit  uit
Stimatore "overall"
70
y = 3,4975x + 6,2438
2
R = 0,8331
60
50
y
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
x
12
14
16
18
Stimatore "overall" RESIDUI
20
15
10
y residuo
5
ind1
ind2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
ind3
ind4
-5
-10
-15
-20
x
Stimatore "within"
5
y = 0,7691x + 7E-16
4
R2 = 0,5272
3
2
1
y
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
1
2
3
4
5
Stimatore "within" RESIDUI
4
3
2
1
y
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
x
1
2
3
4
5
Stimatore "beetween"
60
y = 4,1195x + 1,5372
R2 = 0,9927
50
y
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
x
10
12
14
Stimatore "LSDV"
60
50
y
40
30
Y= 10,6+0,77 X +10,6 ind2 +21,6 ind3 +32,7 ind4
r²=0,99
20
10
0
0
2
4
6
8
10
x
12
14
16
18
Stimatore "LSDV residui"
4
3
2
y
1
0
0
2
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
x
12
14
16
18
I coefficienti della X
Overall
3.4974
Within
0.7691
Between
4.1195
LSDV
0.7691
2 considerazioni:
1. LSDV=Within
2. Overall = media ponderata (within e between)
Esempio e test di ipotesi
NB. Dati lievemente diversi
Rispetto all’esempio precedente
I DATI
impresa
1
2
3
4
5
6
t=1
3,2
3,9
19,0
35,2
33,2
73,1
Costi (Y)
Produzione (X)
t=2
t=3
t=4
t=1
t=2
t=3
t=4
4,3
4,6
5,8
214
419
588 1025
5,5
8,1 11,0
696
811 1640 2506
26,0
32,4 41,2 3202 4802 5821 9275
51,1
61,0 77,9 5668 7612 10206 13702
40,0
43,1 57,7 6000 8222 8484 10004
98,8 138,9 191,6 11796 15551 27218 30958
LOGARITMI:
impresa
1
2
3
4
5
6
t=1
1,15
1,35
2,95
3,56
3,50
4,29
Costi (Y)
t=2
t=3
1,45 1,52
1,71 2,10
3,26 3,48
3,93 4,11
3,69 3,76
4,59 4,93
t=4
1,77
2,39
3,72
4,36
4,06
5,26
Produzione (X)
t=1
t=2
t=3
t=4
5,37 6,04
6,38 6,93
6,55 6,70
7,40 7,83
8,07 8,48
8,67 9,14
8,64 8,94
9,23 9,53
8,70 9,01
9,05 9,21
9,38 9,65 10,21 10,34
MEDIE:
impresa
1
2
3
4
5
6
Totale
Costi
1,47
1,89
3,35
3,99
3,75
4,77
3,20
Produzione
6,18
7,12
8,59
9,08
8,99
9,89
8,31
SCARTI DI CIASCUNA IMPRESA RISPETTO ALLA SUA MEDIA DEI TEMPI:
impresa
1
2
3
4
5
6
t=1
-0,32
-0,54
-0,40
-0,43
-0,25
-0,48
Costi (Y)
t=2
t=3
-0,02 0,05
-0,18 0,21
-0,09 0,13
-0,06 0,12
-0,06 0,01
-0,17 0,17
t=4
0,29
0,51
0,37
0,36
0,30
0,49
Produzione (X)
t=1
t=2
t=3
-0,81 -0,14 0,20
-0,57 -0,42 0,28
-0,52 -0,11 0,08
-0,44 -0,15 0,15
-0,29
0,02 0,05
-0,52 -0,24 0,32
t=4
0,75
0,71
0,55
0,44
0,22
0,45
CALCOLO DEGLI RSS
impresa
1
2
3
4
5
6
totale
Wxx,i
Wxy,i
Wyy,i
beta.i
alfa,i
RSS,i
1,2877
1,0869
0,5850
0,4326
0,1368
0,6276
4,1566
0,4974
0,8001
0,4304
0,3762
0,1391
0,5596
2,8027
0,1941
0,6201
0,3233
0,3346
0,1592
0,5226
2,1539
0,3863
0,7361
0,7357
0,8697
1,0164
0,8916
0,6743
-0,9143
-3,3518
-2,9673
-3,9095
-5,3873
-4,0538
0,0019
0,0311
0,0067
0,0074
0,0178
0,0237
Beta(i)= Wxy,i / Wxx,i
Alfa(i)=E(Y)-Beta(i)*E(X)
RSS(i)= Wyy,i -Beta(i)* Wxy,i
Stima senza intercette individuali:
Si effettua utilizzando gli scarti rispetto alla media GENERALE
SCARTI RISPETTO ALLA MEDIA TEMPI-INDIVIDUI (overall mean):
impresa
1
2
3
4
5
6
t=1
-2,06
-1,85
-0,26
0,36
0,30
1,09
Txx
42,633
Costi (Y)
t=2
t=3
-1,75 -1,68
-1,49 -1,11
0,06 0,28
0,73 0,91
0,49 0,56
1,39 1,73
Txy
37,858
Tyy
34,633
t=4
-1,44
-0,81
0,51
1,15
0,85
2,05
t=1
-2,94
-1,76
-0,24
0,33
0,39
1,07
Produzione (X)
t=2
t=3
-2,27 -1,93
-1,61 -0,91
0,17 0,36
0,63 0,92
0,71 0,74
1,34 1,90
beta
0,888
alfa
-4,175
t=4
-1,38
-0,48
0,83
1,22
0,90
2,03
rss
1,015
Definiamo 3 stime corrette di RSS secondo tre ipotesi di modello
S1   RSS i  0,0887
Somma quadrati residui «individuali» - within
i


S 2   W yy ,i   Wxy ,i   Wxx ,i 
i
i
 i



S 3   Tyy ,i   Txy ,i   Txx ,i 
i
i
 i

N 6
T 4
K 2
1
1
W
xy ,i
 0,2641
Dev. «spiegata» - between
i
T
xy ,i
i
 1,0152
Dev. Totale
Rapportando le Varianze (test F), possiamo «testare» 3 ipotesi :
H 3 : 1   2  ....   6
1   2  ....   6
H1 : 1   2  ....   6
H 4 : 1   2  ....   6
datoH1 : 1   2  ....   6
I test (F)

S 3  S1 / N  1K  1
F3 
 4,18(0,043)
S1 / NT  N K  1
H 3 : 1   2  ....   6
1   2  ....   6

S 2  S1 / N  1K 
F1 
 1,19(0,435)
S1 /  NT  N K  1
H1 : 1   2  ....   6
F4 
S 3  S 2 /N  1  9,10(0,0003)
S 2 /  N (T  1  K 
H 4 : 1   2  ....   6
datoH1 : 1   2  ....   6
Il TEST dice che le PENDENZE non sono significativamente diverse
mentre lo sono le INTERCETTE
Il modello più appropriato è del tipo:
yit   i  xit   it
Costi e produzione (log per anno)
6
5
4
impresa 1
ln(costi)
impresa 2
impresa 3
3
impresa 4
impresa 5
impresa 6
2
1
0
5
6
7
8
ln(produzione)
9
10
11
Stima intercette variabili – Effetti fissi
Matrici:
Y
costi
1,15
1,45
1,52
1,77
1,35
1,71
2,10
2,39
2,95
3,26
3,48
3,72
3,56
3,93
4,11
4,36
3,50
3,69
3,76
4,06
4,29
4,59
4,93
5,26
matrice
X
dummy 1 dummy 2 dummy 3 dummy 4 dummy 5 dummy 6 prod
1
0
0
0
0
0
5,37
1
0
0
0
0
0
6,04
1
0
0
0
0
0
6,38
1
0
0
0
0
0
6,93
0
1
0
0
0
0
6,55
0
1
0
0
0
0
6,70
0
1
0
0
0
0
7,40
0
1
0
0
0
0
7,83
0
0
1
0
0
0
8,07
0
0
1
0
0
0
8,48
0
0
1
0
0
0
8,67
0
0
1
0
0
0
9,14
0
0
0
1
0
0
8,64
0
0
0
1
0
0
8,94
0
0
0
1
0
0
9,23
0
0
0
1
0
0
9,53
0
0
0
0
1
0
8,70
0
0
0
0
1
0
9,01
0
0
0
0
1
0
9,05
0
0
0
0
1
0
9,21
0
0
0
0
0
1
9,38
0
0
0
0
0
1
9,65
0
0
0
0
0
1
10,21
0
0
0
0
0
1
10,34
x'x
4
0
0
0
0
0
24,71
0
4
0
0
0
0
28,47
0
0
4
0
0
0
34,35
0
0
0
4
0
0
36,34
0
0
0
0
4
0
35,97
0
0
0
0
0
4
39,58
24,71 28,47 34,35 36,34 35,97 39,58 1699,72
x'y
5,89
7,55
13,40
15,96
15,01
19,07
676,78
(x'x)-1x'Y
-2,694
-2,912
-2,440
-2,134
-2,311
-1,904
0,674
x'x-1
9,43
10,58
12,77
13,50
13,37
14,71
-1,49
10,58
12,44
14,71
15,56
15,40
16,94
-1,71
a1
a2
a3
a4
a5
a6
beta
12,77
14,71
17,99
18,77
18,58
20,44
-2,07
13,50
15,56
18,77
20,10
19,65
21,62
-2,19
13,37
15,40
18,58
19,65
19,71
21,41
-2,16
14,71
16,94
20,44
21,62
21,41
23,80
-2,38
-1,49
-1,71
-2,07
-2,19
-2,16
-2,38
0,24
DIAGNOSTICA:
impresa Tempo Costi Costi
residuo
(i)
(t) osservati stimati
Ai
beta prod residuo ^2
1
1
1,149 0,925 -2,694 0,674 5,366 0,224 0,050
1
2
1,452 1,378 -2,694 0,674 6,038 0,074 0,006
1
3
1,523 1,606 -2,694 0,674 6,377 -0,084 0,007
1
4
1,766 1,981 -2,694 0,674 6,932 -0,215 0,046
2
1
1,350 1,502 -2,912 0,674 6,545 -0,151 0,023
2
2
1,711 1,605 -2,912 0,674 6,698 0,106 0,011
2
3
2,095 2,080 -2,912 0,674 7,402 0,016 0,000
2
4
2,395 2,365 -2,912 0,674 7,826 0,029 0,001
3
1
2,946 3,003 -2,440 0,674 8,072 -0,056 0,003
3
2
3,260 3,276 -2,440 0,674 8,477 -0,016 0,000
3
3
3,480 3,406 -2,440 0,674 8,669 0,074 0,005
3
4
3,718 3,720 -2,440 0,674 9,135 -0,002 0,000
4
1
3,562 3,693 -2,134 0,674 8,643 -0,131 0,017
4
2
3,934 3,892 -2,134 0,674 8,937 0,042 0,002
4
3
4,112 4,090 -2,134 0,674 9,231 0,022 0,000
4
4
4,355 4,288 -2,134 0,674 9,525 0,067 0,004
5
1
3,501 3,555 -2,311 0,674 8,700 -0,054 0,003
5
2
3,690 3,767 -2,311 0,674 9,015 -0,078 0,006
5
3
3,764 3,789 -2,311 0,674 9,046 -0,025 0,001
5
4
4,056 3,900 -2,311 0,674 9,211 0,156 0,024
6
1
4,291 4,418 -1,904 0,674 9,376 -0,127 0,016
6
2
4,594 4,605 -1,904 0,674 9,652 -0,011 0,000
6
3
4,934 4,982 -1,904 0,674 10,212 -0,048 0,002
6
4
5,255 5,069 -1,904 0,674 10,340 0,186 0,035
RSS=
gdl= NT-N-K
S^2
0,2640619
17
0,0155331
Lo SQM dei coefficienti è la radice della diagonale di S^2 (X’X)-1
Matrice di var-covar dei coefficienti
0,147
0,164
0,198
0,210
0,208
0,228
-0,023
0,164
0,193
0,228
0,242
0,239
0,263
-0,027
SQM dei coefficienti
a1
a2
a3
a4
a5
a6
beta
0,383
0,440
0,529
0,559
0,553
0,608
0,061
0,198
0,228
0,280
0,292
0,289
0,318
-0,032
0,210
0,242
0,292
0,312
0,305
0,336
-0,034
0,208
0,239
0,289
0,305
0,306
0,333
-0,034
0,228
0,263
0,318
0,336
0,333
0,370
-0,037
-0,023
-0,027
-0,032
-0,034
-0,034
-0,037
0,004
Calcolo di R2 per il modello con intercette variabili:

R 2  1   ei2 /  yi2  N y 2

R 2  1  0,2640 / 280,94  246,34  0,992375
Per il modello con unica intercetta:
R 2   2Txx / Tyy
R 2  (0,888) 2 42,633 / 34,632  0,970686
TEST PER LA SIGNIFICATIVITA’ DELLE INTERCETTE
USUALE test t:
a1
a2
a3
a4
a5
a6
beta
coeff.
-2,694
-2,912
-2,440
-2,134
-2,311
-1,904
0,674
sqm
0,383
0,440
0,529
0,559
0,553
0,608
0,061
test t
-7,037
-6,624
-4,615
-3,820
-4,177
-3,130
11,030
IL TEST DICE CHE LE INTERCETTE SONO SIGNIFICATIVAMENTE
DIVERSE DA 0
MA E’ PIU’ APPROPRIATO VALUTARE SE TUTTE LE INTERCETTE
SONO DIVERSE DA UN QUALCHE VALORE FISSATO (INTERCETTA
COMUNE)
VALUTIAMO L’INCREMENTO DI VARIANZA SPIEGATA TRA IL
MODELLO CON UNICA INTERCETTA (r) E QUELLO NON RISTRETTO
(6 INTERCETTE)
F( N 1, NT  N  K ) 
F(5,17)
( Ru2  R p2 ) /( N  1)
(1  Ru2 ) /( NT  N  K )
(0,9924  0,9707) / 5

 9,708 (0,00016)
(1  0,9924) / 17
L’INCREMENTO DI SPIEGAZIONE E’ SIGNIFICATIVO
INFATTI i.v. PREVEDE “MEGLIO”
valori previsti e osservati
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0,000
5,000
6,000
7,000
Costi osservati
8,000
stime I.V.
9,000
stime Pooled
10,000
11,000
INSERIAMO UN EFFETTO VARIABILE NEL TEMPO E COSTANTE TRA GLI INDIVIDUI:
La matrice X si modifica così (vanno inseriti T-1 effetti tempo per evitare perfetta col linearità e quin
i coeff vanno letti come contrasti rispetti a t=1)
yit   i   t  xit   it
E
impr. 1 impr. 2 impr. 3 impr. 4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
impr. 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
impr. 6 anno 2 anno 3 anno 4
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
prod
5,37
6,04
6,38
6,93
6,55
6,70
7,40
7,83
8,07
8,48
8,67
9,14
8,64
8,94
9,23
9,53
8,70
9,01
9,05
9,21
9,38
9,65
10,21
10,34
COEFF
-0,035
0,197
1,374
1,917
1,696
2,536
0,238
0,380
0,587
0,195
RSS=
gdl= NT-N-K
S^2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
t2
t3
t4
beta
0,12248064
17
0,00720474
VAR/COVAR COEFFICIENTI
0,458
0,532
0,650
0,690
0,683
0,755
0,027
0,056
0,083
-0,081
0,532
0,622
0,758
0,804
0,796
0,881
0,032
0,065
0,097
-0,094
0,650
0,758
0,928
0,984
0,973
1,077
0,039
0,080
0,119
-0,115
0,690
0,804
0,984
1,046
1,033
1,143
0,042
0,085
0,126
-0,122
0,683
0,796
0,973
1,033
1,024
1,131
0,041
0,084
0,125
-0,121
0,755
0,881
1,077
1,143
1,131
1,253
0,046
0,093
0,138
-0,133
0,027
0,032
0,039
0,042
0,041
0,046
0,004
0,005
0,006
-0,005
0,056
0,065
0,080
0,085
0,084
0,093
0,005
0,010
0,012
-0,010
0,083
0,097
0,119
0,126
0,125
0,138
0,006
0,012
0,018
-0,015
-0,081
-0,094
-0,115
-0,122
-0,121
-0,133
-0,005
-0,010
-0,015
0,014
E quindi...
a1
a2
a3
a4
a5
a6
t2
t3
t4
beta
coeff.
-0,035
0,197
1,374
1,917
1,696
2,536
0,238
0,380
0,587
0,195
sqm
0,677
0,788
0,964
1,023
1,012
1,119
0,065
0,097
0,134
0,119
test t
-0,051
0,250
1,425
1,874
1,677
2,266
3,683
3,899
4,381
1,635
R2= 0,996463
Migliore del precedente??? In generale SI’
valori assoluti dei residui
0,6
0,5
0,4
residuo ti
0,3
residuo ai
0,2
residuo pooled
0,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
-0,1
osse r v a z i oni ( i , t )
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Ma se volessi stimare i valori medi….
Per impresa
Residui calcolati sui valori m edi per im presa
0,2
0,15
0,1
0,05
residui
0
1
2
3
4
-0,05
5
6
residuo ti
residuo ai
residuo pooled
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
-0,3
im presa
TOGLIENDO IL “POOLED”
zoom sui Residui calcolati sui valori m edi per im presa
5E-12
0
1
2
3
4
5
6
residui
-5E-12
residuo ti
residuo ai
-1E-11
-1,5E-11
-2E-11
im presa
I TEMPI FANNO PEGGIORARE LA STIMA
Valori medi per anno…….
valori assoluti residui
0,08
0,06
0,04
residui
0,02
residuo ti
0
1
2
3
-0,02
4
residuo ai
residuo pooled
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
anni
QUI, OVVIAMENTE, SONO LE INTERCETTE VARIABILI CHE PREVEDONO PEGGIO