1
La lezione di oggi
La densità
La pressione
L’equazione di continuità
Il teorema di Bernoulli
Stenosi e aneurismi
2

Densità, pressione

La portata di un condotto

Il teorema di Bernoulli

Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

Stenosi e aneurisma

Pressione del sangue
3
La Densità
La densità è definita come
m
ρ
V
 Dimensioni: [ML-3]
 Unità di misura SI: kg/m3
Sostanza
Ari
a
Densità
(kg/m3)
1.29
Polistirolo Olio
espanso d’oliva
~30
920
Acqua
di mare
Alluminio
Ferro
Oro
1025
2700
7860
19300
4
La Pressione
La pressione è definita come
F forza
P 
A area
 Dimensioni: [MLT-2][L-2]=[ML-1T-2]
 Unità di misura SI: Pa (pascal) = N/m2
Esempio:
Calcolare la pressione esercitata sulla pelle, quando si preme con una forza
di 3 N con un dito (sezione = 10-4 m2) e con un ago ipodermico (sezione =
210-7 m2)
3N
4

3

10
Pa
4
2
10 m
3N
7


1.5

10
Pa
7
2
2  10 m
Pdito 
Pago
5
Attenzione!
Area grande = Pressione piccola
6
Quale forza devo usare ?
F
F
S
Nel calcolo della pressione, devo sempre usare la
componente della forza
perpendicolare (normale) alla superficie
7
Il fluido esercita sul corpo...
... una forza uguale
in ogni direzione e
perpendicolare alla superficie
8
Pressione atmosferica
E’ la pressione esercitata dalla colonna di aria
(atmosfera) che sta sopra di noi
Patm =1.013×10 Pa = 101 kPa = 1.01 bar = 1 atm
5
N.B. 1 bar º10 Pa
5
La pressione
atmosferica agisce
in modo uguale
in tutte le direzioni
9
La pressione
relativa
Patmosferica
Pinterna
Pressione interna: pressione
assoluta
Pressione relativa:
differenza tra
pressione interna e
pressione atmosferica
Prel  P - Patm
10
Esercizio
Qual è la pressione assoluta all’interno di un
pneumatico gonfiato ad una pressione relativa di 2 atm
p ass  p atm  p rel  1 atm  2 atm  3 atm  3 1.01105 Pa
La pressione prescritta dalla casa costruttrice (quella che si legge
sulla colonnina) è la pressione relativa
11

Densità, pressione

La portata di un condotto

Il teorema di Bernoulli

Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

Stenosi e aneurisma

Pressione del sangue
12
Oggi lavoreremo con:
• Fluido perfetto
(incomprimibile, non viscoso)
• Condotto rigido
• Moto stazionario (vedi)
Conservazione
dell’energia
meccanica
• Flusso laminare (vedi)
Portata di un condotto
Volume di liquido che attraversa una sezione (A) nell’unità di tempo
A
S
Dx = v·Dt
V S  Δx S  v  Δt

 S v
Q 
Δt
Δt
Δt
Unità di misura (S.I.):
m3/s
13
Equazione di continuità
In regime di moto stazionario, la
portata è la stessa in ogni sezione
del condotto
S1
v1
S2
v2
Q  S  v  costante
La sezione aumenta,
la velocità diminuisce
Esempi
o
Q = 100 cm3 s–1
La sezione diminuisce,
la velocità aumenta
SA = 5 cm2
vA = 20 cm s–1
SB = 1.25 cm2
vB = 80 cm s–1
14

Densità, pressione

La portata di un condotto

Il teorema di Bernoulli

Applicazioni dell’equazione di
Bernoulli

Stenosi e aneurisma
15
Il teorema di Bernoulli
Liquido perfetto
(incomprimibile, non viscoso)
Condotto rigido
Moto stazionario
Flusso laminare
Ci sono soltanto
la forza
gravitazionale e le
forze di pressione
Il lavoro compiuto dalle forze di pressione vale
L  F1 Dx1 - F2 Dx 2  p1 A1 Dx1 - p 2 A 2 Dx 2  p1 V1 - p 2 V2  (p1 - p 2 ) V
N.B. V1 = V2 = V per l’equazione di continuità
16
Intermezzo: lavoro e
energia meccanica

Per il teorema dell’energia cinetica il lavoro fatto dalla
risultante delle forze che agiscono su un oggetto vale

La risultante delle forze è la somma vettoriale della
risultante delle forze conservative (FC)eventualmente
presenti e della risultante delle altre forze (F). Il lavoro
compiuto dalla risultante delle forze conservative è uguale e
opposto alla variazione di energia potenziale (LC=-DU).
Quindi:

Il lavoro compiuto dalle forze F è pari alla variazione
dell’energia meccanica totale
17
Il teorema di Bernoulli
1
DE  mg (y 2 - y1 )  m (v 22 - v12 )
2
variazione
energia potenziale
variazione
energia cinetica
18
Dopo qualche passaggio...
L  DE
1
(p1 - p 2 ) V = mg (h 2 - h1 ) +
m (v 22 - v12 )
2
Divido entrambi i membri per V
m/V = r
densità
m
1 m 2
(p1 - p 2 ) =
g (h 2 - h1 ) +
(v 2 - v12 )
V
2 V
1
2
2
(p1 - p 2 ) = r g (h 2 - h1 ) +
r (v 2 - v1 )
2
1
1
2
rgh1 + r v1 + p1 = rgh 2 + r v 22 + p2
2
2
19
Il teorema di Bernoulli
1
2
rgh  r v  p  costante
2
Energia
potenziale mgh
per unità di
volume
Energia
cinetica ½mv2
per unità di
volume
Lavoro delle forze
di pressione per
unità di volume
Divido entrambi i membri per rg
2
v
p
h

 costante
2g rg
altezza
geometrica
altezza
cinetica
altezza
piezometrica
20

Densità, pressione

La portata di un condotto

Il teorema di Bernoulli

Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

Stenosi e aneurisma

Pressione del sangue
21
Legge di Stevino
(effetto del peso del fluido)
1
1
2
rgh 1  r v1  p1  rgh 2  r v 22  p 2
2
2
y
Il fluido è in quiete
p 2  p1  rg (h 1 - h 2 )  p1  rgh
h1
h2
p tot  p atm  rgh
pressione idrostatica
In un fluido in equilibrio, la pressione interna
dipende solo dalla profondità h
22
Il barometro
Patm  0  rgh  rgh
h acqua
h mercurio
Patm
1.013  10 5 Pa


 10 m
3
-3
-2
rg (10 kg  m ) (9.8 ms )
Patm
1.013  10 5 Pa


 0.76 m
4
-3
-2
rg (1.3595  10 kg  m ) (9.8 ms )
Unità di misura della pressione
atmosferica:
1 Torr = 1 mmHg
23
Esercizio
Qual è la pressione (assoluta e relativa) esercitata su un nuotatore
che nuota 5 m sotto la superficie di un lago ?
p tot  p atm  rgh  1.01  10 5 Pa  (10 3 kg m -3 )  (9.8 m s -2 )  (5 m)
 1.50  10 5 Pa  1.5 atm
Ogni 5 m di profondità in acqua, si è sottoposti a una pressione
aggiuntiva di 0.5 atm
passoluta = 1.5 atm
prelativa = 0.5 atm
24
Il principio di
Archimede
Forza verso il basso
F1  P1  A  P1  L2
Forza verso l’alto
F2  P2  A  P2  L2
P2  P1  rgL
F2  (P1  rgL)  L2  P1L2  rgL3  F1  rgL3
F2 - F1  FArchimede  rgV
Attenzione !!!
• la densità è quella del fluido!
• il corpo deve essere totalmente
immerso
La Forza di Archimede agisce sul centro geometrico del volume immerso!
25
Quest’ uovo è fresco…
FA
CM(VH20) ≡ CM(uovo)
W
FA
…e questo no
CM(VH20) ≠ CM(uovo)
W
26
Legge di Torricelli
1
y
S
h2 è uguale a 0 per
costruzione (origine
dell’asse y)
h
v
2
1
1
2
rgh 1  r v1  p1  rgh 2  r v 22  p 2
2
2
La superficie
libera dell’acqua è
immobile
1
2
rgh 1  r v 2
2
La pressione esterna
è uguale per i 2
punti (patmosferica)
semplifico r
1 2
gh 1  v 2
2
Identica alla velocità di
un grave che cade da
un’altezza h
v 2  2gh 1
27

Densità, pressione

La portata di un condotto

Il teorema di Bernoulli

Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

Stenosi e aneurisma

Pressione del sangue
28
Applicazione dell’equazione di Bernoulli
La stenosi
S1
h1 = h2
S2
v1
v2
Q = costante
S1 v1 = S2 v2
S2 < S1
v2 > v1
Applicando il teorema di Bernoulli (h1
1
1
2
2
p1  ρ v1  p 2  ρ v 2
2
2
v2 > v1
= h2):
p2 < p1
la stenosi tende a peggiorare
29
L’aneurisma
S2
S1
v1
Q = costante
S1 v1 = S2 v2
v2
S2 > S1
v2 < v1
Applicando il teorema di Bernoulli (h1 = h2):
1
1
2
p1  ρ v1  p 2  ρ v 22
2
2
v2 < v1
p2 > p1
L’aneurisma tende a peggiorare
30

Densità, pressione

La portata di un condotto

Il teorema di Bernoulli

Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

Stenosi e aneurisma

Pressione del sangue
31
Effetti della pressione idrostatica
Misuro la pressione in 3 grandi arterie
y
(testa, cuore, piedi)
Faccio l’approssimazione che la sezione
delle 3 arterie sia ~ uguale
htesta
hcuore
rgh 
1
r v 2  p  costante
2
v cuore  v testa  v piedi
hpiedi = 0
p piedi - p cuore  rgh cuore
p testa  p cuore  rgh cuore - rgh testa
32
Effetti della pressione idrostatica
y
p piedi - p cuore  (10 3 kg m3 )  (9.8 m s -2 )  (1.3 m) 
htesta
hcuore
1.3  10 4 Pa  101 mm Hg
p testa - p cuore  (10 3 kg m 3 )  (9.8 m s -2 )  ( 1.3 m - 1.7 m) 
 - 4. 2  10
3
Pa  - 31 mm Hg
33
Applicazione dell’equazione di Bernoulli
La fleboclisi
y
h
p cannula  p atmosferic a  ρ g h
36
Applicazione dell’equazione di Bernoulli
La fleboclisi
h  0.25 m
Pcannula  1.013 105 Pa  (1.000 103 kgm 3 )  (9.810 m s -2 )  (0.2500 m) 
 1.037  105 Pa
Pcannula  Patmosferic a  (1.037 - 1.013) 105  2.400 103 Pa  18.05 Torr
Il flacone deve essere posto ad una altezza h
sufficiente
per avere Pcannula – Patmosferica > Pvena
37
Misura della pressione arteriosa
con lo sfigmomanometro
Comprimo l’arteria per ottenere p > psistolica
La circolazione è momentaneamente bloccata
38
Misura della pressione arteriosa
con lo sfigmomanometro
Diminuisco lentamente la pressione
39
Misura della pressione arteriosa
con lo sfigmomanometro
ps = pressione sistolica
pd = pressione diastolica
p > ps
 silenzio
ps > p > pd  rumore pulsato
p < pd
 rumore
continuo
Nota. Quando ps > p > pd
:
• il rumore è pulsato perchè il sangue fluisce quando la
pressione del
sangue è maggiore della pressione esercitata dalla fascia
• il flusso è turbolento e quindi il rumore è diverso da quando
ho
p < pd
40
Riassumendo
Per i liquidi ideali la conservazione dell’energia
meccanica porta al teorema di Bernoulli....
..... molto utile per risolvere i problemi più disparati
Prossima lezione:
i liquidi reali
41