Università di Roma Tor Vergata
Dipartimento di Ingegneria Elettronica
Benvenuti al modulo di:
Elaborazione dei Segnali
Proff. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca
[email protected], [email protected]
a.a. 2005/2006
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Informazioni generali (1/3)
Ricevimento:
Ruggieri: Giovedi’ ore 10.00 – 14.00
Cianca: Martedi, 16.00-18.00
1a prova in itinere: 20 Aprile 2006
Recupero prova in itinere: 27 Aprile 2006
Appello scritto + colloqui orali: 9 Maggio 2005
Colloqui orali bis: 12 Maggio 2005
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Informazioni generali (2/3)
Testo di Teoria:
A. V. Oppenheim – R. W. Schafer Benedetto, E. Biglieri:
“Discrete-Time Signal Processing”
Prentice Hall, 1989
Testo di Esercizi
M. Ruggieri-M. Luglio – M. Pratesi
“Digital Signal Processing: Exercices and Applications”
Aracne, 2004
Altro materiale didattico:
Dispense ed esercizi a cura dei docenti
http://www.uniroma2.it/didattica/ES_COLL
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Concetti base: segnali digitali
Segnali:
•I dati sperimentali che rappresentano un fenomeno fisico sono
chiamati segnali.
•Es.: fluttuazioni della temperatura in una stanza in funzione del
tempo, variazioni di pressione in un punto di un campo acustico.
•Il fenomeno fisico rilevato da un trasduttore e trasformato in
una grandezza elettrica opportuna si presenta di solito come
segnale continuo (o analogico) in funzione del tempo.
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Concetti base: segnali digitali
Segnali Digitali:
In molti casi i segnali possono assumere una rappresentazione
discreta, o per motivi inerenti al fenomeno stesso o per qualche
procedimento di campionamento. In questo caso i segnali sono
caratterizzati da una sequenza di punti (numeri).
Attenzione: non e’ detto che la variabile indipendente sia il
tempo, potrebbe essere il profilo di una strada e quindi la
variabile e’ la distanza.
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Sistemi
Un sistema e’ un’ entità che manipola uno o più segnali per
svolgere una funzione e quindi tirare fuori altri segnali
ingresso
sistema
uscita
Es.: sistema di controllo dell’atterraggio di un aereo
Ingresso: posizione dell’aereo relativamente alla pista
Sistema: aereo
Uscita: correzione laterale alla posizione dell’aereo
Obiettivo: tenere l’aereo parallelo alla pista d’atterraggio
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Operazioni base sui segnali
Operazioni sulla variabile dipendente
Amplificazione/attenuazione dell’ampiezza
y(t)=cx(t)
Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione:
amplificatore elettronico, un resistore
Addizione
y(t)=x1(t)+ x2(t)
Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione:
operazionale
Moltiplicazione
y(t)=x1(t)x2(t)
Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione:
modulatore d’ampiezza
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Operazioni base sui segnali
Operazioni sulla variabile dipendente
Derivazione:
y (t ) 
d
x(t )
dt
Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: induttore
v (t )  L
d
i (t )
dt
Integrazione:
t
y (t ) 
 x( )d

Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: seguente circuito
con condensatore.
t
1
v(t )   i ( )d
C 
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Operazioni base sui segnali
Operazioni sulla variabile indipendente
Espansione/compressione temporale: y(t)=x(at)
x(t)
-1
x(t/2)
x(2t)
1
-1/2
Riflessione: y(t)=x(-t)
-2
1/2
x(t)
-a
2
x(-t)
b
-b
a
Traslazione temporale: y(t)=x(t-t0)
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Elaborazione del segnale
digitale o analogica?
L’elaborazione del segnale può essere implementata in due
modi:
Analogica o tempo continua: uso di elementi circuitali
analogici come resistenze, capacità, induttori, transistor,
amplificatori, diodi
Digitale o tempo discreta: uso di sommatori e
moltiplicatori (per operazioni artimetiche) e di elementi di
memoria per immagazzinare i dati (questi tre sono gli
elementi base degli elaboratori digitali)
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Elaborazione del segnale
digitale o analogica?
Tempo reale
Flessibilità
Ripetibilità
DIGITALE
ANALOGICA
Dipendente dal tempo necessario per
svolgere le operazioni richieste
garantito
Lo stesso dispositivo digitale (HW) può
essere usato per realizzare diverse
operazioni di elaborazione del
segnale, semplicemente cambiando il
programma SW
Una prescritta elaborazione del
segnale può essere realizzata più
volte uguale a se stessa (es. controllo
di un robot).
Il sistema deve essere riprogettato ogni volta che le
specifiche per
l’elaborazione cambiano
I sistemi analogici sono
sensibili alle variazioni di
parametri come la tensione
di alimentazione o la
temperatura della stanza,
rendendo impossibile la
ripetibilità di una prescritta
elaborazione
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Elaborazione del segnale
digitale o analogica?
L’elaborazione digitale ieri:
Il principale svantaggio dell’elaborazione digitale era il fatto che comporta
una complessità circuitale maggiore e quindi, in passato, un costo
maggiore.
L’elaborazione digitale oggi:
La crescente disponibilità di circuiti VLSI, nella forma di chip di silicio, ha
reso l’elaborazione digitale relativamente economica e quindi i risultati
elaboratori digitale hanno prezzi competitivi con la controparte analogica.
La scelta tra analogico e digitale può essere determinata solo
dall’applicazione specifica, le risorse disponibili, il costo complessivo.
Gran parte dei sistemi oggi hanno una parte digitale ed una parte
analogica.
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SEQUENZE E SISTEMI DISCRETI
Marina Ruggieri, Modulo di Elaborazione Numerica dei Segnali 1, a.a. 2004/2005
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Sequenze
esempio
• x(n): indica la sequenza oppure il valore n-simo di essa
• x(n) non e’ definita per valori di n non interi
• interpretazione temporale di x(n): x(t)|t=nT con T=quanto temporale
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Energia e Potenza di una sequenza
ENERGIA
Sequenza e’ di energia se
es non e’ infinita
POTENZA
Sequenza e’ di potenza se e solo se
0 < Ps < 
attenzione all’origine!
Sequenza e’ di potenza e periodica
attenzione al numero di punti!
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Esempi
Impulso discreto (unitario)
e’ una sequenza di energia
Gradino discreto (unitario)
e’ una sequenza di potenza
Esponenziale discreto
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Traslazione di una sequenza
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Proprietà dei sistemi discreti
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LINEARITA’
ENERGIA
x1(n)
a1
x2(n)
a2
x3(n)
a3
T
y1(n)
x1(n)
T
a1
x2(n)
T
a2
x3(n)
T
a3
Se y1(n)= y2(n),T descrive un sistema lineare
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y2(n)
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Proprietà dei sistemi discreti
Invarianza alla traslazione
Fisicamente: le caratteristiche del sistema non cambiano nel tempo
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Esempio: meccanica delle vibrazioni
Studio delle vibrazioni tratta ogni oscillazione di una grandezza intorno ad una
posizione di equilibrio.
La forma piu’ semplice di oscillazione e’ il moto armonico che puo’ essere
i t
descritto da un vettore rotante Ae che si ripete ad uguali intervalli di tempo.
Esempio di sistema oscillante:
Fig. 1
m
x
Massa m che può traslare in una sola direzione x, legata ad una molla di
rigidezza k.
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Esempio: meccanica delle vibrazioni
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La molla applica alla massa una forza di richiamo proporzionale allo
spostamento e l’equazione fondamentale della dinamica si scrive:
d 2x
F  m 2  mx  kx
(*)
dt
Questa equazione differenziale del secondo ordine, risolta, definisce il moto di x.
Moto di x = uscita del sistema oscillante
Ingresso del sistema = eventuale forza esterna applicata
L’equazione differenziale (*) suppone che non ci sia una forza esterna eccitante
salvo all’inizio del fenomeno (perturbazione iniziale). La soluzione rappresenta le
cosiddette oscillazioni libere del sistema, dovute solo all’azione di forze inerenti il
sistema e non esterne ad esso
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Esempio: meccanica delle vibrazioni
Definendo wn= k/m, l’equazione precedente ha la seguente
soluzione:
x(t )  Asin nt  B cos  nt
con A e B determinate dalle condiziono iniziali (t=0).
Le oscillazioni del sistema sono oscillazioni armoniche con
frequenza wn che prende il nome di pulsazione propria o naturale
del sistema.
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Esempio: meccanica delle vibrazioni
Oscillazioni smorzate
Fig. 2
m
x
Elemento smorzante
mx  cx  kx  0
smorzamento viscoso R( x)  cx
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Esempio: meccanica delle vibrazioni
In molti casi pratici le azioni eccitanti sono invece continuamente
applicate ed interessa allora conoscere la legge del moto queste
condizioni di oscillazioni forzate.
Si consideri il sistema di Fig.2, a cui venga applicata alla massa
m una forza variabile con il tempo F(t).
L’equazione differenziale del moto diventa:
mx  cx  kx  F (t )
Lo studio della risposta ad una eccitazione arbitraria può essere
ottenuto considerando la forza eccitante costituita da un’insieme
di impulsi elementari.
Forza impulsiva che agisce nell’istante t=a e’ cosi definita:
F (t )  F0 (t  a)
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Esempio: meccanica delle vibrazioni
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L’impulso di Dirac puo’ essere considerato come il caso limite di un
ingresso ad ampiezza finita, applicato per Dt finito, tale che F0 Dt=1.
Diminuendo Dt tale che rimanga F0 Dt=1, l’impulso termina prima che il
sistema si sia mosso sensibilmente, ma si raggiunge una notevole
velocita’! Per Dt
0 il sistema non ha tempo di spostarsi quindi x
0e
l’equazione diventa:
mx  cx  mv  cv  F0
risolvendo si ottiene:
v
F0 ( c / m ) t
e
m
e quindi, il sistema risponde all’impulso con condizioni iniziali:
x(0)  0
x (0)  v0 
F0
m
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Esempio: meccanica delle vibrazioni
Con queste condizioni iniziali e definendo il fattore di
smorzamento:
c

2 km
la soluzione diventa:
F0
x(t ) 
e  nt sin ( 1   2  nt )  F0 h(t )
m n 1   2
Risposta impulsiva del sistema
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Esempio: meccanica delle vibrazioni
Per un sistema lineare a parametri costanti nel tempo (come quello
dell’esempio), la risposta stazionaria a una forza qualsiasi F(t) e’
ottenibile come prodotto di convoluzione o prodotto convolutorio
della forza F(t) e la risposta impulsiva del sistema:
t
x(t )   F ( )h(t   )d  F (t )  h(t )
0
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Proprietà dei sistemi discreti
Sistema Lineare E Invariante alla
Traslazione
(LTI = Linear and Time Invariant)
a) La risposta del sistema è additiva e omogenea: vale cioe’ il
principio di sovrapposizione e inoltre la risposta ad una
eccitazione per una costante è pari alla costante per la
risposta alla sola sollecitazione
b) Proprietà base dei sistemi LTI: le caratteristiche
dinamiche del sistema possono essere descritte dalla
risposta impulsiva h(t)
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Proprietà dei sistemi discreti
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STABILITA’
CAUSALITA'
MEMORIA
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Esempio di convoluzione discreta (1/3)
Sistema LIT con x(n) rettangolare
di durata N e :
Sequenze di partenza: x(n) e ribaltamento di h(n)
Traslazioni di h(-n)=h(0-n)
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Esempio di convoluzione discreta (2/3)
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1. per n < 0 :
h(n - k) e x(k) non hanno campioni non nulli che si sovrappongono
y(n) = 0
2. per 0 ≤ n < N :
h(n - k) e x(k) hanno valori non nulli che si sovrappongono da k=0 a k=n
3. per n > N - 1 :
i valori non nulli di h(n - k) e x(k) che si sovrappongono si estendono da
k= 0 a k = N - 1
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Esempio di convoluzione discreta (3/3)
IL RISULTATO FINALE DELL’ESEMPIO DI CONVOLUZIONE E’, DUNQUE:
Zona 2
Zona 3
Zona 1
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Esempi sulle proprieta’ dei sistemi
ESEMPIO SU CAUSALITA’ E STABILITA’
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Esempi sulle proprieta’ dei sistemi
ESEMPI SULLA MEMORIA
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UN MODELLO PER SISTEMI DISCRETI
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Il modello (equazione alle differenze a coefficienti costanti di ordine N) si applica
a sistemi LIT che supporremo anche causali e, dunque, in forma esplicita diventa:
L’ n.mo valore di uscita e’ calcolabile da: 1) n.mo valore ingresso; 2) M valori
precedenti d’ingresso; 3) N valori precedenti d’uscita.
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UN MODELLO PER SISTEMI DISCRETI
Se nel modello si pone N=0:
cioe’ y(n) e’ dato dalla convoluzione discreta tra x(n) e:
di durata finita pari a M+1.
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CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DISCRETI LIT
I sistemi LIT possono essere:
1. FIR (Finite Impulse Response), con risposta all’impulso
(di durata) finita.
N.B. se N=0 nel modello, il sistema e’ FIR
2. IIR (Infinite Impulse Response), con risposta all’impulso (di
durata) infinita.
N.B. se N≠0 nel modello, il sistema e’ IIR
Questa e’ una classificazione molto importante ai fini progettuali .
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