Relatività ristretta
Non so come apparirò al mondo. Mi sembra
soltanto di essere stato come un bambino che
gioca sulla spiaggia e di essermi divertito a
trovare, ogni tanto, un sasso o una conchiglia
più bella del solito, mentre l’oceano della verità
giaceva insondato davanti a me.
Newton
A volte mi chiedo come sia accaduto che sia stato io a formulare la
teoria della relatività. La ragione, credo, è che un adulto normale
non si ferma mai a riflettere sui problemi dello spazio e del tempo,
perché queste sono cose su cui ha pensato da bambino. Ma il mio
sviluppo intellettuale fu tardivo, e di conseguenza io cominciai ad
interrogarmi sullo spazio e sul tempo quando ero già adulto.
Albert Einstein
Einstein era guidato solo dal requisito che la teoria
avesse la bellezza e l’eleganza che ci si aspetta di trovare
in una descrizione fondamentale della Natura. (...) Il
risultato di questo modo di procedere è una teoria di
grande semplicità ed eleganza nelle sue idee di base.
Dirac
(La relatività generale)...la più bella delle Teorie
Scientifiche.
Lev Landau
La storia inizia molto tempo prima …
Principio di relatività galileiana
• Le leggi della meccanica sono le stesse in
tutti i sistemi inerziali.
• Dal punto di vista matematico questo
principio impone che le equazioni che
descrivono la dinamica dei corpi siano
invarianti in ogni riferimento inerziale.
Le trasformazioni di Galileo (T.G.)
• X’
• Y’
• Z’
• T’
=
=
=
=
X - VT
Y
Z
T
L’ultima trasformazione ci dice che …
• IL TEMPO E’ ASSOLUTO!
Newton scriveva nei Principia:
“Lo spazio assoluto, per sua natura, resta sempre tale e invariabile senza
alcuna relazione con l’esterno.
Il tempo assoluto, vero e matematico, per sua natura scorre allo stesso
modo, senza alcuna relazione con l’esterno”.
James Clerk Maxwell
(1831 – 1879)
• Maxwell, intorno al 1864, completa la
formulazione della teoria dei campi
elettromagnetici unificando elettricità,
magnetismo ed ottica.
La sintesi sublime è costituita da 4
“bellissime” equazioni!

E 
0
B
XE  
t
B  0
j
E
2
c XB 

0
t
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
HANNO UN DIFETTO …
• NON SONO INVARIANTI RISPETTO A T.G. !
IPOTESI AVANZATE
• Il principio di relatività è valido per la
•
•
meccanica e non per l’elettrodinamica;
deve allora esistere un sistema di
riferimento privilegiato rispetto al quale le
leggi dell’elettrodinamica sono invarianti:
il riferimento dell’etere.
Il principio di relatività è valido sia per la
meccanica che per l’elettrodinamica, ma
non è corretta la formulazione di Maxwell.
Il principio di relatività è valido sia per la
meccanica che per l’elettrodinamica, ma
non è corretta la formulazione di Newton.
Einstein dimostrò che la terza ipotesi è
essenzialmente corretta, non per colpa
di Newton, ma perché bisogna
abbandonare l’usuale idea di spazio e
tempo.
• Dal punto di vista matematico, le
esatte leggi di trasformazione delle
coordinate fra sistemi inerziali non
sono quelle date da Galileo!
Le esatte leggi di trasformazione erano
già state scritte da Lorentz.
• LE TRASFORMAZIONI DI
LORENTZ (T.L.)
x' 
X  VT
V2
1
C2
y'  y
Z' Z
T'
V
X
2
C
V2
1
C2
T 
• Le T.L. scaturiscono dai due postulati
della relatività.
La luce si propaga nello spazio vuoto
con la stessa velocità per tutti gli
osservatori, indipendentemente dal
loro moto o da quello della sorgente
luminosa.
Le leggi della fisica restano inalterate
indipendentemente dalla scelta del
sistema di riferimento inerziale.
Simultaneità
• Consideriamo una linea ferroviaria di
estremi A e B e supponiamo che i due
punti siano raggiunti da un fulmine.
• Diremo che il lampo di luce in A è
simultaneo a quello in B se un
osservatore che si trovi esattamente
nel punto di mezzo tra A e B, vede i
lampi contemporaneamente.
Consideriamo un treno che percorra la
linea a velocità costante v
V --
---------- m’---------treno
A----------m----------B
banchina
• L’osservatore in m vede due lampi simultanei in A
•
•
e B.
L’osservatore in m’ (che si muove verso B) vede
arrivare prima la luce proveniente da B poi quella
da A.
Per questo osservatore i due eventi non sono
simultanei!
Nei primi anni del 1900 ciò è chiaro a tutte le persone
sufficientemente ragionevoli, cioè solo ad Albert Einstein!
(La considerazione è del prof. Carlo Rovelli)
• Dopo aver così annullato il tempo
assoluto della fisica newtoniana,
Einstein impiegò poche settimane a
ricavare le conseguenze sconvolgenti
dei postulati della relatività:
• dilatazione del tempo
• contrazione delle lunghezze
• variazione della massa con la velocità
• addizione di velocità
• equivalenza tra massa ed energia
DILATAZIONE DEL TEMPO E
CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE
• Newton scriveva nei Principia:
• “Lo spazio assoluto, per sua natura,
resta sempre tale e invariabile senza
alcuna relazione con l’esterno.
• Il tempo assoluto, vero e
matematico, per sua natura scorre
allo stesso modo, senza alcuna
relazione con l’esterno”.
Einstein inizia i suoi
<<Gedanken Experimente>>
Confrontiamo le durate di uno stesso fenomeno secondo il punto di vista di due
osservatori O ed O’ in moto relativo.
I due osservatori vogliono misurare l’intervallo di tempo che un segnale
luminoso impiega per percorrere una certa distanza.
L’osservatore O’ si muove rispetto ad O a velocità costante.
Gli orologi di O ed O’ sono inizialmente sincronizzati!
O’ lancia un segnale luminoso verso uno specchio che lo
riflette indietro.
Vogliamo misurare la durata di questo evento per i due
osservatori.
Ne vedremo delle belle!...
La situazione vista da O’
specchio
L’
Per O’ il fenomeno avviene nello stesso luogo! (tempo proprio)
Lo stesso fenomeno visto da O:
s
P1S = cΔt
v
P1
P1H = v Δt
H
P2
SH = L = L’
Δt è l’intervallo di tempo misurato da O (che non è nel riferimento proprio)
L’intervallo di tempo misurato da O’ che impiega la luce per
arrivare allo specchio lo indichiamo con Δt’.
L'
t ' 
c
Teorema di Pitagora!
c t  v t  L
2
2
2
2
2
(c  v )t  L
2
2
2
2
2
2
L
L
t  2 2  2
c v
c
2
L
t 
c
1
2
v
1 2
c
1
2
v
1 2
c
ma
L L'
  t '
c c
t 
t '
2
v
1 2
c
•L’intervallo di tempo
misurato
dall’osservatore O
risulta dilatato
rispetto a quello
misurato da O’ !!!
v

c
Ponendo
si ha:
1
2
v
1 2
c

1
1 
2
1
Tale quantità è detta fattore di dilatazione.
Si dimostra, altrettanto semplicemente, che
le lunghezze si contraggono:
2
v
L  L' 1  2
c
• N.B. La lunghezza ΔL è misurata in moto,
mentre ΔL’ è la lunghezza in quiete.
E’ interessante calcolare il limite
per c →∞ delle due precedenti
relazioni.
• Scopriremmo … la fisica classica
Nel limite di v →C ?
• Il fotone è eterno!
IL muone (µ)
Particelle simili agli elettroni, ma con massa circa 200
volte superiore che si formano per interazione tra i raggi
cosmici e l’atmosfera a quote abbastanza alte, circa 9000
metri!
Sono particelle instabili. Decadono per interazione debole secondo il
seguente schema:
_
  e  e  


IL tempo medio di decadimento misurato in laboratorio
è
  (2.19703  0.00004) 10 sec
6
  2s
I muoni viaggiano alla velocità
V = 0.99777c
A tale velocità, prima di decadere, potrebbero percorre la distanza:
D  V
m
D  0.99777  3 10
 2 10 6 s
s
8
Circa 600 metri
I rivelatori posti sulla superficie della Terra
indicano la presenza di muoni provenienti
dall’atmosfera: essi viaggiano, dunque,
per 9000 metri!
Dilatazione dello spazio e contrazione delle lunghezze
risolvono l’apparente paradosso.
L’osservatore sulla Terra non si trova in un riferimento proprio perché gli
eventi: produzione e rivelazione del muone non avvengono nello stesso
luogo!
Il tempo, dunque deve essere corretto secondo la formula della
dilatazione:
t 

1 
2
 15
D  V 15  9000m
Cosa pensa il muone di tutto ciò?
Secondo il suo punto di vista, la distanza misurata in
quiete (9000m) è contratta per effetto della velocità,
secondo la relazione:
L  9000  1    600m
2
La massa dipende dalla velocità!
M 
M0
v2
1 2
c
• La quantità M0 è la massa a riposo.
Teorema della somma delle velocità
(ovvero: due più due è uguale a quattro?)
• Un esercizio divertente: fare le
derivate delle formule di
trasformazione di Lorentz e ricavare
le regole di addizione delle velocità.
• Il risultato è che per sommare la
velocità V alla velocità v occorre la
seguente relazione:
V v
V v
1
2
c
“…due più due quattro è una cosa assolutamente insopportabile. Due più due quattro,
secondo me, è una vera e propria impertinenza. Due più due quattro vi fissa negli occhi
con aria spavalda, si pianta in mezzo alla strada, si punta le mani sui fianchi e sputa per
terra. Io posso pure dire che due più due quattro è una cosa stupenda, (…) anche due più
due cinque può essere una cosetta graziosissima”
Dostoevskij (Memorie dal sottosuolo)
Conseguenza di questa relazione:
V+c=c
c+c=c
La velocità della luce (nel vuoto) non può essere superata!
Equivalenza massa energia
E = m c²
IL PARADOSSO DEI GEMELLI
Due gemelli di 19 anni d’età lasciano la Terra e viaggiano verso un pianeta
lontano 12 anni luce. Si supponga che il pianeta e la Terra siano in quiete
relativa.
I gemelli partono nello stesso istante su veicoli diversi. Un gemello viaggia
alla velocità di 0.900c e l’altro alla velocità di 0.500c; al loro incontro sul
pianeta, quale dei due gemelli è più vecchio?
Chiamiamo A il gemello che viaggia alla velocità
0.900c.
• Il tempo impiegato da A per
raggiungere il pianeta vale
BIBLIOGRAFIA
Einstein - La relatività
- Newton Compton
Einstein - Pensieri degli anni difficili - Boringhieri
Einstein - Come io vedo il mondo
- Newton Compton
Russell - L’abc della relatività
- Tea Editore
(fortemente consigliato)
Durell
- La relatività con le 4 operazioni – Boringhieri
Feynman - Lectures on physics
- Inter-European Ed.
Gamow - Biografia della fisica
- Mondadori
Ciurleo - La teoria della relatività - D’Anna
La bellezza come metodo - Paul A. M. Dirac - Indiana
Sette brevi lezioni di fisica – Rovelli - Adelphi
Le Scienze - Einstein
Le Scienze - Maxwell