LA RELATIVITÀ RISTRETTA
La Relatività Ristretta
1
La fisica fondamentale a fine ‘800
 Lord Kelvin dichiara prossima la fine della fisica (1900)
 Fisica classica




Meccanica
Termodinamica
Gravitazione universale
Elettromagnetismo
La Relatività ristretta
2
Elettromagnetismo

Alla fine ‘800 l’elettromagnetismo era la frontiera più avanzata della fisica teorica

L’elettromagnetismo descrive le interazioni fra le cariche elettriche

Maxwell introdusse il concetto di campo
• Un corpo in virtù della sua presenza in un certo punto dell’Universo altera lo spazio che lo circonda in
base alla caratteristica che possiede ( massa, carica elettrica...)
• l’alterazione introdotta dalla sorgente è descritta da una diversa grandezza fisica a seconda del campo
(accelerazione di gravità g, l’intensità del campo elettrico E, l’induzione del campo magnetico B)
• Un qualsiasi altro corpo posto ad una distanza r dal primo risente di una forza in base alla
caratteristica di cui è dotato.

La Teoria di Maxwell prevede le onde elettromagnetiche ( vibrazioni di campi elettrici e magnetici ) che si
propagano nel vuoto con una velocità c ∼ 3 x 10 8m/s, ma non specifica il sistema di riferimento in cui la
velocità della luce assume questo valore.
•
•
In quiete (elettrostatica)
In movimento

Nella meccanica di Galileo e di Newton non esistono velocità assolute ma solo velocità relative ad
un certo sistema di riferimento.

C’È UN’APPARENTE CONTRADDIZIONE FRA LE DUE TEORIE.

Se la Teoria di Maxwell è corretta si aprono due possibilità:
–
–

Le equazioni di Maxwell sono valide in un sistema di riferimento particolare :“l’etere”
La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento
Per molti anni si perseguì la prima ipotesi, ma quella vera è la seconda e fu Einstein ad intuirlo
per primo
La Relatività ristretta
3
Esperienza di MICHELSON E MORLEY (1881-1887)


I due ricercatori effettuarono una serie di misure per evidenziare l’effetto del moto della Terra
rispetto all’etere utilizzando un interferometro, ossia un dispositivo in cui la luce percorre due
cammini mutuamente perpendicolari prima di ricombinarsi su uno schermo formando una figura di
interferenza.
Il tratto Specchio H - Schermo è in comune, il tempo impiegato dai due raggi si differenzia per i
due tratti fra lo specchio H e lo specchio A o lo specchio B in quanto, tenendo conto della legge di
composizione delle velocità.





Il tempo impiegato tra H ed A sarà
Il tempo impiegato tra H ed B risulterà essere:
La differenza
dei tempi impiegati dai due raggi per arrivare a sovrapporsi sullo schermo
fa sì che su di esso si ottenga una figura di interferenza.
Se si ruota l’interferometro di 90° i ruoli dei due raggi sono invertiti e cambierà anche la differenza
dei tempi impiegati dai due raggi per raggiungere lo schermo.
Ci si aspetta quindi di osservare sullo schermo una nuova figura di interferenza differente da
quella di partenza
L’ESPERIENZA NON RIVELÒ ALCUNA VARIAZIONE NELLA FIGURA DI INTERFERENZA.
La Relatività ristretta
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Interferometro di MICHELSON E MORLEY
La Relatività ristretta
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Gli assiomi della Teoria della Relatività Ristretta
Per risolvere la contraddizione fra meccanica ed elettromagnetismo riguardo la velocità
della luce Einstein propose di rifondare la fisica a partire da due assiomi:
 PRINCIPIO DI RELATIVITÀ RISTRETTA:
I FENOMENI FISICI SI SVOLGONO IN MODO IDENTICO in due sistemi di
riferimento in moto relativo uniforme ossia IN TUTTI I SISTEMI DI RIFERIMENTO
INERZIALI. (il moto rettilineo uniforme del sistema non può essere rilevato con
esperimenti di fisica all’interno di esso).
 PRINCIPIO DI INVARIANZA DI C
LA VELOCITÀ DELLA LUCE NEL VUOTO È LA STESSA
IN OGNI SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE.
Questo principio è proprio della relatività einsteiniana e
richiede una modifica della meccanica classica.
La Relatività ristretta
6
Gli assiomi della Teoria della Relatività Ristretta

Il primo principio era già noto nella fisica classica essendo
stato chiaramente formulato da Galileo e da Newton per
quanto riguarda la fisica nota a quel tempo. L’operazione
di Einstein fu quella di estenderlo a tutta la fisica nella
convinzione che la natura sia regolata da leggi semplici
ed eleganti.

Il secondo principio spiega il risultato negativo dell’esperienza
di Michelson Morley anche se, in realtà , Einstein quando
formulò i suoi principi non era a conoscenza di questa
problematica.

Per Einstein il secondo assioma era motivato dalle stesse
ragioni di semplicità ed eleganza che sono alla base del primo.
Se le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di
riferimento inerziali, in ognuno di essi valgono le equazioni di
Maxwell che prevedono per c il valore
La Relatività ristretta
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Conseguenze degli assiomi della Teoria della Relatività
Ristretta
Revisione del concetto di simultaneità per eventi che avvengono nello
stesso luogo o in luoghi diversi.
Dilatazione dei tempi
Contrazione delle lunghezze
La Relatività ristretta
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REVISIONE DEL CONCETTO DI SIMULTANEITÀ
• Newton riteneva che:
– “Il tempo assoluto per sua stessa natura scorre uniformemente senza alcuna
relazione ad alcunché di esterno”
– Ciò implica che due avvenimenti che accadono nello stesso istante per un certo
osservatore avverranno nello stesso istante per ogni altro essere umano a
prescindere da dove si trovi ed indipendentemente dal suo moto.
• Dal punto di vista classico LA SIMULTANEITÀ È ASSOLUTA.
La Relatività ristretta
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REVISIONE DEL CONCETTO DI SIMULTANEITÀ
• Einstein analizzò in modo critico il concetto di simultaneità alla luce del secondo
assioma della teoria della relatività ristretta per stabilire in modo operativo e non
ambiguo se due fenomeni avvengono contemporaneamente:
– Definizione operativa di simultaneità per un singolo osservatore:
– DOMANDA: “ Due eventi simultanei per un osservatore O sono simultanei anche
per un altro osservatore O’ in moto rettilineo uniforme in moto rispetto ad O?”
– Il giudizio di simultaneità dipende dal punto di vista: due eventi che risultano
simultanei in un dato sistema di riferimento non lo sono in un altro che si muova
rispetto al primo
– Si conclude che LA SIMULTANEITÀ È RELATIVA.
La Relatività ristretta
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REVISIONE DEL CONCETTO DI SIMULTANEITÀ
Definizione operativa di simultaneità: I fenomeni
F1 e F2 che avvengono nei punti A e B sono
simultanei se la luce che essi emettono giunge
nello stesso istante in un punto M equidistante
da A e B
La Relatività ristretta
Per l’osservatore O a terra gli eventi sono
sicuramente simultanei, ma non per quello sul
treno che vedrà il fulmine caduto nel punto B,
verso il quale il treno si avvicina, prima del
fulmine caduto in A.
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Simultaneità fra eventi che accadono in luoghi distinti
osservati dallo stesso sistema di riferimento
 Il valore finito della velocità delle luce porta a chiedersi come stabilire la
successione fra due eventi che avvengono in luoghi diversi.
– Un evento può essere registrato solo all’istante in cui è visto quindi, se la velocità
della luce fosse infinita, l’avvenimento e la sua registrazione si verificherebbero
sempre nello stesso istante indipendentemente dalla distanza, ma, visto che la
velocità della luce ha un valore finito, ogni evento che avviene ad una certa
distanza è registrato sempre con un certo ritardo temporale (esempio)
– Per EINSTEIN per confrontare correttamente i tempi in cui si verificano due
fenomeni che avvengono in due distinte regioni dello spazio bisogna utilizzare
due orologi, tecnicamente identici, posti nelle due regioni e sincronizzati
mediante un raggio di luce.
– Un osservatore O che si trovi nel punto medio fra due orologi sincronizzati che
sono in quiete rispetto ad O riceve simultaneamente i due lampi di luce.
La Relatività ristretta
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Simultaneità fra eventi che accadono in luoghi distinti
osservati dallo stesso sistema di riferimento
• Esempio:
in una osservazione astronomica si vede una grande eruzione solare e
allo stesso istante una esplosione stellare di una nova. I due eventi non sono
contemporanei, anzi sono enormemente distanti nel tempo: l’eruzione solare si è
verificata da circa 8 minuti il secondo può essere accaduto anche milioni di anni
prima: dipende dalla distanza.
• Orologi sincronizzati:
Supponiamo di essere dotati di due orologi, distanti r, il
primo in grado di emettere un segnale luminoso che può essere ricevuto dal
secondo. Essi si dicono sincronizzati se il secondo di essi, nell’istante in cui riceve il
lampo di luce emesso dal primo orologio all’istante t0, segna t=t0+r/c. Ad esempio, se
si immagina il primo orologio nel Sole e il secondo sulla Terra, essi sono sincronizzati
se, quando il primo orologio segna le ore 12:00, il secondo segna le 12:08.
La Relatività ristretta
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Dilatazione dei Tempi
Supposto che il tempo non è assoluto, la durata di un fenomeno come
cambia in relazione al moto dell’osservatore?
t 
t 0
v2
1 2
c
 Questa relazione descrive la dilatazione dei tempi.
 “La durata di qualunque fenomeno risulta minima se è misurata nel sistema di rifermento solidale con il
sistema di corpi nel quale inizia il fenomeno”. Pertanto
 Δt0 è l’intervallo di tempo proprio,ossia misurato da un osservatore O in quiete rispetto ai due eventi
che costituiscono il fenomeno.
 Δt è l’intervallo di tempo dilatato, ossia misurato da un osservatore O’ che si muove di moto
rettilineo uniforme rispetto ad O.
La Relatività ristretta
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Dilatazione dei Tempi
 Consideriamo un orologio costituito da una sorgente che emette un breve impulso di
luce e da un rivelatore, accanto ad essa, che raccoglie l’impulso dopo che è stato
riflesso da uno specchio posto ad una distanza D. In questo istante il rivelatore emette
un tic e viene emesso un altro segnale e il ciclo si ripete. L’intervallo di tempo fra “tic”
successivi è legato ad un evento iniziale (emissione del segnale) ed uno
finale(rivelazione del segnale).
Supponiamo di costruire due orologi identici: uno viene lasciato sulla Terra e l’altro è
portato a bordo di un veicolo spaziale che si muove con velocità costante v rispetto alla
Terra.
 L’astronauta (O) è in quiete rispetto all’orologio e quindi vede l’impulso luminoso
muoversi lungo la verticale. Per lui l’intervallo di tempo fra due tic sarà: Δt0 = 2D/c, dove
c è la velocità della luce nel vuoto.
L’osservatore a Terra (O’) vede l’astronave che si muove con velocità v ; per lui
l’impulso luminoso segue una traiettoria diagonale e quindi più lunga. In questo caso:
2
v

t


2s  2 D 2  L2  2 D 2  

 2 
t 0
 ma la distanza 2s = cΔt e Δt0 = 2D/c, sostituendo e ricavando Δt si ottiene: t 
v2
1 2
c
La Relatività ristretta
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Conferme sperimentali della dilatazione temporale

J. C. Hafele e R.E. Keating nel 1971 portarono degli orologi atomici al cesio su aeroplani in
viaggio intorno alla Terra. Dal momento che la velocità dell’aereo in relazione a c è molto ridotta
l’effetto della dilatazione temporale è molto piccolo. Ciononostante la precisione degli orologi era
sufficientemente elevata da consentire la misura dell’effetto che è risultata in accordo nell’ambito
degli errori di misura con quanto previsto teoricamente alla fine delle 45 ore di volo.

Comportamento dei muoni, particelle elementari create nell’alta atmosfera a circa 10000 m di
altitudine. Osservate a riposo queste particelle vivono mediamente 2,2 x10-6 s prima di decadere,
ossia prima di trasformarsi in altre particelle più leggere. Con una vita media così breve queste
particelle non avrebbero alcuna possibilità di raggiungere la superficie terrestre. Tuttavia un gran
numero di muoni raggiunge effettivamente la superficie terrestre. Ciò è spiegabile in termini di
dilatazione temporale.

Supponiamo ad esempio che la velocità v del muone sia 0,998c. La durata della sua vita media rispetto ad
un osservatore posto a Terra6tenendo conto della dilatazione è
t 

t0
2.2  10 s

 35  106 s
2
2
v
 0,998c 
1 2
1 

c
 c 
Questo tempo è sufficientemente lungo per far sì che i muoni riescano a raggiungere la Terra, percorrendo



x  vt  0,998 3,00  108 m / s 35  10 6 s  1,0  10 4 m
anziché i 660m percorsi nel tempo proprio.
La Relatività ristretta
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Contrazione delle lunghezze
Tenendo conto della dilatazione dei tempi come variano le lunghezze e le distanze?
v2
x'  x 1  2
c
 Questa relazione descrive la contrazione delle lunghezze.
 “Se Δx è la distanza fra due punti misurata da un osservatore in quiete rispetto ad essi, la distanza Δx’ fra gli
stessi punti valutata da un secondo osservatore in moto rettilineo uniforme rispetto al primo è sempre minore di
Δx.” Indichiamo con:
 Δx la lunghezza propria, ossia misurata da un osservatore in quiete rispetto ad essa.
 Δx ‘ la lunghezza contratta, ossia misurata da un osservatore in moto rettilineo uniforme rispetto ad essa.
.
La Relatività ristretta
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Contrazione delle lunghezze
 Esperimento mentale: immaginiamo un treno che si muove ad alta velocità.
L’osservatore O1 , solidale con il terreno, ha piantato due paletti nel terreno in modo da
individuare un segmento parallelo ai binari e quindi al treno; per O1 la distanza fra i
paletti è Δx = x2 - x1, con x1 e x2 costanti nel tempo. Supponiamo che O1, nel suo
sistema di riferimento, veda trascorrere un intervallo di tempo Δt dall’istante in cui un
punto fissato del treno, che si sta muovendo a velocità v, traguarda x1 e l’istante in cui
traguarda x2 . Pertanto
Δx = v ⋅ Δt
 Supponiamo di avere un osservatore O2 solidale con il treno e che O2 voglia ricavare la
lunghezza del segmento preso in considerazione da O1. Per O2 il segmento si muove
con una velocità v, egli dedurrà la lunghezza del segmento dalla misura Δt’ del tempo
necessario affinché passino per uno stesso punto fissato del treno gli estremi del
segmento: Δx’ = v Δt’ (Δt’ tempo proprio)
v2
Ricaviamo Δt0 dalla dilatazione dei tempi: t '  t 1  2
c
 Per l’osservatore O2 che vede il segmento muoversi si ha quindi :
v2
v2
x'  vt '  vt 1  2  x'  x 1  2
c
c
La Relatività ristretta
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Osservazioni


Non esistono sistemi di riferimento privilegiati

Si parla di tempo proprio tra due eventi come l’intervallo di tempo misurato da un osservatore
che è fermo rispetto agli eventi ossia che li vede accadere nello stesso punto

Si parla di lunghezza propria di un oggetto come la lunghezza misurata da un osservatore
fermo rispetto all’oggetto.
Sia chiaro che il termine proprio non significa che quelle quantità siano quelle corrette o da
preferirsi. Se così fosse esisterebbe un sistema di riferimento privilegiato e ciò contraddirebbe i
principi della relatività
La Relatività ristretta
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Trasformazioni di Lorentz

Nella meccanica classica le relazioni fra le coordinate in due sistemi in moto relativo sono
descritte dalle Trasformazioni di Galileo

Tutto ciò di cui abbiamo parlato sinora può essere descritto in termini delle Trasformazioni
di
Lorentz
La Relatività ristretta
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Composizione delle velocità
y
y’
ut
v
Caso unidimensionale:
Sistema S cammina con il treno
Sistema S’ è fisso a terra
u
x=x’
Galileo

Le coordinate nel sistema di riferimento S’
Einstein

x'  x  ut
x  ut
x' 
y'  y
1 u / c
2
t'  t
z'  z
La velocità nel sistema di riferimento
S’,legge classica di composizione delle
velocità
t' 
v'  v  u
La Relatività ristretta
2
  x  ut  dove  
1
1 u2 / c2
y'  y
z'  z

Le coordinate nel sistema di riferimento S’

t  ux / c 2
1 u2 / c2
La velocità nel sistema di riferimento S’
v' 
uv
1  uv / c 2
21
Osserviamo che:
 La correzione

1
1 u 2 / c2
diventa apprezzabile solo per u prossima a c.
 Per corpi che si muovono in S con velocità v = c si può verificare che dalla legge di
composizione delle velocità relativistica si ottiene v’ = c ( ad esempio se il
passeggero lancia un raggio laser anche il capostazione a terra vede la luce laser
propagarsi con la stessa velocità). Quindi LA VELOCITÀ DELLA LUCE È
COSTANTE INDIPENDENTEMENTE DAL MOTO DELLA SORGENTE
 La velocità della luce è la massima possibile in quanto per velocità u>c il radicando
diverrebbe negativo e le coordinate non sarebbero più reali.
 Queste leggi di trasformazione prevedono sia la dilatazione degli intervalli di tempo
che la contrazione delle lunghezze e la relatività della simultaneità
La Relatività ristretta
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Dilatazione dei Tempi
 Supponiamo di avere un orologio fisso nel punto x del sistema S che scandisce dei Δt .
Applicando le trasformazioni di Lorentz a degli intervalli spaziali Δx=x2-x1 e temporali
Δt=t2-t1 si ha che
x'   x  ut 

t '   t  ux / c
2


t '   t 
se x  0
Poiché γ>1 si avrà che Δt’ > Δt.
 Un qualunque orologio in movimento viene visto scandire il tempo in modo rallentato
dal capostazione.
La Relatività ristretta
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Contrazione delle Lunghezze
Supponiamo di avere un campione di lunghezza propria L0 a riposo. Ci si chiede quale
sarà la lunghezza rispetto ad un osservatore in moto con una velocità u lungo la
direzione di L0.
Se Δx = L0 , applicando le trasformazioni di Lorentz determiniamo l’espressione di Δx’
per Δt’ = 0
x'   x  ut 

t '   t  ux / c 2
Sostituendo si ha che





t  ux / c 2
se t '  0

x'   x  u 2 x / c 2  x 1  u 2 / c 2  
x

2
 x' 
x

Poiché γ > 1 si avrà che Δx’ < Δx
La Relatività ristretta
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Relatività della Simultaneità
Se Δt = 0 per Δx diverso da zero, ossia eventi simultanei in posizioni distinte. Applicando
le trasformazioni di Lorentz determiniamo l’espressione di Δt’
x'   x  ut 

t '   t  ux / c 2


t '  ux / c 2
se t  0
Si è ottenuto Δt’ diverso da zero
Il segno di Δt’ e di Δt può essere opposto in due sistemi differenti.
Due osservatori diversi possono vedere una successione diversa di eventi ma solo se gli
la distanza fra gli eventi è maggiore di quella percorribile dalla luce in quell’intervallo di
tempo
La Relatività ristretta
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Invariante relativistico
 Nello spazio euclideo la scelta del sistema di riferimento è arbitraria: quello
che ha significato fisico è la distanza fra due punti qualsiasi ( LA DISTANZA
è INVARIANTE)
 In relatività si ragiona non più in termini di spazio euclideo ma di spazio-
tempo e si parla di evento, ossia di una cosa che avviene nel punto x,y,z
all’istante t
 In relatività dati due eventi separati da Δt, Δx, Δy, Δz, si definisce l’intervallo
che risulta essere invariante rispetto ad una trasformazione di Lorentz.
 
La Relatività ristretta
ct   x   y   z 
2
2
2
2
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Dinamica relativistica
 Dal punto di vista classico se ad un corpo di massa m e velocità v si
applica una forza costante, in base alla seconda legge della dinamica, il
corpo sarebbe soggetto ad una accelerazione costante e la sua velocità,
aumentando costantemente, potrebbe raggiungere e superare la velocità
della luce. Ciò risulta in contraddizione con i principi della relatività ristretta.
 Dal punto di vista relativistico, si può superare questa incoerenza
mantenendo la validità della seconda legge di Newton
 Scrivendola sotto forma del teorema dell’impulso Ft  mv
 Considerando la massa non più costante ma variabile con la velocità u del
sistema di riferimento, secondo la relazione
m
m0
 m0
1  u 2 / c2
 La massa aumenta all’aumentare della velocità
m  m  m0 
m0
1  u 2 / c2
 m0  m0   1
 la conservazione della quantità di moto continua a valere anche nella
meccanica relativistica a patto di definire la quantità di moto come
p  mv 
La Relatività ristretta
m0 v
 m0 v
2
2
1 u / c
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Energia relativistica
 Per una particella di massa a riposo m0 e velocità v confrontabile con la
velocità della luce, Einstein dimostrò, sulla base del teorema dell’energia
cinetica, che
 L’energia cinetica relativistica risulta
Ec  mc2  m0c 2  m0c 2   1
 Da cui l’energia totale (in assenza di energia potenziale) risulta
E  mc2  Ec  m0c 2
ciò significa che qualunque tipo di energia ΔE sia trasferita ad un corpo,
(cinetica ma anche elettrica, termica, chimica o potenziale) determina un
aumento della massa
E
m 
c2
 LA MASSA è ENERGIA e L’ENERGIA POSSIEDE MASSA.
Le due leggi di conservazione della massa e dell’energia vengono fuse
dalla teoria della relatività in una sola:
LA LEGGE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA-ENERGIA
La Relatività ristretta
28
CONCLUSIONI
 La relatività ristretta fa parte dei principi generali della fisica fondamentale
 Essa implica che la velocità della luce è uguale in tutti i sistemi di
riferimento e che nessun segnale o interazione si può propagare più
velocemente
 Come conseguenza il tempo non è assoluto e la massa non si conserva ma
può mutarsi in altre forme di energia.
 Le applicazioni e le verifiche della relatività sono molto comuni:
 reattori nucleari
 interazioni fra particelle elementari
 ingegneria degli acceleratori
La Relatività ristretta
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La Relatività ristretta
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Fonti
 La fisica di Amaldi – idee ed esperimenti - Vol 2° - U. Amaldi ed.Zanichelli
 Fisica – Elettromagnetismo e Fisica moderna - J. D. Cutnell; K. W.
Johnson – ed.Zanichelli.
 Fisica 3 - A. Caforio; A. Ferilli - ed.Le Monnier
 L’evoluzione della Fisica vol 3°- G.P. Parodi;M. Ostili; G. Mochi
Onori - ed.Paravia
 Conferenza “Il Principio di Relatività”, tenuta dal Prof. G. Altarelli
(Unità di Fisica Teorica CERN, Ginevra) presso i Laboratori
Nazionali di Frascati il 28 Novembre 2005
La Relatività ristretta
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