FORMULA DELL’INTERESSE COMPOSTO
DODERO BARONCINI VOL. 4 2 VOL. 5
UN PO’ DI STORIA
1618 lo scozzese Giovanni Nepero
pubblica le sue tavole logaritmiche
per semplificare calcoli complessi: la
base era e
1683 lo svizzero Jacob Bernoulli
pubblicò lo studio di matematica
finanziaria sugli interessi
composti.
Problema: Investiamo € 1000 al tasso
del 10% annuo, dopo un anno
Possiamo riscuotere i 100
euro di interesse e
mantenere il capitale
investito così ogni anno
avrò altri 100 euro di
interessi.
Possiamo aggiungere i 100
euro di interesse al
precedente capitale e
investire quindi 1100
euro per il secondo anno.
Così al termine del
secondo anno avrò 110
euro di interesse …
INTERESSE COMPOSTO IN FORMULE
Dopo il primo
anno
Dopo il secondo
anno
Dopo un numero n di anni
INTERESSE COMPOSTO
con capitale pari a 1 euro, interesse annuo r = 100%
SE L’INTERESSE VENISSE CORRISPOSTO IN PIÙ SOLUZIONI
INVECE CHE UNA SOLA VOLTA AL TERMINE DELL’ANNO?
Capitale
Primo Semestre
Secondo Semestre
1 euro
1+50%*1=1,50 euro
1,50 +50%*1,50= 2,25
euro
Capitale
1 euro
Primo
Quadrimestre
1+33,3%*1=1.33 €
Secondo
Quadrimestre
Terzo
Quadrimestre
1.33+33,3%*1,33 = 1,77 € 1,77+33,3%*1,77=
2,37 €
Capitale
Primo
Trimestre
Secondo
Trimestre
Terzo
Trimestre
Quarto
Trimestre
1
1,25
1,56
1,95
2,44
IN FORMULA
SE L’ANNO VIENE FRAZIONATO IN n PARTI UGUALI E IN OGNUNA DI
QUESTE VIENE CORRISPOSTO UN I N T E R E S S E DEL 100/n%, AL
TERMINE DELL’ANNO IL CAPITALE SARÀ
Se suddividiamo l’anno in un numero sempre
crescente di parti uguali?
Cioè se facciamo tendere
Cn costituisce anche un esempio di SUCCESSIONE NUMERICA, cioè
una funzione il cui dominio è l’insieme dei numeri NATURALI
n
Cn
1
2
3
4
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
2
2,25
2,37037
2,441406
2,685064
2,69597
2,701485
2,704814
2,707041
2,708637
2,709836
2,710769
2,711517
2,71213
2,71264
2,713073
2,713444
2,713765
2,714047
2,714295
Il numero e rappresenta il montante (capitale +
interessi) di un capitale di 1 euro al termine
dell’anno, nel caso in cui l’interesse del 100% sia
computato in modo continuo, ossia dividendo
l’anno in un numero infinito di parti uguali,
ciascuna di durata infinitesima.
In base alla definizione di limite possiamo
considerare solo il LIMITE PER n CHE
TENDE A INFINITO
Teorema: sia f(x) una funzione il cui dominio
contiene N ; Se esiste il limite di f(x) per x che
tende a infinito, allora anche la successione an =
f(n) ammette limite
Applichiamo questo limite notevole
Per dimostrare i seguenti limiti
:
investire 50 euro per 3 anni al 10% di interesse,
ricalcolandolo ogni 3 mesi , cioè n = 4;
Formula dell’interesse composto per
Altri esercizi su questo limite
notevole a pag. 201
Successioni