Analisi della varianza
• Resistenza di una fibra sintetica: essa è legata
alla percentuale di cotone che potrà però variare
tra il 10 e il 40% perché il prodotto rispetti altri
canoni di qualità
Percentuale
Cotone
Osservazioni
1
2
3
4
5
Totale
Media
15
7
7
15
11
9
49
9,80
20
12
17
12
18
18
77
15,40
25
14
18
18
19
19
88
17,60
30
19
25
22
19
23
108
21,60
35
7
10
11
15
11
54
10,80
376
15,04
Analisi della varianza
• Entrambi i grafici indicano che la resistenza
a trazione aumenta all’aumentare della
percentuale di cotone fino al 30%; oltre si
osserva un marcato decremento.
25
Resistenza a Trazione (lb/in^2)
Resistenza a trazione (lb/in^2)
30
20
10
0
20
15
10
5
15
20
25
30
Percentuale di Cotone, %
35
15
20
25
30
35
Percentuale di cotone, %
Come si procede se si vuole indagare sulle differenze tra le resistenze medie a
tutti gli a=5 livelli della percentuale di cotone
Analisi della varianza
• La procedura più appropriata per verificare
l’uguaglianza di medie di popolazioni è l’analisi
della varianza.
Livelli
Osservazioni
Totali
1
y11
y12
…
y1n
y1.
2
y21
y22
…
y2n
y2.
…
…
…
…
…
…
a
ya1
ya2
…
yan
ya.
y..
 i  1,2,..., a
Yij  i   ij 
 j  1,2,..., n
 ij  0  E Yij   ij
Medie
y1.
y 2.
...
ya.
y..
Modello delle medie
Yij  ij - esima osservazio ne
i  media della popolazion e corrispond ente all' i - esimo fattore o livello
 ij  componente di errore casuale (si assume ' per comodità' pari a 0! )
Analisi della varianza
• La procedura più appropriata per verificare
l’uguaglianza di due medie di popolazioni è
l’analisi della varianza.
Livelli
Osservazioni
Totali
1
y11
y12
…
y1n
y1.
2
y21
y22
…
y2n
y2.
…
…
…
…
…
…
a
ya1
ya2
…
yan
ya.
y..
i     i , i  1,2,..., a
 i  1,2,..., a
Yij     i   ij 
 j  1,2,..., n
Modello degli effetti
Yij  ij - esima osservazio ne
  media generale
 i  effetto del trattamen to i - esimo
 ij  componente di errore casuale
Medie
y1.
y 2.
...
ya.
y..
Analisi della varianza
• Il modello degli effetti è anche chiamato
analisi della varianza ad una via o ad un
fattore.
• Per la verifica di ipotesi, si assume che gli
errori nel modello siano variabili casuali,
distribuite normalmente ed
indipendentemente con valore atteso 0 e
varianza s2
Analisi della varianza
• Il modello degli effetti è detto ad effetti fissi se i
trattamenti (livelli) sono scelti specificatamente
dallo sperimentatore ed in tal caso le conclusioni
a cui si perviene saranno valide solo per i livelli
dei fattori considerati nell’analisi
• Il modello degli effetti è detto ad effetti casuali
se i trattamenti sono scelti casualmente tra un
campione più ampio di dati. In tal caso, le
conclusioni a cui si perviene sono generalizzabili
a tutto il campione di provenienza