Fotonica 2D
a
PhC in 2D
Invarianza traslazionale lungo z
Stati di Bloch
n1 n2
z
y
x
 
 

ik z z ik //   
H n,k (r )  e e un,k// ,k z (  )
  

k  k //  k z
  xxˆ  yyˆ
Invarianza traslazionale lungo z
a



ˆ
Tz (  , z )   (  , z )   (  , z )
z-z è una simmetria
n1 n2
z
y
x


Modi pari
U i (  , z )  U i (  , z )


i  x, y, z
U  E, H
Modi dispari
U i (  , z )  U i (  , z )
i  x, y, z
U  E, H
Nota su prodotto vettoriale (pseudovettore)
y
z
y
Terna destrogira
Terna levogira
x
z
ab
a
Regola
mano
destra
x
b
In entrambi i casi vale la regola ciclica:
Quindi
a
b
Regola
mano
sinistra
x=yz, y=zx, z=xy.
ab sistema destrogiro
ab sistema levogiro
Se destrogira → levogira allora ab cambia verso
Proprietà su riflessioni
z
E
E è un vettore
z-z
( E x , E y , E z )  ( E x , E y , E z )
y
H
x
H
E
H è uno pseudovettore
y
z-z
( H x , H y , H z )  (  H x , H y , H z )
x
z
a
Modi pari e dispari
z
y
x
+
+
Componenti pari
Componenti dispari
+
-


E x (  , z )  E x (  , z )


E y (  , z )  E y (  , z )


H z (  , z )  H z (  , z )


H x (  , z )   H x (  , z )


H y (  , z )   H y (  , z )


E z (  , z )   E z (  , z )
n1 n2
a
Modi pari e dispari
Modi pari
y
x
n1 n2
+
+
z
E , E , H 
x
y
z
+
Modi dispari
Transverse-electric (TE)

E  zˆ  0
H
x
, H y , Ez 
Transverse-magnetic (TM)

H  zˆ  0
Modi pari e dispari
Modi pari
z
H
x
, H y , Ez 


 
 
H
E
  E  
 H  
t
t

kz  0

E ( r )  E ( x, y )
Eq. Maxwell
 i E z
Hx 
 y
i H z
Ex 
 y
+
y
+
x
+
E , E , H 
Modi dispari
i E z
Hy 
 x
 i H z
Ey 
 x
Tre differenti PhC in 2D
High 
Low 
Distribuzione spaziale dei modi
 
 

ik z z ik //   


H n,k (r )  e e un,k// (  )
  

k  k //  k z
  xxˆ  yyˆ
kz  0




H n ,k (r )  un ,k// (  )
p
 
i x

a
H n,k (r )  e un,k// (  )
p

i
(
x

y
)





a


H n ,k (r )  e
un ,k// (  )
-point k=0
X-point k=(p/a,0)
M-point k=(p/a,p/a)
Bang gap si apre al bordo della FBZ
Richiamo esempio 1D
Splitting della degenerazione:
Aggiungiamo una
piccola anisotropia
2 = 1 + D
state concentrated in higher index (2)
has lower frequency
a
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

p 
sin  x 
 a 
p 
cos  x 
 a 
Air band
band gap
Dielectric band
0
(x) = (x+a)
π/a
x=0
Distribuzione spaziale dei modi
 2
d r  E


U f (H ) 
 2
3
 d r (r ) E
3


D2,n (r )  D1,n (r )


E2,t (r )  E1,t (r )
Principio variazionale:
i modi fotonici di più bassa
frequenza hanno ampiezza
concentrata nella regione ad
alto dielettrico.
Vale legge dei nodi
Boundary conditions
Sistema di colonne su reticolo quadtrato
High 
Low 
Struttura a bande
TM Gap
No TE gap
kz  0
Distribuzione spaziale dei modi
H
x
, H y , Ez 
Transverse-magnetic (TM)


E2,t (r )  E1,t (r )
 
UE   d r D  E
3
 2

D2,t (r )  D1,t (r )
1
Boundary conditions
Energia elettrica
(determina i gaps)
Discontinua all’interfaccia
Maggiore nel dielettrico
Distribuzione spaziale dei modi (TM)
Identico in ogni cella
Discontinuo all’interfaccia
1 nodo sullo stato eccitato
Grande differenza 
kz  0


Dn,k (r )  un,k// (  )
Distribuzione spaziale dei modi (TM)
cos-like
Modulazione p/a
Discontinuo all’interfaccia
Nodo stato eccitato nel dielettrico
Grande differenza 
kz  0
sin-like
p
i x


a
Dn,k (r )  e un,k// (  )
kz  0
Distribuzione spaziale dei modi (TM)
cos-like
sin-like
p


i
(
x

y
)


Modulazione p/a diagonale


a




Dn ,k (r )  e
u n ,k // (  )
Discontinuo all’interfaccia
Nodo stato eccitato nel dielettrico
Grande differenza 
Struttura a bande
Large
TM Gap
Distribuzione spaziale dei modi (TE)
D// field at X (TE)
band1
cos-like
Modulazione p/a
Continuo all’interfaccia
(espulsione campo da dielettrico)
Poca concentrazione in 2
Poca differenza 
band2
Grafico
qualitativo
D//
sin-like
p
i x


a
Dn,k (r )  e un,k// (  )
kz  0
Confronto TM vs TE
Forte
concentrazione:
 piccolo
D// field at X (TE)
Piccola
concentrazione:
 grande
band1
band2
Distribuzione
simile
Struttura a bande
Distribuzione
simile
 simile
Piccola
concentrazione:
 grande
Forte
concentrazione:
 piccolo
Struttura a bande
Dielectric spots
give
TM gap
and
No TE gap
Sistema di “piani” su reticolo quadrato
High 
Low 
Struttura a bande
TE Gap
Small TM gap
Distribuzione spaziale dei modi (TM)
Modulazione p/a
Discontinuo all’interfaccia
Entrambi concentrati nel dielettrico
Poca differenza 
kz  0
p
i x


a
Dn,k (r )  e un,k// (  )
Distribuzione spaziale dei modi (TE)
D// field at X (TE)
band1
Modulazione p/a
Continuo all’interfaccia
Differenza concentrazione
Grande differenza 
Grafico
qualitativo
band2 D//
p
i x


a
Dn,k (r )  e un,k// (  )
Struttura a bande
Piccola
concentrazione:
 grande
Forte
concentrazione:
 piccolo
D// field at X (TE)
band1
Distribuzione
simile
 simile
TE Gap
Small TM gap
Struttura a bande
Dielectric veins
give
TE gap
and
No TM gap
Sommario
Disgiunto
Favorisce i modi
con discontinuità
High 
Low 
Interconnesso
Favorisce i modi
senza discontinuità
Large TM gap
Small TM gap
Small TE gap
Large TE gap
Sistema di “fori” su reticolo triangolare
High 
Low 
Reticolo triangolare di fori
Interconnesso
Entrambi
High 
Low 
Disgiunto
Struttura a bande
Propagazione lungo z
Band gap
scompare
Propagazione lungo z
Band gap
scompare
Superficie
Conservazione ky: cono di luce
Terminazione
intera
Conservazione ky: cono di luce
Terminazione
Semi-intera
Stato di superficie