Microcavità 1D
Dipendenza angolare

BM
BM
Microcavità  
l
2
con l nel gap
Stato di
difetto
Aumentare Q: difetto al centro di un largo band gap
Dipendenza angolare
TC ( ) 
1
1  F sin 2 ( r  ( ) / 2)
( )
 ( )
 kz 
n cos 
2
c
Posizione picco ( r 
m ( )
c
n cos  )  m
 2 
 m ( 0)
m ( ) 
 m (0)1  
cos 
2 

Shift verso il blu
Dipendenza angolare
2

sin 2 
  (0)   (0)

2
ck sin 2 
  (0)  

n 2
 ck //2
 2 k //2
  (0) 
  (0) 
2 nk
2 m ph
nk n 2
m ph 
 2 
c
c
m ph
70
 (0)  1.5eV
60
Shift in energia (meV)
 ( )   (0)   (0)
2
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
Angolo Interno (gradi)
1.5 eV

 3 10 6
mel 0.5 MeV
Struttura a bande
kz
Misura di lambda dalle frange di interferenza (d>>l)
Frange di interferenza
per luce monocromatica
Esempio di spettroscopia atomica
Sodium
doublet
Set up
Fringes
zoom
Fotonica 2D
Struttura a bande
a
PhC in 2D
Invarianza traslazionale lungo z
Stati di Bloch
n1 n2
z
y
x
 
 

ik z z ik //   
H n,k (r )  e e un,k// ,k z (  )
  

k  k //  k z
  xxˆ  yyˆ
Invarianza traslazionale lungo z
a



ˆ
Tz (  , z )   (  , z )   (  , z )
z-z è una simmetria
n1 n2
z
y
x


Modi pari
U i (  , z )  U i (  , z )


i  x, y, z
U  E, H
Modi dispari
U i (  , z )  U i (  , z )
i  x, y, z
U  E, H
Nota su prodotto vettoriale (pseudovettore)
y
z
y
Terna destrogira
Terna levogira
x
z
ab
a
Regola
mano
destra
x
b
In entrambi i casi vale la regola ciclica:
Quindi
b
a
Regola
mano
sinistra
x=yz, y=zx, z=xy.
ab sistema destrogiro
ab sistema levogiro
Se destrogira → levogira allora ab cambia verso
Proprietà su riflessioni
z
E
E è un vettore
z-z
( E x , E y , E z )  ( E x , E y , E z )
y
H
x
H
E
H è uno pseudovettore
y
z-z
( H x , H y , H z )  (  H x , H y , H z )
x
z
a
Modi pari e dispari
z
y
x
+
+
Componenti pari
Componenti dispari
+
-


E x (  , z )  E x (  , z )


E y (  , z )  E y (  , z )


H z (  , z )  H z (  , z )


H x (  , z )   H x (  , z )


H y (  , z )   H y (  , z )


E z (  , z )   E z (  , z )
n1 n2
a
Modi pari e dispari
Modi pari
y
x
n1 n2
+
+
z
E , E , H 
x
y
z
+
Modi dispari
Transverse-electric (TE)

E  zˆ  0
H
x
, H y , Ez 
Transverse-magnetic (TM)

H  zˆ  0
Modi pari e dispari
Modi pari
z
H
x
, H y , Ez 
Eq. Maxwell
kz  0
+
y
+
x
+
E , E , H 
Modi dispari

 
H
  E  
t

 
E
 H  
t
 i E z
Hx 
 y
i H z
Ex 
 y
i E z
Hy 
 x
 i H z
Ey 
 x
Tre differenti PhC in 2D
High 
Low 
Bang gap si apre al bordo della FBZ
Richiamo esempio 1D
Splitting della degenerazione:
Aggiungiamo una
piccola anisotropia
2 = 1 + 
state concentrated in higher index (2)
has lower frequency
a
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

 
sin  x 
 a 
 
cos  x 
 a 
Air band
band gap
Dielectric band
0
(x) = (x+a)
π/a
x=0
Distribuzione spaziale dei modi
 
 

ik z z ik //   


H n,k (r )  e e un,k// (  )
  

k  k //  k z
  xxˆ  yyˆ
kz  0




H n ,k (r )  un ,k// (  )

 
i x

a
H n,k (r )  e un,k// (  )


i
(
x

y
)





a


H n ,k (r )  e
un ,k// (  )
-point k=0
X-point k=(/a,0)
M-point k=(/a,/a)
Distribuzione spaziale dei modi


   
H 2 (r ), H1 (r )  0
 2
d r  E


U f (H ) 

2

3
 d r (r ) E
3


D2,n (r )  D1,n (r )


E2,t (r )  E1,t (r )
Ortogonalità autovettori
Principio variazionale:
i modi fotonici di più bassa
frequenza hanno ampiezza
concentrata nella regione ad
alto dielettrico.
Boundary conditions
kz  0
Distribuzione spaziale dei modi
H
x
, H y , Ez 
Transverse-magnetic (TM)


E2,t (r )  E1,t (r )

2

3
U E   d r (r ) E
 2

D2,t (r )  D1,t (r )
1
Boundary conditions
Energia elettrica
(determina i gaps)
Discontinua all’interfaccia
Maggiore nel dielettrico
Sistema di colonne su reticolo quadtrato
High 
Low 
Distribuzione spaziale dei modi (TM)
Identico in ogni cella
Discontinuo all’interfaccia
1 nodo sullo stato eccitato
Grande differenza 
kz  0


Dn,k (r )  un,k// (  )
Distribuzione spaziale dei modi (TM)
cos-like
Modulazione /a
Discontinuo all’interfaccia
Nodo stato eccitato nel dielettrico
Grande differenza 
kz  0
sin-like

i x


a
Dn,k (r )  e un,k// (  )
kz  0
Distribuzione spaziale dei modi (TM)
cos-like
sin-like



i
(
x

y
)


Modulazione /a diagonale


a




Dn ,k (r )  e
u n ,k // (  )
Discontinuo all’interfaccia
Nodo stato eccitato nel dielettrico
Grande differenza 
Struttura a bande
Large
TM Gap
kz  0
Distribuzione spaziale dei modi
E , E , H 
x
y
z
Transverse-electric (TE)


D2,n (r )  D1,n (r )

2
1
3
UE   d r  D
 (r )
1
2
Boundary conditions
Energia elettrica
 2 1
 2
D2,n (r )  D1,n (r )
1
(determina i gaps)
Discontinua all’interfaccia
Minore nel dielettrico
Distribuzione spaziale dei modi (TE)
Grafico Hz
che è
“scalare”
 
E (r ) 
  
   H (r )
 o (r )
i
Massimi di E negli zeri di H
Distribuzione spaziale dei modi (TE)
D// field at X (TE)
band1
cos-like
Modulazione /a
Continuo all’interfaccia
(espulsione campo da dielettrico)
Poca concentrazione in 2
Poca differenza 
band2
Grafico
qualitativo
D//
sin-like

i x


a
Dn,k (r )  e un,k// (  )
kz  0
Confronto TM vs TE
Forte
concentrazione:
 piccolo
D// field at X (TE)
Piccola
concentrazione:
 grande
band1
band2
Distribuzione
simile
Struttura a bande
Distribuzione
simile
 simile
Piccola
concentrazione:
 grande
Forte
concentrazione:
 piccolo
Struttura a bande
TM Gap
No TE gap
Sistema di “piani” su reticolo quadrato
High 
Low 
Distribuzione spaziale dei modi (TM)
Modulazione /a
Discontinuo all’interfaccia
Entrambi concentrati nel dielettrico
Poca differenza 
kz  0

i x


a
Dn,k (r )  e un,k// (  )
Distribuzione spaziale dei modi (TE)
D// field at X (TE)
band1
Modulazione /a
Continuo all’interfaccia
Differenza concentrazione
Grande differenza 
Grafico
qualitativo
band2 D//

i x


a
Dn,k (r )  e un,k// (  )
Struttura a bande
TE Gap
Small TM gap
Sommario
Disgiunto
Favorisce i modi
con discontinuità
High 
Low 
Interconnesso
Favorisce i modi
senza discontinuità
Large TM gap
Small TM gap
Small TE gap
Large TE gap
Sistema di “fori” su reticolo triangolare
High 
Low 
Reticolo triangolare di fori
Interconnesso
Entrambi
High 
Low 
Disgiunto
Struttura a bande
Propagazione lungo z
Band gap
scompare
Superficie
Conservazione ky: cono di luce
Terminazione
intera
Conservazione ky: cono di luce
Terminazione
Semi-intera
Stato di superficie