aicap
Associazione Italiana
Calcestruzzo Armato e Precompresso
Napoli
10 Maggio 2007
GUIDA ALL’USO
DELL’EUROCODICE 2
NELLA PROGETTAZIONE
STRUTTURALE
EFFETTI DEL 2° ORDINE IN PRESENZA DI
CARICO ASSIALE (SEZ.5)
Franco MOLA, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI
Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Strutturale
GENERALITA’
DEFINIZIONI
•Elementi o sistemi controventati
•Elementi o sistemi controventanti
•Elementi isolati
•Lunghezza effettiva
•Momenti nominali di secondo ordine
GENERALITA’
PRINCIPI
Analisi generale includente gli effetti legati a:
•Non linearità meccanica
•Non linearità geometrica
•Imperfezioni
•Interazione con strutture adiacenti
GLI EFFETTI DI SECONDO ORDINE
POSSONO ESSERE TRASCURATI SE
INFERIORI DEL 10% DEI
CORRISPONDENTI DI PRIMO ORDINE
Criteri semplificati per stimare la sensibilità agli
effetti del secondo ordine di elementi isolati
Valore limite per la snellezza
A  1 1  0.2 ef 
B  1  2
 lim
C
 20  A  B 
n
(A=0.7)
  Asfyd (A cfcd )
(B=1.1)
C  1.7  rm rm  M01 M02 M 02  M 01
n  NEd  A cfcd 
(C=0.7)
SNELLEZZA PER ELEMENTI ISOLATI

k 1 
k2 
l 0  0.5  l   1 
 1 

0.45

k
0.45

k

1 
2 

10k 1k 2 
k1  
k 2  
l 0  l  max  1 
; 1 
  1 

k 1  k 2  1  k 1   1  k 2  

EFFETTI GLOBALI NEGLI EDIFICI
EI
l0  
NB
FV,Ed
n s  Ecd I c
 k1
n s  1.6 L2
EFFETTI DELLA VISCOSITA’
ef    , t 0 
M 0Eqp
M 0Ed
  , t 0   2
  75
M 0Ed
h
N Ed
I METODI DI MISURA DELLA SICUREZZA
• Metodo Generale (GM)
(Analisi in presenza di non linearità geometrica e
meccanica)
• Metodo della Rigidezza Nominale (RN)
(Metodo P-D,valutazione dei fattori di amplificazione
degli effetti di primo ordine secondo il metodo della
colonna modello migliorato)
• Metodo della Curvatura Nominale (CN)
(Metodo del momento complementare)
IL METODO GENERALE
• Non linearità meccanica e geometrica
• Nella legge s-e del calcestruzzo il parametro k deve valutarsi in
corrispondenza a fcd ed Ecd=Ecm/(gce=1.2)
• Amplificazione delle deformazioni istantanee con (1+ef)
• Non considerazione del contributo irrigidente del calcestruzzo teso
P
e0
F
F
u
F
b
(2) Crisi per collasso sezionale
(1)
F
vb
v
(1) Crisi per instabilità
(2)
vu vbu
v
IL METODO DELLA RIGIDEZZA NOMINALE
• Non linearità geometrica
• Non linearità meccanica: stima della distribuzione delle
rigidezze flessionali
s  2%
Ks  1
k 1k 2
Kc 
1  ef 
EI  K c Ecd Ic  Ks EsIs
fck
k1 
[MPa]
20


 0.2
n 
K 2   170
0.30  n  0.20
1%  s  2%
Ks  0
0, 3
Kc 
1  0, 5ef 
P
a2
F
• Non linearità geometrica: metodi generali o approssimati
 kl 2

4 l2
P  a 1  a 2   P  M1   P  M  M1  2
 M  M1
 EI
 EI


 
M1
a1 sinusoidale
2
M  M1 1 
M

   k 4
1


1
1 


v
• Confronto fra le sollecitazioni agenti e quelle resistenti
a1
a
IL METODO DELLA RIGIDEZZA NOMINALE
PE=2EI/4l2
EI  K c Ecd Ic  Ks EsIs
M [kN m]
Pd
l
(EI)c
M=MI/(1-)
=P/PE
(e)
MI=Pe0
PU
PE
PU*
e0
N [kN]
IL METODO DELLA CURVATURA NOMINALE
• Elementi singoli, forza normale costante, lunghezza di libera
inflessione definita
• Confronto fra il momento agente e quello resistente ultimo
MEd  M0Ed  M2
M0e  0,6M02  0, 4M01  0, 4M02
Momento complementare
M2  NEd  e2
• Stima della curvatura nella sezione critica
N Ed
n
fcd A c
nu  n 

Kr 
1
nu  1  
 n u  n bal 
n bal  0, 4
M
02
 M01 
1 l 02
e2  
r c
1
1
 KrK
r
r0
K   1  ef  1
fck

  0, 35 

200 150
M02
M01
 yd
1

r0 0.45d
IL METODO DELLA CURVATURA NOMINALE
N=NEd
M [kNm]
MI
MI=M-MII
MI
MII
1/r
MU
2
 1  l0
M 2  N Ed     2
r π
1/rU
1/r [1/m]
(1/r0)* 1/r0
Curvatura di equilibrio (MC)
2
 1  l0
M2  N     2
r π
Curvatura nominale (CM)
M [kN m]
MI
MII
N=NEd
N [kN]
ESEMPIO 1 – Controllo della snellezza
Pd
(EI)b
h
l
Pd
(EI)b
h
(EI)c
l
(a)
l
(EI)c
Pd
l
(d)
Pd
(EI)c
l
(e)
450
450
(EI)c
(4+4)20
50
rm=-1/2
rm=-1/2
rm=0
rm=1
rm=1
,
,
,
,
,
C=2.2 (caso (a))
C=2.2 (caso (b))
C=1.7 (caso (c))
C=0.7 (caso (d))
C=0.7 (caso (e))
(EI)c
(c)
(b)
(EI)b
h
Pd
(EI)b
h
50
fck = 35 MPa
fyk = 450 MPa
ef = 2
 = 0.2446
Pd = 1.5 MN
(EI)b/(EI)c=2/3
h/l = 1.20
l=6m
, k1=[h/3(EI)b][(EI)c/l]=0.6
, k1=
, k1=
, k1=0.6
, k1=
,
,
,
,
,
k2=0
k2=0
k2=
k2=0
k2=0
 lim 
20  0.714  1.22  2.2
 62.76
0.373
  0.5  6 
 lim 
  6
12
 32.33   lim
0.45
(a)
Pd
(EI)b
h
l
(EI)c
(b)
Pd
(EI)b
h
20  0.714  1.22  1.7
 48.49
0.373
12
 46.18   lim
0.45
(EI)c
l
20  0.714  1.22  2.2
 62.76
0.373
  0.7  6 
 lim 
12
0.6
1
 28.95   lim
0.45
0.45  0.6
Pd
(EI)b
h
l
(c)
(EI)c
 lim 
  6
20  0.714  1.22  0.7
 19.97
0.373

12
10  k 1  k 2
 max  1 
0.45
k1  k 2

 lim 
l
 0.6  
; 1 
   63.51   lim
 1.6  
(d)
Pd
20  0.714  1.22  0.7
 19.97
0.373
  62
12
 92.38   lim
0.45
Pd
(EI)b
h
l
(e)
(EI)c
(EI)c
ESEMPIO 2 – Misura della sicurezza allo stato limite di
instabilità, applicazione dei metodi RN e CN
l = 12000 mm
Pd
Fd
e0 = 400 mm
70
e0
5
fck = 40 MPa
5
fcd = 22.67 MPa
70
l
fyk = 450 MPa
fsd = 391 MPa
euk = 75‰
(10+10)24
ef = 2.5
Pd = 1 MN
Fd = 40 kN
Ecm = 35 GPa
ESEMPIO 2 - Metodo RN, analisi strutturale
l0 = 2l = 24000 mm
r = 202.07 mm
Pd
Fd
l = 119
n = 0.09
e0
Ks = 1 , k = f 20=1.41 , k2 = 0.063
1
ck
Kc = 0.0254
l
Ecd = 29.167 GPa
Es = 200 GPa
EI=KcEcdIc+KsEsIs=17.751013 Nmm2
NB = 3.04 MN
NB / Ned = 1/ = 3.04
 = 0.33
70
5
,
5
70
(10+10)24
 β α
 β α
M Ed  Pd  e 0  1  P   Fd  l  1  F 
 1- α 
 1- α 
P = 10/8 ; F = 10/12
MEd = 1321 kNm
bp,bf, coefficienti di correzione dipendenti dalla
distribuzione dei momenti di primo ordine
ESEMPIO 2 - Metodo CN, analisi strutturale
Pd
Fd
 = 0.318
nu = 1.318
e0
Kr = 1.338 > 1
essendo Kr > 1, si assume Kr = 1.
l
 = –0.243
K = 0.39
essendo K < 1, si assume K = 1.
70
5
1/r = 1/r0 =eyd/(0.45d)= 6.6910-6 mm-1
5
e2 = 4l2/2
70
(10+10)24
 (1/r0) = 390.44 mm
MEd = MI + P
e2
MEd = 1270 kNm
ESEMPIO 2 – Analisi sezionale
70
c = cu
5
5
As=45.2
cm 2
70
A’s =45 .2 cm 2
s
yn
’s
 cu
’s = -1.70‰
s = 19.94‰
x = yn/h = 0.139
N = -1 MN
MR = 1374 kNm
MEd (RN) = 1321 kNm
MEd (CN) = 1270 kNm
ESEMPIO 3 - Progetto di una colonna
Pd
Fd
e0
l
z
l = 20210 mm
fck = 40 MPa
Pd = -1450 kN
fcd = 22.67 MPa
e0 = 200 mm
fyk = 450 MPa
Fd = 20 kN
ef = 1.5
d’ = 50 mm
y
CONDIZIONE DI PROGETTO
l=140 ; n=-0.08
λ=2l 12/h=140
n = Pd/(fcdbh)


h=1000 mm
50
50
800
b = 800 mm
A’s=As
y
1000
x
As
ESEMPIO 3 - Metodo CN
si assume nu = 1
Kr = 1.53 > 1  Kr = 1
Fd
K = 0.425 < 1  K = 1
1/r0 = yd/(0.45 d)
e0
e2 = 4l2/2  yd/(0.45 d)
l
m = m1 + n(l2/54)yd/d
z
50
y
50
800
A’s=As
Pd
y
1000
x
As
ESEMPIO 3 - Metodo CN, analisi sezionale
  x
gs  x  k
x
1  gs  x
n 2  yd
0.8x   0.5  0.4 x    0.8x  n  
  0.5     m1 
1  gs  x
54 
n  0.8x
s 
1  gs  x
0
s
124
222
224
Pd = –1450 kN
MEd = 1781 kNm
a= 0.749 m
M2=1086 kNm
Soluzione teorica
80
100
Soluzione progettuale
x = 0.1052
x = 0.1053
s = 0.0682
s = 0.0717
As = 3161 mm2
NR = –1450 kN
MR = 1777 kNm
222
124
As = 3328 mm2
NR = –1450 kN
MR = 1834 kNm
ESEMPIO 3 - Metodo RN
 10

 10

1
1
M  M1,P 1 
  M1,F 1 

8
1


1
12
1


1






M1 = M1,P + M1,F

1.25M1,P  0.83M1,F 
M  M1 
1 
NBE = (EI) p2 / 4l2
a = Nd / NBE
EI = KcEcdIc + KsEsIs
2

Es
 h   12 
EI  Ecd I c  K c 
 2A s   d   3 
Ecd
2
 bh 

Es fcd
2

0 
  1  2 
Ecd f yd
Kc + 6 z0 ws = c (n, l, ws)
EI = EcdIc [Kc + 6 z0 ws]
EI = EcdIc c
fck
, k2 = n   / 170 ≤ 0.20, k 1 
20
2
2
N

4l
n


fcd
d
NBE = 2 EcdIc  / 4l2,
 2

2
 Ecd bh  r  10Ecd 

0.1218
1


1   1.93s  0.0852 15.84 s  0.7
Kc = k1 k2 / (1 + fef)
1
1.25m1,P  0.83m1,F 
m  m1 
15.84 s  0.7
1
0.0385
m  0.0383 
0.02  0.0185  0.0383 
15.84 s  0.7
15.84 s  0.7
ESEMPIO 3 - Metodo RN, analisi sezionale
n  0.8x
0   x
gs  x  ks
s 
x
1  gs  x
1  gs  x
0.0385

0.8x  0.5  0.4 x    0.8x  n 
0.5



0.0383



1  gs  x
15.84 s  0.7
Pd = –1450 kN
MEd = 1957 kNm
a= 0.814 m
M2=1262 kNm
s
x
1 + gs(x)
s
0.075
0.10604
0.05402
0.0864
0.080
0.10557
0.05778
0.0771
0.079
0.10566
0.05706
0.0793
0.0791
0.10565
0.05714
0.0791
MRd=1994 kNm
222
524
80
100
222
CONFRONTO TRA I METODI
Calcolo della forza orizzontale massima
-METODO CN
M 1P  1450  200
1000
 290 kNm
e 2  814 mm
M 2  P  e2  1450  814
RN
Fmax
-METODO RN
e2  749 mm
 1181 kNm
1000
 1994  290  1181
 25.88 kN
20.21
Pd
Fd
e0
l
z
y
CN
CN
CN
M Ed  Fmax
 l  P  e0  e2   Fmax
 l  1450  200  749
 Fmax
 l  1376
1000
M u  M Ed  1994  1376
 30.58 kN
20.21
CONFRONTO CON IL METODO GENERALE E IL METODO DELLA
COLONNA MODELLO
Fu (kN)
e2 (mm)
M2+MIP (kNm)
ME,d (kNm)
CN
30.58
749
1376
1994= Mu
RN
25.88
814
1471
1994= Mu
MC
40.00
490
1000
1808<Mu
GM
46.50
419
897
1837< Mu
50
F (GM)
= 46.5 kN
max
(MC)
F max = 40 kN
40
(CN)
GM
Fmax = 30.58 kN
30
(RN)
F [kN]
Fmax = 25.88 kN
20
P
e0
P = 1450 kN
l = 20210 mm
e0 = 200 mm
fck = 40 MPa
fyk = 450 MPa
MC
10
0
As
SEZ. A-A
50
50
l
A
A
As
800
-10
F
As = 3780 mm2
s = 0.0815
1000
-20
0
100
200
300
a [mm]
400
500
600
CONFRONTO TRA I METODI DI ANALISI
Criterio di equivalenza
Metodo della Rigidezza Nominale

M2 
M1
1 
Metodo della Curvatura Nominale
l2 1
M 2  N Ed  4  2 
 r0
M2 (RN)  M2 (CN)
n  fcd  2

 2
2
 Ec
 2
r 
  Ec A c 4l 2  



l2 1
M1
 NEd  4 2 
1 
 r0
NEd
M0  Ec Ic / r0  EcIc yd /(0.45d)
n  fcd  2
M1

M0
10Ec
CONFRONTO TRA I METODI DI ANALISI
Metodo della Rigidezza Nominale
]m Nk[ M
Metodo della Curvatura Nominale
M
M[kN m]
M=MI/(1-) M=P(e0+e2)
MI=Pe0
MI=Pe0
N
PU PE
PU*
]Nk[ N
e0
N [kN]
(e0+e2)
PU*
PU
-N