aicap
Associazione Italiana Calcestruzzo Armato e Precompresso
Consiglio Superiore dei LL.PP.
Facoltà di Ingegneria della Università degli Studi di Bologna
Bologna
13 Marzo 2008
LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO:
DALL’EUROCODICE 2 ALLE NORME TECNICHE
EFFETTI DEL 2° ORDINE IN PRESENZA
DI CARICO ASSIALE
Franco MOLA, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI
Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Strutturale
ANALISI STRUTTURALE IN PRESENZA DI FENOMENI
DEL 2° ORDINE
DEFINIZIONI
•Elementi o sistemi controventati
•Elementi o sistemi controventanti
•Elementi isolati
•Lunghezza effettiva
•Momenti nominali di secondo ordine
ANALISI STRUTTURALE IN PRESENZA DI FENOMENI
DEL 2° ORDINE
PRINCIPI
Analisi generale includente gli effetti legati a:
•Non linearità meccanica
•Non linearità geometrica
•Imperfezioni
•Interazione con strutture adiacenti
GLI EFFETTI DI SECONDO ORDINE
POSSONO ESSERE TRASCURATI SE
INFERIORI DEL 10% DEI
CORRISPONDENTI DI PRIMO ORDINE
Criteri semplificati per stimare la sensibilità agli
effetti del secondo ordine di elementi isolati
Valore limite per la snellezza
NTC
A  1 1  0.2 ef 
B  1  2
 lim
 lim
C
 20  A  B 
n
C
 15.4 
n
(A=0.7)
  Asfyd (A cfcd )
(B=1.1)
C  1.7  rm rm  M01 M02 M 02  M 01
n  NEd  A cfcd 
(C=0.7)
SNELLEZZA PER ELEMENTI ISOLATI

k 1 
k2 
l 0  0.5  l   1 
 1 

0.45

k
0.45

k

1 
2 

10k 1k 2 
k1  
k 2  
l 0  l  max  1 
; 1 
  1 

k 1  k 2  1  k 1   1  k 2  

EFFETTI GLOBALI NEGLI EDIFICI
EI
l0  
NB
FV,Ed
n s  Ecd I c
 k1
n s  1.6 L2
EFFETTI DELLA VISCOSITA’
ef    , t 0 
M 0Eqp
M 0Ed
  , t 0   2
  75
M 0Ed
h
N Ed
I METODI DI MISURA DELLA SICUREZZA
• Metodo Generale (GM)
(Analisi in presenza di non linearità geometrica e
meccanica)
- NTC: Analisi non lineare
• Metodo della Rigidezza Nominale (RN)
(Metodo P-D,valutazione dei fattori di amplificazione
degli effetti di primo ordine secondo il metodo della
colonna modello migliorato)
- NTC: Analisi elastica lineare
• Metodo della Curvatura Nominale (CN)
(Metodo del momento complementare)
- NTC: Determinazione della curvatura attraverso l’imposizione
dell’equilibrio in sezioni predeterminate (i.e. Metodo della
Colonna Modello)
IL METODO GENERALE
• Non linearità meccanica e geometrica
• Nella legge s-e del calcestruzzo il parametro k deve valutarsi in
corrispondenza a fcd ed Ecd=Ecm/(gce=1.2)
• Amplificazione delle deformazioni istantanee con (1+ef)
• Non considerazione del contributo irrigidente del calcestruzzo teso
P
e0
F
F
u
(2)
(1) Crisi per instabilità
F
b
(1)
F
(2) Crisi per collasso sezionale
vb
v
vu vbu
v
IL METODO DELLA RIGIDEZZA NOMINALE
• Non linearità geometrica
• Non linearità meccanica: stima della distribuzione delle
rigidezze flessionali
EI  K c Ecd Ic  Ks EsIs
s  2%
1%  s  2%
Ks  1
Ks  0
k 1k 2
Kc 
1  ef 
0, 3
Kc 
1  0, 5ef 
f
k 1  ck [MPa]
20
NTC


n

 0.2

k 2   170
0.30  n  0.20
EI 
0.3
Ecd Ic
1  0.5
IL METODO DELLA RIGIDEZZA NOMINALE
• Non linearità geometrica: metodi generali o approssimati
 kl 2

4 l2
P  a 1  a 2   P  M1   P  M  M1  2
 M  M1
 EI
 EI


 
2
M  M1 1 


k

4

 1   1
F
P
a2
a1 sinusoidale
M1
M
1 
v
a1
a
• Confronto fra le sollecitazioni agenti e quelle resistenti
IL METODO DELLA RIGIDEZZA NOMINALE
PE=2EI/4l2
EI  K c Ecd Ic  Ks EsIs
M [kN m]
Pd
l
(EI)c
M=MI/(1-)
=P/PE
(e)
MI=Pe0
PU
PE
PU*
e0
N [kN]
IL METODO DELLA CURVATURA NOMINALE
• Elementi singoli, forza normale costante, lunghezza di libera
inflessione definita
• Confronto fra il momento agente e quello resistente ultimo
MEd  M0Ed  M2
M0e  0,6M02  0, 4M01  0, 4M02
M02
M
02
 M01 
M01
Momento complementare
M2  NEd  e2
1 l 02
e2  
r c
IL METODO DELLA CURVATURA NOMINALE
• Stima della curvatura nella sezione critica
1
1
 KrK
r
r0
Kr 
nu  n 
 n u  n bal 
1
N Ed
n
fcd A c
nu  1  
n bal  0, 4
K   1  ef  1
 yd
1

r0 0.45d
  0, 35 
fck


200 150
IL METODO DELLA CURVATURA NOMINALE
N=NEd
M [kNm]
MI
MI=M-MII
MI
MII
1/r
MU
2
 1  l0
M 2  N Ed     2
r π
1/rU
1/r [1/m]
(1/r0)* 1/r0
Curvatura di equilibrio (MC)
2
 1  l0
M2  N     2
r π
Curvatura nominale (CM)
M [kN m]
MI
MII
N=NEd
N [kN]
IL METODO DELLA COLONNA MODELLO
–
–
–
–
Gli spostamenti laterali sono descritti da curve predeterminate
Il momento esterno del I ordine è massimo alla base della colonna
La sezione trasversale è costante (calcestruzzo e acciaio)
Il carico assiale è applicato in sommità
v(z)=v[1-cos(z/2L)]
Mint (v(0))= M0 +HL+Nv
Mint (v(0))= (4L2 /2 )Nv(0)+M 0 +HL
Mint (1/r)= (4L2 /2 )N(1/r)+M 0 +HL
ESEMPIO 1 – Controllo della snellezza
Pd
(EI)b
h
l
Pd
(EI)b
h
(EI)c
l
(a)
l
(EI)c
Pd
l
(d)
Pd
(EI)c
l
(e)
450
450
(EI)c
(4+4)20
50
rm=-1/2
rm=-1/2
rm=0
rm=1
rm=1
,
,
,
,
,
C=2.2 (caso (a))
C=2.2 (caso (b))
C=1.7 (caso (c))
C=0.7 (caso (d))
C=0.7 (caso (e))
(EI)c
(c)
(b)
(EI)b
h
Pd
(EI)b
h
50
fck = 35 MPa
fyk = 450 MPa
ef = 2
 = 0.2446
Pd = 1.5 MN
(EI)b/(EI)c=2/3
h/l = 1.20
l=6m
, k1=[h/3(EI)b][(EI)c/l]=0.6
, k1=
, k1=
, k1=0.6
, k1=
,
,
,
,
,
k2=0
k2=0
k2=
k2=0
k2=0
20  0.714  1.22  2.2
 lim 
 62.76
0.373
15.4  2.2
 NTC

 55.47
lim
0.373
  0.5  6 
12
0.6
1
 28.95   lim
0.45
0.45  0.6
20  0.714  1.22  2.2
 lim 
 62.76
0.373
15.4  2.2
 NTC

 55.47
lim
0.373
12
  0.7  6 
 32.33   lim
0.45
20  0.714  1.22  1.7
 lim 
 48.49
0.373
15.4  1.7
 NTC

 42.87
lim
0.373
  6
12
 46.18   lim
0.45
Pd
(EI)b
h
(EI)c
l
(a)
Pd
(EI)b
h
l
(EI)c
(b)
Pd
(EI)b
h
l
(c)
(EI)c
 lim

20  0.714  1.22  0.7

 19.97
0.373
NTC
lim
15.4  0.7

 17.65
0.373

12
10  k 1  k 2
  6
 max  1 
0.45
k1  k 2

 lim
l
(d)
 0.6  
; 1 
   63.51   lim
 1.6  
20  0.714  1.22  0.7

 19.97
0.373
 NTC
lim 
15.4  0.7
 17.65
0.373
  62
12
 92.38   lim
0.45
Pd
(EI)b
h
Pd
l
(e)
(EI)c
(EI)c
ESEMPIO 2 – Misura della sicurezza allo stato limite di
instabilità, applicazione dei metodi RN e CN
l = 12000 mm
Pd
Fd
e0 = 400 mm
70
e0
5
fck = 40 MPa
5
fcd = 22.67 MPa
70
l
fyk = 450 MPa
fsd = 391 MPa
euk = 75‰
(10+10)24
ef = 2.5
Pd = 1 MN
Fd = 40 kN
Ecm = 35 GPa
ESEMPIO 2 - Metodo RN, analisi strutturale
EI=0.0254EcdIc+1EsIs=17.751013 Nmm2
NB = 3.04 MN
 = 0.33
Pd
Fd
e0
 β α
 β α
M Ed  Pd  e 0  1  P   Fd  l  1  F 
 1- α 
 1- α 
l
MEd = 1321 kNm
NTC
EI=0.13EcdIc=7.781013 Nmm2
NB=1.33 MN
70
5
MEd=Pde0[1/cos(l)]+FdL[tg(l)/l]
5
= 0.752
70
l = /2 √0.752 = 1.36
cos(l) = 0.209
(10+10)24
;
MEd = 3563 kNm
tg(l) = 4.673
ESEMPIO 2 - Metodo CN, analisi strutturale
Pd
Fd
 = 0.318
nu = 1.318
e0
Kr = 1.338 > 1
essendo Kr > 1, si assume Kr = 1.
l
 = –0.243
K = 0.39
essendo K < 1, si assume K = 1.
70
5
1/r = 1/r0 =eyd/(0.45d)= 6.6910-6 mm-1
5
e2 = 4l2/2
70
(10+10)24
 (1/r0) = 390.44 mm
MEd = MI + P
e2
MEd = 1270 kNm
ESEMPIO 2 – Analisi sezionale
70
c = cu
5
5
As=45.2
cm 2
70
A’s =45 .2 cm 2
s
yn
’s
 cu
’s = -1.70‰
s = 19.94‰
x = yn/h = 0.139
N = -1 MN
MR = 1374 kNm
MEd (RN) = 1321 kNm
MEd (NTC) = 3563 kNm
MEd (CN) = 1270 kNm
ESEMPIO 2 - Metodo della Colonna Modello
1600
MEd
M [kNm]
Mu
1400
1321 (RN)
1270 (CN)
1200 1120
1000
M
1374
0
800
600
400
200
0
0.000
0.0041
1/r [m-1]
0.0067
0.005
0.010
0.015
0.020
ESEMPIO 3 - Progetto di una colonna
Pd
Fd
e0
l
z
l = 20210 mm
fck = 40 MPa
Pd = -1450 kN
fcd = 22.67 MPa
e0 = 200 mm
fyk = 450 MPa
Fd = 20 kN
ef = 1.5
d’ = 50 mm
y
CONDIZIONE DI PROGETTO
l=140 ; n=-0.08
λ=2l 12/h=140
n = Pd/(fcdbh)


h=1000 mm
50
50
800
b = 800 mm
A’s=As
y
1000
x
As
CONFRONTO TRA I METODI
Calcolo della forza orizzontale massima
-METODO RN
M1P  1450  200
e2  M 2 N Ed
 290 kNm
1000
 814 mm
e0
M 2  P  e2  1450  814
RN
Fmax

20.21
e 2  749 mm
CN
CN
M Ed  Fmax
 l  P   e0  e 2   Fmax
 l  1450 
CN
Fmax

1994  1376 
-METODO NTC
 1181 kNm
1000
1994   290  1181 
-METODO CN
20.21
1000
CN
 Fmax
 l  1376
 30.58 kN
  0.656 1 1-   2.91
max
l
 25.88 kN
 200  749 
 M P1  M F1   2.91  M Rd
1994  1.45  200 
FNTC 
Pd
Fd
 20.21 2.91
 19.56 kN
z
y
CONFRONTO CON IL METODO GENERALE E IL METODO DELLA
COLONNA MODELLO
e2 (mm)
M2+MIP
(kNm)
ME,d (kNm)
CN
30.58
749
1376
1994= Mu
RN
25.88
814
1471
1994= Mu
MC
40.00
490
1000
1808<Mu
NTC
19.56
900
1597
1994=Mu
GM
46.50
419
897
1837< Mu
50
F (GM)
= 46.5 kN
max
(MC)
F max = 40 kN
40
(CN)
GM
Fmax = 30.58 kN
30
(RN)
Fmax = 25.88 kN
F [kN]
Fu (kN)
20
P
e0
P = 1450 kN
l = 20210 mm
e0 = 200 mm
fck = 40 MPa
fyk = 450 MPa
MC
10
0
As
SEZ. A-A
50
50
l
A
A
As
800
-10
F
As = 3780 mm2
s = 0.0815
1000
-20
0
100
200
300
a [mm]
400
500
600
CONFRONTO TRA I METODI DI ANALISI
Criterio di equivalenza

M1
1 
Metodo della Rigidezza Nominale
M2 
Metodo della Curvatura Nominale
l2 1
M 2  N Ed  4  2 
 r0
M2 (RN)  M2 (CN)
n  fcd  2

 2
2
 Ec
 2
r 
  Ec A c 4l 2  



l2 1
M1
 NEd  4 2 
1 
 r0
NEd
M0  Ec Ic / r0  EcIc yd /(0.45d)
n  fcd  2
M1

M0
10Ec
CONFRONTO TRA I METODI DI ANALISI
Metodo della Rigidezza Nominale
]m Nk[ M
Metodo della Curvatura Nominale
M
M[kN m]
M=MI/(1-) M=P(e0+e2)
MI=Pe0
MI=Pe0
N
PU PE
PU*
]Nk[ N
e0
N [kN]
(e0+e2)
PU*
PU
-N
ESEMPIO 2 - NTC, analisi elastica lineare
l0 = 2l = 24000 mm
Pd
Fd
r = 202.07 mm
l = 119
n = 0.09
e0
Ecd = 29.167 GPa
l
,
Es = 200 GPa
 = ef = 2.5
EI=0.3/(1+0.52.5)291677004/12=7.781013 Nmm2
NB=[27.781013/(4120002)]10-6=1.33 MN
MEd=Pde0[1/cos(l)]+FdL[tg(l)/l]
70
5
= NEd/NB = 1/1.33 = 0.752
5
l = /2 √0.752 = 1.36
70
(10+10)24
cos(l) = 0.209
;
tg(l) = 4.673
MEd=[400106(1/0.209)+4012106(4.673/1.36)]10-6
MEd = 3563 kNm