Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto di un telaio piano in
c.a.: Analisi delle
Sollecitazioni secondo il
Metodo dei vincoli ausiliari.
Bozza del 03/04/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI
Predimensionamento degli elementi dell’intera struttura.
Analisi delle sollecitazioni
di uno dei telai trasversali
Metodo degli Spostamenti
Metodo di Hardy-Cross
(con vincoli ausiliari)
Bozza del 03/04/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI
Analisi dei carichi
Predimensionamento
Definizione delle
combinazioni di carico
Metodo degli Spostamenti (MdS)
Analisi delle sollecitazioni
Metodo dei vincoli ausiliari
Progetto e verifica degli
elementi strutturali
Bozza del 03/04/2008
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
Soluzione
Esempio:
Combinazione
di carico n.2
Vincoli
ausiliari
(carrelli
ad asse
orizz.)

(S)
R3(0)
R2(0)
Cedimento di
imposto al
carrello i-esimo
R3(2)
R2(2)
 a3
 a2
 a1
R1(2)
R1(0)
(S0)
Ri(j): reazione del
vincolo ausiliare
i-esimo sullo
schema j-esimo
Bozza del 03/04/2008
(S1)
(S2)
(S3)
La soluzione dello schema S può essere ottenuta per sovrapposizione delle
soluzioni Si imponendo che le reazioni dei vincoli ausiliari siano nulli:
Ri  Ri
( 0)
ns
  a jRi( j)  0
j 1
i  1...ns
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
Si ottiene, dunque, un sistema di tre equazioni (ognuna relativa ad uno dei vincoli ausiliari)
da cui si possono trarre i valori dei coefficienti di combinazione aj:
 R1( 0)  a1R1(1)  a 2R1(2)  a 3R1(3)  0
 ( 0)
(1)
(2)
(3)
R2  a1R2  a 2R2  a 3R2  0
R ( 0)  a R (1)  a R (2)  a R (3)  0
1 3
2 3
3 3
 3
a1 , a2, a3 
Con riferimento a questa terna di valori, noti i parametri della soluzione S0 e delle soluzioni
degli schemi Si, è possibile valutare tutti i parametri della soluzione dello schema S. Ad
esempio il generico momento Mij si valuta per combinazione come segue:
Mij  Mij(0)  a1Mij(1)  a2Mij(2)  a3Mij(3)
Per attuare questo procedimento, ovviamente, è necessario risolvere gli schemi S0 e gli
schemi Sj. Si tratta di schemi a “nodi fissi” nel senso che, per ognuno, si conoscono a priori i
valori degli spostamenti di piano. Per lo Schema S0 (sul quale sono applicate le azioni che
caratterizzano la combinazione di carico in oggetto) gli spostamenti sono nulli per effetto
della presenza dei vincoli ausiliari; sullo schema Sj si impone al solo carrello j-esimo uno
spostamento orizzontale. Su tutti gli schemi si valutano gli effetti delle azioni (carichi e
cedimenti) dapprima in termini di momento e poi valutando i tagli (per equilibrio d’asta) e
sforzi normali (per equilibrio di nodo). Dall’imposizione degli equilibri di nodo si desumono
pure le reazioni dei vincoli ausiliari
Bozza del 03/04/2008
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
Alcune Osservazioni sul Procedimento
Il calcolo delle caratteristiche della sollecitazione con il metodo di Hardy-Cross con i vincoli ausiliari
prevede, per ogni combinazione di carico considerata, la soluzione dello schema a nodi fissi S0 ed un
numero di schemi Sj a nodi traslati pari al numero di nodi spostabili che caratterizza la struttura.
Si osserva che, volendo analizzare più combinazioni di carico, gli schemi a nodi traslati sarebbero gli
stessi dal momento che essi attengono soltanto allo schema strutturale e non ai carichi applicati.
Pertanto, andrebbe soltanto risolto lo schema a nodi fissi relativo alla combinazione di carico in
oggetto le cui soluzioni in termini di reazioni dei vincoli ausiliari potrebbero essere utilizzate per il
calcolo della terna di valori (a1, a2, a3) relativa alla combinazione in oggetto.
E’ opportuno che il valore dello spostamento d da assegnare agli schemi Sj
deve essere scelto in modo da generare momenti di incastro perfetto sui
pilastri dello stesso ordine di grandezza di quelli che si trovano sulle travi
nello schema S0 per effetto dei carichi.
Uijpild

qd  l2
12
Bozza del 03/04/2008
d
qd  lt 2
12  Uijpil

qd  lt 2  lpil2
72  EI pil
100  (5000)2  (3000)2 1 10 4  10 5
d
 
[mm]
3
E
E
72  300  600 / 12
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
Applicazione al caso in esame
Nodo
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Asta
Asta
1,4
4-1
4-5
4,7
4-7
7,10
5-2
2,5
5-4
5,8
5-6
8,11
5-8
3,6
6-3
6,9
6-5
9,12
6-9
4,5
7-4
5,6
7-8
7,8
7-10
8,9
8-5
10,11
8-7
11,12
8-9
8-11
9-6
9-8
9-12
10-7
10-11
11-8
11-10
11-12
12-9
12-11
Lijij
W
[cm]
[kNm]
350
119048
120000
350
119048
350
238095
350
120000
350
108000
350
238095
350
119048
350
108000
350
119048
450
119048
500
120000
450
119048
500
238095
450
120000
500
108000
238095
119048
108000
119048
119048
120000
238095
120000
108000
119048
108000
Bozza del 03/04/2008
bjW ij
h
[cm]
[kNm] [cm]
40
ijInerzia
4
[cm ]
50 0.332
416667
358095
40
50 0.335
416667
0.332
40
50
416667
80
50 0.338
833333
80
50 0.170
833333
704190
80
50 0.153
833333
0.338
40
50
416667
40
50 0.344
416667
346095
0.312
40
50
416667
0.344
30
60
540000
0.332
30
60
540000
358095 0.335
30
60
540000
0.332
30
60
540000
0.338
30
60
540000
0.170
30
60
540000
704190
0.153
0.338
0.344
346095
0.312
0.344
0.498
239048
0.502
0.511
466095 0.257
0.232
0.524
227048
0.476
Wij
Vij
Uij
[kNm]
[kNm]
[kN]
119047.7
59523.9
51020.4
119047.7
59523.9
51020.4
119047.7
59523.9
51020.4
238095.1
119047.6
102040.8
238095.1
119047.6
102040.8
238095.1
119047.6
102040.8
119047.7
59523.9
51020.4
119047.7
59523.9
51020.4
119047.7
59523.9
51020.4
120000.0
60000.0
40000.0
108000.0
54000.0
32400.0
120000.0
60000.0
40000.0
108000.0
54000.0
120000.0
108000.0
Asta
Wij
Vji
[kNm]
[kNm]
Wji
Vij
[kNm]
[kNm]
1,4
119048
59524
4,7
119048
59524
0.500
119048
59523.81
0.500
0.500
119048
59523.81
0.500
7,10
119048
59524
0.500
2,5
238095 119048
0.500
119048
59523.81
0.500
238095
119047.62
5,8
238095 119048
0.500
0.500
238095
119047.62
0.500
8,11
238095 119048
3,6
119048
59524
0.500
238095
119047.62
0.500
0.500
119048
59523.81
0.500
tji
tij
6,9
119048
59524
0.500
119048
59523.81
0.500
9,12
119048
59524
0.500
119048
59523.81
0.500
4,5
120000
60000
0.500
120000
60000
0.500
5,6
108000
54000
0.500
108000
54000
0.500
7,8
120000
60000
0.500
120000
60000
0.500
32400.0
8,9
108000
54000
0.500
108000
54000
0.500
10,11
60000.0
40000.0
120000
60000
0.500
120000
60000
0.500
11,12
108000
54000
0.500
108000
54000
0.500
54000.0
32400.0
10
11
Momenti di incastro perfetto
12
10,11=
-48.87 kNm
11,12= -60.333 kNm
7
8
9
4
5
6
1
2
3
7,8= -62.066 kNm
8,9= -76.625 kNm
4,5= -62.066 kNm
5,6= -76.625 kNm
11,10=
12,11=
8,7=
9,8=
5,4=
6,5=
48.87
60.33
kNm
kNm
62.07
76.63
kNm
kNm
62.07
76.63
kNm
kNm
a cura di Enzo Martinelli
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
- coefficienti di ripartizione nei vari nodi
- coefficienti di trasporto per le varie aste
- momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste
10
11
12
7
8
9
4
5
6
Nodo
1
-48.87 kNm
11,12= -60.333 kNm
10,11=
2
3
4
5
6
7
11,10=
12,11=
48.87
60.33
kNm
kNm
8
9
7,8= -62.066 kNm
8,9= -76.625 kNm
4,5= -62.066 kNm
5,6= -76.625 kNm
8,7=
9,8=
5,4=
6,5=
62.07
76.63
kNm
kNm
62.07
76.63
kNm
kNm
10
11
12
Asta
4-1
4-5
4-7
5-2
5-4
5-6
5-8
6-3
6-5
6-9
7-4
7-8
7-10
8-5
8-7
8-9
8-11
9-6
9-8
9-12
10-7
10-11
11-8
11-10
11-12
12-9
12-11
W ij
[kNm]
1E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
2E+05
1E+05
1E+05
1E+05
1E+05
jW ij
[kNm]
4E+05
7E+05
3E+05
4E+05
7E+05
3E+05
2E+05
5E+05
2E+05
ij
0.332
0.335
0.332
0.338
0.170
0.153
0.338
0.344
0.312
0.344
0.332
0.335
0.332
0.338
0.170
0.153
0.338
0.344
0.312
0.344
0.498
0.502
0.511
0.257
0.232
0.524
0.476
Trasporto
sull’asta 10-11
Equilibrio del nodo 10
Meq  (0  48.87)  48.87 kNm
M11,10  24.53  0.50  12.27 kNm
M10,7  48.87  0.498  24.34 kNm
24.34
24.53
Trasporto
sull’asta 10-7
M7,10  24.34  0.50  12.17 kNm
12.17
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
M10,11  48.87  0.502  24.53 kNm
12.27
Equilibrio del nodo 11
Meq  (48.87  60.33  12.27)  0.81 kNm
M11,10  0.81  0.257  0.21 kNm
M11,12  0.81  0.232  0.19 kNm
Trasporto
sull’asta 11-10
-0.10
M12,11  0.19  0.50  0.09 kNm
-0.21
-0.19
-0.41
M10,11  0.21  0.50  0.10 kNm
Trasporto
sull’asta 11-8
M8,11  0.41  0.50  0.21 kNm
-0.21
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
M11,8  0.81  0.501  0.41 kNm
Trasporto
sull’asta 11-12
-0.09
Equilibrio del nodo 12
Meq  (60.33  0.09  0)  60.24 kNm
M12,9  60.24  0.524  31.59 kNm
M11,12  28.65  0.50  14.33 kNm
-14.33
-28.65
-31.59
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
M12,11  60.24  0.476  28.65 kNm
Trasporto
sull’asta 12-11
Trasporto
sull’asta 12-9
M9,12  31.59  0.50  15.79 kNm
-15.79
Soluzione a convergenza
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
Si procede con il “giro” senza
tornare su un nodo prima che non
siano stati equilibrati tutti gli
altri. La convergenza è raggiunta
quando gli squilibri nodali sono non
maggiori di 0.01 kNm
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Anno Accademico 2007/08
SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0
Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari
tagli dei pilastri del piano superiore
Ri(j)
Fi
tagli dei pilastri del piano inferiore
Ri( j)  Fi( j)   Tsup( j)   Tinf( j)
Asta
Lij
Mij(0)
Mji(0)
qji
Tij(0)
Tji(0)
[cm]
[kNm]
[kNm]
[kN/m]
[kN]
[kN]
1,4
350
8.94
17.89
0.00
-7.67
-7.67
4,7
350
24.91
22.98
0.00
-13.68
-13.68
7,10
350
24.07
27.08
0.00
-14.61
-14.61
2,5
350
2.46
4.93
0.00
-2.11
-2.11
5,8
350
6.61
5.84
0.00
-3.56
-3.56
8,11
350
6.49
7.92
0.00
-4.12
-4.12
3,6
350
-11.84
-23.68
0.00
10.15
10.15
6,9
350
-32.57
-29.62
0.00
17.77
17.77
9,12
350
-31.64
-36.60
0.00
19.50
19.50
4,5
450
-42.79
73.57
36.78
75.92
5,6
500
-85.13
56.26
36.78
7,8
450
-47.07
70.84
36.78
8,9
500
-83.16
61.26
10,11
450
-27.08
11,12
500
-70.08
Bozza del 03/04/2008
-89.59
Fi(0)
[kN]
Tsup(0)
[kN]
Tinf(0)
[kN]
Ri(0)
[kN]
97.72
-86.18
77.47
-88.04
49.18
0.53
0.37
-49.34
36.78
96.33
-87.57
98.35
0.77
0.53
-98.59
62.13
28.96
57.37
-72.95
102.48
0.00
0.77
-101.71
36.61
28.96
79.09
-65.71
a cura di Enzo Martinelli
SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj
4,7=
7,4=
1,4=
4,1=
- coefficienti di ripartizione nei vari nodi
- coefficienti di trasporto per le varie aste
- momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste
25.51
25.51
kNm
kNm
5,8=
-25.51
-25.51
kNm
kNm
2,5=
8,5=
5,2=
51.02
51.02
kNm
kNm
6,9=
-51.02 kNm
-51.02 kNm
3,6=
9,6=
6,3=
25.51
25.51
kNm
kNm
-25.51
-25.51
kNm
kNm
SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj:
Calcolo dei momenti
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj A NODI TRASLATI
Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari
tagli dei pilastri del piano superiore
Ri(j)
Fi
tagli dei pilastri del piano inferiore
Ri( j)  Fi( j)   Tsup( j)   Tinf( j)
Asta
Lij
Mij(2)
Mji(2)
qji
Tij(2)
Tji(2)
[cm]
[kNm]
[kNm]
[kN/m]
[kN]
[kN]
1,4
350
3.59
7.18
0.00
-3.08
-3.08
4,7
350
-18.12
-21.50
0.00
11.32
11.32
7,10
350
20.85
15.56
0.00
-10.40
-10.40
2,5
350
7.36
14.71
0.00
-6.31
-6.31
5,8
350
-35.84
-42.73
0.00
22.45
22.45
8,11
350
41.39
30.35
0.00
-20.50
-20.50
3,6
350
3.77
7.54
0.00
-3.23
-3.23
Fi(2)
[kN]
Tsup(2)
[kN]
Tinf(2)
[kN]
Ri(2)
[kN]
6,9
350
-17.71
-21.22
0.00
11.12
11.12
9,12
350
20.53
14.77
0.00
-10.09
-10.09
4,5
450
10.94
11.03
0.00
-4.88
-4.88
0.00
44.89
-12.61
-57.51
5,6
500
10.09
10.17
0.00
-4.05
-4.05
7,8
450
0.66
0.68
0.00
-0.30
-0.30
0.00
-40.99
44.89
85.88
8,9
500
0.66
0.69
0.00
-0.27
-0.27
0.00
0.00
-40.99
-40.99
10,11
450
-15.56
-15.77
0.00
6.96
6.96
11,12
500
-14.58
-14.77
0.00
5.87
5.87
Bozza del 14/04/2004
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
SOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARI
A questo punto, note le reazioni dei vincoli ausiliari calcolate sullo schema S0 (e dovute ai
carichi agenti su S) e sui tre schemi Sj, si possono determinare i valori numerici dei
coefficienti aj che rendono nulle le reazioni dei vincoli ausiliari:
 R1( 0)  a1R1(1)  a 2R1(2)  a 3R1(3)  0
 ( 0)
(1)
(2)
(3)
R2  a1R2  a 2R2  a 3R2  0
R ( 0)  a R (1)  a R (2)  a R (3)  0
1 3
2 3
3 3
 3
103.20
-57.51
10.66
-57.51
85.88
-40.99
10.66
-40.99
31.88
Reazioni sullo
schema S2
a1
a2
a3
Bozza del 03/04/2008
=
0.0239
0.0316
0.0326
0.0316
0.0718
0.0818
0.0326
0.0818
0.1256
49.34
98.59
101.71
a1
a2
a3
=
49.34
98.59
101.71
Reazioni sullo
schema S0 (cambiate
di segno)
7.61
= 16.95
22.44
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Soluzione secondo il Metodo dei Vincoli Ausiliari
Mij  Mij( 0)  a1 Mij(1)  a 2 Mij(2)  a 3 Mij(3)
Mij(0)
Mij(1)
Mij(2)
Mij(3)
Mij
Mji(0)
Mji(1)
Mji(2)
Mji(3)
Mji
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
[kNm]
1,4
8.94
-24.97
3.59
-0.43
-129.84
17.89
-24.44
7.18
-0.86
-65.67
4,7
24.91
22.78
-18.12
2.19
-59.86
22.98
18.45
-21.50
5.68
-73.83
7,10
24.07
-6.85
20.85
-14.97
-10.46
27.08
-2.31
15.56
-13.58
-31.45
2,5
2.46
-49.88
7.36
-0.91
-272.52
4.93
-48.74
14.71
-1.81
-157.01
5,8
6.61
45.47
-35.84
4.41
-156.13
5.84
36.51
-42.73
11.53
-182.00
8,11
6.49
-14.04
41.39
-29.39
-58.28
7.92
-4.61
30.35
-26.41
-105.36
3,6
-11.84
-24.91
3.77
-0.47
-148.01
-23.68
-24.30
7.54
-0.95
-102.00
6,9
-32.57
22.69
-17.71
2.22
-110.49
-29.62
18.05
-21.22
5.86
-120.60
9,12
-31.64
-7.19
20.53
-14.42
-61.83
-36.60
-2.30
14.77
-12.82
-91.30
4,5
-42.79
1.65
10.94
-1.33
125.53
73.57
1.69
11.03
-1.35
243.19
5,6
-85.13
1.58
10.09
-1.25
69.91
56.26
1.61
10.17
-1.27
212.50
7,8
-47.07
-11.60
0.66
9.29
84.30
70.84
-11.71
0.68
9.35
203.02
8,9
-83.16
-10.75
0.66
8.51
37.26
61.26
-10.86
0.69
8.56
182.41
10,11
-27.08
2.31
-15.56
13.58
31.45
62.13
2.37
-15.77
13.74
121.21
11,12
-70.08
2.24
-14.58
12.67
-15.89
36.61
2.30
-14.77
12.82
91.30
Asta
Bozza del 03/04/2008
Momenti in tm
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE
COMBINAZIONI DI CARICO
Bozza del 03/04/2008
a cura di Enzo Martinelli