CALCOLO A ROTTURA (S.L.U.)
DI TRAVI IN C.A. E C.A.P.
DIAGRAMMI MOMENTO
CURVATURA
MODALITA’ DI ROTTURA C.A.
-campi di rottura ed armature limite-
Equazione di equilibrio alla traslazione della sezione quando e=ecu:
C  β0  b  x  fc1
T  A s  fsd
x  d
ωs 
A s fsd
bdfc1
s

0 .8
x
A s fsd
A f
ω
 s sd  s d
β0bfc1 0.8bfc1 0.8
 sa/b/c  0.8 a/b/c
MODALITA’ DI ROTTURA C.A.P.
-campi di rottura ed armature limite-
2/5 13/14 1/6
9/12
3/8
6
3/4
15/16
13/18
9/10
11/12
5/14
7/8 1/2
275
160
240
15/16
17/18
3/4
7/8
1/2
5/6
27/28
29/30 31/32 33/34 35/36
16
5/12
10/13
14/15
6
1/8
3/4
241
9/11
2/7
62
17/18 19/20
13/14
21/22
9/10
23/24 25/26
19/20
249
37
95
10/11 4/7
17
20/21 15/18
105
66
16/17 19/22
160
21/22
19/20
23/24
MODALITA’ DI ROTTURA C.A.P.
-campi di rottura ed armature limite2500
60
1000
Ø 7/15
840
Ø 7/15
60
83
180
n°2 strands x Ap=0.21 mm²
8
n°6 strands x Ap=0.93 mm²
4
28
14
1Ø22
1Ø16
60
19
83
5.5
31
15.5
15.5
15.5
31
5.5
MODALITA’ DI ROTTURA C.A.P.
-campi di rottura ed armature limite-
Rottura
lato calcestruzzo…
…rottura
lato acciaio
APPROSSIMARE IL DIAGRAMMA MOMENTO
CURVATURA: CASO CON ARMATURA MEDIA
Ramo 1: sezione interamente reagente (sezione in stadio 1)
M  EIi
Ramo 2: sezione parzializzata (sezione in stadio 2)
M  EI'i
Ramo 3: sezione parzializzata e acciaio snervato (sezione in stadio 3)
  'y 
u'  'y
Mu  My
 (M  My )
COME RICAVARE
IL DIAGRAMMA MOMENTO CURVATURA
Congruenza: ipotesi di sezione piana
e(y,esup,)=esup+y
x(esup,)=esup/
Equilibrio






 


Nε sup , θ    σ c ε( y, ε sup , θ) by dy   σ si εi yi, ε sup , θ  A si   σpj ε j y j, ε sup , θ  εpj A pj
h
0
ns
i1

np
j1

 

 
Mε sup , θ    σ c ε( y, ε sup , θ) by y  yGC dy   σ si εi yi, ε sup , θ  A si yi  yGC    σpj ε j y j, ε sup , θ  εpj A pj y j  yGC
h
0
ns
i1
np
j1

COME RICAVARE
IL DIAGRAMMA MOMENTO CURVATURA
(e)
120

[MPa]
90
60
30
0
0
N e_sup    
M e_sup    
imax
np
ns
i 1
j1
j1
1
2
3
e‰]
4
 ceyi e_sup   byiy   pedp j e_sup     epjAp j   s eds j e_sup   As j
imax

i 1
i
  i  i
np
 
c e y  e_sup    b y  y y  yG  

j1




ns
 
p e dp  e_sup    epj  Ap  dp  yG  

j
j
j
j 1


s e ds j  e_sup    As j  ds j  yG
INFLUENZA DI…
…GEOMETRIA
…MATERIALI
Calcestruzzo Rck= 55MPa
Rck=110MPa
Acciaio
fsk= 430MPa
fptk=1885MPa
120
120
…LEGAMI
COSTITUTIVI
…e
fibrorinforzato


[MPa]
[MPa]
90
90
60
60
30
30
0
0
1
2
3
e‰]
0
4
0
1
2
3
e‰]
4
SUL LEGAME MOMENTO CURVATURA
•Ac costante
(2400 cm2)
•d costante
(55 cm, eccetto che per sezione circolare)
•As costante
(826, pari a 42.48 cm2)
•Ap costante
(7 ½” , pari a 9.73 cm2)
…MRd?
MRd  As  fsd  0.9d  786 kNm
A s  fsd  A p  fptd
MOMENTO-CURVATURA
…alcune approssimazioni
EJ’
300
EJ’
EJ”
EJ”
1000
M
M
[kNm]
[kNm]
800
200
600
400
Mcr
100
200
0
0
0.0004
0.0008
0.0012
0.0016

0
0.002
0
0.01
0.02
0.03
[1/m]
max
(10  3.5)  103

 0.0245 [1 / m]
0.55
0.04

[1/m]
0.05
MOMENTO-CURVATURA
Influenza dei coefficienti di sicurezza
1000
800
M
M
MRk= 946kNm
[kNm]
MRk= 769kNm
[kNm]
800
MRd= 808kNm
MRd= 563kNm
600
600
 c=1.5
s=1.15
400
400
c=  s=1
200
0
0
0.01
0.02
0.03
MRk/MRd=1.17

[1/m]
0.04
 c=1.5
s=1.15
200
c=  s=1
0
0.05
0
0.002
0.004
0.006
0.008
MRk/MRd=1.37

[1/m]
0.01
0.012
CONFRONTO TRA SEZIONI DIFFERENTI
-acciaio tradizionale800
800
M
M
[kNm]
[kNm]
T diritta
600
600
rettangolo
Trovescia
Cerchio
400
400
Rck= 55MPa
fsk =430MPa
200
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04

[1/m]
Rck=110MPa
fsk =430MPa
200
0
0.05
0
0.01
0.02
0.03

[1/m]
0.04
..MRd  As  fsd  0.9d  786 kNm???
0.05
CALCESTRUZZO:
COMPORTAMENTO IN COMPRESSIONE
120

Rck=110MPa
[MPa]
90
Rck= 55MPa
60
30
0
0
[Coppola, 1997]
1
2
3
e‰]
Sargin modificato
[boll. CEB 228 -HPC, 1995]
4
HSC: NORMATIVE INTERNAZIONALI
[Coppola, 1997]
120

[MPa]
90
60
30
0
0
1
2
3
e‰]
4
Italia??
Finlandia
Olanda
120

[MPa]
90
60
30
0
0
1
2
3
e‰]
CEB (Sargin)
4
CEB (di progetto)
Norvegia
CALCESTRUZZO: LEGAMI UTILIZZATI
120
120


[MPa]
[MPa]
90
90
60
60
30
30
0
0
1
2
3
e‰]
0
4
Parabola rettangolo
 e 
e 
e      2   f c
e c1 
 e c1 

e   f c
0
1
2
3
e‰]
Sargin
2
2
per e  e c1
per e  e c1
E e  e 

  
E e
e
e   c1 c1  c1   f c
 E
 e

1 
 2  
 E c1
 e c1
4
EFFETTI DEL LEGAME COSTITUTIVO
di progetto vs. “esatto”
800
800
M
M
M
[kNm]
[kNm]
[kNm]
600
600
Rck
55MPa
600
400
400
400
200
200
200
Parabola rettangolo
Sargin
0
0
0.01

0.02
Parabola rettangolo
Sargin
0
0.03
0
0.004
0.008
0.012
0.016
[1/m]
Rck
110MPa

Parabola rettangolo
Sargin
0
0.02
0
800
800
800
M
M
[kNm]
[kNm]
[kNm]
600
600
600
400
400
400
200
Parabola rettangolo 200
Sargin
Parabola rettangolo
Sargin
0
0
0.01
0.02
0.03

[1/m]
0.04
0.004
0.006
0
0.05
0
0.01
0.02
0.03

[1/m]
0.008

0.01
[1/m]
M
200
0.002
[1/m]
Parabola rettangolo
Sargin
0
0.04
0
0.004
0.008
0.012
0.016

[1/m]
0.02
EFFETTI DELLA DEFORMAZIONE ULTIMA
Rottura “lato acciaio”
1000
MRd=808.1 kNm
M
es =10‰
[kNm]
800
MRd=808.3 kNm
es =
600
10.73‰
Rck=55MPa
400
200
Parabola rettangolo
Sargin
0
0
2
4
6
es‰]
8
10
12
EFFETTI DELLA DEFORMAZIONE ULTIMA
Rottura “lato calcestruzzo”
NSd  0
NSd  Ac  fcd  02
.
MRd=608 kNm
ec =- 3.50‰
600
MRd=507 kNm
‰
ec =- 3.50‰
600
M
M
[kNm]
MRd=562 kNm
ec =- 2.98‰
400
[kNm]
400
MRd=466 kNm
‰
ec =- 2.82‰
200
200
Parabola rettangolo
Sargin
Parabola rettangolo
Sargin
0
0
0
-0.5
-1
-1.5
-2
ec‰]
Rck=55MPa
-2.5
-3
-3.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
ec‰]
-2.5
-3
-3.5
EFFETTI DELLA SOLLECITAZIONE ASSIALE
600
600
n=0.0
M
n=0.0
M
[kNm]
[kNm]
500
500
n=0.2
NSd n=0.2
n
A c  fn=0.4
cd
400
400
n=0.4
300
300
n=0.6
n=0.6
200
200
100
Sargin
Parabola rettangolo
0
100
0
0
0.002
0.004
0.006

[1/m]
0.008
0
-0.5
-1
-1.5
0.01
Rck=55MPa
-2
-2.5
ec‰]
-3
-3.5
EFFETTI DELLA SOLLECITAZIONE ASSIALE
1000
1000
M
M
n=0.2
Sd
[kNm]
N
n
A  fcd
n=0.4c
800
600
n=0.2
[kNm]
n=0.4
n=0.0
800
n=0.0
n=0.6
600
n=0.6
400
400
200
200
Sargin
Parabola rettangolo
0
0
0.003
0.006
0.009

[1/m]
0.012
0
0.015
0
-0.5
-1
-1.5
Rck=110MPa
-2
-2.5
ec‰]
-3
-3.5
DIAGRAMMA MOMENTO-AZIONE ASSIALE
COME RENDERE DUTTILE LA SEZIONE?
Armature in zona compressa
800
800
M
M
[kNm]
[kNm]
600
600
400
400
As' = 50%As
As'= 25%As
As'=0
200
0
0
0.004
0.008
0.012

[1/m]
0.016
As' = 50%As
As'= 25%As
As'=0
200
0
0.02
0
-0.5
Rck=55MPa
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
e[‰]c
-3.5
EFFETTI DELLA PRECOMPRESSIONE
-acciaio ad alta resistenza800
800
M
M
[kNm]
600
[kNm]
600
400
400
200
200
Precompresso
Lento
0
0
0.005
0.01

0.015
0.02
[1/m]
Rck= 55MPa
fsk =1885MPa
0
0
0.005
0.01
Rck= 110MPa
fsk =1885MPa

0.015
0.02
[1/m]