Precessione geodetica ed effetto Lense-Thirring.
Il sistema Binario PSR 1913+16
Limiti sperimentali sui parametri PPN.
Tabella della lezione precedente
Gli effetti di precessione
• Nel 1918, Joseph Lense and Hans Thirring predissero
l’effetto di trascinamento del sistema di riferimento locale.
• Ogni corpo dotato di massa deforma lo spazio-tempo
attorno a se.
• Se questo oggetto ruota, esso induce una seconda
distorsione torcendo lo spazio attorno a se.
• Se lo spazio-tempo è in stato di trascinamento attorno a
questa prima massa, allora gli oggetti presenti in quella
zona di spazio debbono risentire di tale stato dinamico.
Precessione Geodetica
La curvatura dello spazio-tempo causa la precessione del
giroscopio rispetto alle “ stelle fisse”
J
  6.6 / yr
S
  0.042 / yr

Precessione geodetica
dS
 G  S
d
1
G  (  )v  U
2
S = spin del giroscopio
S
v = velocità del giroscopio
U = potenziale gravitazionale terrestre
 = parametro PPN
Ad esempio il sistema
Terra-Luna è un
giroscopio con gli assi
perpendicolari al piano
orbitale: la precessione
è di 2 secondi d’arco
per secolo
L’effetto Lense-Thirring
Secondo la Relatività Generale il moto della materia produce
un effetto analogo al moto di cariche in elettromagnetismo. Tra
due corpi in rotazione esiste allora un accoppiamento SpinSpin che ne altera lo stato dinamico.
Si parla allora di effetto Gravitomagnetico o effetto LenseThirring
dS
 LT  S
d
1
1
LT   (1   1 )[J  3n (n  J )] /r 3
2
4
n = versore radiale
r = distanza dal centro della Terra
1 = parametro PPN
Per un’orbita polare a 650 km d’altezza ci aspettiamo
(1/2) (1++1/4) 42 10-3 secondi d’arco/anno
x
x
x
La rivelazione dell’effetto Lense-Thirring
• I satelliti LAGEOS e LAGEOS 2 sono stati utilizzati per
•
•
•
•
osservare l’effetto Lense-Thirring aanalizzando 11 anni di
dati.
Ogni satellite è una sfera altamente riflettente.
I segnali emessi da un Laser sono fatti rimbalzare
all’indietro colpendo i satelliti e quindi vengono analizzati.
Dall’analisi dei dati si deduce un valore dell’effetto di
precessione misurato coincidente entro 1% con il valore
previsto dalla teoria di Einstein. Tuttavia l’errore associato
a tale misura è del 10%.
Un altro satellite, Gravity Probe B, è stato lanciato nel
2005 per measurare direttamente l’effetto Lense-Thirring.
I risultati saranno rilasciati dalla collaborazione
internazionale nel 2007
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Gravity Probe B - GPB
• I rotori dei giroscopi sono sfere di quarzo di 3.8 cm,
sospensi elettrostaticamente
•Per limitare l’effetto torsionale mareale la sfericità deve
essere assicurata entro 10-6 cm
•Le sfere sono ricoperte di niobio, materiale che diviene
superconduttore per T< 9 K.
•In condizioni di superconduttività alle sfere viene associato
un momento magnetico (London magnetic moment)
parralelo allo spin.
•Le sfere sono circondate da bobine superconduttrici in cui si
induce una corrente quando la sfera precede.
•La variazione di corrente è misurata con uno SQUID
(Superconducting Quantum Interference Device)
Gravity Probe B - GPB
• I giroscopi sono posti in una camera da vuoto circondata
da elio superfluido a 1.8 K
• L’asse longitudinale del satellite è mantenuto in una
direzione fissata tramite un telescopio che punta su una
stella di riferimento e da un sistema di controllo basato
sull’uso di piccoli razzi correttori
• Il satellite è reso “drag-free” grazie al monitoraggio del
moto relativo al satellite di una massa libera al suo interno.
Gravity Probe B - GPB
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Test della teoria gravitazionale su sistemi stellari
il sistema binario PSR 1913+16
PSR B0833-45,
The Vela Pulsar
PSR B0531+21,
The Crab Pulsar
Una Pulsar è una stella che presenta un elevatissimo campo magnetico ~2 1011 volte il campo
magnetico terrestre. Si ipotizza che si tratti di una stella di neutroni la sua struttura sia con un
raggio 10-20 km e massa dell’ordine di 1,4 Ms. Il suo asse di rotazione non coincide con l’asse del
dipolo magnetico e le particelle relativistiche cariche presenti nella magnetosfera emettono
radiazione e.m. di sincrotrone focalizzata in uno stretto cono lungo i poli magnetici. Questo
segnale elettromagnetico, proveniente da grande distanza e modulato dalla rotazione dela stella,
viene ricevuto a Terra sotto forma di impulsi e.m. aventi una molto ben periodicità ben definita. Il
sistema emettente si comporta come un immenso e compatto volano ed alcune pulsar emettono con
una regolarità cos`ˆben definita da essere utilizzabili come orologio primario di riferimento.
Il radiotelescopio di Arecibo
courtesy of the NAIC - Arecibo Observatory, a facility of the NSF
Si tratta del più largo radiotelescopio esistente installato nel 1963 a Puerto Rico dalla National
Science Fundation (USA) sotto la responsabilità della Cornell University..
Lo specchio riflettore al suolo è di 305 m di diametro ed è costituito da 40000 pannelli di
aluminio perforato ciascuno di 1m x 2 m. Sospeso 150 m sopra di esso vi è l’apparato ricevente
di 900 tonnellate.
Il segnale radioastronomico
•
•
•
Prima di riporare il tempo d’arrivo degli impulsi osservato a Terra in tempo proprio della
Pulsar occorre correggere la “Dispersione”. Essa è dovuta alla propagazione del segnale e.m.
attraverso gli elettroni liberi del mezzo interstellare.Le componenti a bassa frequenza del
segnale sono ritardate maggiormente.
Per corregere si rivela ad esempio nell’’intervallo 1383-1423 MHz diviso in 32 sottobande da
1.25 MHz.
Il tempo d’arrivo dell’impulso è dedotto misurando la differenza di fase tra ciascun profilo ed
il corrispondente profilo di riferimento ottenuto mediando a lungo i dati. Si corregge poi per
la dispersione
Test della teoria gravitazionale su sistemi stellari
il sistema binario PSR 1913+16
• Nell’estate del 1974 usando il radio
telescopio di Arecibo nello stato di
Portorico, Joseph Hulse e Russel Taylor
scoprirono una Pulsar generante un
segnale radio periodico di 59 ms, PSR
1913+16
• Tuttavia la periodicità di 59 ms non era
stabile e manifestava cambiamenti
dell’ordine di 80 s /giorno e a volte
dell’ordine 8s in 5 minuti .
• Il grafico del periodo apparente in
funzione del tempo d’osservazione fu
interpretato in termini di effetto Doppler
dovuto alla presenza del moto orbitale
della pulsar attorno ad una stella
compagna.
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•La frequenza di ripetizione degli impulsi è utilizzata per dedurre la velocità radiale
orbitale.
•Quando la Pulsar si muove verso di noi la Pulsar è vicina al Periastro la frequenza di
ripetizione è più alta.
•Quando è più lontana da noi, ovvero all’Apoastro, la frequenza degli impulsi deve
calare.
•Il fatto che velocità negative (blueshift frequency, più vicino alla Terra) sono più
grandi delle positive (redshift frequency, più lontano dalla Terra) è indice di una
forte eccentricità dell’orbita.
Il tempo d’arrivo dei segnali cambia anche a seconda del movimento
della Pulsar. Quando questa si muove lungo il tratto di orbita rivolto
verso la Terra il tempo d’arrivo anticipa di 3 secondi rispetto a quando è
lungo il tratto opposto. Questo tempo implica che abbiai una dimensione
di circa ~1 106 km.
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•Vicino all’ Apoastro il campo gravitazionale è più forte e lo scorrere del
tempo è rallentato (redshift gravitazionale): il tempo tra gli impulsi
ricevuti si allunga. L’orologio della pulsar è rallentato quando viaggia più
veloce e si trova nella zona di spazio dove il campo gravitazionale è più
forte.
Lo scorrere del tempo poi accelera di nuovo quando siamo nella zona di
campo debole.
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•
•
L’orbita della Pulsar giace su un piano inclinato di ~45o rispetto alla direzione
di vista ed appare ruotare nel tempo; più precisamente l’orbita è aperta e quasi
ellittica in cui il punto più vicino al cetro di massa continua a ruotare ad ogni
giro (precessione del Periastro analogo a quello osservato per l’orbita di
Mercurio attorno al Sole.
L’avanzamento del periastro per PSR 1913+16 è di ~ 4.2 gradi/anno, ovvero si
osserva in un giorno ciò che per Mercurio accade in un secolo.
Parametri del fit kepleriano per il sistema
binario PSR 1913+16
Sotto l’ipotesi d’effetto doppler dal grafico della velocità in funzione del
tempo fu dedotto un fit nell’ipotesi d’orbita Kepleriana del sistema a due
corpi.
• K1= semi-ampiezza della variazione della velocità radiale della pulsar
• Pb= periodo del moto orbitale del sistema binario
• PP= periodo della Pulsar corretto per lo spostamento Doppler ad una data
•
•

•
•
•
epoca
e = eccentricità dell’orbita
a1 sin i = semi-asse maggiore dell’orbita proiettato sul piano del cielo,
essendo i l’angolo tra il piano dell’orbita ed il piano di riferimento (piano
perpendicolare alla linea di vista dalla Terra alla pulsar)
 = longitudine del periastro ad una data assegnata ( Settembre 1974)
m1 = massa della Pulsar
m2 = massa del compagno
f1= (m2 sin i)3/(m1+m2)2=funzione di massa
Update using data from 1990-1992
PSR 1913+16 e la verifica della Relatività Generale
• Dai dati si osserva un cambiamento nel tempo del periodo orbitale. Questo può
essere legato a varie cause. Una di esse è la perdita d’energia per emissione di
Onde Gravitazionali legate all’esistenza di un momento di quadrupolo del sistema.
Sulla base della formule di puro quadrupolo della Relatività Generale che
discuteremo più tardi, si ha:
dE/dt = -(32/5) [/ (m1+m2)]2 [(m1+m2)/a)]5 [1+ (73/24) e2 + (37/96) e4)](1-e2)-7/2
 (m1m2)  (m1+m2)] massa ridotta del sistema orbitante
Dalla terza legge di Keplero si deduce la derivata del periodo orbitale nel tempo
(1/Pb) (dPb/dt) = -(3/2) (1/E) (dE/dt)
ovvero
(dPb/dt) =-(192/5)[2 (m1+m2)/Pb] 5/3[/ (m1+m2)][1+(73/24) e2+(37/96) e4)](1-e2)-7/2
Identificazione degli oggetti stellari di PSR 1913+16
•
Sono state dedotte previsioni diverse sull’avanzamento del periastro sulla base
della natura dei corpi in gioco
U= uniform rotation
D= differential rotation
BH= Black Hole
WD= White Darf
NS= Neutron Star
Identificazione più probabile corrisponde al punto a
•Il valore misurato dello shift del periastro costringe a muoversi nel piano (m1,m2) lungo la
linea BH-NS-WD, corrispndente ad (m1+m2) =2.85 MS
•Il valore di red-shift misurato costringe a muoversi lungo le linee tratteggiate marcate
dalle lettera C
•I valori massimo e minimo di dPb/dt chiudono la zona grigia

• Parametri post-Newtoniani dedotti sperimentalmente

d
 4.226628(18)
dt
  4.294(3)
ms
dPb
 2.425(10) 1012
dt
anni1
Avanzamento medio del periastro
Ritardo degli impulsi dovuto al redshift gravitazionale
Variazione nel tempo del periodo orbitale
•Previsioni della Relatività Generale
Newtoniana
in approssimazione post-
Inoltre si considerano altri due i parametri osservativi legati all’effetto Shapiro (tempo di ritardo
gravitazionale quando il segnale della pulsar transita in prossimita della compagno lungo la linea di vista
dell’osservatore a Terra)
s = sin i = andamento funzionale del tempo di ritardo
r = m2 = ampiezza dell’effetto di ritardo
m1= 1.4411(7) MS
m1
m2= 1.3873(7) MS
Cambiamento del periastro per emissione di Onde
Gravitazionali: accordo tra teoria ed osservazione
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Russell A. Hulse
1950
Joseph H. Taylor Jr
1941
Premio Nobel per la Fisica nel 1993
Limiti dei parametri PPN
1,2,3
Effetti legati all’ esistenza di riferimenti privilegiati
Anisotropie della costante G misurata localmente
Effetto di variazione del Periodo delle Pulsar
Limite su 3di qualche parte su 1020
Torsione anomala sul sole che causa una oscillazione a caso della
direzione dello spin rispetto al piano orbitale
Limite su 2di qualche parte su 107
z1,z2,z3,z4,3,
Violazione della Conservazione dell’ Impulso
Bartlett and Van Buren
Limiti dall’effetto Nordvedt
1 Ee
mA  mP  z 3 2
2 c
z 3  1108
I sistemi binarie come laboratorio di test delle
teorie della gravitazione
•
•
•
•
•
z1, z2, z3, z4 and3parametri PPN relativi alle leggi di conservazione.
Limite su z1 dedotto indirettamente dall’effetto Nordtvedt.
Limite diz311 dedotto da Bartlett e van Buren (vedi lez. Precedente, modello
lunare) relativo alla violazione della coincidenza tra massa attiva mA e massa passiva
mP associata alla diversa energia di legame elettrostatica del nucleo atomico Ee
mA= mP +(1/2)z Ee /c2.
z4è connesso alla Gravità generata dalla pressione p generata da un fluido. In ogni
ragionevole teoria della Gravità p è connessa con l’energia cinetica v2 e con l’energia
interna  Ne segue che z4332 z13 z3
In presenza di violazione della conservazione del momento avremo che in un sistema
binario l’accelerazione del suo centro di massa aCM risulta diversa da zero
1
m  m m1m2
e
aCM  (z 2   3 ) 1 3 2
nˆ
2 3/2 P
2
a
m1  m2 (1 e )
nˆ P è il versore che dal centro di massa punta verso il periastro di m1
a è il semi-asse maggiore dell’orbita, e la sua eccentricità


aCM = 0
(d2 Pb /d2t ) = 0
Dai limiti sulle osservazioni di PSR1913+16 segue
32 z24 10-5
I sistemi binarie come laboratorio di test delle
teorie della gravitazione
• In Relatività Generale non è prevista radiazione dipolare. In teorie che includono
la violazione del Principio d’Equivalenza Forte (SEP) un tale contributo può essere
significativo.
• Riferendoci al centro di massa del sistema binario, mI1 x1 + mI2x2 =0
si può ragionevolemente affermare che l’onda dipende da
d (mG1 x1 + mG2x2 ) /dt
ovvero da
( v1 - v2 ) [(mI1 / mG1 ) - (mG2 / mI2 )]
• La violazione di SEP implica la dipendenza dall’energia gravitazionale di legame
degli oggetti stellari e poichè in PSR 1913+16
m1 ~ m2
Se esiste l’effetto, esso è comunque altamente depresso nel sistema a masse uguali.
I sistemi binarie come laboratorio di test della
teoria di Brans-Dicke
•
•
Modifica della 3o legge di Keplero
2  fb = (G m /a3)1/2
Predizioni per <> , ', dPb/dt in funzione del parametro d’accoppiamento del
campo scalare della teoria di Brans-Dicke, BD
Termine di
monopolo e
quadrupolo
Termine di dipolo

B-D
• sa e ka* misurano
la dipendenza della
generica massa ma e
del generico
momento d’inerzia Ia
da BD.
• sa è connessa
all’energia di legame
gravitazionale.
• sa e ka* dipendono
dall’equazione di
stato della stella.
GR
Assumendo l’equazione di stato
politropica delle stelle di
neutroni, il diagramma di
compatibilità impone
BD > 500
Sommario sui limiti dei parametri PPN
etc.…. Argomento per una tesina….
Materiale Didattico Lezione
Testo utile
C. M Will: The confrontation between General Relativity and Experiment
Pre- print astro-ph/ gr-qc/0103036 ( vedi sito web)
C.M. Will Theory and experiment in gravitational physics,Cambridge University Press
TESINE POSSIBILI
Tesine: 1) analisi dettagliata dei dati della PSR 1913+16 e di sistemi simili
2) studio dei limiti imposti da osservazioni nel sistema solare ai parametri postnewtoniani