Il gravitomagnetismo e la sua
misura
Analogie tra gravità ed
elettromagnetismo
Forza di gravità
Forza elettrostatica
f = -Gm1m2r/r3
f = q1q2r/4pe0r3
Raggio d’azione infinito
Raggio d’azione infinito
Agisce nel vuoto
Agisce nel vuoto
Campo gravitazionale
Campo elettrostatico
Teorema di Gauss
f = -4pGmint
Teorema di Gauss
f = qint/e0
Campo conservativo
Campo conservativo
L’informazione viaggia a
velocità c
L’informazione viaggia a
velocità c
Differenze tra gravità ed
elettromagnetismo
Gravità
Elettromagnetismo
Forza attrattiva tra masse
dello stesso segno
Forza elettrostatica attrattiva
tra cariche di segni opposti
Non esistono masse
negative
m=gm0
La carica elettrica può essere
positiva o negativa
Carica elettrica: invariante
E=mc2
Nessuna analogia in
elettromagnetismo
mP/mi = mA/mi = cost
Nessuna analogia in
elettromagnetismo
Spin gravitone = 2
Spin fotone = 1
Il movimento di cariche genera il
campo magnetico: esiste l’analogo
gravitazionale nel caso in cui sono le
masse a muoversi?
Teoria gravitoelettromagnetica
Gmn=8pGTmn/c4
gmn=hmn+hmn
Piccola perturbazione
|hmn|<<1
diag (1,-1,-1,-1)
h*mn=hmn-1/2(hmnh); h=haa
Gauge di Lorentz:
Negli ambienti astrofisici in cui
si eseguono test sulla RG è
un’approssimazione lecita
(tranne, marginalmente, per
mn
h* ,n =0
PSR 1913+16)
Espansione in serie di potenze di h*mn delle equazioni di
Einstein e troncamento al primo ordine
Dal(h*mn)=16pGTmn/c4
Dal(Am)=4pjm
Teoria gravitoelettromagnetica
Soluzione di in h*mn termini di potenziale ritardato
h*mn=-4G/c4∫d3x’Tmn(t-|x-x’|/c,x’)/|x-x’|
Le soluzioni che ci interessano sono
quelle con: |h*00|>>|h*ij|, |h*0i|>>|h*ij|
h*00=4f/c2; h*0l=-2Al/c
f=-GM/r
Al=GJixkelik/(cr3)
Potenziale gravitoelettrico
(Newtoniano)
Potenziale vettore
Ji=2∫d3x’eijkx’jTk0/c
Momento angolare totale
Teoria gravitoelettromagnetica
Riscriviamo la condizione di gauge in
funzione dei due potenziali f ed A
∂f/c∂t+1/2(div(A))=0
Analoga alla gauge di Lorentz
dell’elettromagnetismo a meno di un
fattore 1/2 nel secondo termine
Il fattore 1/2 si ripresenta in tutte le
equazioni
Fotone
Spin=1
Gravitone
Spin=2
Teoria gravitoelettromagnetica
Infine ricaviamo il campo gravitoelettrico (EG) e il
campo gravitomagnetico (BG) dai potenziali
EG=-div(f)-∂A/2c∂t; BG=rot(A)
E le equazioni di Maxwell per il gravitoelettromagnetismo
div(EG)=-4pGr; div(BG)=0
rot(EG)=-∂BG/2c∂t; rot(BG)=2(∂EG/∂t-4pGj)/c
con
r=T00/c2; ji=Ti0/c
Usando l’equazione delle geodetiche si ricava la Forza di Lorentz per il
gravitoelettromagnetismo (velocità non relativistiche, campi statici)
dv/dt=EG+vxBG/2c
Abbiamo ora tutti gli strumenti teorici per studiare
gli effetti del gravitomagnetismo (Lense-Thirring
e clock effect)
Per quanto riguarda l’effetto Lense-Thirring, è
importante ricordare il Principio di Mach: fu
cercando di inserire questo principio nell’ambito
della Relatività Generale, che tale effetto fu
scoperto
Principio di Mach: L’inerzia di un corpo è determinata
da “un qualche tipo di interazione” con gli altri corpi
dotati di massa
Effetto Lense-Thirring
Conseguenza del Principio di Mach: trascinamento di
corpi vicini da parte di un corpo massivo che si muove
Nell’ambito della Relatività Generale…
Trascinamento del sistema di riferimento => Precessione dell’orbita di
un corpo che ruota attorno al corpo centrale (effetto Lense-Thirring)
Effetto Lense-Thirring
Metrica nelle vicinanze di un corpo in rotazione; campo debole, velocità
non relativistiche
ds2 = (1-2GM/rc2)c2dt2 - (1+2GM/rc2)dr2 – r2dq2 – r2sin2qdf2 + (4GMasin2q/rc)dtdf
a = J/Mc
Si cerca l’espressione del campo gravitomagnetico ottenendo
BG = -(4G/c)(3r(r ∙ J) – Jr2 )/2r5
Momento delle forze applicato al momento angolare del corpo orbitante
t = (L/2c)xBG
Momento di dipolo gravitomagnetico
Effetto Lense-Thirring
Si usano le equazioni perturbative degli elementi orbitali di Gauss e di
Lagrange per ricavare i rate di variazione della longitudine del nodo e della
distanza del pericentro dal nodo in funzione degli elementi orbitali
dWLT/dt = 2GJ/(ca3(1-e2)3/2
dwLT/dt = -6GJcosi/(ca3(1-e2)3/2
Effetto misurato dai satelliti LAGEOS e da Gravity Probe B
Effetto Lense-Thirring (LAGEOS)
I LAGEOS sono satelliti passivi (nessun propulsore)
Effetto Lense-Thirring (LAGEOS)
Caratteristiche dei satelliti LAGEOS

w
W
LAGEOS
LAGEOS II
Diametro [cm]
60
60
Massa [Kg]
406,965
405,38
Numero CCR
426 (422 in silicio, 4 in germanio)
426 (422 in silicio, 4 in germanio)
a [m]
1,2286*107
1,2155*107
e
0,0045
0,0135
i [°]
109,84
52,64
h [m]
5,86*106
5,62*106
P [min]
225
223
n [rad/s]
4,654*10-4
4,696*10-4
dW/dt [°/d]
0,34266
-0,62576641
dw/dt [°/d]
-0,21338
0,44470485
Rate di precessione totali (si tiene conto di tutti
gli effetti, non solo del Lense-Thirring)
Effetto Lense-Thirring (LAGEOS)
Per stimare l’entità dell’effetto Lense-Thirring si esegue
il tracciamento dei satelliti
SLR: Satellite Laser Ranging, misura della distanza
attraverso una misura di tempo
Incertezza: circa 2 cm
CCR: Cube Corner
Retroreflector
Effetto Lense-Thirring (LAGEOS)
Calcolo dei residui
Il software GEODYN II calcola la posizione teorica dei satelliti
(senza tener conto dell’effetto Lense-Thirring) e ne fa la
differenza con i dati sperimentali
I residui saranno dovuti all’effetto Lense-Thirring, proprio perché
l’unico non tenuto in considerazione, e ad incertezze o errori nella
conoscenza dei dati teorici
Effetto Lense-Thirring (LAGEOS)
Fondamentale la conoscenza dello sviluppo in armoniche sferiche del
potenziale gravitazionale
JGM-2, JGM-3, EGM96, GEMT1, GEMT2, GEMT3, GEMT3S, altri
Degree variance
Cl2=Sm(Clm2+Slm2)/(2l+1)
Coefficienti delle
armoniche sferiche
Regola di Kaula (andamento teorico della degree
variance per la Terra)
Cl2=0,7*10-10/l4
Si confronta l’andamento della degree
variance per i vari modelli con
l’andamento previsto dalla regola di Kaula
Effetto Lense-Thirring (LAGEOS)
Fondamentale la conoscenza di tutti gli effetti perturbativi
Effetti gravitazionali
Effetti non gravitazionali
Moti della Terra
Pressione di radiazione solare
diretta e indiretta (albedo
terrestre)
Precessione dell’asse di
rotazione
Maree solide e oceaniche
Effetto Yarkovsky-Schach
(diurno) e YarkovskyRubincam (stagionale)
Nutazione
Perturbazioni lunisolari e
planetarie
Asimmetria riflettiva
Moto del polo
Variazione nei coefficienti
delle armoniche sferiche
Precessione di De Sitter
Drag da parte di particelle
neutre e cariche
Variazione della durata
del giorno
Effetto Lense-Thirring (LAGEOS)
Risultato finale

W
w
dW/dtLT,sper
[mas/yr]
dW/dtLT,th
[mas/yr]
dw/dtLT,sper
[mas/yr]
dw/dtLT,th
[mas/yr]
LAGEOS
30,66
31,0
31,31
31,6
th
sper
sper
LAGEOS
II
31,51
31,5
-57,35
-57,0
LTT
L
Errore: circa 1 mas/yr su dW/dtLT, molto maggiore su dw/dtLT
Incertezze maggiori: derivano da errori nella conoscenza dei coefficienti delle
armoniche zonali l=2 ed l=4, errori eliminati introducendo il parametro m
d(dW/dtLAGEOS)+0,295*d(dW/dtLAGEOS II)-0,35*d(dw/dtLAGEOS II ) =
m(dW/dtLT,th,LAGEOS+0,295*dW/dtLT,th,LAGEOS II-0,35*dw/dtLT,th,LAGEOS II )+errori(l=6, l=8…)
Nella formula i d indicano i residui
m = 1,10±0,25
mRG = 1, mNew = 0
Effetto Lense-Thirring (Gravity Probe B)
Differenza sostanziale dai LAGEOS: sono diversi i giroscopi dei quali si
misura la precessione
Giroscopio LAGEOS
Giroscopio GPB
Orbita dei satelliti
4 giroscopi all’interno
dello strumento
Sfere di quarzo fuso rivestite di niobio superconduttore
Sospesi in un campo magnetico
La rotazione, mantenuta da un getto di elio
gassoso, genera un momento magnetico
parallelo all’asse di rotazione
Precessione: misurata osservando la variazione
dell’inclinazione del momento magnetico
Variazione di momento magnetico: induce una
corrente misurata da sensori SQUID
Precisione: 0,001 mas
Effetto Lense-Thirring (Gravity Probe B)
Misura dell’inclinazione dell’asse di spin rispetto ad una stella di riferimento
(IM Pegasi)
Il moto della stella viene misurato da Terra misurandone la posizione rispetto
alle quasar distanti con un metodo di VLBI
Orbita polare: permette di separare i
contributi delle due precessioni dovute ad
effetti di Relatività Generale (LenseThirring e De Sitter)
Risultati: ancora da pubblicare, i primi dati comunque confermano la validità
della Relatività Generale
Effetto Lense-Thirring (LMXBs)
Primaria: oggetto compatto (stella
di neutroni o buco nero), il più
massiccio dei due
Disco di accrescimento, sorgente della
maggior parte dell’intensità luminosa
Precessione Lense-Thirring dell’orbita del gas
nel disco di accrescimento rivelata tramite
oscillazioni a qualche decina di Hz
Secondaria: meno massiccia, stella di
sequenza principale o gigante o
nana bianca
Osservate oscillazioni tra 20 e 35 Hz
in 4U 1728-34, 4U 0614+091 e
KS 1731-260
nL-T=8p2InK2ns/c2M
Momento d’inerzia
della primaria
Frequenza
Frequenza di rotazione
Kepleriana
della primaria
(orbita del gas)
Clock effect
t+
t-
Orologio su orbita
circolare
equatoriale
Scegliamo un angolo fisso: dopo una variazione di 2p dell’angolo
azimutale gli orologi misureranno tempi di rivoluzione diversi nel
caso in cui la rivoluzione sia corotante (t+) o controrotante (t-)
rispetto alla rotazione del corpo centrale
Clock effect
Differenza corretta dei quadrati dei tempi di rivoluzione dopo una variazione di
2p dell’angolo azimutale
t+2-t-2=8paT0/c
Nei casi di maggior interesse si può usare lo sviluppo post Newtoniano
fermandosi al primo ordine
t+-t-=4pa/c
Per un orologio attorno alla Terra t+-t- sarà circa 2*10-7 s
Sono stati proposti degli esperimenti tra i quali il Gravity Probe C ma
nessuno di essi è stato ancora realizzato: non è difficile avere una
precisione di 10-7 s ma sono molti i fattori che rendono difficile la misura
(soprattutto il tracking)
Gravity Probe C: due satelliti su orbite identiche, che ruotano in senso
opposto, con orologi ad alta precisione a bordo