Diana Miconi
Giulia Minozzo
Silvia Orso
Teoria della probabilità
• Esercizio 1
Sia X una raccolta di dati (su scala ad intervalli) di un test di personalità di dieci adolescenti:
X = { 12,12,15,18,21,21,34,36,41,41 }
RAPPRESENTAZIONE
GRAFICA
Scala ad intervalli: finita ed equispaziata
12
21
15
18
12
0 1
4
41
34
36
21
7
10
41
23
25
30
Esercizio 2
Compilare una tabella delle frequenze, calcolare le statistiche significanti su tale scala
( tra cui il 23° e il 77° percentile ).
Frequenze
f
Proporzioni
P
Freq. Perc.
f%
Freq. Cum.
fc
12
2
0.2
20%
2
20%
15
1
0.1
10%
3
30%
18
1
0.1
10%
4
40%
21
2
0.2
20%
6
60%
34
1
0.1
10%
7
70%
36
1
0.1
10%
8
80%
41
2
0.2
20%
10
100%
10
1
100%
Totale
F. C. Perc.
fc%
Indici della tendenza centrale
MODA: All’interno di un insieme di misurazioni di un dato sistema relazionale empirico
è quel valore che compare con la massima frequenza
Md = 12,21,41
è TRIMODALE
MEDIANA: All’interno di un insieme di misurazioni disposte in ordine crescente è quel
valore che occupa la posizione centrale ovvero il dato al di sopra e al di sotto del quale si
trovano il 50% dei dati.
Se il numero n delle osservazioni è pari: i = n/2 e la successiva all’interno dei dati
i = 10/2 = 5 e la successiva ovvero 6
Mdn (X) = Mdn( 12,12,15,18,21,21,34,36,41,41 ) = 21
MEDIA: è la statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sommando tutti gli n
dati e dividendo il valore ottenuto per n.
Media = 25.1
Indici di posizione
QUARTILI: - primo quartile (Q1),è quel valore che ha il 25% dei dati a lui uguali o inferiori:
i = ¼ (n+1)
i = ¼ (10+1) = 2.75
Q1 = 15
- secondo quartile (Q2), coincide con la mediana: i = ½ (n +1)
i = ½ (10+1) = 5.5
Q2 = 21
- terzo quartile (Q3),è quel valore che ha il 75% dei dati a lui inferiori: i = ¾ (n+1)
i = ¾ (10+1) = 8.25
Q3 = 36
- quarto quartile (Q4) è il valore più alto della serie ordinata:
i = 10
i=n
Q4 = 41
PERCENTILI (Pm): quel valore al di sotto del quale cade una percentuale di dati pari ad m:
i = (n∙m)/100
i = (10∙23)/100 = 2.3 posizione 2 → 12
i = (10∙77)/100 = 7.7 posizione 7 → 34
RANGHI PERCENTILI: è quel numero che rappresenta la percentuale di dati uguali o
inferiori a lui:
Rp (xi) = (k/n)∙100
Frequenze
f
Proporzioni
P
Freq. Perc.
f%
Freq. Cum.
fc
12
2
0.2
20%
2
20%
18
1
0.1
10%
4
40%
21
2
0.2
20%
6
60%
34
1
0.1
10%
7
70%
36
1
0.1
10%
8
80%
41
2
0.2
20%
10
100%
10
1
100%
Totale
F. C. Perc.
fc%
Indici di dispersione o di variabilità
CLASSI DI EQUIVALENZA: Valore che indica il numero di classi di equivalenza
riscontrate a livello del sistema relazionale empirico.
NdE = 7
GAMMA: è statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sottraendo il valore minimo al valore
massimo degli elementi di X.
G = 41-12 = 29
DIFFERENZA INTERQUARTILICA: è la statistica che associa all’insieme X il numero
che si ottiene sottraendo il valore del primo quartile al terzo quartile.
DI = 36-15 = 21
SEMIDIFFERENZA INTERQUARTILICA: si ottiene dividendo a metà la differenza
interquartilica.
SI = 21/2 = 10.5
VARIANZA: è la statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sommando il
quadrato di tutte le differenze di ogni dato dalla media di X e dividendo il risultato per n.
s² = ∑ⁿ¡=1 (xi –media)²
n
s² = 123.29 (Varianza)
DEVIAZIONE STANDARD: è la radice quadrata della varianza
s = 11.10
f
media
( xi – media)
12
2
25.1
- 13.1
343.22
15
1
25.1
- 10.1
102.01
18
1
25.1
- 7.1
50.41
21
2
25.1
- 4.1
33.62
34
1
25.1
8.9
79.21
36
1
25.1
10.9
118.81
41
2
25.1
15.9
505.62
Xi
f·(Xi-media)²
s =√∑ⁿ¡=1 (xi - media)²
√n
11.10
Esercizio 3
Trasformare i valori di x in punti z
PUNTI z: è la funzione che associa ad ogni elemento dell’insieme X un numero che si
ottiene calcolando la sua differenza dalla media di X e dividendo tale differenza per la
deviazione standard.
z = xi – media
s
Xi
12
15
18
21
34
36
41
f
2
1
1
2
1
1
2
media
( xi – media)
(Xi-media)²
25.1
- 13.1
343.22
25.1
- 10.1
102.01
25.1
- 7.1
50.41
25.1
- 4.1
33.62
25.1
8.9
79.21
25.1
10.9
118.81
25.1
15.9
505.62
s
z = (xi-media)
s
11.10
-1.18
- 0.91
- 0.64
- 0.37
0.80
0.98
1.43
Esercizio 4:
Descrivere lo spazio di probabilità derivante dall’estrazione a caso di un adolescente
rispetto ad un punteggio del test, considerando che ciascuno di essi ha la stessa probabilità
di essere estratto degli altri.
Considerando che lo spazio di probabilità è costituito da:
1. Uno Spazio Campionario Ω (insieme degli esiti di un dato fenomeno casuale)
2. Una Famiglia di Eventi ε (insieme di sottoinsiemi di Ω, chiuso a tutte le operazioni)
3. Una Distribuzione di probabilità Pr (definita su ε a valori reali, nn, norm., add.)
Calcoliamo:
1.
Ω* = {12, 15, 18, 21, 34, 36, 41}
N.B. Ω* indica lo Spazio Campionario con gli eventi non ripetuti
2. La famiglia di Eventi ε coincide con l’insieme potenza P(Ω*) = ε
ε = P(Ω*) = {Ø,{12}, {15}, {18}, {21}, {34}, {36}, {41}, {12,15},{12,18},…{12,15,18},…}
Gli esiti dello spazio campionario sono equiprobabili, ovvero l’esito di un dato
esperimento ha la stessa probabilità di verificarsi degli altri.
La probabilità di accadere di un certo evento è uguale alla cardinalità dell’insieme
che esprime tale evento diviso la cardinalità dello spazio campionario:
per ogni e Є ε
Pr(e) = |e| / | Ω|
Dunque: Pr({ 12 }) = Pr({ 21 }) = Pr({ 41 }) = 2/10 = 0.2
Pr({ 15 }) = Pr({ 18 }) = Pr({ 34 }) = Pr({ 36 }) = 1/10 = 0.1
Pr ({ 12,15 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 15 }) = 2/10 + 1/10 = 3/10 = 0,3
Pr ({ 12,18 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 18 }) = 2/10 + 1/10 = 3/10 = 0,3
Pr ({ 12,21 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 21 }) = 2/10 + 2/10 = 4/10 = 0,4
Pr ({ 12,15, 18 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 15 }) + Pr({ 18 }) = 2/10 + 1/10 + 1/10= 4/10 = 0,4
Pr ({ 12,15,21 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 15 }) + Pr({ 21 }) = 2/10 + 1/10 + 2/10 = ½= 0,5
3. Distribuzione di probabilità
Pr({ 12 }) = Pr({ 21 }) = Pr({ 41 }) = 2/10 = 0.2
Pr({ 15 }) = Pr({ 18 }) = Pr({ 34 }) = Pr({ 36 }) = 1/10 = 0.1
ε
…
Pr
R
{41}
{36}
{34}
0.2
{ 21 }
{ 18 }
0.1
{ 15 }
{ 12 }
Ø
0
Pr ({ 12,15 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 15 }) = 2/10 + 1/10 = 3/10 = 0,3
Pr ({ 12,18 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 18 }) = 2/10 + 1/10 = 3/10 = 0,3
Pr ({ 12,21 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 21 }) = 2/10 + 2/10 = 4/10 = 0,4
ε
…
Pr
R
{ 12, 21}
{ 12,18 }
0,4
{ 12,15 }
0,3
Pr ({ 12,15, 18 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 15 }) + Pr({ 18 }) = 2/10 + 1/10 + 1/10= 4/10 = 0,4
Pr ({ 12,15,21 }) = Pr({ 12 }) + Pr({ 15 }) + Pr({ 21 }) = 2/10 + 1/10 + 2/10 = ½= 0,5
ε
R
Pr
…
0,5
{ 12,15,21 }
{ 12,15, 18 }
0,4
Esercizio 5
Si considerino i tre eventi:
A= { w : in w ha il punteggio del test inferiore a 20 }
B= { w : in w ha il punteggio del test superioe a 30 }
C= { w : in w ha il punteggio del test pari }
Calcolare e singole probabilità degli eventi e dire se sono a due a due indipendenti.
Due eventi A e B sono Indipendenti se si verifica la seguente equivalenza:
Pr (A∩B) = Pr (A) Pr (B)
Calcoliamo la probabilità dei tre eventi:
Pr (A) = 4/10
Pr (B) = 4/10
Pr (C) = 5/10
Verifichiamo l’indipendenza degli eventi presi a coppie:
Pr (A∩B) = Pr (A) Pr (B)
A∩B= Ø
Pr(Ø) = 0
Pr (A) Pr (B) = 4/10 ∙ 4/10 = 4/25
0 ≠ 4/25
GLI EVENTI SONO TRA LORO DIPENDENTI
2. Pr (A∩C) = Pr (A) Pr (B)
A ∩ C = { 12a, 12b, 18 }
Pr (A ∩ C ) = 3/10
N.B. Due elementi non possono ripetersi negli insiemi non ordinati
Pr (A) Pr (C) = 4/10 ∙ 5/10 = 1/5
3/10 ≠ 1/5
GLI EVENTI SONO TRA LORO DIPENDENTI
3. Pr (B∩C) = Pr (B) Pr (C)
B ∩ C = { 34, 36 }
Pr (B∩C) = 1/5
Pr (B) Pr (C) = 4/10 ∙ 5/10 = 1/5
1/5 = 1/5
GLI EVENTI SONO TRA LORO INDIPENDENTI
Esercizio 6
Rappresentare (anche graficamente) una Variabile Casuale che colleghi al valore 1 gli esiti
inferiori a 20, al valore 2 gli esiti superori o uguali a 20 e inferiori a 30, al valore 3 gli esiti
superiori o uguali a 30 e inferiori a 40, al valore 4 gli esiti superiori o uguali a 40.
Variabile Casuale: dati uno spazio di probabilità ( Ω,ε,Pr ) e uno spazio di probabilità
euclideo ( R,B,Pr), si chiama Variabile Casuale una qualsiasi funzione V con dominio Ω
e codominio R tale per cui:
per ogni B Є B
V-1 (B) Є ε
v
12
1
15
18
2
21
34
3
36
41
Ω*
4
R
Esercizio 7
Ideare una seconda Variabile Casuale differente dalla prima.
V2 = funzione che collega a 1 gli esiti pari
e a 2 gli esiti dispari
v2
12
18
34
1
36
15
21
2
41
Ω*
R
Esercizio 8
Descrivere le distribuzioni di probabilità indotte dalle due Variabili Casuali
v1
Pr([1]) = 0.4
Pr ([2]) = Pr ([3]) = Pr([4]) = 0.2
Pr ([1,4]) = 1
Pr ([5]) = 0
Pr ([1,2]) = 0.6
Pr ([2,3]) = Pr([3,4]) = 0.4
Pr ([1,3]) = 0.8
Pr ([2,4]) = 0.6
N.B. : le parentesi quadre indicano gli intervalli
[1]
[2]
0
[3]
0.2
[4]
0.4
[1,2]
0.6
[1,3]
0.8
[1,4]
1
[5]
B
Prv
[…]
R
V2
Pr([1]) = Pr([2]) = 0.5
Pr([1,2]) = 1
Pr([3]) = 0
Prv
0
{ [1]
[2]
0.5
[1,2]
[3]
1
B
R