Elementi di teoria delle probabilità

Spazio campionario ed eventi
La teoria delle probabilità tratta di esperimenti (es. lancio di un dado) e dei
relativi risultati.
L’insieme di tutti i possibili risultati di un predefinito esperimento si chiama
spazio campionario.
Questo spazio consiste di un insieme S di punti chiamati punti campionari,
ciascuno dei quali è associato ad un solo e ben definito risultato.
Lo spazio campionario può essere continuo o discreto.
Un evento A è un sottoinsieme dello spazio campionario. Si parla di evento
semplice quando tale sottoinsieme è costituito da un solo punto. Si parla di
evento composto quando tale sottoinsieme è costituito da più punti campionari.
1
2
3
4
5
6
Elementi di teoria delle probabilità

Relazione tra eventi
Se due eventi A e B non contengono punti campionari in comune si dicono
mutuamente esclusivi o disgiunti
1 2 3 4 5 6
Se due eventi A e B non sono mutuamente esclusivi i punti campionari in
comune costituiscono la loro intersezione:
A B
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
L’unione di due eventi A e B è un evento costituito da tutti i punti di A e di B:
A B
Elementi di teoria delle probabilità

Spazio campionario a due dimensioni
Si consideri l’esperimento “misura simultanea della velocità e della direzione
del vento”. Lo spazio campionario (continuo) è costituito da punti le cui
coordinate sono la velocità e la direzione del vento. Questo spazio campionario
ha quindi due dimensioni
Direzione
360
0
0
Velocità (m/s)
Elementi di teoria delle probabilità

Spazio campionario condizionato
Se anziché considerare tutti i possibili risultati consideriamo solo quelli
caratterizzati da un velocità maggiore o uguale a un prefissato valore (es 1
m/s) lo spazio campionario risulterà ridotto rispetto al precedente
Direzione
360
0
0
1
Velocità (m/s)
Elementi di teoria delle probabilità

La probabilità
A ciascun punto dello spazio campionario relativo ad un prefissato esperimento può
essere associato un numero chiamato misura di probabilità o più semplicemente
probabilità
Def.: Se un evento casuale può manifestarsi in n modi ugualmente probabili e
mutuamente esclusivi e se na di questi modi sono caratterizzati dall’attributo A,
allora la probabilità che si manifesti un evento con attributo A è:
Prob A  na n
Se un evento casuale si manifesta un gran numero di volte (n volte) ed un
evento di attributo A si manifesta na volte, allora la probabilità che un evento
con attributo A si manifesti è:
Prob A  lim na n
n
Elementi di teoria delle probabilità

Assiomi della teoria delle probabilità
Assioma 1: La probabilità di un evento A è un numero compreso tra 0 e 1:
0  P A 1
Assioma 2: La probabilità dell’evento certo S è l’unità:
PS 1
Assioma 3: La probabilità di un evento che è l’unione di due eventi mutuamente
esclusivi è la somma delle probabilità dei due eventi:
P A B=P A  PB
Elementi di teoria delle probabilità

Probabilità dell’unione
Dati due eventi, disgiunti o meno, la probabilità dell’evento unione è:
P A B=P A  PB  P A B

Probabilità condizionata
La probabilità condizionata di un evento A dato B, cioè la probabilità dell’evento A
condizionata al fatto che l’elemento B si sia manifestato è:
P A  B
P A|B=
PB
P A B=P A|B PB
Rinormalizzazione sullo spazio
campionario condizionato
Elementi di teoria delle probabilità

Indipendenza
Si dice che due eventi sono indipendenti quando:
P A|B=P A
La probabilità che l’evento B si sia manifestato non altera la probabilità
del manifestarsi dell’evento A
P A B=P A PB
La variabile casuale
La variabile casuale è una variabile numerica il cui valore non può essere
previsto con certezza prima di un esperimento. Di fatto è la quantificazione
numerica del concetto di spazio campionario: è dunque possibile associare ad
ogni punto dello spazio campionario un valore della variabile casuale.
Il comportamento della variabile casuale sull’intero spazio campionario viene
descritto dalle leggi di probabilità.
Variabili casuali discrete
Variabili casuali continue
Variabile discreta

Funzione di probabilità di massa
La funzione di probabilità di massa della variabile discreta X è:
pX  x=PX  x
pX(x) esprime la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore x.
0  pX  x 1
pX  xi =1
Pa  X  b=
xi b
 pX  xi 
xi  a
Variabile discreta

Funzione di probabilità cumulata
La funzione di probabilità cumulata rappresenta la probabilità dell’evento che la
variabile casuale assuma un valore minore o uguale a quello assegnato:
FX  x=PX  x
Per variabili casuali discrete questa funzione equivale alla somma della
funzione di probabilità di massa relativamente all’intervallo dei valori
minori o uguali ad x che la variabile casuale X può assumere:
FX  x=
 pX  xi 
xi  x
Variabile continua

Funzione di densità di probabilità
Supponiamo che l’asse x sia suddiviso in un numero sufficientemente ampio di
piccoli intervalli di lunghezza infinitesimale dx; è allora plausibile definire una
funzione fX(x) tale che la probabilità che X ricada nell’intervallo di estremi x e x+dx
risulti pari a fX(x)dx: tale funzione è detta funzione di densità di probabilità.
Poiché gli intervalli sono mutuamente esclusivi ne segue che:
x2
P x1  X  x 2 =
x
f X  xdx
1
La probabilità che X assuma un singolo valore x è zero in quanto la lunghezza dx
risulta zero: in effetti fX(x) non rappresenta una probabilità come pX(x), bensì una
densità di probabilità. Pertanto fX(x) può anche essere maggiore di uno, ma mai
negativa.

-
f X  xdx 1
Variabile continua

Funzione di probabilità cumulata
La definizione di funzione di probabilità cumulata per una variabile casuale
continua è del tutto equivalente a quella fornita per una variabile casuale discreta:
FX  x=PX  x  P- X  x
FX  x=
dFX  x d 
= 
dx
dx 
x
- fX udu

f X udu  f X  x
-


x
Variabile continua

Funzione di probabilità cumulata
0  FX  x 1
FX =0
FX =1
FX  x  ε  FX  x ε  0
 
 
FX x2  FX x1  P x1  X  x2 
Funzione di probabilità congiunta
Quando si considerano due o più variabili simultaneamente il loro comportamento
probabilistico viene descritto dalla funzione congiunta di probabilità e dalla
funzione congiunta di probabilità cumulata.
Variabili discrete

pX,Y  x,y=PX  x Y  y
FX,Y  x,y=P X  x  Y  y  

  pX,Y  xi ,yi 
xi  x yi  y
Funzione congiunta di
probabilità di massa.
Funzione congiunta di
probabilità di massa cumulata.
Funzione di probabilità congiunta
Variabili continue


 

P x1  X  x2  y1  Y  y2  



x2 y2
x y
1
f X,Y  x,ydxdy
1
FX,Y  x,y=P X  x  Y  y  

 fX,Y  x0 ,y0 dx0dy0
x
Funzione congiunta di
probabilità di densità di
probabilità.
y
Funzione congiunta di
probabilità cumulata.
Funzione marginale di probabilità
Il comportamento di una variabile indipendentemente dall’altra viene descritto
dalla funzione marginale di probabilità.

Variabili discrete
pX  x=PX  x=

 
p X,Y x,yi
Funzione marginale di
probabilità di massa.
tutti gli yi

Variabili continue
f X  x 

 fX,Y  x,ydy
Funzione marginale di densità di
probabilità.
Funzione condizionata di probabilità

Variabili discrete
p X|Y  x,y=PX  x| Y  y=
p X,Y  x,y

 
p X,Y xi ,y

P X  x  Y  y
PY  y
p X,Y  x,y
p Y  y

Funzione condizionata
di probabilità di massa.
tutti gli xi

Variabili continue
f X|Y  x,y 
f X,Y  x,y
f Y  y
Funzione condizionata
di densità di probabilità.
Distribuzioni di probabilità per Y=g(X)
X e Y variabili casuali legate dalla relazione Y=g(X):
X variabile indipendente;
Y variabile dipendente;
Siano note
f X  x
FX  x
Sia il legame Y=g(X) biunivoco e monotono crescente:
Y è minore o uguale di y0 se e sole se X è minore o uguale ad un valore x0
t.c. y0=g(y0), ovvero:
x0  g
1
 y0 
Distribuzioni di probabilità per Y=g(X)
Sotto queste condizioni la funzione di probabilità cumulata della variabile Y
può essere derivata dalla funzione di probabilità cumulata della variabile X:


1
1


FY  y  PY  y  P X  g  y  FX g  y


Se il legame Y=g(X) è anche continuo e derivabile si può derivare anche la
funzione di densità di probabilità di Y:


d
d
d
1
f Y  y  FY  y  FX g  y 
dy
dy
dy
g 1 y

f X  xdx
Distribuzioni di probabilità per Y=g(X)
quindi:
dg 1 y
f Y  y 
f X g 1 y
dy
dx
f Y  y   f X  x
dy


f Y  ydy  f X  xdx
La probabilità che Y ricada nell’intervallo di ampiezza dy centrato in y è
uguale alla probabilità che X ricada nel corrispondente intervallo centrato in
x=g-1(y)