Le variabili casuali e la loro distribuzione di probabilità
Generalmente, lanciando un dado, si considera il valore numerico della
faccia uscita e, lanciando una coppia di dadi, interessa il punteggio
totale realizzato oppure il valore massimo fra i due ottenuti. Spesso si
considera il numero di teste ottenute lanciando un certo numero di
volte una moneta.
In generale, ai possibili eventi elementari e1, e2,..., en di un dato
spazio S sono associati dei valori numerici: più tecnicamente è data
una funzione avente come dominio lo spazio S e che a ciascun
evento elementare di S associa un numero reale.
Funzioni di tal genere sono dette variabili casuali o aleatorie:
variabili in quanto suscettibili di assumere valori diversi, casuali poiché
il valore da esse assunto dipende dall’esito di un esperimento casuale,
ossia da quale evento elementare si è realizzato in una data prova.
Una variabile casuale sarà indicata con X. Data una variabile casuale X
indichiamo con x1, x2,..., xn l’insieme dei suoi possibili valori. Se xi è
un valore della variabile casuale X, indichiamo con pi la probabilità che
assuma il valore xi, in formula: pi = p(X = xi ). La determinazione di pi
è subordinata alla scelta del modello probabilistico relativo allo spazio
di eventi relativamente al quale la variabile casuale è definita. Dato lo
spazio di probabilità S, pi si calcola semplicemente sommando le
probabilità degli eventi elementari ai quali è associato il valore xi di X e
si perviene ad unoschema di questo tipo:
nella quale si riportano i valori della variabile casuale e le rispettive
probabilità, ossia la distribuzione di probabilità della variabile
casuale
Definizione della variabile casuale
Definizione del supporto della variabile casuale
Schema di una v. c. discreta
Esempio: costruzione di una v. c. discreta
Valore atteso di una v.c.
Così come per le variabili statistiche, anche per le variabili casuali è possibile
calcolare alcuni indici di sintesi che ne consentano la descrizione e il
confronto.
In particolare si fa riferimento al valor medio e alla varianza di una v.c.
Si definisce valore atteso (momento primo o valor medio) di una v.c. X, la
somma dei valori della X ponderati per le rispettive probabilità.
Nel caso di v.c. continue il concetto di somma è da “intendersi nel continuo”
per cui l’operatore somma trova suo analogo nell’integrale.
Il valore atteso è indicato con il simbolo E().
Varianza di una v.c.
Si definisce varianza (momento secondo) di una v.c. X, la somma degli
scarti al quadrato tra i valori x e il valor medio, ponderati per le rispettive
probabilità.
Nel caso di v.c. continue il concetto di somma è da “intendersi nel continuo”
per cui l’operatore somma trova suo analogo nell’integrale.
Calcolo della media e della varianza di una v.c.
Esercitazione
Un investitore deve scegliere tra due portafogli azionari (A e B) con rendimenti variabili in
funzione di quattro possibili situazioni economiche: recessione, stabilità, crescita moderata e
crescita elevata. Le probabilità assegnate a ciascuna di queste e i relativi rendimenti dei due
portafogli sono i seguenti:
Situazione
Recessione
Stabilità
p
0,10
A
30
B
-50
0,40
70
30
Crescita
moderata
0,30
100
250
Crescita
elevata
0,20
150
400
Valutare quale portafoglio azionario è mediamente più redditizio e quale dei due portafogli è più
variabile.