Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
IV Parte
Cap. 11 Elettricità e Magnetismo
§11.1. Elettrostatica: fenomenologia di base............................................................p.1
§ 11.2. Uso del tester.................................................................................................p.12
§11.3. Semplici circuiti in cc ....................................................................................p.14
§11.4. Magnetismo ed elettromagnetismo.................................................................p. 21
§11.5. Induzione elettromagnetica e legge di Faraday Neumann Lenz....................p. 29
§11.6. Carica e scarica di un condensatore................................................................p. 37
IV Parte
Cap. 11 ELETTRICITÀ E MAGNETISMO
§11.1. Elettrostatica: fenomenologia di base
Concetti chiave: forze a distanza elettriche e magnetiche (richiamo alle forze
gravitazionali: ordini di grandezza). Elettrizzazione per strofinio; elettroscopio;
attrazione e repulsione, cariche di due tipi, conduttori e isolanti; elettrizzazione per
induzione; conduttori carichi, conduttori neutri; generatori elettrici (elettroforo,
macchine elettrostatiche, batterie, ecc.); modello microscopico: cariche nei metalli e
negli isolanti, nei gas e nei liquidi.
Apparecchiature di base: bacchette isolanti di plexiglas e di PVC; pendolino
elettrostatico, elettroscopio a foglie; conduttori e isolanti, sostegni isolanti. Altri
materiali vengono menzionati di seguito. Si possono fare molti esperimenti con
materiali poveri; si veda, per es., il sito dell’Exploratorium di San Francisco. Possibili
kit sperimentali: kit per esperimenti di elettrostatica (TZ1400), BCD sistemi; kit della
Leybold, per es. ESA1, ESA2.
Se vogliamo attenerci al solito principio guida “prima il concetto poi il nome”, iniziamo
a presentare la fenomenologia di base e solo in un secondo momento passiamo a
definire un modello microscopico.
Di seguito presentiamo un possibile percorso didattico1, in una lezione frontale e
interattiva, facendoci aiutare da un paio di studenti. Dopo aver preparato tutti i materiali
su un tavolo ben visibile da tutta la classe, iniziamo la lezione. Le esperienze vanno
provate prima, tanto più nel caso dell’elettrostatica, settore in cui gli esperimenti sono
‘capricciosi’: temono l’umidità, la polvere, la dispersione di carica in aria e non sempre
danno risultati univoci. I materiali con cui si lavora devono essere ben puliti e asciutti.
Se c’è umidità, il vapor acqueo di norma è isolante ma se si deposita può formare uno
strato conduttore. Lo stesso può avvenire con la polvere (si ricordi che un corpo carico
attrae corpi leggeri).
1. Elettrizzazione per strofinio
Materiali: bacchette isolanti ‘tipo vetro’ (chiamiamole A; sono in vetro acrilico,
plexiglas, ecc.) e bacchette isolanti ‘tipo resina’ (chiamiamole B; sono in PVC,
plastica, polietilene, ecc.), due per ogni tipo; fili isolanti (per es. di seta o di nylon) e un
sostegno; panni per strofinare: per tradizione storica, i manuali consigliano seta per
vetro, pelle o lana per plastica ma sono ottimi anche fazzoletti di carta, puliti e ben
asciutti sia per vetro che per plastica.
1
Cfr. per esempio, La Fisica a cura del PSSC, cit.
1
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Fissare agli estremi di una bacchetta, per es. di tipo A, il filo isolante, di lunghezza
maggiore di qualche cm della bacchetta; annodare a metà del ‘cappio’ un altro pezzo di
filo che fissiamo al sostegno. Abbiamo realizzato in questo modo una sospensione
bifilare. Dopo aver elettrizzato per strofinio la bacchetta, sospesa al sostegno,
elettrizziamo sempre per strofinio una seconda bacchetta di tipo A. Avvicinare alla
bacchetta sospesa, senza toccarla, la bacchetta carica; realizzare varie combinazioni:
A-A, A-B, B-B, ecc.. Bacchette cariche di stesso tipo si respingono, mentre bacchette
cariche di tipo diverso si attraggono.
Far vedere che le forze attrattive e repulsive dipendono anche dalla distanza tra le due
bacchette cariche.
I corpi isolanti si dividono in due gruppi: quelli come il vetro si caricano positivamente;
quelli come la plastica si caricano negativamente.
2. Conduttori e isolanti
Materiali: un primo rudimentale elettroscopio, il pendolino elettrostatico P (una pallina
leggera rivestita di carta stagnola, oppure un pezzetto di spugna conduttrice sospesa a
un filo isolante), una sbarretta metallica (Me), bacchette di vetro o plastica, una basetta
isolante (plastica o vetro).
Disporre Me sulla base isolante e metterlo in contatto con P; toccare Me con una
bacchetta elettrizzata: P si allontana. Ripetere sostituendo Me con una bacchetta non
elettrizzata: P non si muove.
P
Me
sostegno
isolante
Le sostanze come Me si dicono conduttrici; le sostanze come vetro o plastica, isolanti
(attenzione che questa distinzione non è affatto netta e va tenuto presente che non
esistono conduttori o isolanti ‘perfetti’).
2
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3. Elettrizzazione per contatto
Materiali: elettroscopio a foglie, possibilmente con involucro metallico (v. fig.);
conduttori sferici con manico isolante; filo metallico per la messa a terra.
Miglioriamo l’elettroscopio. Lavoriamo per es. con il classico elettroscopio a foglie
leggere, dove basta una piccola quantità di carica per far divergere le foglie.
Caricare per contatto l’elettroscopio con una bacchetta elettrizzata (toccare più volte il
pomello come se spalmaste la carica). Che succede?
Se tocco il pomello dell’elettroscopio carico con un conduttore sferico neutro di raggio
R (provvisto di manico isolante) che succede alle foglie? (le foglie si avvicinano un po’
perché la carica si ripartisce tra foglie e conduttore). Al crescere di R l’elettroscopio si
scarica sempre di più. Per estrapolazione dare il concetto di messa a terra (o a massa).
++++
+++
conduttore neutro
di raggio R
++
++
Se avviene partizione di carica tra il conduttore e l’elettroscopio ciò indica che
l’elettroscopio carico può servire anche per distinguere tra sostanze conduttrici e
isolanti (come vetro, ebanite, porcellana o plastica). Il suolo è un buon conduttore così
come il corpo umano. Per scaricare l’elettroscopio: toccare con il pollice il pomello e
l’indice (o con un filo metallico o l’apposito archetto conduttore munito di manico
isolante) l’involucro esterno.
Quando vogliamo caricare per contatto un conduttore isolato, elettrizzare per strofinio
la bacchetta, per es. di tipo vetro che carica più. Toccare il conduttore con la bacchetta
carica più volte: il conduttore si carica di stesso segno. Se tocchiamo appena con un
dito il conduttore, si eliminano le cariche positive (cariche negative vanno attraverso il
nostro corpo da terra verso il conduttore e neutralizzano le cariche di segno opposto) e
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il conduttore si carica meno. Con una data bacchetta isolante possiamo quindi caricare
un conduttore per contatto sia positivamente che negativamente.
4. Elettrizzazione per induzione
Caricare per induzione l’elettroscopio con una bacchetta elettrizzata (avvicinare ma non
toccare!).
Che differenza c’è con il caso precedente? (per contatto la carica sull’elettroscopio
rimane anche quando si allontana la bacchetta; non così per induzione: quando si
allontana la bacchetta il corpo torna neutro)
Come si fa a caricare di un dato segno l’elettroscopio per induzione, anche quando si
allontana la bacchetta inducente? (avvicinare all’elettroscopio scarico una bacchetta
carica, per es. + : per induzione il pomello si carica – e le foglie + ; la carica positiva
viene allontanata dalla bacchetta carica che attrae cariche di segno opposto sul pomello
e respinge cariche di stesso segno il più lontano possibile, cioè verso le foglie.
Mantenendo la bacchetta inducente vicino all’elettroscopio, toccare il pomello con un
dito: l’elettroscopio, il corpo dello sperimentatore e la terra formano un unico
conduttore. Le cariche positive vengono allontanate il più lontano possibile, ovvero
vengono neutralizzate dalle cariche negative che da terra attraversano il conduttore
unico; le foglie si chiudono.
Allontanare la bacchetta inducente e l’elettroscopio resta carico meno. Con questo
procedimento l’elettroscopio o un conduttore isolato si caricano di segno opposto
rispetto al segno della carica della bacchetta isolante.
5. Un possibile esperimento pensato
Due conduttori metallici neutri a contatto su basi isolanti. Che succede se si avvicina
una bacchetta elettrizzata per es. positivamente? (la carica + attira le cariche – nel
conduttore più vicino, che presenta ‘eccesso di cariche negative’, e respinge le +
all’altra estremità, dove si verifica un ‘eccesso di cariche positive’)
Me
+++
Me
---
vetro
++++++
supporti isolanti
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E se si staccano i conduttori (con la bacchetta carica + nelle vicinanze)? (uno resta
carico meno e l’altro più)
Come si verifica il segno della carica su ciascun conduttore? (allontanare la bacchetta
elettrizzata; avvicinare un pendolino elettrostatico carico, per es. +. Se il pendolino
viene attirato il conduttore è carico meno, se viene respinto il conduttore è carico di
stesso segno del pendolino)
Che succede se riavviciniamo i conduttori? (il sistema ridiventa neutro)
La separazione di cariche + e – di un conduttore, provocata da un corpo carico in
prossimità del conduttore, si chiama induzione elettrostatica; gli eccessi di carica sul
conduttore, cariche indotte.
6. Rivelatori di cariche
Come usare l’elettroscopio per rivelare il segno della carica su un corpo carico? (si
carica l’elettroscopio di carica di segno noto; si avvicina al pomello il corpo carico: se
le foglie divergono di più il corpo è carico dello stesso segno dell’elettroscopio)
7. Forze attrattive e repulsive
Se avvicino a un conduttore neutro (Me), sospeso mediante un filo isolante, un corpo A
carico, per es. +, che succede? (il conduttore è attratto dal corpo carico. Per induzione,
sulla parte più vicina a Me, il conduttore si carica meno e dalla parte opposta più. Le
cariche indotte negative sono attratte e le positive respinte dal corpo carico. Si ha una
forza risultante netta attrattiva perché le cariche + sono più vicine a Me)
A
Me
-++ --++
E se sostituisco a Me un corpo isolante neutro? (Avviene lo stesso processo ma l’effetto
è molto più debole perché negli isolanti le cariche si spostano localmente molto poco)
V. oltre al punto 12.
8. Inferenza al modello microscopico
Sulla base dei fenomeni osservati costruiamo un modello. Poiché esistono corpi carichi
dei due segni si fa l’ipotesi che anche gli atomi contengano cariche dei due segni
(decidere se introdurre i termini elettrone e protone). Dal momento che un corpo carico
+ e uno - si attraggono (o si respingono se di stesso segno), si fa l’ipotesi che analoghe
forze attrattive (o repulsive) agiscano anche tra le parti costituenti un corpo.
Su questa base, un atomo neutro, in analogia con un corpo neutro (=scarico), può essere
spiegato in linea di principio come contenente un ugual numero di cariche dei due
segni.
Un corpo neutro a cui si aggiungono cariche + si carica positivamente; ugualmente, se
togliamo cariche - il corpo si carica positivamente (eccesso di cariche +).
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9. Mettiamo alla prova il modello
Perché una bacchetta di vetro strofinata con seta o con carta si carica più? (far osservare
che comunque panno e bacchetta si caricano di segno opposto: si ha separazione di
carica ma la carica totale si conserva) E’ lecito pensare che a. cariche positive migrino
dalla seta al vetro (la seta o la carta si carica meno) oppure che b. cariche negative
migrino dalla bacchetta alla seta (o alla carta) che si carica meno.
Come si verifica che la seta o la carta si caricano meno? (si carica una bacchetta di
segno noto, per es. più: se la seta viene attratta è carica meno)
++
++
++
++
vetro
Nei conduttori le cariche meno si spostano da punto a punto (le cariche negative, cioè
gli elettroni di conduzione, sono libere). Negli isolanti le cariche + e – non si spostano
(o si spostano localmente assai poco; non ci sono elettroni di conduzione; a livello
microscopico si formano dipoli elettrici che si orientano in presenza di un campo
elettrico esterno).
Per spiegare perché una bacchetta di vetro strofinata con seta si carica più è dunque
preferibile ipotizzare che b. cariche negative passino dalla bacchetta alla seta (o meglio
che alcuni elettroni vengano strappati al vetro dal panno).
Supponiamo di avere un conduttore neutro sospeso (per es. una sferetta metallica) a un
filo isolante. Se si tocca il conduttore neutro con un corpo carico, per es.+, le cariche –
del conduttore vengono attratte dalle cariche + della bacchetta: il conduttore si carica +.
Conduttore e bacchetta si respingono (conduttore e bacchetta sono carichi +). Se al
posto del conduttore abbiamo un isolante (per es. una sferetta di plastica neutra), questo
resta neutro e non c’è alcuna forza repulsiva evidente tra bacchetta e isolante (nei solidi
isolanti le cariche non sono libere, né le + né le -, a parte qualche spostamento locale).
Nei liquidi e nei gas si muovono sia le cariche positive sia le negative. I gas di norma
sono isolanti e per renderli conduttori servono agenti ionizzanti esterni (v. oltre). Per i
liquidi fare riferimento alla cella elettrolitica: nella cella, dove è contenuta la soluzione,
sono immersi due elettrodi collegati a un generatore; se si usa acqua distillata non si ha
passaggio di corrente. Se si aggiunge un sale (per es. Cu SO4, NaCl, acido cloridrico,
acido solforico,…), le molecole di soluto si scindono in ioni positivi e negativi (gli ioni
Cu+ vanno all’elettrodo negativo e gli ioni SO4- all’elettrodo positivo) e la soluzione
diventa conduttrice.
- Perché una bacchetta isolante strofinata attrae corpi leggeri come pezzetti di carta?
(nella carta i dipoli si orientano con il polo di segno opposto al segno della bacchetta
carica e vengono attratti) La bacchetta ha il potere di attrarre corpi leggeri solo dove è
stata strofinata o in qualunque altro punto?
- Perché un conduttore metallico munito di manico isolante, se strofinato attrae corpi
leggeri? Perché il conduttore, a differenza della bacchetta isolante, attrae corpi leggeri
anche dove non è stato strofinato? E perché se lo tocchiamo con un dito non li attrae
più?
- Perché se mettiamo a contatto una bacchetta elettrizzata con un’altra bacchetta neutra
questa non si elettrizza? Perché se al posto della bacchetta abbiamo un conduttore
carico, questo elettrizza un altro conduttore neutro?
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
- Perché un palloncino tende ad aderire alla parete di una stanza? E perché due
palloncini si respingono?
- Come costruire un elettroscopio a basso costo, v. Gli esperimenti dell’Exploratorium,
esperimento 35, L’elettroscopio.
- Un esperimento semplice e significativo: v. Gli esperimenti dell’Exploratorium,
esperimento 78, Pulci elettriche.
- Come visualizzare attrazione e repulsione elettrica con due lattine di birra:
10. Come separare le cariche
Abbiamo già visto che possiamo separare cariche per strofinio o per induzione;
possiamo separare cariche anche mediante generatori elettrici, per es. una batteria o un
generatore di tensione. Se vogliamo caricare un elettroscopio, in linea di principio si
mette a contatto un polo della batteria, per es. il polo positivo, con il pomello
dell’elettroscopio e l’altro polo con l’involucro metallico dell’elettroscopio: in questo
modo l’elettroscopio si carica + e l’involucro meno.
+
+
-
-
Con le usuali batterie è inutile provare: ci vogliono tensioni dell’ordine dei kV. Queste
osservazioni ci danno modo di spiegare: 1. che cos’è una batteria (a questo stadio ci si
può limitare a dire che è un sistema chimico in grado di spingere cariche + verso il polo
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positivo e cariche – verso il polo negativo); 2. che cos’è una corrente (flusso di cariche)
quando si scarica l’elettroscopio, mettendo in contatto con un filo metallico pomello e
involucro esterno; 3. com’è l’aria dentro l’elettroscopio (in condizioni normali l’aria è
neutra altrimenti l’elettroscopio si scaricherebbe in poco tempo poiché sia l’equipaggio
sia l’involucro esterno attirerebbero cariche di segno opposto). Di norma l’aria è un
buon isolante (le molecole d’aria sono elettricamente neutre). Lo stesso vale per gli altri
gas. Se sono presenti agenti ionizzanti esterni (una fiamma, raggi X, sostanze
radioattive, ecc.), le molecole del gas si scindono (si ‘frammentano’ in parti
elettricamente cariche) in ioni carichi positivi e negativi e il gas ‘si ionizza’ (diventa
conduttore). La presenza di rocce (come il tufo) contenenti sostanze radioattive oppure
la componente penetrante dei raggi cosmici possono ionizzare l’aria ma l’effetto è
molto debole e può essere rivelato solo con strumenti molto sensibili.
v. Gli esperimenti dell’Exploratorium, esperimento 10, Batteria a mano.
11. Come caricare un corpo
Oltre che per contatto e per induzione, oppure mediante un generatore, ci sono altri
metodi da impiegare in un laboratorio didattico.
Caricatore-scaricatore (BCD sistemi).
Si tratta di un normale accendino piezoelettrico usato per accendere i fornelli a gas
azionando un tasto, modificato con una punta per caricare e scaricare un conduttore
isolato. Si basa sulle proprietà di un cristallo piezoelettrico di polarizzarsi
elettricamente quando sia soggetto a una sollecitazione meccanica (P=ε0χE). Quando si
preme il tasto tenendo la punta in prossimità del corpo da caricare, la scintilla lo carica
positivamente; quando si rilascia il tasto, la scintilla lo carica negativamente. Per
scaricare un corpo carico, azionare più volte il tasto in aria in prossimità del corpo. In
questo modo le molecole d’aria si ionizzano, gli ioni di segno opposto vengono attratti
dal corpo e lo neutralizzano.
Elettroforo di Volta
Si tratta di una delle prime macchine elettrostatiche, basate sul fenomeno dell’
induzione elettrostatica, in grado di separare e accumulare cariche elettriche.
E’ costituito da un piatto metallico (“scudo”) dotato di manico isolante e di un supporto
isolante (“schiacciata”, di materiale isolante come teflon o plexiglas). Caricare il
supporto isolante per strofinio (per es. -); poggiare il piatto sul supporto (il piatto si
carica per induzione, più dalla parte inferiore a contatto con il supporto e di segno
opposto dalla parte superiore).
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Toccare la superficie superiore del piatto con un dito (le cariche meno si disperdono a
terra).
Sollevare il piatto (che è carico più). Avvicinare il piatto a un conduttore isolato (per es.
un conduttore metallico in contatto elettrico con la terra): scocca una scintilla. Il piatto
si scarica mentre il supporto isolante rimane carico. Rimettere il piatto sul supporto, e
ripetere il processo. Se si vuole caricare un corpo, toccare il corpo con il piatto carico.
v. Gli esperimenti dell’Exploratorium, esperimento 15, Carica e porta via, in cui
vengono realizzati un elettroforo e una bottiglia di Leyda (condensatore) a basso costo.
12. Come riconoscere il segno delle cariche
Già abbiamo visto come individuare il segno della carica di un corpo elettrizzato
mediante un elettroscopio (o un pendolino elettrico) carico di segno noto. Vediamo altri
metodi.
Lampada a bagliore (Glimmlampe, Leybold, 50541)
Si tratta di un tubetto di vetro lungo qualche cm, chiuso alle estremità da due capsule
metalliche, contenente gas a bassa pressione (per es. neon), all’interno del quale sono
fissati due elettrodi di metallo.
Quando si avvicina la lampada a un corpo carico, per tensioni maggiori di 110 V
(tensione di innesco) avviene una scarica luminosa (gli atomi eccitati emettono luce;
poiché solo gli elettroni possono migrare dall’elettrodo, la lampada si accende sempre
dalla parte dell’elettrodo negativo, “luce a bagliore negativa”). Gli elettrodi sono
equivalenti: sappiamo solo che si illumina l’elettrodo negativo; se nella lampada si
accende l’elettrodo più vicino al corpo, il corpo è carico -, se si accende l’elettrodo più
lontano il corpo è carico +.
Se, a seconda del modello, gli elettrodi non sono ben differenziati, riconoscere quale
elettrodo si illumina è complicato. La lampada è comunque utile per vedere se un corpo
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
è carico e se è isolante o conduttore: se si elettrizza una bacchetta isolante per strofinio,
toccando la bacchetta con la lampada nei punti dove è stata strofinata, questa si illumina
più volte; se si elettrizza un conduttore (per es. una piastra metallica strofinata con un
foglio di acetato, Leybold 7.2), la lampada si illumina per contatto una sola volta.
Inserita in un circuito in cc, si illumina sempre l’elettrodo collegato al polo negativo del
generatore (superata la tensione di innesco avviene la scarica, nel tubetto passa corrente
e si illumina l’elettrodo collegato con il polo negativo del generatore di tensione, cioè il
catodo; cfr. Bretschneider-Meissner, Esperimenti di Fisica, Elettrologia, vol. II, E
6.2.5.3). La lampada può pertanto servire a individuare il polo negativo di un
generatore in cc se questo non è noto. E’ impiegata per es. nei cacciavite cerca fase.
Misuratore di campo elettrico E (BCD sistemi)
Lo strumento in dotazione del laboratorio è della ditta BCD sistemi. E’ provvisto di una
testa di misura cilindrica che termina con una ‘farfalla’ (o rotore) d’alluminio collegata
a massa, messa in rotazione da un motorino. La farfalla insiste su quattro quadranti fissi
(statore) con le coppie opposte in contatto e collegate a massa. La farfalla fa da
schermo elettrostatico allo statore. Se c’è un campo elettrico inducente E (si avvicina
alla testa di misura il corpo carico che elettrizza per induzione la farfalla e la coppia di
quadranti scoperti), sui settori fissi circola una corrente alternata da e verso massa
(corrente indotta, c’è un flusso tagliato che varia nel tempo), con i ∝ E. La legge che
governa la corrente indotta è la legge di Faraday Neumann Lenz. Sul display dello
strumento si può leggere il valore del campo elettrico in V/cm. Fissando sulla testa di
misura un coperchio munito di un disco di alluminio posto a un cm dai settori circolari
si ha direttamente la misura in V; si possono fare misure di potenziali, per es. con una
pila: un polo va messo in contatto con il passante isolato mentre l’altro con l’involucro
esterno (a massa) della testa di misura. Lo strumento è semplice da usare e dà risposte
univoche quando, in condizioni sperimentali sfavorevoli (umidità, dispersione di carica,
disturbi dovuti a cariche ‘in giro’ prodotte quando si elettrizza per strofinio),
l’elettroscopio non funziona in modo ottimale.
13. Come visualizzare le linee di forza del campo elettrico E
Materiali: contenitore, liquido isolante, ‘marcatori’, conduttori di forma opportuna,
generatore di tensione (almeno 10 kV). Ci vuole un liquido isolante, per es. olio, in cui
si sospendono particelle leggere (per es. semi d’erba); nel liquido si introducono poi
oggetti carichi significativi come: una sferetta conduttrice carica (E per una carica
‘puntiforme’); due sferette conduttrici cariche di segno oppposto (dipolo); due piastre
conduttrici parallele cariche di segno opposto (condensatore a facce piane e parallele),
ecc. La Leybold (54106) ha realizzato un set di piastre di materiale isolante trasparente
in cui sono inseriti i conduttori che terminano con due boccole per il collegamento con
il generatore di tensione; la piastra viene posizionata sul piano della lavagna luminosa.
Al di sopra della piastra si dispone un cilindro di materiale trasparente contenente l’olio
isolante e semi di cereali che a seconda della forma dei conduttori si orientano secondo
le linee di forza del campo elettrico.
10
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14. Forza tra due sferette cariche
La Guida del Laboratorio del PSSC suggerisce un interessante esperimento a basso
costo in cui si verifica la dipendenza tra FE ∝1/r2. Due sferette conduttrici (per es.
palline di polistirolo rivestite di stagnola); una sferetta B è fissa mentre l’altra A in asse
con questa, viene sospesa mediante un filo isolante, possibilmente a V (sospensione
bifilare per far oscillare la pallina in un piano), a una certa distanza r da B. Dietro le
due sferette si fissa su un piano verticale uno specchio munito di scala graduata (lo
specchio serve a eliminare l’errore di parallasse; la lettura si fa quando l’immagine
riflessa di A e A sono perfettamente sovrapposte). Caricare (per es. con un elettroforo
di Volta) A e B di stesso segno; per una data distanza r tra A e B la sferetta A viene
respinta come in figura.
θ
θ
T
l
l
FE
B
+
+
+
+
A
+
+
+
+
d
P
r
Le forze agenti su A sono: la tensione del filo T, la forza elettrica FE, la forza peso P.
All’equilibrio
F
d
∑ F = 0, FE = T sinθ, mg = T cosθ → mgE = tgθ → FE = mg l = kd , con tgθ=d/l (per
angoli piccoli si considera la corda coincidente con l’arco). Al variare di r, misurare d
(sulla scala). Graficare d vs 1/r2 e verificarne la linearità.
€
15. Al concetto di capacità
Quando si carica un conduttore isolato, una certa carica Q porta il conduttore a
potenziale V. Si può dimostrare che Q ∝ V e la costante di proporzionalità è la capacità
C = Q/V. La capacità di un conduttore può essere aumentata aumentando la superficie
del conduttore e/o avvicinando a esso altri conduttori.
16. Cilindro (o pozzo) di Faraday (Leybold ESA1, 5.3-5.4)
Si tratta di un cilindro di metallo leggero, aperto dalla parte superiore (in pratica è una
cavità con una piccola apertura). A seconda dei modelli può essere fissato agevolmente
su un supporto conduttore o isolante o direttamente su un elettroscopio. Serve a
mostrare che le cariche si dispongono sulla superficie esterna dei conduttori.
foglie di Al
bacchetta carica
Attaccare per es. due strisce uguali di alluminio (va bene anche l’Alufol impiegato in
cucina), una all’esterno e una all’interno del cilindro fissato su un sostegno isolante.
Caricare una bacchetta, per es. più, e inserirla nel cilindro; per induzione si separano le
cariche. La striscia interna si carica di segno opposto e viene attratta dalla bacchetta,
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mentre la striscia esterna si carica di stesso segno e viene respinta dalla parete del
cilindro. Se si porta la bacchetta carica all’esterno, la striscia interna non subisce alcun
effetto perché è schermata dal cilindro metallico mentre la striscia esterna si allontana.
Se si tocca il bordo del cilindro con la bacchetta carica, sulla striscia interna non c’è
alcun effetto mentre la striscia esterna si allontana dalla parete del cilindro (le cariche si
distribuiscono solo sulla superficie esterna del conduttore).
Variante: caricare il cilindro per contatto (oppure con il caricatore-scaricatore). Usare
una sferetta conduttrice scarica munita di manico isolante come sonda: esplorare
l’interno del cilindro (toccare) e quindi avvicinare la sferetta alla testa di misura del
misuratore di campo. La sferetta è scarica. Ripetere toccando con la sferetta la
superficie esterna del cilindro: la sferetta è carica. La proprietà della carica di
distribuirsi sulla superficie esterna di un conduttore vale anche se la superficie è
discontinua (gabbia di Faraday). Con il pozzo di Faraday montato sull’elettroscopio:
inserire nel cilindro un conduttore carico, per es. la sferetta conduttrice carica + munita
di manico isolante; per induzione il cilindro si carica di segno opposto all’interno e di
stesso segno all’esterno. Toccare con la sferetta il cilindro, le cariche – si neutralizzano
così come il conduttore (fare la prova avvicinando la testa di misura del misuratore di
campo: il conduttore è scarico); la superficie esterna del cilindro e l’elettroscopio
restano invece carichi +.
+ +
+
++
-
+
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
17. Potere delle punte
Avvicinare un dito alle parti spigolose di un conduttore carico (esistono i tipici
conduttori conici a punta montati su sostegno isolante): scocca una scintilla.
Variante: pendolino elettrico P, conduttore a punta, bacchetta, piastra metallica. La
punta del conduttore viene avvicinata a P. Caricare la bacchetta, per es. più, e
avvicinare al conduttore dalla parte arrotondata; il conduttore si carica per induzione
meno dalla parte affacciata alla bacchetta e più sulla punta; P viene respinto (sulla
punta la densità di carica è molto elevata, si ha perdita di carica in aria, il cosiddetto
effluvio). Se si tocca con un dito il conduttore, le cariche meno da terra vanno a
neutralizzare le cariche più; se si allontana la bacchetta inducente il conduttore resta
carico meno e il pendolino P viene respinto.
-------++
++
++
++
++
++++++++++
++
Se si interpone tra P e la punta del conduttore una lastra metallica messa a terra il
pendolino non si sposta (la piastra fa da schermo elettrostatico).
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
§ 11.2. Uso del tester
Suggerimenti e avvertenze: per un uso corretto di un qualunque strumento di misura,
leggere il libretto di istruzioni; osservare attentamente lo strumento per coglierne le
caratteristiche essenziali. Questo vale in particolare per voltmetri, amperometri, tester
(o multimetri): ne esistono di varie tipologie e non sappiamo a priori cosa troveremo
nel laboratorio scolastico. Prima di fare una misura, porsi le domande: strumento
analogico o digitale?
Misure in corrente continua (cc o dall’inglese direct current, DC, simbolo =) o in
corrente alternata (ca o alternate current, AC, simbolo ~)? Se in cc, attenzione ai poli
(+ con +, - con -). Come inserire lo strumento nel circuito (serie o parallelo)? Che
fondo scala scegliere?
Indipendentemente dal modello, se il tester è analogico, inserire correttamente gli
spinotti nelle prese (o boccole) apposite e i puntali nei punti del circuito dove si deve
eseguire la misura; se si fa una misura in continua lo spinotto nero va inserito nella
boccola nera con il simbolo =, lo spinotto rosso nella boccola con il simbolo della
grandezza da misurare.
Il tester dispone in generale di più campi di misura (tensioni V in cc e in ca, intensità
di corrente A in cc e in ca, resistenze R, frequenze, capacità, ecc.) con diverse portate
(o fondo scala (fs)). Per le misure in cc le scale sono nere, in ca sono rosse. Spesso i
tester analogici presentano una scala a specchio per evitare l’errore di parallasse.
I tester digitali hanno i seguenti elementi comuni: il display LCD, l’interruttore
on/off, il selettore DC/AC, il commutatore delle funzioni e delle scale; per il
collegamento al circuito, lo spinotto nero va alla boccola COM (comune) per tutte le
misure; l’altro rosso va alla boccola relativa alla grandezza da misurare (V, A, Ω,
ecc.). Con i tester digitali se in cc si invertono i collegamenti, sul display compare un
segno meno (con i tester analogici l’ago si sposta dalla parte ‘sbagliata’).
Precisione o classe del tester
Negli strumenti analogici la precisione è indicata nelle istruzioni della casa
costruttrice in percentuale assoluta (o classe di precisione dello strumento). Se per es.
stiamo facendo misure di tensione, la classe dello strumento è 2 con un fs di portata
250 V, e l’errore massimo ammesso è ± 2 % del fs con portata 250:
13
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
errore assoluto δV= ±0,02⋅250 = ±5 V.
Se la misura indicata dallo strumento è per es. 200 V la misura va riportata come V=
200 ± 5 V (errore relativo 5/200 → 2,5%). Se lo strumento indica 20 V, V= 20 ± 5 V
(errore relativo 5/20 → 25 %). A bassi valori di scala corrisponde un errore più alto.
Se il tester è digitale, la sensibilità della misura da rilevare è uguale alla cifra che non
fluttua letta più a destra nel display, detta digit (è la cifra meno significativa); se la
lettura è per es. V= 4,5 V un digit vale 0,1 V; se V= 1,320 V un digit vale 0,001 V. La
precisione è indicata di norma nel libretto di istruzioni a seconda della grandezza da
misurare e del fs. In generale, se la grandezza da misurare è x, lo strumento fa un
errore δx∝x. L’incertezza relativa sulla misura, e quindi la precisione delle misure,
vale δx/x ≈ costante.
Vediamo meglio qualche caso più frequente di misura.
Misure di tensione in cc
Collegare il tester in parallelo al circuito; introdurre lo spinotto nero (-) nella boccola
= contrassegnata in nero e lo spinotto rosso (+) nelle boccole 100 mV, 2 V, 10 V ecc.
a seconda della portata voluta. Per evitare un sovraccarico sulle resistenze usare, nel
caso non si conosca l’ordine di grandezza della tensione da misurare, la portata
massima. Dopo la prima lettura passare alla portata più bassa per ottenere una misura
più precisa.
Se lo strumento è digitale lo spinotto rosso va inserito nella presa V/Ω e quello nero
nella presa COM. Selezionare tramite il commutatore la portata Vcc voluta. Anche
qui vale il principio secondo il quale, se non si conosce l’ordine di grandezza del
valore da misurare, conviene selezionare la portata più alta e poi diminuire fino al
valore più adatto. Più il campo di misura utile è limitato più la misura è precisa.
Misure di tensione in ca
Collegare il tester in parallelo al circuito; introdurre uno spinotto nella boccola ~
contrassegnata in rosso e l’altro spinotto nella boccola 10 V~, 50 V~, ecc. a seconda
della portata voluta. Per evitare un sovraccarico sulle resistenze usare, nel caso non si
conosca l’ordine di grandezza della tensione da misurare, la portata massima. Dopo la
prima lettura passare alla portata più bassa per ottenere una misura più precisa.
Se lo strumento è digitale, lo spinotto rosso va inserito nella presa V/Ω e quello nero
nella presa COM. Selezionare tramite il commutatore la portata Vca voluta.
Misure di intensità di corrente in cc
Collegare il tester in serie con il circuito; introdurre lo spinotto nero (-) nella boccola
=, quello rosso (+) nella boccola 50 µA=, 500 µA=, ecc. a seconda della portata
voluta. Dare tensione al circuito solo dopo avere inserito il tester. Nel caso non si
conosca l’ordine di grandezza della i da misurare, usare la portata massima, per es. 5
A=, poi spostare lo spinotto rosso nelle boccole di portata inferiore.
Se lo strumento è digitale, lo spinotto rosso va inserito nella presa A e quello nero
nella presa COM. Selezionare tramite il commutatore la portata Acc voluta.
Misure di intensità di corrente in ca
Collegare il tester in serie con il circuito; introdurre uno spinotto nella boccola ~,
contrassegnata in rosso, l’altro nella boccola corrispondente a 250 µA~, 2,5 µA~,
ecc. contrassegnati in rosso a seconda della portata voluta. Dare tensione al circuito
solo dopo avere inserito il tester.
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
Se lo strumento è digitale, lo spinotto rosso va inserito nella presa A e quello nero
nella presa COM. Selezionare tramite il commutatore la portata Aca voluta.
Misure di resistenze R
Prima di effettuare la misura di R in un qualunque circuito, accertarsi che in esso sia
stata tolta corrente. Se ci sono condensatori vanno scaricati. Inserire uno spinotto
nella boccola Ω in nero, l’altro nella boccola corrispondente a Ωx1, Ωx10, ecc. in
nero, a seconda della portata voluta. Mettere i puntali a contatto e portare l’indice a 0
Ω (fs) con l’apposita manopola. Inserire tra i puntali la R da misurare. Ricordarsi di
moltiplicare x1, x10, ecc. in funzione della portata scelta. Ogni volta che si cambia
portata ripetere l’operazione di azzeramento dell’indice.
Se lo strumento è digitale, lo spinotto rosso va nella presa V/Ω e quello nero nella
presa COM. Selezionare con il commutatore la portata in Ω voluta. Inserire la R da
misurare tra i puntali e leggere il valore sul display.
§11.3. Semplici circuiti in cc
Qualche richiamo. Un generatore è un qualsiasi dispositivo- pila, batteria (più pile
collegate in serie), alimentatore di tensione, trasformatore collegato alla rete- in grado
di mantenere una differenza di potenziale (ddp) tra due punti qualunque di un circuito.
Si parla anche di sorgente di forza elettromotrice (fem) che fa lavoro sui portatori di
carica (per convenzione positivi) e li porta dal morsetto a potenziale più basso (-) al
morsetto a potenziale più alto (+).
Può essere utile far riflettere gli studenti sull’analogia tra un circuito elettrico,
costituito da una fem ε e da una resistenza R, e un circuito idraulico.
Alla fem corrisponde una pompa che solleva l’acqua a una certa quota h, il tratto di
filo in cui scorre i corrisponde a un tratto di tubo in cui scorre acqua in moto
uniforme, la R corrisponde al passaggio di un grave in un mezzo viscoso (alla carica q
corrisponde una certa massa m d’acqua, all’elemento che dissipa energia per effetto
Joule, cioè R, corrisponde il mezzo viscoso, al potenziale elettrico da basso ad alto, il
potenziale gravitazionale da basso ad alto). Attenzione ai limiti dell’analogia:
l’analogia è pertinente se il circuito idraulico è chiuso, anche se molti manuali
impostano l’analogia con circuiti aperti, come può essere la corrente di un fiume che
scorre da monte a valle.
Si considerino più in generale le misconcezioni indotte dalla fisica di senso comune
che porta gli studenti a immaginare la corrente elettrica come un fluido, a volte come
due fluidi bipolari, con qualche punto di contatto con le prime teorie sui fluidi elettrici
svilupppatesi nella storia della fisica. 2
+
ε
Si veda in proposito, M. Mayer, Conoscenza scientifica e conoscenza di senso
comune, CEDE, Frascati, 1990.
2
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Nel circuito elettrico il lavoro eseguito dalla fem ε è: dL= εdq =εidt; in R si dissipa
energia per effetto Joule P=dL/dt= Ri2 → dL= Ri2dt; εidt=Ri2dt → i=ε/R
(conservazione dell’energia).
La stessa espressione si ritrova con la conservazione dell’energia ( ∑Vi = 0 ), usando
i
la seconda legge di Kirchhoff: Va-Ri + ε= Va → i=ε/R.
Resistenze in parallelo e in serie
Al nodo i = i1+ i2 = V/R1 + V/R2; 1/Rpar=1/R1+ 1/R2.
Con R in serie Rserie = ∑ Ri .
i
€
i
€
+
i1
i2
ε -
Ricordare che il generatore ha una sua resistenza interna r:
i
a
r
+
ε
R
-
b
€
Vab= iR = ε - ir →
ε
ε
i=
→ Vab =
R, Vab < ε, Vab = ε solo se r = 0, oppure R → ∞ , cioè a
r+R
r+R
circuito aperto, la fem ε è uguale alla ddp ai morsetti del generatore.
Quando si usa un amperometro (o il tester) va messo in serie nel circuito: RA<< r +
R1+R2+…, l’amperometro è ideale se RA → 0.
Quando si usa un voltmetro (o il tester) va messo in parallelo nel circuito: RV >>
R+r+…; il voltmetro è ideale se RV → ∞.
Passiamo agli esperimenti.
Concetti chiave e nozioni di base: conduttore, isolante, differenza di potenziale,
corrente, circuito elettrico, resistenze in serie e parallelo; modello microscopico:
“cariche in moto”.
Materiali: cavi di collegamento, coccodrilli, lampadine micromignon,
portalampadine, pinza spellafili, tronchesi, pile, tester. Suggerimento per
l’autoformazione: nei negozi di giocattoli i kit Clementoni (“Il piccolo elettricista”,
“Elettronica”, ecc.), sono ottimi e a costo contenuto. Il tester si può comprare nei
negozi di elettronica a pochi euro. Al posto delle pile, se disponibili, usare gli
alimentatori di tensione che offrono il vantaggio di non scaricarsi. Di norma gli
alimentatori usati nella didattica sono a bassa tensione e consentono di lavorare in
piena sicurezza; trasformano la tensione alternata di rete in bassa tensione (alternata o
continua a seconda delle uscite sull’alimentatore) e in genere sono a tensione
regolabile (per es. alimentatore Leybold, 52215/16). I cavi di collegamento possono
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
essere fili isolati (fili di rame ricoperti da una guaina isolante) o fili smaltati (in questo
caso per creare un contatto raschiare lo strato di smalto con carta vetrata).
Per esperimenti di gruppo si possono realizzare semplici circuiti con i materiali sopra
indicati, servendosi delle tronchesi, o di forbici adatte, per creare i cavi di
collegamento, della pinza per spellare le parti terminali dei fili isolati per collegarli ai
portalampadine oppure, mediante i coccodrilli, per collegarli ai poli della batteria o
per realizzare un interruttore.
Esistono in commercio delle piastre o pannelli forati isolanti dove inserire i fili di
collegamento e gli altri elementi del circuito (il contatto avviene nella parte inferiore
della piastra). La Leybold produce piastre a innesto con “ponticelli” al posto dei cavi
che si inseriscono tra un’ “isola” e l’altra della piastra per ottenere il collegamento tra
i vari punti del circuito. Con la piastra e i ponticelli vengono forniti gli elementi a
spina del circuito (interruttori, deviatori, portalampade, resistenze, condensatori, ecc.)
da inserire nei fori della piastra. La soluzione, anche se vincolante (gli elementi sono
compatibili solo con le piastre Leybold) e costosa se si vuole far lavorare gli studenti
a gruppi, si presta bene per esperimenti dimostrativi.
Qualunque soluzione si adotti, far fare agli allievi lo schema del circuito che si
costruisce. In mancanza di un tester, la luminosità di una lampadina inserita nel
circuito può essere usata in prima approssimazione come indicatore di ciò che sta
accadendo nel circuito (l’indicatore è la tensione ai capi della lampadina).
Interruttore
lampadina
R
i
+
-
La lampadina può essere assimilata a una resistenza ma al variare della temperatura
varia R. Anche i normali fili conduttori, quando si scaldano fanno diminuire i (la
resistenza aumenta al crescere della temperatura). Fa eccezione la costantana, una
lega di rame e nichel, cosiddetta perché R è praticamente indipendente da T (R resta
costante). Se si usa una pila, in un circuito va sempre inserita una resistenza (anche la
lampadina va bene) altrimenti si fa un corto e la pila si scarica subito, surriscaldando
il filo. Quanto più il filo è corto più si riscalda (v. Gli esperimenti dell’Exploratorium,
esperimento 27, Corto circuito).
Useremo tuttavia la pila in corto nel seguito, in qualche caso dove occorra corrente
elevata per breve tempo. Lo stesso vale per l’alimentatore: chiudere e riaprire subito
l’interruttore dell’alimentatore. Se l’alimentatore è protetto contro il surriscaldamento,
se si tarda a riaprire l’interruttore scatta il fusibile termico e l’alimentatore smette di
funzionare per qualche minuto.
Far prevedere qualitativamente ciò che accade alla corrente in vari punti del circuito,
o alla differenza di potenziale tra due punti fissati, quando si aggiunge o si toglie una
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
resistenza (o una lampadina), o si mettono in corto due punti del circuito. Prima di
inserire una lampadina, attenzione alla
sua compatibilità con la
pila (o
l’alimentatore) che si sta usando: leggere sul colletto della lampadina le sue specifiche
tecniche.
- Conduttori e non conduttori elettrici in un circuito
Materiali: circuito con pila (o alimentatore a 12 V-), lampadina, interruttore, due
coccodrilli, una lamina di alluminio, di ottone o altro materiale conduttore, un
pezzetto di legno, di polistirolo, di vetro acrilico o altro materiale isolante; due
resistenze per es. R= 50 e 100 Ω (cfr. Guida Leybold, Elettricità, Circuiti elettrici
fondamentali, Esp. 2).
12 V-
L
+
-
I
punto
di inserimento
Costruire il circuito; preparare due tratti di cavo con un coccodrillo a ciascun estremo.
Se si usa l’alimentatore a 12 V-, scegliere una lampadina L per es. da 12 V, 3 W. (Se
si usa la pila da 4,5 V vanno bene le lampadine con 4,8 V). La L serve come spia per
vedere se nel circuito passa o non passa corrente quando si inseriscono tra i
coccodrilli (‘punto di inserimento’), uno alla volta, i materiali conduttori o isolanti,
oppure le due resistenze. Dalla luminosità della L si può inoltre riconoscere che i
materiali conduttori conducono la corrente in modo diverso a seconda della sostanza
di cui sono fatti. Con la resistenza da 100 Ω la L si accende molto più debolmente che
con la R più bassa (i= ε /R).
(Perché tra i materiali, proprio 50 Ω? Con L (12 V, 3 W) i=0,25 A → V=Ri → R=V/i
=12/0,25=48 Ω).
- Semplici circuiti in cc
Materiali: pile da 4,5 V (o alimentatore), cavetti di collegamento, cavetti con
terminali a coccodrillo, lampadine micromignon con portalampadine, interruttore
(anche rudimentale); tester.
(I) Realizzare un circuito con:
(a) una lampadina e una pila;
(b) e (c) con due lampadine e una pila in due modi non equivalenti;
(d) svitare una lampadina in un circuito con due lampadine e una pila: che succede?
fare lo schema di ogni circuito;
confrontare la luminosità delle lampadine nei casi (a), (b) e (c).
(II) Misurare con il tester:
(e) l’intensità di corrente in più punti dei circuiti costruiti;
(f) la tensione ai capi dell’interruttore aperto e chiuso; e ai capi di due punti
qualunque di un cavo di collegamento;
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
(g) la tensione ai capi di ogni lampadina; e ai capi di una lampadina cortocircuitata;
(h) la tensione ai capi della pila (o dell’alimentatore) a circuito aperto e chiuso.
Note:
- Se è nota la fem ε della pila o dell’alimentatore che lampadina usare? (leggere sul
colletto della lampadina, tensione e potenza, oppure tensione e intensità di corrente.
Scegliere la lampadina con V ≥ ε per evitare che si bruci). Come prevedere il campo
di misura per i? (se per es. la lampadina è da 12 V e 3 W e la fem dell’alimentatore è
ε = 12 V, P= Vi → i= P/V= 3/12= 0,25 A, il campo di misura è i ~ 0,25 A)
(a)
(b)
V
-
+
A
L
+
1
L
-
+
-
I
L
(c)
1
L2
2
- Caso (a), ia= ε /R, ε ~V. Caso (b), con due lampadine in parallelo: ib = ε /Requiv, ε ~V1
~ V2. La tensione ai capi di una lampadina corrisponde alla luminosità della
lampadina L; stessa V ai capi di L, stessa luminosità. Con due lampadine in serie, caso
(c) ε = V1+ V2, la luminosità di L è minore che nei casi precedenti, inoltre
ic = ε /2R=(1/2) ia.
- (e) La intensità di corrente è la stessa in qualsiasi punto del circuito (a) e (c); nel
caso (b) nei due rami del circuito dove sono inserite le L i è più bassa rispetto ai tratti
del circuito ‘principale’.
- (f) Ai capi dell’interruttore a circuito aperto V ~ ε, a circuito chiuso V=0; in due
punti qualunque del cavo, V=0 (si ricorda che per misure di tensione il tester va messo
in parallelo, stando attenti ai poli).
- (g) Ai capi di una lampadina cortocircuitata (mettere in contatto con un cavetto gli
estremi del portalampadina), V=0. I cavi di collegamento, l’interruttore chiuso, i
componenti cortocircuitati non presentano differenza di tensione tra i contatti.
- (h) La pila (o l’alimentatore) ha una sua resistenza interna r, in genere di qualche Ω;
se si misura V ai capi della pila a circuito aperto V ~ ε nominale della pila (o
dell’alimentatore); a circuito chiuso V < ε a causa della caduta di tensione ai capi di r.
- Se si usano due pile in serie attenzione a non bruciare le lampadine (ε = ε1+ ε2). Due
pile in parallelo equivalgono invece a una pila di stessa fem e resistenza interna r/2. Si
usa il parallelo quando si vuole evitare la caduta di tensione da ε nominale a ε sotto
carico (cfr. Guida Leybold, Elettricità, Circuiti elettrici fondamentali, Esp. 6 e 7).
- Verifica prima legge di Ohm V= Ri
Materiali: filo di nichelcromo di l=2 m, ∅= 0,25 mm, una resistenza nota, per es.
R=100 Ω, alimentatore 12 V- a tensione regolabile, tester.
Costruire il circuito con il filo di nichelcromo di resistenza Rf, avvolto su una basetta
isolante inserita in serie.
19
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
+
+
A
-
12 VI
-
+
V
Dobbiamo verificare che la tensione ai capi di Rf è direttamente proporzionale a i e la
costante di proporzionalità è la resistenza del filo. Variare V per gradi da 0 a 12 V e
misurare ogni volta i con il tester in serie nel circuito. Graficare V vs i e ricavare dalla
pendenza della retta il valore di Rf da confrontare con il valore teorico (Rf ~ 46 Ω).
Ripetere le misure sostituendo al rocchetto di filo la resistenza nota. Quando si
confronta il valore misurato con il valore atteso si troverà una lieve discrepanza
dovuta, oltre che agli errori di misura, alla tolleranza di fabbricazione della resistenza
e al fatto che la resistenza del filo è funzione della temperatura. Ricordare che il filo
di costantana è quello più stabile (cfr. Guida Leybold, Elettricità, Circuiti elettrici
fondamentali, Esp. 8).
- Verifica seconda legge di Ohm R = ρl/s
Materiali: filo di nichelcromo di l=2 m, ∅ = 0,25 mm e ∅ = 0,35 mm; filo di
costantana, l= 2 m, ∅ = 0,35 mm; cavetto con coccodrillo, alimentatore 12 V- a
tensione regolabile, tester.
Costruire il circuito con il filo di nichelcromo avvolto su una basetta isolante inserita
in serie, in modo da selezionare ogni volta un certo numero di spire (le altre vanno
cortocircuitate con il cavetto munito di coccodrillo) per variare la lunghezza l del filo
(valutare prima la lunghezza di ogni spira e variare il numero di spire selezionate).
A
Con una tensione di alimentazione, per es. di 3 V-, misurare per ogni l la intensità di
corrente i che passa nel circuito con il tester in serie e la V ai capi del filo; calcolare
R=V/i (oppure misurare con il tester la resistenza del filo R (Ω) in funzione di l (cm);
la misura va fatta a circuito aperto). Graficare R vs l e verificarne la linearità. A parità
di filo e a parità di l, variare il diametro del filo e verificare che R ∝ 1/s (s è la sezione
del filo). A parità di diametro e di l, passare al filo di costantana e verificare che R
dipende dal materiale di cui è fatto il filo (cioè dalla resistività ρ; cfr. Guida Leybold,
Elettricità, Circuiti elettrici fondamentali, Esp. 9).
Nota: esistono in commercio delle tavolette di legno già pronte con filo di vario materiale e
diametro. Ogni filo è teso e ripiegato a V in modo da variare la sua lunghezza di 50 cm + 50
20
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
cm; a ogni estremo del filo c’è una boccola. La BCD Sistemi realizza per es. una basetta con
5 fili rispettivamente di costantana di ∅=0,28 mm, 0,45 mm, 0,90 mm; nichelcromo di ∅=
0,31 mm e 0,45 mm. Il procedimento di misura è simile a quanto sopra descritto o a quanto
segue).
Variante: realizzare il circuito in modo che si chiuda su una resistenza di lunghezza
variabile l. Per ogni l misurare i con il tester. Graficare i vs 1/l e verificarne la
l
V Vs
1
Vs
R= ρ →i= =
= k con k costan te = ,→ il = k .
linearità.
Poiché
La
s
R ρl
l
ρ
pendenza della retta è k; confrontare k teorico con k sperimentale (nel caso si usi una
pila da 4,5 V e un filo di nichelcromo lungo per es. 1 m, ∅ = 0,2 mm, di resistività ρ
4,5(0,1) 2 π
€ kteor =
= 0,9 Ωmm2/m,
m ⋅ A = 0,16 m ⋅ A = 16000 cm ⋅ mA ).
0,9
Codici dei colori per i resistori
€
21
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
§11.4. Magnetismo ed elettromagnetismo
Concetti chiave: che significa che un corpo (macroscopico) è magnetizzato? magneti
naturali e non; sostanze magnetizzabili e non; linee di induzione magnetica.
Connessione i → B → i; analogie e differenze con l’elettricità (q → E→ q). Legge di
Faraday-Neumann-Lenz. Modello microscopico della magnetizzazione. Campo
magnetico terrestre e funzionamento delle bussole: che misurano?
Materiali: magneti a barra e a ferro di cavallo; due barrette di acciaio, sostegno,
limatura di ferro, bussole. Possibili kit sperimentali: Kit per elettromagnetismo, BCD
sistemi; kit della Leybold (58860 SVN MAG1, 58863 SVN EL3).
Partire preferibilmente dalla fenomenologia e fare poi l’inferenza al microscopico.
Premettere il funzionamento delle bussole.
Bussole: si ricorda che l’ago magnetico della bussola, libero di ruotare su un piano
orizzontale, si orienta in direzione N-S. Il campo geomagnetico è assimilabile a un
dipolo magnetico con l’asse passante per il centro della Terra che forma un angolo di
circa 11° con l’asse di rotazione terrestre (l’ago indica quindi un nord che differisce di
qualche grado dal N geografico). Nel dipolo magnetico associato al campo magnetico
terrestre, il polo magnetico nell’emisfero nord è in realtà un polo S, nel senso che le
linee di induzione (ldi) entrano nella regione prossima al N geografico ed escono a S
(per convenzione, in un magnete le ldi entrano nel polo magnetico S ed escono a N).
L’ago magnetico della bussola indica pertanto il polo S magnetico e
approssimativamente il N geografico. Nel linguaggio corrente si usa comunque dire che
l’ago di una bussola “indica il nord”.
Per convenzione l’ago magnetico a forma di freccia indica con la punta il S magnetico;
se è a forma di losanga, il S è dipinto di rosso (la stessa convenzione si usa per il polo S
dei magneti a barra).
S
S
N
N
Può succedere tuttavia, specie con bussole di basso costo, che la punta rossa dell’ago
sia diretta nel verso opposto per vari motivi (costruttivi, se in presenza di un intenso
campo magnetico di un magnete permanente l’ago si sia magnetizzato in direzione
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
opposta, a causa degli attriti tra ago e punto d’appoggio che possono dare una falsa
indicazione). Battere delicatamente le bussole fino a ottenere risposte affidabili.
Mostrare come si dispongono gli aghi delle bussole. Per una esperienza dimostrativa,
sospendere a un sostegno un magnete a barra legato con un filo per il baricentro e
osservare come si orienta (in direzione del N geografico e del S magnetico). Alle nostre
latitudini la componente orizzontale del campo magnetico terrestre è Bt ≈ 25 µT. Negli
esperimenti Bt può essere trascurato solo se i campi magnetici in gioco sono molto più
intensi. Di norma condurre gli esperimenti con l’ago magnetico allineato in partenza
come Bt.
Presentiamo di seguito un possibile percorso sperimentale sul magnetismo.
1. Magnetizzazione N-S di una barretta di acciaio
Strofinare nello stesso verso una estremità della barretta (va bene anche un ago per
cucire o un ferro da calza) con il polo N di un magnete, l’altra con il polo S.... provare
per credere! Che succede? (la barretta si magnetizza e si comporta come un magnete
temporaneo; si ha l’analogo della elettrizzazione per strofinio). Possiamo magnetizzare
la barretta anche ponendola a distanza parallelamente a un magnete a barra oppure
disponendola sui poli di un magnete a ferro di cavallo (oppure, ancora, come vedremo,
inserendola in una bobina percorsa da cc). Per smagnetizzare la barretta un possibile
metodo è quello di batterla meccanicamente (v. Gli esperimenti dell’Exploratorium,
esperimento 81, Il punto di Curie, dove si smagnetizza il ferro riscaldandolo fino alla
temperatura di Curie).
N
N
2. Magneti temporanei
Ci sono sostanze, come per es. il ferro dolce, che subiscono magnetizzazione
temporanea: se si avvicina ad esso un magnete, il ferro dolce si magnetizza fino a che è
in contatto con il magnete (si ha l’ analogo dell’induzione elettrostatica). Attirare con
un magnete a barra un pezzo di ferro dolce: fino a che è in contatto con il magnete, il
ferro attira a sua volta limatura di ferro; l’effetto scompare non appena si stacca il pezzo
di ferro dolce dal magnete.
3. Attrazione e repulsione
Che succede se si avvicina alla barretta di acciaio magnetizzata, fissata su un sostegno,
una seconda barretta magnetizzata?
N-N ..................................
S-S ..................................
N-S .................................
S-N .................................
23
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
Specificare analogie e differenze con il caso elettrostatico (i poli N e S si comportano
in modo analogo alle cariche + e -; poli omonimi si respingono e poli eteronomi si
attraggono. Mentre esistono in natura cariche isolate, positive o negative, l’esperimento
della calamita spezzata indica tuttavia che non esiste il monopolo magnetico: prendere
una astina di ferro dolce o di acciaio e magnetizzarla; usare limatura di ferro per far
vedere come questa si addensi ai poli. Tagliare con le tronchesi l’astina a metà: si
formano altri due poli, tagliare ancora, ecc.).
4. Linee di induzione magnetica
Per visualizzare le linee di induzione magnetica esistono vari metodi. Per una
esperienza dimostrativa si può costruire una cornice di cartone entro cui fissare un
foglio di acetato (oppure usare una lastra di vetro di circa 10 cm di lato).
Sul piano della lavagna luminosa disporre un magnete e al di sopra poggiare il foglio di
acetato. Cospargere lentamente la limatura di ferro sul foglio fino a che si formano le
linee di forza (battere con un dito sul foglio per facilitare la formazione delle ldi). Al
posto della limatura di ferro si possono usare piccole bussole (con il fondo trasparente
se si usa la lavagna luminosa).
Si possono mostrare vari spettri magnetici, poggiando la superficie sui poli di un
magnete a ferro di cavallo; prendendo due magneti a barra con i poli N e S affacciati;
ponendo tra i due magneti un anello di ferro dolce per osservare le ldi che vanno verso
la periferia dell’anello lasciando l’interno vuoto (schermo magnetico), ecc.
(v. Gli esperimenti dell’Exploratorium, esperimento 55, Linee di forza magnetiche, per
uno spettro tridimensionale)
In tutti i casi trattati si ha l’analogo delle linee di forza del campo elettrico ma nel
magnetismo le linee di induzione sono sempre chiuse ( Φ(B) = ∫ B ⋅ dS = 0 ): come già
detto, per convenzione escono dal polo N ed entrano nel polo S. Le linee di forza del
campo elettrico vanno da pozzi (le ldf entrano nelle cariche meno) a sorgenti (le ldf
escono dalle cariche positive). Inoltre mentre il campo elettrico E è conservativo
€
( ∫ E ⋅ dl = 0 ) il vettore induzione magnetica B non lo è ( ∫ B ⋅ dl ≠ 0 ).
- Disegnare le linee di induzione:
€
€
magnete a barra
magnete a ferro di cavallo visto in sezione
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
€
€
5. i → B (analogo in elettrostatica di q → E)
Un filo percorso da corrente genera un campo magnetico (esperimento di Oersted, v.
r µi
oltre): B = 0 tˆ (i è la corrente che scorre nel filo, d è la distanza dal filo, le ldi sono
4 πd
tangenti a circonferenze concentriche al filo e ortogonali a esso. Vale la regola della
mano destra: disporre il pollice come il verso della corrente, le dita chiuse danno il
verso orario o antiorario delle ldi).
€ Per una distribuzione qualunque di correnti (idl) vale la legge di Biot-Savart
r
r r
r µ0 idl ∧ rr
B
.
Se
c’è
simmetria
vale
il
teorema
di
Ampère
dB =
∫ ⋅ d l = µ0 ∑ i .
4π r 3
r
1 dq r
r ; se c’è
L’analogo di Biot-Savart in elettrostatica è la legge di Coulomb dE =
4 πε0 r 3
simmetria l’analogo del teorema di Ampère è €il teorema di Gauss
r
r r ∑ qi
Φ( E ) = ∫ E ⋅ dS =
.
ε0
€
- Esperienza di Oersted
Materiali: una pila da 4,5 V (o un alimentatore), 3 lampadine micromignon (per es. da
4,5 V e 0,6 A), cavi di collegamento, una bussola.
ε
L1
L
2
L3
Realizzare il circuito con le tre lampadine in parallelo. Chiuso il circuito, mettere la
bussola sopra un tratto di filo (dove passa i): l’ago devia da una parte,
perpendicolarmente al filo; ripetere con la bussola sotto il filo: l’ago devia dalla parte
opposta, perpendicolarmente al filo. Se si invertono i poli della pila, l’ago devia dalla
parte opposta rispetto ai casi precedenti. Come sono le ldi di B prodotto dal filo?
Dovrebbe risultare chiaro agli studenti che B è tangente in ogni punto a circonferenze
concentriche al filo e ortogonali a esso (pollice della mano destra come il verso della
corrente, le dita indicano come sono disposte le ldi). Sfruttiamo ora il parallelo: con
tutte e tre le lampadine accese, in ciascun ramo del parallelo passa una corrente ip ≈
(1/3)i; con due lampadine accese e una svitata abbiamo ip ≈ (1/2)i; con una sola
lampadina accesa, torniamo al caso in cui passa i. Le lampadine in parallelo realizzano
un modo semplice e a basso costo per ridurre i e per mostrare, dalla deviazione dell’ago
della bussola, che B ∝i; a parità di corrente, allontanando la bussola dal filo si vede che
l’ago devia sempre meno e quindi B ∝1/d.
Variante con lavagna luminosa: disporre sul piano della lavagna luminosa un ago
magnetico pivottato. Preparare un circuito alimentato per es. da una pila da 4,5 V (o da
un alimentatore) con inserita una resistenza di qualche ohm*; il filo deve essere teso
parallelamente all’ago, quando si orienta per effetto del campo magnetico terrestre.
Chiudere il circuito e mostrare la deviazione dell’ago quando passa corrente; invertire i
poli della pila e ripetere (v. anche l’esperimento 1, Guida Leybold, Elettricità,
Induzione ed elettromagnetismo, Effetto magnetico della corrente elettrica, in cui si
opera con corrente di corto circuito per breve tempo)
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
Nota*: che R scegliere? Per es., data i (almeno 1 A) e V (per es. 4,5 V), R=V/i= 4,5 Ω, con i
resistori disponibili in commercio, se non si ha esattamente il valore indicato prendere il valore
che gli si avvicina di più.
- Come visualizzare le ldi di B prodotto da un filo percorso da corrente
Materiali: sostegno, cartoncino forato, cavi (con correnti elevate usare i cavi di
sicurezza, di diametro più grande), spira, solenoide, alimentatore (per es. 12 V, 3 A-;
meglio, alimentatore di corrente di almeno 10-20 A, per es. Leybold 52155), limatura di
ferro (oppure 5 o 6 bussoline).
Filo rettilineo percorso da corrente: montare sul sostegno il cartoncino forato in modo
che sia orizzontale; far passare nel foro il filo ortogonale al cartoncino e collegarlo
all’alimentatore.
all'alimentatore
Chiudere il circuito: cospargere sul cartoncino, battendolo con un dito, la limatura di
ferro per facilitare la formazione delle ldi (se si usano le bussole, l’ago ruota mostrando
direzione e verso di B). Ripetere invertendo i poli dell’alimentatore (v. Gli esperimenti
dell’Exploratorium, esperimento 17, Cerchi di magnetismo)
B prodotto da una spira (da un solenoide): come sopra sostituendo il filo con la spira
(con il solenoide). Con la limatura di ferro l’esperienza riesce solo con qualche A,
tenendo bassa la tensione (la soglia di pericolosità si ha intorno a 30 V); è necessario
pertanto un alimentatore di cc adatto (per es. 0-10 A, 6-12 V-). Per evitare effetti di
disturbo, non ci devono essere masse di ferro né fili percorsi da corrente né campi
magnetici in prossimità. Se usiamo le bussoline per individuare la direzione di B, a
circuito aperto orientare l’ago magnetico in direzione del campo magnetico terrestre.
Per una traccia dell’esperimento, v. PSSC, Guida di laboratorio.
Variante: campo magnetico prodotto da una bobina (v. l’esperimento 3, Guida
Leybold, Elettricità, Induzione ed elettromagnetismo).
Materiali: bobina con N=500 spire, nucleo di ferro, alimentatore 6 V-, bussoline.
Alimentare la bobina ed esplorare con la bussola la regione prossima ai poli. Disegnare
le ldi.
+
6 V-
500
-
I poli sono N o S a seconda di come circola la corrente nella bobina e a seconda del
verso di avvolgimento delle spire. Con bobine ad avvolgimento orario, dove la corrente
26
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
entra (polo +) si forma un polo S, dove esce (polo -) un N. Nelle bobine Leybold, il
verso di avvolgimento delle spire è indicato all’esterno della bobina.
+
S
N
-
antiorario
orario
+
N
S
- Bussola delle tangenti, principio base per gli strumenti analogici che misurano
intensità di corrente
Materiali: telaio di alluminio, circa 10 m di filo isolato, pila da 4,5 V, bussola, una
lampadina micromignon e portalampadina.
Avvolgere una spira attorno al telaio, inserire in serie nel circuito la lampadina per
ridurre i, collegare alla pila. Posizionare la bussola al centro della spira, sul piano
orizzontale del telaio. Il piano della spira e l’ago della bussola vanno diretti come la
componente orizzontale del campo magnetico terrestre Bt, verso N. Chiudere il circuito
e osservare la nuova direzione dell’ago (a Bt si somma Bfilo; l’ago ruota di un angolo θ
rispetto alla direzione N che aveva a circuito aperto, con Bfilo = Bt tgθ).
θ
Bfilo
Bt
Formare 2, 3, .., n spire e ripetere: B ∝ ni. Con due spire avvolte controverse, l’effetto
del campo magnetico prodotto dal filo si compensa e l’ago della bussola non devia. Se
si inverte il collegamento con i poli della pila, l’ago ruota dalla parte opposta. (Per una
traccia dell’esperimento, v. PSSC, Guida di laboratorio, n. 41).
6. Analogia tra spira e magnete
- Disegnare per una spira percorsa da corrente le linee di induzione, mettendo in
evidenza le analogie con un magnete:
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
- Disegnare le linee di induzione del campo magnetico per un solenoide ideale con le
spire avvolte in verso orario percorso da corrente:
v. Gli esperimenti dell’Exploratorium, esperimento 87, Risucchio magnetico: si
costruisce una bobina e si fa circolare in essa corrente; la bobina funziona come un
elettromagnete e attira un chiodo; se si inverte i il chiodo viene ugualmente attratto
poiché a livello microscopico i dipoli magnetici nel ferro si riorientano sempre in modo
da avere polarità opposta a quella della bobina.
Si veda anche l’esperimento 6, Guida Leybold, Elettricità, Induzione ed
elettromagnetismo, Esempio di strumento a ferro mobile.
7. B → i
Una carica q in moto con velocità v in un campo di induzione magnetica B esterno è
soggetta a una forza F=qv∧B (analogo di F=qE per una carica immersa in un campo
elettrico E). Se una carica è immersa sia in B che in E su di essa agisce la forza di
Lorentz F = qE + qv∧B. Se si ha un filo percorso da corrente i in un campo magnetico
esterno B, il filo è soggetto a una forza F= il∧B.
i
v
B
q
B
F
B
Se al posto del filo si ha una spira immersa in B esterno, per es. uniforme, percorsa da
corrente i, su di essa agisce una coppia di forze di momento τ=NiABsinθ (A superficie
della spira, N numero di spire, θ angolo tra la normale alla superficie della spira e la
direzione del campo). Se indichiamo con |µ|=NiA, momento di dipolo magnetico, una
spira percorsa da corrente genera un momento magnetico µ (regola della mano destra:
dita dirette come il verso della corrente, il pollice indica direzione e verso di µ
con τ= µ∧ Β ). Si ricordi l’analogia spira-magnete.
28
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
- Conduttori percorsi da corrente in campo magnetico esterno
Materiali: magnete a barra, magnete a ferro di cavallo, conduttore lineare, solenoide,
sostegno, alimentatore cc.
Iniziamo a vedere l’effetto di un B esterno su un conduttore lineare, un’astina metallica
orizzontale sospesa a due fili conduttori da fissare su un sostegno e terminanti con due
boccole nelle quali si inseriscono i cavi di collegamento con i poli dell’alimentatore di
corrente (per es. Elind in current mode e V a 10).
Elind
- +
-
+
il
F
N
B
S
Posizionare il magnete a ferro di cavallo in modo da stare con un polo sopra e l’altro
sotto l’astina. Quando passa corrente l’astina è soggetta a una forza F= il∧B, attrattiva
o repulsiva a seconda del verso di i e della polarità del magnete. Se per es. la corrente
circola verso sinistra e il polo N del magnete sta sopra l’asta (le ldi escono da N ed
entrano a S: B è approssimativamente verticale e rivolto verso il basso, F risulta
normale al piano formato da idl e B e sollecita l’asta ad allontanarsi dal magnete).
Variante: sospendere a un pannello isolante, disposto verticalmente su un piano, un
cavo isolato da 25 cm, a U in modo che il vertice della U penda senza tuttavia toccare il
piano. Poggiare sul piano un magnete a barra, con un polo in prossimità del filo.
3V- +
B
N
F
S
il
Alimentare il cavo, per es. con 3 V- per un breve istante (corrente di corto circuito): il
cavo viene attirato o respinto a seconda del verso in cui circola i e della polarità del
magnete. Ripetere scambiando il polo del magnete. Se al posto del cavo isolato
tendiamo sul pannello un filo di costantana e lo alimentiamo per breve tempo (corrente
di corto circuito) con 3 V∼ che fa il filo? (il filo oscilla perché è alimentato in ca e
anche l’effetto del campo esterno è alternato)
29
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
(v. l’esperimento 2, Guida Leybold, Elettricità, Induzione ed elettromagnetismo,
Conduttore percorso da corrente immerso in un campo magnetico. V. anche Gli
esperimenti dell’Exploratorium, esperimento 7, Azione elettromeccanica).
Sostituire l’astina con un solenoide; far passare corrente nel solenoide e avvicinare a un
estremo un magnete a barra: il solenoide viene attratto o respinto in funzione del verso
di i che lo percorre e della polarità del magnete. Il solenoide percorso da corrente si
comporta come un magnete (circondare il solenoide con le dita della mano destra
secondo il verso di i; il pollice indica il verso di B prodotto dal solenoide, cioè la
polarità N o S).
8. i → i
Tra fili percorsi da correnti c’è interazione ‘elettrodinamica’. Due fili paralleli a e b
percorsi da corrente ia e ib equiverse si attraggono; se le correnti sono controverse i fili
si respingono. ia produce Ba; ib si trova immerso in Ba esterno; sul filo b agisce una
forza Fb= ibl∧Ba. Per il terzo principio della dinamica sul filo a agisce una forza Fa
uguale e contraria.
F
b
Fa
Ba
a
b
Con la disposizione sperimentale esposta al punto 5. Come visualizzare le ldi di B
prodotto da un filo percorso da corrente, montare due fili paralleli facendoli passare
nei fori del cartoncino orizzontale. Chiudere il circuito e cospargere limatura di ferro
sul cartoncino, battendolo delicatamente; se le correnti sono equiverse le ldi indicano
che i fili si attraggono. Una variante a basso costo, in cui si sostituiscono le trecce di
filo conduttore con due strisce di Alufol, viene suggerita in Gli esperimenti
dell’Exploratorium, esperimento 25, Correnti parallele.
§11.5. Induzione elettromagnetica e legge di Faraday Neumann Lenz
Si può procedere mostrando la fenomenologia di base per arrivare a formulare la legge
di Faraday-Neumann-Lenz in modo analitico; se varia nel tempo t il flusso di B
concatenato
con
il
circuito,
si
ha
una
fem
indotta
r r
dΦ(B)
ε=−
con Φ(B) = ∫ B ⋅dS e dΦ = BdS cosθ . Per far variare il flusso concatenato,
dt
30
€
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
possiamo far variare nel tempo B, θ (angolo tra la direzione di B e la normale alla
superficie del circuito) oppure la superficie del circuito. Vediamo nel seguito qualche
esperimento per illustrare i primi due casi.
1. Spira fissa e magnete mobile
Realizzare un circuito (una spira) con inserita una bussola ad ago magnetico come
indicatore del passaggio di corrente (o un amperometro); attorno alla bussola deve
essere avvolta una serie di spire di filo di rame collegate al circuito per aumentare
l’effetto di deviazione dell’ago quando circola la corrente indotta (v. galvanoscopio di
BCD Sistemi; il piano delle spire deve essere parallelo all’ago posto in direzione di Bt).
galvanoscopio
bobina
Avvicinare (o allontanare) un magnete a barra con la polarità N affacciata alla spira:
l’ago della bussola devia da una parte (o dalla parte opposta). Invertire i poli del
magnete e ripetere. L’ago devia in verso opposto.
Sostituire alla spira una bobina: quando si inserisce (o si estrae) il magnete nella bobina
l’effetto sull’ago della bussola è più marcato (la corrente indotta aumenta all’aumentare
del numero N di spire e quanto più è veloce il movimento relativo del magnete).
Come circola la corrente indotta? (se la spira o la bobina vede avvicinarsi il N del
magnete, cioè vede aumentare il flusso di B, la corrente indotta deve circolare in modo
da generare un campo indotto opposto alla variazione di B inducente; la corrente deve
circolare in verso antiorario in modo da produrre un campo magnetico con polarità N
affacciata al N del magnete).
31
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
Che succede se si muove il magnete con continuità avanti e indietro nella bobina? (si
genera una corrente indotta alternata).
2. Spira chiusa e circuito percorso da corrente
Realizzare la spira con inserito il galvanoscopio. L’altro circuito alimentato da una
batteria, con inserita una resistenza in serie, disponga di un interruttore. All’apertura e
alla chiusura dell’interruttore, nella spira circola una corrente indotta. A circuito chiuso,
con corrente stazionaria, la corrente indotta è assente. L’effetto è enfatizzato se al posto
della spira si usa una bobina (meglio se con nucleo di ferro: si ricorda che le sostanze
ferromagnetiche hanno la proprietà di condensare le ldi) e al posto del circuito
alimentato dalla pila si impiega una seconda bobina (v. oltre, principio del
trasformatore). Si ha corrente indotta anche se c’è moto relativo tra la bobina percorsa
da corrente, quando circola corrente stazionaria, e la bobina non alimentata (si torna al
punto 1).
bobina
bobina
T
3. Principio del campo magnetico rotante
Materiali: una bobina con N=1000 spire, nucleo di ferro, una bobina con N=500 spire,
nucleo di ferro a U, magnete a barra, supporto rotante, cavi di collegamento, tester.
1000 spire
tester
€
Costruire un circuito con inserita la bobina con il suo nucleo di ferro e il tester.
Affacciato a un polo della bobina disporre il supporto rotante sul quale è stato
alloggiato il magnete. Quando si mette manualmente in rotazione il magnete con
velocità angolare ω, nella bobina si produce una fem indotta
dΦ
ε=−
= NSBω sin ωt con Φ = NSBcos θ e θ = ωt .
dt
Con il tester usato come voltmetro (in cc con portata 15 V), far girare lentamente il
magnete. L’indice del tester oscilla lentamente. Con il tester usato come amperometro
(A-), ruotare lentamente il magnete. L’indice del tester oscilla avanti e indietro
lentamente. Ruotare velocemente il magnete: l’indice oscilla avanti e indietro
velocemente. Con il tester usato come voltmetro (in ca con portata 3 V∼), facendo
girare velocemente il magnete, il tester indica circa 1 V∼; la tensione generata aumenta
all’aumentare della velocità di rotazione del magnete. Se si estrae il nucleo di ferro
dalla bobina V∼ diminuisce; se si mette in serie la bobina con la seconda bobina da 500
spire unite mediante il nucleo a U, V∼ aumenta ancora. La V∼ indotta su ciascuna
bobina ha la stessa polarità, V14= V12+ V34.
32
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
1
2
3
1000
500
4
V
Un magnete rotante genera in una bobina con il suo nucleo di ferro una variazione del
flusso magnetico concatenato con le spire della bobina, producendo una tensione
alternata che aumenta al crescere di ω e del numero delle spire.
V. l’esperimento 15, Guida Leybold, Elettricità, Induzione ed elettromagnetismo,
Modello di generatore AC. L’esperimento illustra il principio di funzionamento della
dinamo.
- Motori e dinamo
In una dinamo, un avvolgimento elettrico si muove tra le espansioni polari di un
magnete o viceversa il magnete si muove rispetto all’avvolgimento; energia meccanica
si trasforma in energia elettrica.
In un motore elettrico, la corrente circola in un avvolgimento e produce un campo
magnetico rotante in grado di far ruotare un magnete; energia elettrica si trasforma in
energia meccanica.
V. Gli esperimenti dell’Exploratorium, esperimento 64, Il motore smontato, dove si
suggerisce un esperimento a basso costo con una bobina percorsa da corrente e un
magnete fisso per illustrare il principio del motore elettrico.
- Motorino reversibile in cc
Materiali: due motorini elettrici reversibili, una pila da 4,5 V, due lampadine, cavi (v.
BCD Sistemi, p. 12).
Un motorino reversibile M (può funzionare sia da dinamo sia da motore elettrico)
funzionante in cc può illustrare la trasformazione di energia da energia chimica della
pila → energia meccanica → energia luminosa ed energia termica. Realizzare un
circuito con inseriti la pila, il motorino M1, la lampadina L1 in serie. L1 serve a rivelare
la corrente di alimentazione del motorino.
T
M1
L
Accoppiare l’asse di un motorino all’asse dell’altro; a circuito chiuso M1 fa girare M2,
L1 brilla di più. Montare la seconda lampadina in parallelo a M2: L1 brilla di più, M2
funziona da dinamo. M1 abbassa il numero di giri come conseguenza della legge di
Faraday Neumann Lenz, la corrente indotta circola in modo da generare un B che si
oppone alla variazione di B inducente.
33
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
M1
M2
4. Principio del trasformatore
Materiali: due bobine con N1= 500 spire e N2= 1000, nucleo a U e a I, alimentatore 012 V∼, tester.
A
6V
I1
12 V
3W
500
N1
1000
N2
I2
A
Dopo aver unito le due bobine con il nucleo a U e a I, realizzare un circuito con la
bobina con N2 (avvolgimento secondario) e il tester come voltmetro (30 V∼), e un
secondo circuito con la bobina con N1 (avvolgimento primario), alimentato dal
generatore. Per ogni valore di V∼ misurare la tensione ai capi del primario V1∼ e la
tensione V2∼ ai capi del secondario e calcolare V2/V1. Scambiare le due bobine e
ripetere. Il rapporto delle tensioni è uguale al rapporto tra il numero di spire V2/V1 ≈
N2/N1. I trasformatori consentono di ottenere tensioni più alte o più basse di quelle
disponibili.
Inserire nel circuito della bobina con N2 il tester come amperometro. Alimentare il
primario variando la tensione; per ogni valore di V∼ misurare l’intensità di corrente
che circola nel primario i1∼ (fs mA) e nel secondario i2∼ ; calcolare i2/ i1. Scambiare le
due bobine e ripetere: i2/ i1 ≈N1/N2.
V. l’esperimento 12 e 13, Guida Leybold, Elettricità, Induzione ed elettromagnetismo,
Trasformazione della tensione e Trasformazione della corrente.
5. Legge di Faraday e tubo di Lenz
Materiali: tubo Pasco modello MG-8600, dinamometro, 2 masse cilindriche di
diametro inferiore a quello del tubo, cronometri, supporto.
Un bell’esempio di esperimento dimostrativo da fare in classe: oggetti che cadono in
modo onesto e oggetti ‘pigri’. Presentare agli studenti l’esperimento senza specificarne
l’obiettivo (non dire che il tubo si chiama “di Lenz” per non suggerire la soluzione).
Sospendere al sostegno il dinamometro e agganciarvi il tubo, lungo l=1,5 m, in modo
che sfiori il pavimento senza toccarlo. Mostrare agli studenti le due masse,
apparentemente uguali (una è una normale massa cilindrica, l’altra nasconde all’interno
un magnete). Dopo aver distribuito i cronometri, far misurare il tempo di caduta delle
due masse (t=(2l/g)1/2). Inserire la massa cilindrica ‘normale’ nell’estremità superiore
del tubo, dare start e misurare il tempo di caduta (tmassa ∼ 0,5 s) quando, allo stop, la
massa fuoriesce dal tubo e tocca il pavimento. Ripetere e poi passare alla massa che
contiene il magnete: questa impiega un tempo di caduta sensibilmente maggiore
dell’altra (tmagnete ∼ 5 s). Non solo: quando la massa magnetica attraversa il tubo il
34
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
dinamometro segna più di quello che dovrebbe segnare, e cioè una forza peso data da
P= Mtubog. Perché? Discussione libera. Una volta capito che la massa è magnetica
chiedere agli studenti di spiegare che succede nel tubo. E se fosse un tubo di plastica? Il
tubo è in realtà di alluminio, deve quindi essere di materiale conduttore.
Il magnete in caduta produce in una data sezione del tubo un campo magnetico B
variabile nel tempo; siamo nelle condizioni della legge di induzione di Faraday. Se
varia il flusso magnetico nel tempo, nel tubo circola una corrente indotta, a forma di
spira, che produce a sua volta un campo magnetico B indotto (v. legge di Ampère) che,
per la legge di Lenz, si oppone al campo inducente. Questo provoca un aumento del
tempo di caduta di circa dieci volte e l’effetto di frenamento è messo in evidenza anche
dal dinamometro che segna di più quando a cadere è il magnete.
dinamometro
A
A
tubo
N
S
S
attrazione
B
B
N
N
C
C
repulsione
N
Cerchiamo di capire meglio schematizzando il magnete con i suoi poli N-S e le sue ldi;
supponiamo che il polo N sia diretto verso il basso e consideriamo tre sezioni
significative del tubo: la sezione A vede diminuire le ldi quando il magnete cade; φ(B)
diminuisce nel tempo. Regola della mano destra: mettere il pollice come B inducente
(verticale verso il basso); la corrente nella sezione A circola in verso orario, sicché la
corrente indotta genera un B indotto rivolto verso il basso, con una polarità S-N. Polo S
di B indotto e polo N di B inducente sono affacciati e il magnete viene ‘attratto’ verso
l’alto. Scegliamo la sezione B del tubo a metà magnete in modo da avere, a un certo
istante, una situazione costante: non c’è variazione di flusso e quindi non circola
corrente indotta. Nella sezione C del tubo, il conduttore vede aumentare le ldi: il flusso
aumenta nel tempo, quindi, dal momento che nella legge di Faraday c’è un segno meno,
mettere il pollice opposto a B inducente (verticale verso l’alto): la corrente indotta nella
sezione C circola in verso orario, sicché ora mostra una polarità N-S. Polo N di B
indotto e polo N di B inducente sono affacciati e il magnete viene respinto verso l’alto.
Il moto del magnete nel tubo è simile al moto di un grave in un mezzo viscoso; se il
magnete ha massa m, la seconda legge di Newton vale mg – kv = ma (I) dove kv è una
forza frenante F agente sul magnete e rivolta verso l’alto. A regime, per a=0, la velocità
limite del magnete vale vl=mg/k. La (I) si può scrivere k(vl -v)= ma /KK/
Ma se sul magnete agisce F, per il terzo principio sul tubo agisce una forza uguale e
contraria rivolta verso il basso; a regime, il peso apparente del tubo rilevato dal
dinamometro è dunque P’= Mtubog + kvl = (Mtubo + m)g. Analoghe considerazioni
valgono se il magnete cade con la polarità S verso il basso.
Le correnti indotte circolari che si generano nel tubo sono chiamate anche parassite o
vorticose (eddy currents). Si veda l’esperimento del pendolo di Waltenhofen in cui un
disco metallico oscilla tra le espansioni polari di un elettromagnete. A causa delle
correnti parassite il moto si smorza (e su questo principio si basano i freni
elettromagnetici). Se si sostituisce il disco con un altro in cui siano stati praticati dei
tagli radiali, oppure un disco laminato, le correnti parassite restano confinate e il disco
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
oscilla liberamente. V. anche Gli esperimenti dell’Exploratorium, esperimento 26,
Correnti parassite.
6. Autoinduzione
Materiali: una bobina con N =1000 spire, nucleo a U e a I, alimentatore 3 V-, una
lampadina L da 4 V e 0,04 A, una lampada a gas inerte, cavi, interruttore.
3 V-
1000
Realizzare un circuito con la bobina, la lampadina in parallelo con la bobina,
l’alimentatore e l’interruttore. Quando si chiude l’interruttore, L si accende; quando si
apre L si accende e poi si spegne (nella bobina B diminuisce bruscamente; varia il
flusso magnetico nel tempo, si genera una corrente indotta ε= -NdΦ/dt= -Ldi/dt, con L
induttanza; la bobina si comporta come un generatore in grado di far circolare in L una
i maggiore di quella che si aveva con il solo alimentatore).
Sostituire la lampadina a filamento con la lampadina a gas inerte. Quando si chiude
l’interruttore L non si accende, mentre quando si apre si accende. La lampadina a gas
inerte è un dispositivo unidirezionale (come i led) che funziona con una tensione a
innesco (110 V) solo quando la corrente circola dall’anodo (+) al catodo (-). L si
accende quando la corrente indotta circola, per la legge di Lenz, in verso opposto alla
corrente che passa nel circuito a interruttore chiuso con una tensione per altro più
elevata rispetto alla tensione fornita dall’alimentatore a causa della rapida diminuzione
di B della bobina nel tempo. Provato con led (e R in serie: presa scossa, non imitare).
V. l’esperimento 14, Guida Leybold, Elettricità, Induzione ed elettromagnetismo,
Autoinduzione in una bobina.
- Forever Flashlight
In commercio è in vendita una particolare torcia, che non ha batterie eppure produce
una luce chiara e intensa grazie a un LED.
Come funziona? La torcia sfrutta la legge di induzione di Faraday e funziona
scuotendola per qualche decina di secondi. Quando la torcia è scossa, un magnete
attraversa una bobina e genera una corrente indotta che carica un condensatore che
scaricandosi, fa circolare una corrente che attraversa il led che emette luce per circa
cinque minuti. Scuotendo nuovamente e periodicamente la torcia, la luce è garantita.
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§11.6. Carica e scarica di un condensatore
Analizziamo nel seguito un importante elemento circuitale, il condensatore, che trova
numerose applicazioni pratiche quando si vogliano, per es., correnti variabili nel tempo.
L’argomento offre inoltre l’occasione per trattare le funzioni esponenziali crescenti e
decrescenti, con interessanti agganci con la matematica.
Iniziamo a trattare il circuito seguente, costituito da un condensatore di capacità C, una
resistenza R in serie, un alimentatore di tensione V0 (se il condensatore è elettrolitico,
attenzione ai poli; per informazioni su questo tipo di condensatore, v. per es. Silvestrini,
cit., vol. 2, p. 173)
C
R
V0
La resistenza R in serie con C è essenziale: R serve a limitare la corrente e a rallentare il
processo di carica e scarica del condensatore. Il processo è regolato infatti da un tempo
caratteristico τ=RC (costante di tempo del circuito). Se si vuole fare un’analisi
quantitativa del processo, R va scelta sufficientemente grande in modo che il prodotto
RC sia dell’ordine dei cento secondi.
Prima analisi qualitativa del processo
Materiali: un condensatore con C= 470 µF, una lampadina da 4 V e 0,04 A,
alimentatore 12 V-, cavi, tester.
+
C
-
L
(1)
R
(2)
-
+
A
V0
Sostituire R con una lampadina L; alla chiusura del circuito L emette una luce intensa
per breve tempo e poi si spegne. Perché?
Quando passa corrente, sulle armature del condensatore si accumula una carica Q che
aumenta nel tempo da 0 al valore nominale Q0=V0C. Se si misura la tensione V ai capi
del condensatore carico (tester in parallelo a C), si trova che V ≈V0 (= 12 V-), cioè V
aumenta da 0 al valore nominale della tensione fornita dall’alimentatore. L’intensità di
corrente i che circola nel circuito è massima a t=0 (i ≈i0=V0/R) e poi va a 0.
Escludiamo ora l’alimentatore (aprire (1) e chiudere (2)) e facciamo scaricare C
attraverso la lampadina: L emette una luce intensa per breve tempo e poi si spegne (i
varia nel tempo e tende a 0; l’energia elettrica accumulata in C si dissipa nella L per
effetto Joule e come energia luminosa). Quando C si scarica si comporta per breve
tempo come un generatore di tensione. La carica Q sulle armature del condensatore
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
diminuisce fino a 0, così come la ddp V tra le armature del condensatore. Far vedere
che se aumenta la tensione dell’alimentatore ((1) chiuso e (2) aperto, carica del
condensatore; poi, (1) aperto e (2) chiuso, scarica del condensatore), la L brilla di più e
poi si spegne (la carica Q che si accumula in C è proporzionale alla tensione applicata,
Q∝V, i cresce; nella fase di scarica la tensione ai capi di C va da V0 a V=0) V.
l’esperimento 19, Guida Leybold, Elettricità, Induzione ed elettromagnetismo,
Condensatore in un circuito DC.
Torniamo al circuito di partenza e formalizziamo il processo.
+
(1)
C
-
-
+
A
€
€
€
€
R
(2)
V0
Fase di carica. Per la legge di Kirchhoff (ovvero conservazione dell’energia),
percorrendo la maglia dal morsetto positivo dell’alimentatore A fino a chiudere su A, a
un istante generico t si ha:
Q
Q
VA − − iR + V0 = VA → V0 − = Ri dove i=dQ/dt (-Q/C è la caduta di tensione ai capi
C
C
Q
εi V0 − C
di C; nel circuito è come se avessimo due generatori: i = ∑ =
);
R
i R
Q
dQ
(1).
V0 − = R
C
dt
Mentre C è costante Q=Q(t) e i=i(t). Dobbiamo separare le variabili dQ e dt:
€
V0C − Q
dQ dt
dQ
=R
,
=
; integrando
C
dt RC V0C − Q
t
z
1
dz
−
dt = ∫
∫
RC 0
0 z
t
dove si è posto V0C-Q=z → –dQ= dz, −
= ln z + cos t → V0Ce−t / RC = V0C − Q →
RC
Q = V0C (1− e−t / RC ) = Q0 (1− e−t / RC ) (2).
t &
#
−
Dividendo per C si ha la tensione ai capi del condensatore: V = V0 %1− e RC ( (3).
€
$
'
€
€
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Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
V
(Q)
V0
(V C)
0
t
2τ
τ
Derivando la (2) rispetto al tempo, per l’intensità di corrente si ha
t
V0 − RC
i= e
= i0e−t / RC (4).
R
i
i=V
0 0 /R
€
t
τ
2τ
3τ
Q, V e i hanno una andamento esponenziale; per t →∞, Q→CV0=Q0, V→V0, i→ 0. Per
t=RC= τ, i si riduce a i=(1/e)i0= 0,37 i0; per t=2τ, i=(1/e2) i0= 0,14 i0, ecc. Entro alcuni τ
i va a 0.
Fase di scarica. Facendo scaricare C sulla resistenza R, dopo aver escluso il generatore
Q
Q
dQ
(a circuito aperto V0=0), − = Ri,
, equazione differenziale di soluzione
= −R
C
C
dt
Q = CV0e
−
t
τ
= Q0e
−
t
τ
(5), la carica sulle armature va a 0 dopo qualche τ.
−
€
€
t
τ
Lo stesso vale per
(6).
€ la ddp tra le armature V = V0e
Per avere la corrente di scarica deriviamo la (5) rispetto al tempo e otteniamo
VC
i = − 0 e−t / RC = i0e−t / RC , l’intensità di corrente decresce esponenzialmente nel tempo,
RC
con legge identica alla (4) ma €
ora i circola in verso opposto rispetto alla fase di carica.
Nota: se il circuito è alimentato in ca, nel circuito circola corrente a differenza del caso in
corrente continua; C si carica e si scarica, si ricarica nel verso opposto, ecc. Inoltre il
condensatore presenta una resistenza RC (resistenza capacitiva o reattanza) che è indipendente
dalla tensione V applicata, inversamente proporzionale a C e alla pulsazione ω della corrente
alternata: RC =
1
1
=
. Se per es. C=100 µF e f è la frequenza di rete, f= 50 Hz, RC= 32
ωC 2πfC
Ω.
€
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- Studio sperimentale della carica e scarica di un condensatore
Esistono in commercio dei circuiti RC a costo contenuto già assemblati su una
tavoletta. Un esempio è dato dal modello SE-9791 della Pasco Scientific, semplice da
usare, flessibile (può essere impiegato con R e C addizionali anche in modalità più
complesse, per es. serie e parallelo), dai risultati più che soddisfacenti e accompagnato
da una guida. Il circuito è alimentato in continua da una batteria da 1,5 V, R= 15 kΩ ,
C=1000 µF sicché τ =RC = 15 s con una durata del processo di carica di circa 6 τ=
15x6= 90 s. Un interruttore consente di avviare il processo di carica e di scarica.
Possibili attività:
Processo di carica e determinazione di C. Innanzitutto occorre misurare con il tester V
ai capi della pila (V0 nominale=1,5 V, V0 misurata=……) e R (a circuito aperto) (R nominale=15
kΩ , R misurata=….). Switch su battery; switch su discharge (chiudere il circuito con un
jumper); switch su charge e partire con la raccolta dei dati.
La raccolta dati può essere fatta on line, servendosi della apposita interfaccia Pasco
oppure manualmente, come faremo noi, con l’aiuto di un cronometro e di un tester, nel
caso più semplice della scarica. Si registrano in tabella le tensioni V ai capi di C per es.
ogni 5 s; se si traccia il grafico di V vs t al computer l’andamento è quello della
relazione (3), valida anche per Q vs t; se si esegue il best fit selezionare la linea di
tendenza y=y0(1-e-kx); per t=τ, V=V0(1-1/e) ≈ 1,5 (1-1/2,7) ≈ 0,9.
Per la determinazione di C si impiega un foglio elettronico (le istruzioni vengono date
nella guida Pasco) che consente di calcolare il valor medio di C dal calcolo di i, Q e C
in funzione dei valori di V(t) (serve comunque l’interfaccia). C può essere ricavato
anche dalla pendenza della retta con un best fit lineare dal grafico Q vs V, ottenibile
mediante interfaccia e foglio elettronico.
Scarica del condensatore e determinazione della costante di tempo del circuito. Switch
su battery; chiudere il circuito con il jumper; switch su charge; switch su discharge e
partire con la raccolta dati come sopra.
SCARICA DEL
CONDENSATORE
scarica del condensatore
1,8
Tempo (s) V (V)
1,6
1,54
1,11
0,87
0,62
0,46
0,34
0,26
0,19
0,14
0,11
0,08
0,06
0,05
0,03
0,02
0,02
0,01
0,01
1,4
1,2
V (V)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
1
0,8
0,6
-0,0599x
y = 1,54e
0,4
2
R = 0,9967
0,2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t (t)
40
Dispense del corso PED, parte IV, AA. 2008/09, M. G. Ianniello, riproduzione non consentita.
Se la rilevazione è manuale, misurare V con il tester ogni Δt=5 s; la raccolta dei dati
può essere fatta tutta di seguito, da V0≈1,5 V a V≈0, oppure, più comodamente,
interrompendo con l’interruttore il processo di scarica e proseguendo la rilevazione
successivamente (Q è additiva e inoltre Q ∝ V sicché si può ‘discretizzare’ il processo
di scarica ritrovando gli stessi valori trovati nella modalità continua).
Se si esegue il best fit con Excel selezionare la linea di tendenza esponenziale y=y0*e-kx,
visualizzare l’equazione della curva e l’indice di adattamento R2 dei dati sperimentali
alla curva. Riportiamo di seguito un esempio di misura (sull’uso di Excel, v. § 3.6).
L’equazione del grafico comporta V0=1,54 V, τ=1/0,0599=16,69 vs 15 s. L’indice R2
indica un valore molto vicino a 1 e quindi un buon adattamento.
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