Compito05_07_2010.nb 1) 1 In un determinato volume V dello spazio vuoto è presente il campo elettrico 2 x y i+ Hx +y L j CE = K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 L ÅÅÅÅÅÅÅ Hx2 +y Ø 2 2 Ø dove K è una costante di opportune dimensioni. Si stabilisca se nel volume V è contenuta o meno carica elettrica con densità r, e in caso af-fermativo se ne determini l’ espressione in funzione delle coordinate (x , y) e della costante dielettrica del vuoto ¶ε0. K CE = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 82 x y, x2 + y2 , 0<; 2 Hx + y2 L 2xy CE = K 9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 1, 0=; Hx2 + y2 L Div@CED 4 K x2 y 2Ky - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å + ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x2 + y2 Hx2 + y2 L2 Quindi la carica c'e' eccome nel volume !!!!!!!!!!!!!! -a r q E 2) Dato il potenziale elettrostatico V = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 4pe r definito in una determinata regione dello spazio, dove q e α sono costanti positive e r è la di-stanza dall’origine O del sistema di riferimento cartesiano assunto, determinare, utilizzando la legge di Gauss, le espressioni della carica elettrica Q a) nell’origine O. b) a distanza r = ∞. Soluzione: a) per r<< a, V Ø ÅÅÅÅ ÅqÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ1 , il potenziale di una carica puntiforme pari a q. 4pe r b) Per r ض, q = 0. Possiamo arrivarci anche utilizzando la legge di Gauss. Prima di tutto occorre trovare il campo elettrico Ø Ø `. ‰-r a q ‰-r a q a E = - “ V = H ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ L r 4 p r2 e 4pre ‰ q ‰ qa 2 -r a Q(r) = e F(E) = e H ÅÅÅÅÅÅÅÅ q H1 + r aL 4 p rÅ2ÅÅÅÅÅ e + ÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 p rÅÅÅÅÅÅ e L4p r = ‰ Per la legge di Gauss allora abbiamo che la carica Ø -r a Di conseguenza a) limrØ0 QHrL = q b) limrض QHrL = 0 << Graphics`Graphics` -r a Compito05_07_2010.nb 2 LogLogPlot@E-r H1 + rL, 8r, 10-4 , 100<, PlotRange Ø 810-4 , 1<D 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 Ü Graphics Ü 3) Un filo conduttore rettilineo indefinito è percorso da una corrente i. Determinare l’espressione del modulo della forza esercitata su un elettrone (avente carica elettrica di mo-dulo e) che si trova in un punto a distanza a dal filo e si muove con velocità di modulo v nei seguenti casi: a) l’elettrone si muove verso il filo e perpendicolarmente ad esso; b) l’elettrone si muove parallelamente al filo; Soluzione: Ø Ø Ø Ø mi ` F = q v ä B , con B = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ r; q = -e. 2pr Poniamo il filo parallelo all'asse Z: Ø Ø mi F = - e v ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ k 2pa a) Ø mi ` F = - e v ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ r 2pa b) 4) Un circuito (vedi figura) è costituito di due binari conduttori paralleli di resistività trascu-rabile, distanti L1 l’uno dall’altro, collegati da un conduttore fisso, anch’esso di resistività trascurabile e da un’asta metallica di resistenza R, che può scorrere senza attrito sui due binari. Il circuito è immerso in un campo di induzione magnetica variabile B = HKtL k dove K è una costante positiva nota. Inizialmente l’asta si trova ad una distanza L2 dal conduttore fisso e si muove con velocità V0 costante verso destra. Determinare: a) il verso di rotazione della corrente nel circuito; b) l’espressione dell’intensità della corrente che circola nel circuito; c) l’espressione del modulo F della forza che viene applicata all’asta per mantenerne costante la velocità. Ø Ø Soluzione: a) orario dF d d b) |V| = RI = » ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ » = ÅÅÅÅ ÅÅ @ Kt L1 HL2 + v0 tLD = ÅÅÅÅ ÅÅ HK L1 L2 t + K L1 v0 t2 L = K L1 L2 + 2 K L1 v0 t dt dt dt K L1 L2 +2 K L1 v0 t da cui : I = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ R Ø Ø Ø Ø t K L1 L2 +2 K L1 v0 t c) Fext = - I L1 j ä B = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L1 i R 2 2 2 2 2 Soluzione: a) orario dF d d Compito05_07_2010.nb b) |V| = RI = » ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ » = ÅÅÅÅ ÅÅ @ Kt L1 HL2 + v0 tLD = ÅÅÅÅ ÅÅ HK L1 L2 t + K L1 v0 t2 L = K L1 L2 + 2 K L1 v0 t dt dt dt 3 K L1 L2 +2 K L1 v0 t da cui : I = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ R Ø Ø Ø Ø t K L1 L2 +2 K L1 v0 t c) Fext = - I L1 j ä B = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L1 i R 2 2 2 2 2 t Vo 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 ÅÅÅÅÅÅÅ IE Rt C M, ÅÅÅÅ Vo 2 C= ê. 8Vo Ø 100, Rt Ø 120, t Ø 6 10-4 , C Ø 5 10-6 < êê N Rt 2 80.306566, 0.025< 5) Si consideri un circuito composto da un condensatore di capacità C=5–F da una resistenza R=100Ω , da un generatore di resistenza interna r = 20Ω che fornisce una f.e.m. pari a ¶ε=100 V e da un interruttore T inizialmente aperto posti in serie. Calcolare in regime quasi stazionario: a) il valore della corrente i che circola nel circuito dopo un tempo τ=6x10-4s b) il valore della corrente di spostamento is tra le facce del condensatore allo stesso istante Calcolare inoltre per un tempo T' molto grande (T' → ∞) c) d) l'energia immagazzinata nel condensatore C l'energia totale dissipata per effetto Joule sulla resistenza R Soluzione: si ponga R + r = Rt t Vo Rt ÅÅCÅÅ ) a) I = ÅÅÅÅ ÅÅÅ (E- ÅÅÅÅÅÅÅÅ Rt Vo dE d s d Q d d Rt ÅÅCÅÅ M = ÅÅÅÅ Rt ÅÅCÅÅ b) e ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ S= e ÅÅÅÅ ÅÅ ÅÅÅÅÅ S= ÅÅÅÅ ÅÅ ÅÅÅÅÅ S = ÅÅÅÅ ÅÅ Q = ÅÅÅÅ ÅÅ C V0 I1 - E- ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ E- ÅÅÅÅÅÅÅÅ ovvero è perfettamente la risposta a), dt dt e dt S dt dt Rt visto che la corrente di spostamento è quella che carica il condensatore, cioè pari a quella che effettivamente circola nel circuito. Per T Ø ¶, la corrente di spostamento è nulla, non variando più la carica elettrica sull'armatura del condensatore. t t c) energia accumulata nel condensatore = ÅÅÅÅ12 V0 2 C V0 d) la potenza dissipata per effetto Joule: W = I 2 R = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ IE- ÅÅÅÅRCÅÅ Å M R; R2 2 2t R V0 1 V0 R Rt ÅÅCÅÅ M „ t = ÅÅÅÅ di conseguenza l'energia dissipata nel transitorio: Ÿ0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ IE- ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Rt C ÅÅÅÅ ÅÅ 2 Rt Rt R2 ¶ t 2 2t 2 t 2 Vo cioè la potenza media dissipata tra l'istante iniziale T =0, ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ , e quello finale Tض, 0, sulla resistenza totale Rt Rt =R+r., moltiplicata per il tempo caratteristico del circuito Rt C , partizionata con la regola del partizionatore per la R R resistenza R, cioé ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅ . R+r Rt