CAPITOLO 5
Scelte in condizioni di rischio e incertezza
Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell’anno 500 euro; può investirli
in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni che rendono
con probabilità 1/2 lo 0% ovvero, sempre con probabilità 1/2 il 20%. Le preferenze
di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilità u = lg W .
(i) Si ricavino le alternative possibili per Tizio.
(ii) Si ricavi il costo opportunità della scelta di tizio.
(iii) Si ricavi la scelta razionale di Tizio.
Soluzione. (i) La ricchezza di Tizio è un bene contingente in quanto il suo valore
dipende dal verificarsi o meno dell’evento che determina un rendimento elevato o
scarso delle azioni; pertanto se indichiamo con B il risparmio che Tizio investe in
obbligazioni, cioè nell’attività finanziaria con rendimento certo, e con E il risparmio
impiegato da Tizio in azioni, cioè l’attività finanziaria rischiosa, possiamo scrivere
anzitutto il vincolo di bilancio:
B + E = 500
La ricchezza sarà pertanto pari a:
(
W1 = 1, 1B + (500 − B)1, 2
W =
W2 = 1, 1B + (500 − B)
cioè:
W =
(
W1 = 600 − 0, 1B
W2 = 500 + 0, 1B
(5.1)
(5.2)
(5.3)
dove abbiamo indicato con W1 la ricchezza di Tizio se le azioni rendono il 20% e
con W2 la ricchezza di Tizio se le azioni rendono lo 0%.
Dalla definizione della ricchezza W come bene contingente si ricava che Tizio può ridurre il rischio, cioè la potenziale variabilità del valore della ricchezza,
spostando il risparmio dalla attività rischiosa alla attività certa. Supponiamo, per
esempio, che inizialmente Tizio abbia deciso di impiegare tutto il risparmio in azioni,
B = 0; la ricchezza di Tizio è:
(
W1 = 600
W =
W2 = 500
Supponiamo ora che decida di impiegare 100 euro in obbligazioni, ∆B = 100; si
ricava allora che il valore della ricchezza diminuisce di 10 euro, ∆W1 = −0, 1∆B =
−10, nel caso in cui le azioni rendano molto ma aumenta di 10 euro, ∆W2 =
0, 1∆B = 10 nel caso in cui le azioni abbiano reso poco. La ricchezza di Tizio in
questo caso è:
(
W1 = 590
W =
W2 = 510
e quindi presenta una minore variabilità. L’insieme delle alternative possibili è
rappresentato geometricamente dal segmento ab della figura 1.
41
42
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
Figura 1
(ii) Il costo opportunità della scelta di Tizio è rappresentato, geometricamente,
dalla pendenza del segmento che rappresenta l’insieme delle alternative possibili
(ottenute modificando la parte di risparmio investita in obbligazioni). Dalla analisi
precedente si ricava che:
W2 = 1100 − W1
e quindi il costo opportunità della scelta di tizio è pari a −1. Supponiamo che
Tizio decida di impiegare 100 euro in più in obbligazioni. Dai dati del problema
sappiamo che il suo reddito aumenta, in misura certa, di 10 euro se le azioni hanno
un rendimento basso (cioè rendono lo 0 per cento) mentre diminuisce di 10 euro se
le azioni dovessero rendere il 20 per cento. Possiamo allora dire che Tizio scambia
un euro in più di rendimento nella situazione sfavorevole con un euro in meno di
rendimento nella situazione favorevole.
(iii) Tizio ordina le diverse alternative in base all’utilità attesa ad esse associata.
L’utilità attesa è definita da:
Eu =
1
1
lg W1 + lg W2
2
2
cui corrisponde il saggio marginale di sostituzione (in valore assoluto):
W2
dW2
=
dW1
W1
La scelta razionale di Tizio è quella che massimizza l’utilità attesa e quindi soddisfa
il seguente sistema di equazioni:
W2 /W1
W2
=
=
1
1100 − W1
Dalla soluzione del sistema si ricava W1 = W2 = 550; pertanto la decisione razionale
di Tizio è di avere un patrimonio che non dipende dall’evento che influisce sul valore
delle azioni. Tizio deciderà di investire il suo risparmio interamente in obbligazioni,
B = 500. La figura 2 rappresenta geometricamente la determinazione della scelta
razionale di Tizio.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
43
Figura 2
Esercizio 5.2. Tizio ha un risparmio di 100 euro che può investire nell’acquisto di Buoni del Tesoro (BOT) o in azioni. I BOT danno un rendimento annuo certo del 10%; il rendimento atteso delle azioni è del 2% se la congiuntura
economica internazionale è sfavorevole, del 18% se invece la situazione economica
internazionale è positiva. La probabilità che la situazione economica internazionale
sia favorevole è pari a 1/2. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione
di utilità u = lg W , con W che indica la ricchezza (in euro) di Tizio. Si determini
come investirà Tizio il suo risparmio.
Soluzione. Indichiamo con B il risparmio impiegato in Buoni del Tesoro e con E
quello investito in azioni; sarà 0 ≤ B ≤ 100 e 0 ≤ E ≤ 100 ed inoltre:
B + E = 100
Il rendimento delle azioni non è certo; con probabilità 1/2 renderanno il 2% e
con probabilità 1/2 renderanno il 18%. Se Tizio decide, quindi, di investire in
azioni la sua ricchezza, alla fine dell’anno, dipenderà dalla situazione economica
internazionale che si è verificata; se la situazione economica internazionale è positiva
(p.e. in termini di saggi di crescita della produzione) la ricchezza di Tizio sarà pari
a:
W g = B · 1, 1 + 1, 18 · E
mentre se la situazione internazionale è negativa la ricchezza di Tizio sarà pari a:
W b = B · 1, 1 + 1, 02 · E
Un euro investito in BOT rende il 10% certo; se Tizio ha acquistato BOT per un
importo di B euro si troverà in portafoglio (in attivo) un valore complessivo di
1, 1B. Un euro investito in azioni rende il 2% se la situazione economica non è
buona oppure il 18% se la situazione economica è favorevole; se Tizio ha investito
in azioni per un importo di E euro si troverà in portafoglio, alla fine dell’anno, un
valore complessivo di 1, 02E in caso di andamento negativo del corso delle azioni o
1, 18E in caso di andamento positivo.
Poichè siamo in una situazione di incertezza, nel momento in cui la decisione
deve essere presa, il criterio razionale di scelta è quello della massimizzazione della
utilità attesa:
¡ ¢
Eu = ua = π b lg W b + π g lg (W g )
con π b ≥ 0 probabilità del verificarsi della situazione sfavorevole (le azioni rendono il
2%), π g ≥ 0 probabilità del verificarsi della situazione favorevole (le azioni rendono
44
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
il 18%) e con π b +π g = 1. Nel nostro caso π b = π g = 1/2 e quindi possiamo scrivere
l’utilità attesa nella maniera seguente:
1 ¡ ¢ 1
Eu = ua = lg W b + lg (W g )
2
2
La decisione razionale di Tizio scaturisce dalla soluzione del seguente problema:
1 ¡ ¢ 1
(5.4)
max ua = lg W b + lg (W g )
2
2
W b ,W g
con i vincoli:
B+E
=
100
(5.5)
Wb
=
(5.6)
Wg
=
B · 1, 1 + 1, 02 · E
B · 1, 1 + 1, 18 · E
(5.7)
La (5.5) è il vincolo di bilancio; la (5.6) e la (5.7) definiscono la ricchezza di Tizio alla
fine dell’anno a seconda dell’evento economico (sfavorevole o favorevole) verificatosi.
Possiamo sostituire la (5.5) nella (5.6) e nella (5.7):
E
=
b
=
=
W
Wg
100 − B
B · 1, 1 + 1, 02 · (100 − B)
B · 1, 1 + 1, 18 · (100 − B)
Il problema di Tizio può allora essere scritto nel modo seguente:
1
1
lg (B · 1, 1 + 1, 02 · (100 − B)) + lg (B · 1, 1 + 1, 18 · (100 − B))
2
2
(5.8)
L’ammontare di risparmio che Tizio deve investire nell’acquisto di BOT (per massimizzare l’utilità attesa della sua decisione di investimento) si ottiene dalla soluzione
dell’equazione:
·
¸
1
0, 08
0, 08
dua
=0= ·
−
dB
2 102 + 0, 08B
118 − 0, 08B
max ua =
B
cioè (svolgendo i calcoli):
118 − 0, 08B = 102 + 0, 08B
e quindi:
16 = 0, 16B cioè B = 100
(5.9)
La scelta razionale per Tizio è quella di investire tutti i 100 euro di risparmio
nell’acquisto di BOT, cioè della attività finanziaria con rendimento certo.
Oss 1. In base alle preferenze Tizio è avverso al rischio; inoltre il rendimento
atteso delle azioni:
1
1
ra = · 0, 02 + · 0, 18 = 0, 1
2
2
è pari al 10% e coincide con il rendimento certo dei BOT. In questo caso sappiamo
che la condotta razionale è quella di non investire nella attività rischiosa.
Esercizio 5.3. Tizio ha un risparmio di 100 euro che può investire nell’acquisto di BOT, con un rendimento certo del 5%, oppure di quote di un fondo azionario
che può rendere l’1% oppure il 7% a seconda che il Governo decida di aumentare o
diminuire l’imposta sui redditi da capitale. La probabilità che il Governo decida di
diminuire l’imposta sui redditi da capitale è pari a 2/3. Le preferenze di Tizio sono
rappresentate dalla funzione u = lg W , con W che indica la ricchezza di Tizio. Si
determini la scelta ottimale di Tizio.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
45
Soluzione. Il vincolo di bilancio di Tizio è:
B + E = 100
La ricchezza che si ritrova alla fine dell’anno è:
W b = 1, 05 · B + 1, 01 · (100 − B)
(5.10)
W g = 1, 05 · B + 1, 07 · (100 − B)
(5.11)
se il Governo aumenta l’imposta sui redditi da capitale e:
se, al contrario, il Governo riduce l’imposta sui redditi da capitale. Dalla (5.10) si
ricava:
W b − 101
B=
(5.12)
0, 04
dalla (5.11) si ricava:
107 − W g
B=
(5.13)
0, 02
Pertanto:
107 − W g
W b − 101
=
0, 04
0, 02
cioè:
W b = 315 − 2W g
(5.14)
Se Tizio investe tutto il suo risparmio nell’acquisto dei BOT si ricava che W b =
W g = 105, mentre se acquista solo azioni W b = 101 e W g = 107. La (5.14)
definisce quindi la ricchezza che Tizio si ritrova nelle due situazioni (aumento oppure
diminuzione dell’imposta sui redditi da capitale da parte del Governo) a seconda
di come ripartisce il suo risparmio fra BOT e azioni; in altri termini definisce le
possibili alternative. Una rappresentazione geometrica è fornita nella figura 1.
Il coefficiente angolare della (5.14) definisce il costo opportunità dell’investimento in azioni, cioè la quantità di euro che è disposto a pagare in termini di minor
rendimento se le cose vanno male per ogni euro in più in termini di maggior rendimento se le cose vanno bene. Per incrementare la ricchezza di un euro quando
46
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
la situazione è favorevole Tizio deve aumentare l’investimento in azioni di 50 euro
(cosı̀ facendo il suo rendimento aumenta di due punti percentuali, passando dal 5%
al 7% se l’imposta sui redditi da capitale viene ridotta; due punti percentuali su
una somma di 50 euro equivalgono ad 1 euro) e quindi ridurre l’investimento in
BOT in pari misura (se le cose vanno male per Tizio ci sarà una perdita di quattro
punti percentuali, dal 5% dei BOT all’1% delle azioni; su una somma di 50 euro
ciò equivale ad una riduzione della ricchezza di 2 euro)
Tizio è in una situazione di incertezza per quanto riguarda il rendimento del
suo risparmio; decide quindi in base alla utilità attesa. dalla definizione della utilità
attesa:
2
1
ua = lg W b + lg W g
3
3
possiamo ricavare la generica curva di indifferenza (nel piano W b , W g ):
ūa =
2
1
lg W b + lg W g
3
3
dove ua = ūa indica un valore costante dell’utilità attesa. Dalla curva di indifferenza
possiamo ricavare il saggio marginale di sostituzione:
Wb
SM SW
g
dW b
=
=−
dW g
2
3
1
3
d lg W g
dW g
d lg W b
dW b
=
2W b
Wg
(5.15)
Il significato del saggio marginale di sostituzione è il seguente: quanto è disposto
a pagare Tizio, in termini di minor ricchezza in euro se le cose vanno male (cioè
viene aumentata l’imposta sui redditi da capitale e le azioni rendono solamente
l’1%) per avere un europ in più se le cose vanno bene. Supponiamo, p.e., che
Tizio stia investendo il suo risparmio interamente in BOT. Dalla (5.15) si ricava
Wb
che SM SW
g = 2; per ogni euro che può ottenere in più, investendo in azioni, se
le cose vanno bene, è disposto a perdere due euro, investendo in azioni, se le cose
vanno male.
La decisione razionale di Tizio si ottiene dalla soluzione del problema seguente:
max ua
=
2
1
lg W b + lg W g
3
3
(5.16)
Wb
=
315 − 2W g
(5.17)
W b ,W g
e con 105 ≤ W g ≤ 107.
La scelta razionale si ottiene dalla soluzione del sistema di equazioni:
2W b
Wg
Wb
=
2
(5.18)
=
315 − 2W g
(5.19)
cioè:
Wb
Wb
=
=
Wg
315 − 2W g
Si ricava W b = W g = 105. La scelta razionale per Tizio è quindi quella che gli
consente di avere la medesima ricchezza in entrambe le situazioni; quindi quella
in cui acquista solamente BOT (come si ricava sostituendo il risultato nella (5.12)
oppure nella (5.13). La figura 2 fornisce una rappresentazione geometrica.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
47
Esercizio 5.4. Tizio dispone di un risparmio di 100 euro che può depositare in
banca sul conto corrente guadagnando il 10%, oppure investire in azioni della società
XY. Con probabilità 1/2 la società XY non distribuisce dividendi e con probabilità
1/2 distribuisce un dividendo pari al 21, 5% del valore delle azioni. Le preferenze di
Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilità u = lg W . Si determini la scelta
ottimale di Tizio.
Soluzione. Ripartendo il risparmio fra il deposito in conto corrente e le azioni
della società XY la ricchezza di Tizio può assumere i seguenti valori:
W b = 1, 1 · B + (100 − B) = 100 + 0, 1B
(5.20)
se la società non distribuisce dividendo e:
W g = 1, 1 · B + (100 − B) · 1, 215 = 121, 5 − 0, 115B
(5.21)
dove con B indichiamo ora il risparmio depositato in banca. Dalla (5.20) e dalla
(5.21) si ricava, eliminando B:
Wb =
23650 20 g
− W
115
23
(5.22)
cioè l’insieme delle possibili alternative per Tizio. Dalla funzione di utilità attesa:
ua =
1
1
lg W b + lg W g
2
2
si ricava il saggio marginale di sostituzione:
SM S = −
Wb
dW b
= g
g
dW
W
48
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
La scelta ottimale si ottiene dalla soluzione del seguente sistema di equazioni:
Wb
Wg
20
(5.23)
23
23650 20 g
Wb =
− W
(5.24)
115
23
La (5.23) è la condizione di ottimo (uguaglianza fra il saggio di sostituzione ed il
costo opportunità della decisione) mentre la (5.24) è il vincolo che deve rispettare
Tizio (in altri termini l’insieme di alternative fra cui può scegliere). Si ricava:
20 g
W
Wb =
23
23650 20 g
Wb =
− W
115
23
e quindi:
23650 23
473
Wg =
·
=
= 118, 25
115 40
4
2365
20 473
·
=
' 102, 826
Wb =
23 4
23
Utilizzando la (5.20) (oppure la (5.21)) si ricava che B ' 28, 26 e E = 71, 74. Tizio
investe pertanto parte del suo risparmio anche nella attività rischiosa. Si noti che
Tizio è avverso al rischio (le curve di indifferenza sono convesse) e ciò nonostante
investe solo una parte del suo risparmio nella attività con rendimento certo (il
deposito bancario).Iil rendimento atteso delle azioni è:
1
1
ra = · 0 + · 0, 215 = 0, 1075
2
2
cioè il 10, 75% superiore al 10% del deposito in conto corrente; ciò incentiva Tizio
a rischiare (impiegando parte del suo risparmio in azioni). La figura 3 rappresenta
geometricamente la situazione.
=
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
49
Esercizio 5.5. Tizio ha un risparmio di 10.000 euro da investire. Può scegliere
di depositarli su un libretto di risparmio che rende il 4% in modo certo, ovvero
acquistare acquistare azioni che possono rendere il 2% con probabilità 1/3 oppure il
5% con probabilità 2/3.
(i) Si calcoli il rendimento atteso della quota di risparmio impiegato in azioni.
(ii) Che decisione prenderà Tizio sapendo che è avverso al rischio? Si commenti.
Soluzione. (i) Il rendimento atteso del risparmio investito in azioni è pari alla
media ponderata dei possibili rendimenti (associati alle diverse situazioni di rischio):
2
1
·2+ ·5=4
3
3
L’impiego del risparmio in azioni rende in media il 4% esattamente come il risparmio
depositato sul libretto.
(ii) Sappiamo che:
(a) Tizio è avverso al rischio;
(b) le due alternative sono equivalenti (sono attuarialmente eque), dal momento
che rendono entrambe il 4%.
L’ipotesi (a) e la proprietà (b) delle due alternative implicano che Tizio deciderà di
impiegare tutti i 10000 euro nel libretto di risparmio.
Esercizio 5.6. Tizio ha un risparmio di 1000 euro che può impiegare in due
modi: i) in titoli a reddito fisso che rendono il 4%, ii) in azioni che possono rendere
il 6% se la situazione economica internazionale è favorevole, oppure il 2% se la
situazione economica internazionale è sfavorevole.
√
Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilità u = W , con
W che indica la ricchezza di Tizio; vi è la medesima probabilità che la situazione
economica internazionale sia favorevole oppure sfavorevole.
(i) Supponiamo che Tizio decida di investire 200 euro in azioni; si calcoli la
ricchezza di Tizio.
(ii) Si scrivano le condizioni che definiscono la scelta razionale di Tizio e se ne
dia l’interpretazione economica. Si commenti.
(iii) Quanto risparmio deciderà di impiegare in azioni? Si commenti.
Soluzione. (i) Tizio ha un vincolo di bilancio da rispettare:
1000 = E + B
con E che indica il risparmio impiegato in azioni e B = 1000 − E quello impiegato
in titoli a reddito fisso. La ricchezza di Tizio è, in una situazione di rischio, un
bene contingente, dipende, cioè dal verificarsi o meno di un determinato evento. La
ricchezza di Tizio può quindi essere posta in funzione del risparmio impiegato in
azioni e assume il valore:
W g = (1000 − E) · 1, 04 + E · 1, 06
se la situazione economica internazionale è favorevole e quindi le azioni in portafoglio rendono il 6 % ovvero il valore:
W b = (1000 − E) · 1, 04 + E · 1, 02
se la situazione economica internazionale è favorevole e quindi le azioni in portafoglio rendono solamente il 2%.
Il problema ci dice che Tizio decide di investire 200 euro in azioni e quindi
E = 200; pertanto:
W g = 1044 , W b = 1036
50
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
(ii) Le condizioni che definiscono la scelta razionale di Tizio definiscono il
seguente sistema di equazioni:
SM SEu
=
W
g
=
W
b
=
1000
=
dW b
dW g
B · 1, 04 + E · 1, 06
B · 1, 04 + E · 1, 02
B+E
(5.25)
(5.26)
(5.27)
(5.28)
La (5.25) definisce la condizione di ottimo, cioè l’uguaglianza fra saggio marginale
di sostituzione fra beni e ragione di scambio (o prezzo relativo) dei beni. La (5.26)
e la (5.27) definiscono i beni rispetto ai quali Tizio deve decidere, cioè la ricchezza
(intesa come bene contingente). La (5.28) è il vincolo di bilancio di Tizio.
Osserviamo anzitutto che possiamo sostituire la (5.28) nella (5.27) e nella (5.26).
La (5.26) diventa:
W g = B · 1, 04 + (1000 − B) · 1, 06 = 1060 − 0, 02B
La (5.27) diventa:
W b = B · 1, 04 + (1000 − B) · 1, 02 = 1020 + 0, 02B
Dalle espressioni cosı̀ ricavate si ricava immediatamente che un euro investito in più
in titoli a reddito fisso aumenta la ricchezza di Tizio, nella situazione sfavorevole, di
2 centesimi di euro mentre riduce la ricchezza di Tizio, nella situazione favorevole,
di 2 centesimi di euro; pertanto dW b /dW g = −1.
Poichè stiamo considerando una situazione di rischio le alternative a disposizione di Tizio vanno valutate in termini di utilità attesa:
1√ b 1√ b
Eu =
W +
W
2
2
√
√
Si ricava, pertanto, che SM SEu = − W b / W g . Possiamo cosı̀ finalmente scrivere
le condizioni che definiscono la scelta razionale di Tizio:
r
Wb
= 1
(5.29)
Wg
W g = B · 1, 04 + E · 1, 06
(5.30)
Wb
1000
= B · 1, 04 + E · 1, 02
= B+E
(5.31)
(5.32)
cioè:
r
Wb
Wg
Wg
W
b
=
1
(5.33)
=
1060 − 0, 02 · B
(5.34)
=
1020 + 0, 02 · B
(5.35)
(iii) Dal sistema di equazioni (5.33)-(5.35) si ricava che B = 1000 e quindi
E = 0, W b = W g = 1040; Tizio impiega tutto il risparmio nei titoli a reddito fisso.
Esercizio 5.7. Sempronio deve scegliere fra due alternative:
• un biglietto di una lotteria che consente di vincere la somma di 64 euro
con probabilità 1/4 e di vincere nulla con probabilità 3/4;
• il diritto ad una somma certa di 16 euro.
Sempronio decide in base al criterio dell’utilità attesa. Indichiamo con W la ricchezza di Sempronio.:
(i) Quale sarà la sua scelta√se le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione
di utilità u = u(W ) = W ?
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
51
(ii) Quale sarà la sua scelta se le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione
di utilità u = u(W ) = W ?
(iii) Quale sarà la sua scelta se le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione
di utilità u = u(W ) = W 2
Soluzione. Il criterio dell’utilità attesa stabilisce che Sempronio sceglie, fra le
diverse alternative possibili, quella cui è associata l’utilità attesa più elevata. Indichiamo con WLg = 64 la ricchezza di Sempronio nel caso possegga il biglietto
vincente della lotteria e con WLb = 0 la ricchezza di Sempronio qualora possegga un
g
b
biglietto diverso da quello vincente. Indichiamo con WM
= 16 la ricchezza
= WM
di Sempronio quando dispone del diritto alla somma certa di 16.
L’utilità attesa della lotteria (L) è definita dall’espressione:
3
1
· u(64) + · u(0)
4
4
L’utilità attesa del diritto a disporre della somma certa di 16 euro è:
ua (L) =
1
3
· u(16) + · u(16) = u(16)
4
4
Si osservi che il valore atteso della lotteria è:
1
3
WLa = · 64 + · 0 = 16
4
4
cioè è uguale al valore della somma certa rappresentato dalla seconda
alternativa.
√
(i) Consideriamo il caso in cui la funzione di utilità è u = W . In questo caso
otteniamo:
1 √
3 √
1
ua (L) = · 64 + · 0 = · 8 = 2
4
4
4
e:
√
1 √
3 √
uaM = · 16 + · 16 = 16 = 4
4
4
Si consideri la figura seguente.
ua (M ) =
Sempronio preferisce il diritto ad avere in modo certo 16 euro. Si noti che le
due alternative hanno lo stesso valore atteso, pari a 16; poichè delle due sceglie
quella meno rischiosa (nel nostro esempio l’alternativa
certa) si dice che Sempronio
√
è avverso al rischio. La funzione di utilità u = W è crescente e concava (e quindi
52
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
ha utilità marginale positiva ma decrescente) e descrive le preferenze di un soggetto
avverso al rischio.
(ii) Consideriamo il caso in cui la funzione di utilità è u = W . In questo caso
otteniamo:
ua (L) =
3
1
· 64 + · 0 = 16
4
4
e:
uaM =
1
3
· 16 + · 16 = 16
4
4
Si consideri la figura seguente.
Sempronio è indifferente fra le due alternative. Si noti che, in questo caso, la
massimizzazione dell’utilità attesa equivale alla scelta dell’alternativa che massimizza il valore atteso. In questo caso si dice che il soggetto è neutrale al rischio; le
preferenze di un soggetto neutrale al rischio sono rappresentate da una funzione di
utilità crescente (utilità marginale positiva) e lineare (utilità marginale costante),
u = W.
(iii) Consideriamo il caso in cui la funzione di utilità è u = W 2 . In questo caso
otteniamo:
ua (L) =
1
3
· (64)2 + · 0 = 1024
4
4
e:
uaM =
3
1
· (16)2 + · (16)2 = (16)2 = 256
4
4
La situazione è rappresentata nella figura seguente.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
53
Sempronio, in questo caso, preferisce l’alternativa rischiosa, cioè il possesso del
biglietto della lotteria. Poichè le due alternative hanno lo stesso valore atteso si
dice che Sempronio è propenso al rischio. La funzione di utilità che rappresenta le
preferenze di un soggetto propenso al rischio è crescente (utilità marginale positiva)
e convessa (utilità marginale crescente), come, p.e., u = W 2 .
Esercizio 5.8. Supponiamo
che le preferenze di Tizio siano rappresentate dalla
√
funzione di utilità u = W , con W che rappresenta la ricchezza di Tizio. Supponiamo, inoltre, che Tizio abbia una ricchezza W = 100 e che con probabilità pari
ad 1/2 possa subire un danno D = 36.
Tizio può assicurarsi per l’intero danno presso una compagnia di assicurazione
pagando un premio p = 18. Si determini la scelta di Tizio. Cambia la decisione
di Tizio se la compagnia di assicurazione chiede un premio p = 20, sempre per
assicurare l’intero danno?
Soluzione. Tizio deve scegliere fra due alternative.
La prima alternativa è quella di non assicurarsi, e quindi correre il rischio di
subire la perdita di 36. In questo caso si ritrova un patrimonio pari a:
WLg = 100
se l’evento negativo che provoca il danno non si verifica, ed un patrimonio pari a:
WLb = 100 − D = 100 − 36 = 64
se invece l’evento dannoso si verifica.
La seconda alternativa è quella di assicurarsi per l’intero danno pagando un
premio p = 18. In questo caso il patrimonio di Tizio è pari a:
WAg = 100 − p = 100 − 18 = 82
se l’evento negativo che provoca il danno non si verifica, ed un patrimonio pari a:
WAb = 100 − D + D − p = 100 − 36 + 36 − 18 = 82
se invece l’evento dannoso si verifica. Assicurandosi per l’intero danno Tizio si
ritrova un patrimonio il cui valore è certo anche se, dovendo in ofni caso pagare il
premio, sarà inferiore al patrimonio iniziale di 100.
54
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
Calcoliamo l’utilità attesa associata alle due alternative. L’utilità attesa dell’alternativa di non assicurarsi (l’alternativa rischiosa, nel nostro caso) è:
ua (L) =
1 √
1 √
· 100 + · 64 = 9
2
2
L’utilità attesa dell’alternativa di assicurarsi (l’alternativa certa, nel nostro caso) è:
ua (A) =
√
1 √
1 √
· 82 + · 82 = 82
2
2
√
Poichè 82 > 9 si ricava che Tizio sceglie di assicurarsi. La situazione è descritta
geometricamente nella figura seguente.
Si noti che le due alternative hanno lo stesso valore atteso (pari a 82); poichè
Tizio decide di assicurarsi, quindi di scegliere l’alternativa non rischiosa, è avverso
al rischio.
Consideriamo ora la situazione nel caso in cui il premio chiesto dalla compagnia
di assicurazione sia p = 20, sempre per assicurare l’intero danno. L’alternativa di
assicurarsi determina ora una ricchezza pari a:
WAg = 100 − p = 80
se l’evento dannoso non si verifica e:
WAb = 100 − D + D − p = 100 − 36 + 36 − 20 = 80
se invece l’evento dannoso si verifica. Il valore certo del patrimonio diminuisce,
quindi, rispetto alla situazione precedente (ed è ovvio, visto che Tizio paga un
premio più alto per assicurare sempre la medesima somma). Se ora calcoliamo
l’utilità attesa dell’alternativa di assicurarsi troviamo che:
ua (A) =
√
1 √
1 √
· 80 + · 80 = 80
2
2
√
Poichè 80 < 9 Tizio ora deciderà di non assicurarsi. La situazione è rappresentata
nella figura seguente.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
55
Tizio è avverso al rischio e tuttavia se il premio che gli viene chiesto è troppo
alto decide di non assicurarsi e di correre il rischio di subire il danno.
Esercizio 5.9. Tizio dispone di 1000 euro, risparmiati nel corso dell’anno.
Può impiegarli in titoli a reddito fisso che rendono il 3% in modo certo oppure
in azioni che rendono il 2% se la situazione economica internazionale è sfavorevole
oppure l’8% se la situazione economica internzionale evolve positivamente. Le azioni possono essere acquistate in tagli di 500 euro (o multipli di 500). Supponiamo
che la situazione economica internazionale sia sfavorevole con probabilità 2/3. Le
preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilità u = W , con W che
indica il valore del risparmio.
(a) Si definiscano le possibili alternative a disposizione di Tizio in termini di valore
del risparmio e le si rappresenti geometricamente.
(b) Si determini come Tizio impiegherà il suo risparmio comportandosi in modo
razionale.
(c) Per quale livello del saggio di interesse dei titoli a reddito fisso le alternative a
disposizione di Tizio sono indifferenti? Si commenti.
Soluzione (a) Indichiamo con B il risparmio impiegato in titoli a reddito fisso e
con E il risparmio impiegato in azioni. Tizio eve rispettare il vincolo di bilancio:
B + E = 1000
Poichè inoltre le azioni possono essere acquistate in tagli di 500 euro, le alternative
a disposizione di Tizio sono tre:
• acquistare solamente titoli a reddito fisso: B1 = 1000, E1 = 0;
• acquistare il taglio minimo di azioni e impiegare il risparmio rimanente in
titoli a reddito fisso: B2 = 500, E2 = 500;
• acquistare solamente azioni: B3 = 0, E3 = 1000.
Possiamo rappresentare le conseguenze di tali scelte in termini di risparmio. Poichè
simo in una situazione di incertezza, dovuta al fatto che il rendimento delle azioni
dipende dalla situazione economica internazionale, il risparmio di Tizio è un bene
contingente; indichiamo con W g il risparmio di Tizio se la situazione economica
internazionale è favorevole e con W b il risparmio di Tizio se la situazione economica
internazionale è sfavorevole.
56
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
Consideriamo la prima alternativa, B1 = 1000, E1 = 0. In questo caso abbiamo:
Wg
=
b
=
W
1000 · 1, 03 = 1030
1000 · 1, 03 = 1030
(5.36a)
(5.36b)
Se consideriamo la seconda alternativa abbiamo:
Wg
=
b
=
W
500 · 1, 03 + 500 · 1, 08 = 1055
500 · 1, 03 + 500 · 1, 02 = 1025
(5.37a)
(5.37b)
Se, infine, consideriamo l’alternativa in cui impiega tutti i risparmi in azioni otteniamo:
Wg
=
Wb
=
1000 · 1, 08 = 1080
1000 · 1, 02 = 1020
(5.38a)
(5.38b)
Possiamo rappresentare geometricamente la situazione con l’ausilio della figura 1.
Fig.1
(b) Per determinare la scelta razionale di Tizio dobbiamo calcolare l’utilità
attesa associata a ciascuna alternativa:
ua =
1 g 2 b
W + W
3
3
Se consideriamo l’alternativa 1 si ricava:
ua (A1 ) =
1
2
· 1030 + · 1030 = 1030
3
3
Se consideriamo l’alternativa 2 abbiamo:
ua (A2 ) =
1
2
· 1055 + · 1025 = 1035
3
3
Infine l’utilità attesa associata all’alternativa 3 è:
ua (A3 ) =
2
1
· 1080 + · 1020 = 1040
3
3
Poichè ua (A3 ) > ua (A2 ) > ua (A1 ) Tizio si comporta in modo razionale investendo
tutti i risparmi nell’acquisto di azioni. Si consideri la figura 2.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
57
Fig.2
(c) È sufficiente considerare la condizione seguente:
1000(1 + r) = 1040
cioè la condizione di uguaglianza fra le utilità attese delle due alternative estreme
(quella in cui Tizio acquista solo titoli a reddito fisso e quella in cui acquista solo
azioni); si ricava:
40
r=
= 0, 04
1000