Complemento
Serie e trasformate di Fourier
Definizione
Sia f(x) una funzione definita nell’intervallo
–π<x< π. Diremo che f(x) può essere sviluppata in serie di
Fourier se:

1
f ( x)  a0   an cos( nx)  bn sin( nx)
2
n 1
converge.
Integrando ambo i membri tra – π e π e tenendo conto delle simmetrie
di sin(x) e cos(x), otteniamo un’espressione per a0
a0 
1

 f ( x)dx

I termini an e bn si ottengono moltiplicando rispettivamente per cos(mx) e
sin(mx) ed integrando. Si ottiene:
an 
1


 f ( x) cos(mx)dx

bn 
1


 f ( x) sin( mx)dx

2
Funzioni definite in un intervallo
arbitrario
Se f(x) è definita nell’intervallo c-d<x<c+d:
3
Serie seno e serie coseno
• Se la funzione f(x) è pari, cioè se f(x)=f(-x),
allora esiste solo la somma contenente I
termini cos(nx)
• Parimenti, se è dispari: f(x)=-f(-x),
sopravvivono solo I termini contenenti
sin(nx)
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Rappresentazione con gli
esponenziali complessi
Utilizzando le espressioni di sin(nx) e cos(nx) in funzione di
eix ed e-ix si ha:
5
Esempio: la funzione gradino
Consideriamo la funzione onda quadra:
È dispari, quindi sopravvive solo la serie di sin(nx)
Sommando i primi tre termini
si ottiene il seguente grafico
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Proprietà dei coefficienti di Fourier
• Enunciamo senza dimostrazione una
proprietà notevole dei coefficienti di
Fourier:
– Se f(x) è discontinua, i coefficienti di Fourier
saranno O(1/n), se sono continue le derivate
f’(x), f”(x), …,f(k-2)(x), i coefficienti saranno di
ordine O(1/nk)
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Condizioni per la convergenza
• La funzione x(t) deve essere assolutamente integrabile
su un periodo:
1
T


| x(t )e ik0t | dt 
T
x(t ) dt  
Questo garantisce che tutti i coefficienti siano finiti, infatti:
| ak |
1
T0
T0
1
T0

T0
| x(t ) | dt
Che, se è vera la prima condizione, implica: |ak|<∞
Esempio di funzione che non rispetta la prima condizione:
x(t)=1/t; 0<t≤1
• La funzione x(t) deve essere avere un numero finito di
massimi e minimi in un periodo.
• x(t) deve avere un numero finito di discontinuità in ogni
intervallo finito e ciascuna di queste deve essere finita.
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Trasformata di Fourier
Si è visto che la f(x) può essere rappresentata in
termini di esponenziali complesse:
Nel limite per L→∞
La funzione
è la trasformata di Fourier di f(x)
9
Esempi di trasformata di Fourier
x(t )  e  at u (t )

X ( )   e e
0
 at it
Essendo u(t) il gradino unitario

1
1
 ( a  it )
dt  
e

a  i
a  i
0
10
Esempi di trasformata di Fourier
x(t )   (t )

X ( )    (t )e i t dt  1
La δ ha uguali contributi a tutte le frequenze
0
1, | t | T1
x(t )  
0, | t | T1
T1
X ( )   e i t dt 
T1
1 iT1 iT1
sin( T1 )

e
e
2
i



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Proprietà delle trasformate di
Fourier
• Relazione di chiusura: analogamente a quanto accade in
algebra per due vettori ortonormali, per cui:
j
j
v
v


 i
i
i
j
Esiste una relazione analoga per le trasformate di
Fourier:
Dove si è introdotta la funzione delta di Dirac
0 x  
 (x   )  
 x  
12
Proprietà delle trasformate
 i t 0
F
{
x
(
t

t
)}

e
X ( )
• Proprietà di shifting:
0
1  
• Proprietà di scaling: F{x(at )} 
X 
|a|  a 
• Differenziazione ed
integrazione: F  dx(t )   i X ( )


 dt 
 t
 1
F   x( )d  
X ( )   X (0) ( )
 
 i
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Proprietà delle trasformate 2
• Relazione di
Parseval:





2
|
x
(
t
)
|
dt 



1
2
|
x
(
t
)
|
dt

|
X
(

)
|
d


2 
2
*
x
 (t ) x(t )dt 
 1

*
 i t
  x(t ) 
X ( )e d  dt 


 2 





1
1
*
 i t

X ( )   x(t )e dt  d 

2 
2




*
X
 ( ) X ( )d

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Spettro di una funzione
• Si chiama spettro di una funzione,
l’andamento delle ampiezze dei coefficienti di
Fourier in funzione della frequenza, o, nel
continuo, l’andamento della trasformata di
Fourier o, più spesso, della PSD (vedi sotto).
• Si chiama densità di potenza spettrale
(power spectral density - PSD) l’integrale:
I ( ) 
1
2


2
f (t )eit dt  F ( ) F * ( )

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Spettro di una sequenza di impulsi
Sia il segnale x(t) la sovrapposizione di impulsi ad intervalli T.
x(t ) 

  (t  kT )
k  
I coefficienti di Fourier di x(t) saranno:
T /2
1
1
ik0t
ak 
 (t )e
dt 

T T / 2
T
2  
2k 
 X ( ) 
  


T k   
T 
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Convluzione
• Si definisce prodotto di convoluzione (folding) di
due funzioni
x(t) e h(t) l’integrale:

y (t ) 
 x( )h(t   )d

h(t) è la risposta all’impulso di un
sistema

 it
 Y ( )     x( )h(t   )d  e dt 
Shifting
   





it
i
x
(

)
h
(
t


)
e
dt
d


H
(

)
x
(

)
e
d 

 




H ( ) e i 
Y ( )  H ( ) X ( )
H(ω) è la risposta in frequenza
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Modulazione
• La proprietà di convoluzione stabilisce che la convoluzione nel tempo
corrisponde alla moltiplicazione nella frequenza.
• Per dualità la trasformata del prodotto di due funzioni x(t) e y(t):
r (t )  x(t ) y (t )
F{r (t )}  R( ) 
1
X ( ) *Y ( )
2
Dunque la moltiplicazione dei due segnali può
essere pensata come la modulazione in ampiezza di
un segnale con l’altro:
Esempio: sia s(t) un segnale con spettro S(ω), e sia
p(t)=cos(ω0t)
P(ω)=πδ(ω - ω0)+ πδ(ω + ω0)
Se r(t)=s(t)p(t), allora
1
1
R( )  S ( ) * P( )  S (  0 )  S (  0 )
2
2
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Campionamento
• Campionare un segnale ad
intervalli regolari equivale a
moltiplicare il segnale s(t) con
un treno di impulsi equispaziati
p (t ) 
r (t ) 

  (t  kT )
k  

 s(t ) (t  kT )
k  
1
S ( ) * P( )  
R ( ) 
2

1
2k 

  S ( ) *    

T k  
T 

1  
2k 
  S  

T k   
T 
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