Wavelets: come e perché
Primi fondamenti di signal
processing
1780 - 1830
• Pierre Simon Laplace
• Jean Baptiste Fourier
• Augustine Cauchy
L’algoritmo FFT oggi viene attribuito a Gauss!
Risultati moderni
Probabilità
Teoria dei segnali casuali
Predizione – Filtro di Wiener
Teoria dell’Informazione
1920 - 1950
• Norbert Wiener
• Andrei Kolmogorov
• Claude Shannon
Teorema del campionamento
Ricadute industriali
1960 - 1980
• R. E. Kalman
• Tukey - Cooley
• DSP P TMS 32010
Signal processing
Produzione di DSP
Storia di oggi
1980 • Ingrid Daubechies
Time Frequency Analysis
WAVELETS!
Architetture VLIW
Applicazioni nelle Telecomunicazioni
Esplosione dei servizi Multimedia
Trasformata di Fourier
FT
F
Trasformata
Fourier
Transform
di
Fourier
Tempo
Frequenza
Segnale stazionario
250
1
0.8
200
0.6
0.4
150
0.2
0
100
-0.2
-0.4
50
-0.6
-0.8
-1
0
0.2
0.4
0.6
tempo
0.8
1
0
0
20
40
frequenza
60
80
100
Segnale variabile nel tempo
Analisi ambigua
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1.5
1
0.5
50
100
150
200
250
300
tempo
350
400
0
0
50
100
frequenza
150
200
Un altro segnale stazionario
In tempo
In frequenza
Un altro segnale non stazionario
In tempo
In frequenza
I due segnali nel dominio delle frequenze


Problemi con la Trasformata di Fourier
 Contiene solo informazioni sulla frequenza
 Le informazioni sul tempo vengono perse
 Funziona bene per segnali stazionari
 Crea problemi per segnali non stazionari
Trasformata di Fourier variabile nel tempo
Analisi in tempo-frequenza
1
0.9
Frequenza
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
Tempo
0.4
0.5
Trasformata di Fourier Short-time
(STFT)
Funzioni
finestra
AMPIEZZA
Come si legge la STFT
FREQUENZA
TEMPO
AMPIEZZA
AMPIEZZA
Finestra
TEMPO
FREQUENZA
Piccola
Media
TEMPO
AMPIEZZA
FREQUENZA
Larga
TEMPO
FREQUENZA
Problemi con la STFT
 Scelta di una finestra appropriata
 Finestra troppo piccola  cattiva
risoluzione in frequenza
 Finestra troppo grande  cattiva
risoluzione nel tempo (violazione della
condizione di stazionarietà)
Risoluzioni diverse a frequenze diverse
Trasformata wavelet
• Si sceglie una wavelet e ne si fa variare la scala
• Si analizza la risposta del segnale alle varie scale
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
0
500
1000
1500
-0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
-0.05
-0.05
-0.1
0
500
1000
1500
-0.1
0
500
1000
1500
0
500
1000
1500
Frequenze
La frequenza
diminuisce
La scala
diminuisce
Analisi tempo-frequenza per le wavelet
Principio di indeterminazione di Heisenberg
Dt Df  C
Trasformata wavelet
Segnale
Passo 1
Passo 2
*
*
Passo N
Scala bassa
Scala media
Scala alta
AMPIEZZA
Come si legge la Trasformata wavelet
CWT
SCALA
TRASLAZIONE
Come si calcola la trasformata
wavelet (discreta) in modo veloce
- Haar wavelet 1
 (t)
1
Funzione wavelet
-1
1
(t)
Funzione di scaling (Haar)
1
Algoritmo piramidale
10 2
8
6
4
6
6
2
4
4
6
2
3
4.5
0
0
1.5 0
1
1
4
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
Veloce!
10 2
8
4
6
2
4
0
O(N) operations
6
6
4
6
2
3
4.5
N/2
N/4
4
N
2
2
2
0
1
4
2
2
2
1.5 0
1
4
2
2
2
Ridondanza delle rappresentazioni
10
2
8
4
6
2
4
0
6
6
4
2
4
2
2
2
6
3
0
1
4
2
2
2
0
1
4
2
2
2
4.5 1.5
Dati
Scaling
Wavelet
Filter Bank
Analisi (FWT)
Sintesi (IWT)
Filtro passa-alto
Dettagli
g
2
2
g’
+
h
 2
2
Filtro passa-basso
Coefficienti
della
trasformata
h’
Approssimazione
Algoritmo di Mallat
Dettagli Livello 1
HPF
h
Analisi
HPF
LPF
2
+
g’
...
2
Coefficienti scaling
Livello 1
2
+

LPF
2
2
HPF
f[n]
LPF
h’

f[n]
2

g
2
Coefficienti wavelet
Livello 1

HPF
2
LPF
Approssimazione
Livello 1
Coefficienti scaling
Livello 2
Sintesi
Altre funzioni wavelet
HAAR
DAUBECHIES
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
0
500
1000
1500
-0.15
0
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
-0.05
-0.05
0
500
1000
1000
1500
COIFLET
SYMMLET
-0.1
500
1500
-0.1
0
500
1000
1500
Segnali
(1D)
Segnale
Wavelet
Scaling
Rappresentazione trasformata discreta
Scaling
Wavelet
Immagini
(2D)
Applicazioni
 De-noising
 Compressione
 Analisi serie temporali
 Classificazione
 Problemi inversi
 Equazioni a derivate parziali
 …………
De-Noising
Compressione - Immagini
Compressione - Telerilevamento
Compressione - FBI
Strumenti di lavoro
 Notiziaro: Wavelet Digest - http://www.wavelets.org
 Software di base: Wavelab per Matlab –
http://www-stat.stanford.edu/~wavelab/
 Altro software http://www.mathtools.net/MATLAB/Wavelets/index.html
 Per divertirsi e impratichirsi http://www.mathtools.net/MATLAB/Wavelets/Java/index.html
 Letteratura - http://www.mathsoft.com/wavelets.html