TRASFORMATA
DI
FOURIER
2.2
AUTOFUNZIONI
i t
S.L.T.I
y t   Ai  i  t 
AUTOFUNZIONE : SI “REPLICA” IN USCITA LA STESSA” FORMA DEL
SEGNALE IN INGRESSO A MENO DI UNA COSTANTE.
SI DIMOSTRA CHE PER UN S.L.T.I.
 e St E’ UNA AUTOFUNZIONE  s    j 
UTILITA’ : SE POSSO DESCRIVERE UN INGRESSO COME
COMBINAZIONE LINEARE DI AUTOFUNZIONI ALLORA
E’ SEMPLICE TROVARE L’ USCITA (ANCORA COMB. LIN. DI
AUTOFUNZIONI).
  Re s
  Im s
j  1
2.3
AUTOFUNZIONI (DIMOSTRAZIONE)
e St
y t  =
+

-
+
=
h(t)
S.L.T.I.
h   e S  t   d =
 h   e
+

y t 
h   e St S d 
-
 S
d  e St  e St  H  S 
-
H(S) : FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TRASFORMATA DI LAPLACE DI h(t))
2.4
TRASFORMATA DI FOURIER
NELLE TLC E’ PIU’ UTILE RAGIONARE CON S=j (=0)  TRASFORMATA DI
FOURIER (PERCHE’ NELLA VAR. “S” SOLO LA PARTE IMMAGINARIA HA UN
SIGNIFICATO FISICO : FREQUENZA SEGNALE)
s  j
  2f f : frequenza
  pulsazioni  rad / s
f  freq.  Hz   1 / s
H  j  : TRASFORMATA DI FOURIER DI h(t)=FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
 H  
DEL S.L.T.I.
2.5
TRASFORMATA DI FOURIER (cont.)
TRASFORMATA DI FOURIER (INTEGRALE) [x(t)]
X   

 x t e
 jt
dt

X f  

 x t e
 j 2ft
dt

ANTITRASFORMATA  -1 [X()]=  -1 [X(f)]
1
x t  
2



X   e jt d
x t  



X  f e j 2ft df
2.6
DIMOSTRAZIONE
ANTITRASFORMAZIONE
1
x t  
2
1

2
 


  jt
 j
   x   e d e d 

 
 
x   e j  t   dd 
 



1
j  t  

x     e
d d

2 
 


Continua…...
2.7
……antitrasformata di Fourier
VEDREMO CHE :
1
2

j  t 
e
d    t   


(t)
1
t
1

2



  j  t   
d d 
 x    e
 



 x    t    d

       t 
 x  t  c. v.d
x t   t   x t 
2.8
CONDIZIONI ESISTENZA
DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
CONDIZIONI SUFFICIENTI NON NECESSARIE :
• FUNZIONE MODULO INTEGRABILE 
OPPURE
•SEGNALE AD “ENERGIA” FINITA

x  t  dt  

2
x  t  dt  

ALTRIMENTI : SEGNALE A “VARIAZIONE FINITE”

NON VALE AD ESEMPIO PER LE CURVE FRATTALI
Lunghezza finita
2.9
TRASFORMATA DI FOURIER
(PROPRIETA’)
NOTA : IN GENERALE L’ ANDAMENTO NEL TEMPO E NELLE FREQUENZE
SONO MOLTO DIVERSI (es.
)
t .d .F
X  
  t  1
E’ UNA FUNZIONE COMPLESSA. DALLE FORMULE DI EULERO:
e  jt  cos t  j sen t
e jt  e  jt
 cos t 
2
e jt  e  jt
sent 
2j
2.10
TRASFORMATA DI FOURIER
(PROPRIETA’)
X   




 x t  cos tdt  j  x t  sen tdt 
 Rx     jI x    
X   
Rx2  I x2 e j   
Rx2  I x2  Modulo della trasformata
Ix
     arctg
 Fase della trasformata
Rx
X     X    e j     Rappresentazione polare dei numeri complessi
2.11
RICHIAMI DI ANALISI
x t   x t 
FUNZIONI PARI 
FUNZIONI DISPARI  x t    x t 
PRODOTTO DI 2 FUNZIONI PARI  PARI
PRODOTTO DI 2 FUNZIONI DISPARI  PARI
PRODOTTO DI 1 FUNZIONE PARI CON 1 FUNZIONE DISPARI
 DISPARI
ES: Sen  FUNZIONE DISPARI
Cos  FUNZIONE PARI
2.12
RICHIAMI DI ANALISI
x t 
x t  t 0 
RITARDO
t
0
0
t0
t
t0 > 0
x t  t 0 
ANTICIPO
t0
0
t
2.13
SEGNALE GENERICO (REALE):
x t 
Re X     Rx
Im X     I x
X  
  
E’ PARI IN  (INFATTI SE SI CAMBIA  IN -  NON CAMBIA NULLA)
E’ DISPARI
E’ PARI  POSSO STUDIARLO PER >0
E’ DISPARI
E’ SUFF. FARE GRAFICI SOLO PER >0
2.14
TRASFORMATA DI FOURIER
(PROPRIETA’)
x t 
PARI :
x t 
DISPARI :
I x  0  TRASFORMATA DI FOURIER E’ REALE
Rx  0  TRASFORMATA DI FOURIER PURAMENTE
IMMAGINARIA
NOTE : <0 NON HANNO SIGNIFICATO FISICO (MATEMATICAMENTE SI)
=0 E’ LA CONTINUA DEL SEGNALE X  0:COMPONENTE CONTINUA
SE C’E’ COMPONENTE CONTINUA (DA -  A + )  C’E’  .
2.15
TRASFORMATA DI FOURIER
(PROPRIETA’)
a0
a  reali

DIM :

x at  
x at e  jt dt 
1  
X 
a a
Ponendo
x t   X   
at   a  0



 x   e

 j

a

j 
d
1 
1  
a
  x  e
d  X   c. v.d.
a
a 
a a
2.16
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE
(TEMPO-FREQUENZA)
DALLA
x at  
1  
X 
a a
SI VEDE CHE UNA “COMPRESSIONE” NEL TEMPO CORRISPONDE AD UNA
“DILATAZIONE” NELLE FREQUENZE (a>1), E VICEVERSA.
2.17
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE
t  B  
t
B
: DURATA NEL TEMPO DEL SEGNALE
: DURATA IN FREQUENZA
x t 
X  
MA ALLORA, IN LINEA DI PRINCIPIO, SOLO I SEGNALI DI DURATA
INFINITA POSSONO AVERE DURATA FINITA IN FREQUENZA.
2.18
BANDA SEGNALE
IN PRIMA APPROSSIMAZIONE :
DOVE
E’ 0 (O COMUNQUE DOVE E’ “SIGNIFICATIVAMENTE”  0).
VEDREMO PIU’ AVANTI UNA DEFINIZIONE IN TERMINI ENERGETICI.
X  
SOLO 0
X  
X  
Banda base
Passa banda

X  
BANDA
E’ ANCHE DETTO “SPETTRO DEL SEGNALE”

BANDA
2.19
BANDA SEGNALE
METODO DI CALCOLO (BANDA BASE)
1) METODO MATEMATICO : CERCO LA BANDA CHE CONTIENE UNA
CERTA PERCENTUALE DELL’ ENERGIA
DEL SEGNALE (BANDA = ).

E
x
2
1
2
 t dt



2
X    d  95% E tot

 98% 
Es: 

99%


2
2) METODO 
SPERIMENTALE
:
1
E
2

X    d

x(t)
Passa
alto
5% della Energia totale
Misuratore di
Potenza/Energia
2.20
TRASFORMATA DI FOURIER
x t  T0   X    e  jT0
 RITARDO ALTERA LA FASE
LA FORMULA VALE ANCHE PER “ANTICIPO”
x t  T0   X    e jT0
MA FISICAMENTE ANTICIPO SPESSO NON HA SENSO (CAUSALITA’).
2.21
TRASFORMATA DI FOURIER
(PROPRIETA’)
DIM :


x  t  T0 e  jt dt 

 e  jT0


x  e  j   T0  d 
ponendo


 x  e

 j
d  X    e  jT0 c. v.d.
t  T0  
2.22
TEOREMA DUALITA’
SE
x t   X     X  t   2x  
LA DIMOSTRAZIONE E’ “INTUIBILE” DALLE DEFINIZIONI DI TRASFORMATA
ED ANTITRASFORMATA (CAMBIA IL SEGNO E ABBIAMO UN FATTORE 2).
ES :  t   1
1  2  
PER DUALITA’
        
2.23
TEOREMA CONVOLUZIONE
x1  t  x2  t   X1     X 2   
E’ MOLTO IMPORTANTE!! NEI S.L.T.I. POSSO FARE PRODOTTO IN
FREQUENZA INVECE DI CONVOLUZIONE NEL TEMPO.
CIOE’ “LAVORO’ IN FREQUENZA E POI TORNO NEL TEMPO (ANTITRASF.)
2.24
TEOREMA CONVOLUZIONE
x1  t  x2  t   X1     X 2   
DIM :
 1 X1     X 2    
1

2

 X    X
1

jt



e
d  continua....
2
2.25
TEOREMA CONVOLUZIONE
(DIMOSTRAZIONE)
1

2




 jt
 j
 j
   x1   e d     x2  e d   e d 
  

 
 
 “ INVERTENDO L’ ORDINE DI INTEGRAZIONE” 


1
  x1     x 2   
2





e  j  t    ddd  continua..(*)
2.26
TEOREMA CONVOLUZIONE
(DIMOSTRAZIONE)
POICHE’ :
(NON DIMOSTRATA)
1
2

e

 x     x      t     dd
1

2
 x     x  t    d
1





d    t     


 (*) 
 j  t   
2
 x1  t  x 2  t  c. v.d.
2.27
TEOREMA CONVOLUZIONE
x1  t  x2  t   X1     X 2   
PER IL TEOREMA DUALITA’ :
1
x1  t   x2  t  
X1    X 2  
2
NB : TEOREMA CONVOLUZIONE E’ FONDAMENTALE PER LO STUDIO DI SEGNALI
E SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE (MA ANCHE IL DUALE E’ IMPORTANTE).
2.28
TRASFORMATA DI FOURIER
HP : x(t) A MODULO INTEGRABILE E A VARIAZIONI LIMITATE.
X   

 x t  e
 jt
dt

1
x t  
2

 X  e  d
j t

2.29
x t 
h t 
y t 
y t   x t  h t 
x t   X   
Y     X    H  
h t   H   
H0
X0
Y  
H0 X 0

0
0
1
H  
0
X  
1

0

2.30
UTILITA’ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER  CONSENTE DI
STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA L.T.I. SENZA CALCOLARE
LA CONVOLUZIONE.
Anziché un integrale di convoluzione, si eseguono 2 trasformate + 1 prodotto + 1 antitrasformata. E’ conveniente
se le trasformate di x(t), h(t) e l’antitrasformata del prodotto X()H() sono note (o comunque semplici).
y t   x t  h t 

Y    X    H  
2.31
x t   X    , h t   H   
y t   x t  h t 

Y    X    H  

y  t    1Y   
2.32
COMPOSIZIONE DI BLOCCHI
L.T.I.
X
Y
L.T.I.
X
Y
L.T.I.
L.T.I.
DIM. BLOCCO TOTALE ANCORA L.T.I. ; h(t), H()
2.33
TRASFORMATE NOTEVOLI
•
TRASFORMATA DEL RETTANGOLO :
x t 
A
T 2
T 2
sen T 2
 AT
T
2
t
sen T 2
t
   AT
T
T 
2
X    SARA’ REALE PERCHE’ x(t) PARI.
2.34
TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO)
X   

T 2

Ae
 jt
T 2
T
A
 jt  2

dt 
e  T 
2
 j

A
 j T 2
 j T 2

e
e
 (*)
 j
POICHE’ :
sen t 
e
jt
e
2j
 jt
e jT  cos T  j sen T
2.35
TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO)
j T 2
 j T 2 

2A e
e


(*) 
 
2j

 
 
2A T 2
sen T 2

sen T 2  AT


T
 T2
2
T
sen x
 ATsinc
con sincx 
2
x
2.36
TRASFORMATA “RETTANGOLO”
sen T 2
T
X     AT
 ATsinc
T
2
2
X  
AT
0
ZERI :
T
2
 K

2__
T
1
INVILUPPO

4__
T
6__

T

N.B. : FASE NULLA (x(t) PARI).
2.37
TRASFORMATA SENO :
 e j0t  e  j0t 
 sen 0 t  


2j




  j     0       0  =

            

j
0
0
N.B. PURAMENTE IMMAGINARIA
j    0 


 j    0 

j
    0 


j
    0 

2.38
TRASFORMATA COSENO
•
cos 0 t 
:
dx t 
 jX   
dt

0
1 j0t

e  e  j0t 
2
X    2 

            

2
0
j
 cos 0 t

0

    0 
j t
DIM : 1  2    , e  2    0 
0
e j0t  e  j0t
cos0 t 
2
2    0 
2    0 

0
0
sen 0 t

0
   0 

2.39
TRASFORMATA TRENO DI IMPULSI :
……..
…….
T
0
2
  t  nT   T
n

…….
t
…….
2
T

2 
   k T 
k 

N.B. : IMPULSI VICINI NEL TEMPO  DISTANTI IN FREQUENZA
(PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE)

2.40
TRASFORMATA COSENO “FINESTRATO” :
1
t
T 2
T 2
 
cos 0 t   t T
2.41
COSENO FINESTRATO
t

T
cos 0 t    
   0       0   ATsinc
 T  2
2


X  
0 
0
HP : T>>T0 AFFINCHE’ LE DUE SINC
4
2
 in freq. 
T
T
2
T
0 
0
NON INTERFERISCANO
2
T

2.42
TRASFORMATA DELLA DERIVATA :
x(t)  X()
dx t 
 jX   
dt
dx  t  d 1
d 1
DIM :



 X   
dt
dt
dt 2
1

2



 X  e  d 
j t

j X    e jt d   1 jX   

d n x t 
n
  j  X   
n
dt
N.B : NON VALE L’INVERSA.
2.43
TRASFORMATA DELL’ INTEGRALE :
X  
 x  d  j  X  0  

t
N.B. : USANDO LE TRASFORMATE E LE PROPRIETA’ GIA’
VISTE SE NE
POSSONO RICAVARE MOLTE ALTRE.
x t 
2
AT
ES :
T
z1  t 
PUO’ ESSERE
VISTO COME
T
t
*
T 2
2
T
sen

T
2
 X     sinc 2
= A2T 2
2
2
 T 


 2 
z2  t 
T 2
Convoluzione di due
rettangoli.
T 2
T 2
2.44
TRASFORMATE DI FOURIER
x  t   segno t 

2
+1
t
j
-1
+1
x  t   1 t 
“Gradino unitario”
t
1
1 2
u t   1  segno t         j       1 j
2
2
2.45
TRASFORMATE DI FOURIER
e t  1 t 
  e t  1 t 
>0
t
 e t  1 t  

t
 jt
e

e
dt 

0


e
0
   j  t
1
dt  
e    j  t
   j 

0
1

  j
2.46
 e
t
1
 1 t  
 X  
  j
  j


 
X   2
2  X  
 

 2 2

2


2 2

 
2


2 2

2

2


1
2

X     arctg

2 2
1
1
2

2
 
Im
 arctg  
 
Re

2

2

2.47
TRASFORMATE DI FOURIER
?
T
-T
T
1
T
1
=
-T
T
*
T 2
PER IL TEOREMA DELLA CONVOLUZIONE :
 sin T 
2
T 

T 

2 
2
T 2
T 2
  sinc fT 
2
sin 2fT
fT  2
T 2
2.48
FILTRO DI HILBERT
(QUADRATURA)
 e  j 2 f  0
 j f  0
H Q  f    j sgn f  
=  j 2
f 0
 j f  0
e
Q  f

 2
1
hq  t  
t
f
 2
2.49
FILTRO DI HILBERT
1
X  f   X  f   H Q  f 
W
 j X  f  f  0
X  f   
 j X  f  f  0
0
X  f   jX  f   
2 X  f 
X f 
j 
X f 
W
W
W
j
f 0
f 0
2
W
W
2.50
Filtro di Hilbert
x t 
hq  t 
x t  Trasformata di Hilbert
HQ  f 
A e  j  f  f0 
2
x  t   A cos 0 t   
x  t   A sen 0 t   
 f0
 j A 2 e  j   f  f 0 
1
t
 f0
 f0
t
f
 j A 2 e j   f  f 0 
 f0
hq  t 
hq  t  
A e j  f  f0 
2
NON CAUSALE DIVERGE NELL’ ORIGINE
f
2.51
AREA DELLA FUNZIONE “SINC”
sin T 2
areasinc   AT 
d 

T

2

 ampiezza  valore primo zero  AT  2 T  2A
DIM : SI SFRUTTA LA RELAZIONE DELLA  x t   X  
NEL CASO DEL
RETTANGOLO. LA DEFINIZIONE DI ANTITRASFORMATA E’:
1


x t 
2

 X  e  d
j t

2.52
A
x t  =
T 2
T 2
t
IL VALORE PER t=0 E’ :
sen T 2
1
 AT T d  2 areasinc

2

x t  t0
1
 A
2
DA CUI:
areasinc  2A c.v.d