RISPOSTA AL MOTO DEL SOSTEGNO
x s(t)=x 0sent
x(t)
k
m
c
Il sostegno (es: terreno) si muove di moto armonico: xs t   x0 sin t
equaz. del moto dell'oscillatore:
 cx  x s   k x  xs   0


forzed'inerzia
m
x
k(x-x s)
. .
c(x-x s)
..
mx
dipendono
dall'acceleraz.
assoluta
dipendono da spostamenti e
velocita' relative al sostegno:
la forzaelastica e l' energia
dissipata dipendono dalla de
formazione della struttura e
non dal suo moto assoluto
mx  cx  kx  kx0 sin  t  c  x0 cos  t
mx  cx  kx  F0 sin  t  
L'equazione del moto ha la stessa forma di quella relativa alla
struttura eccitata dal carico armonico in cui:
F0  x0 k 2  c    x0 k 1  2r 
2
c
tan  
 2r
k
2
Risposta in termini di spostamento assoluto della massa
La risposta per lo stato permanente, in termini di spostamento
assoluto della massa, è :
xt 

x0
1  2r 
2
1  r   2r 
2 2
2
sin  t    
rappresenta la risposta assoluta dell'oscillatore smorzato ad un
moto armonico della sua base, ovvero la trasmissione del moto
del sostegno all'oscillatore
l'espressione è applicabile a problemi di isolamento da vibrazioni:
ad esempio, isolamento di strumentazioni che debbano essere
protette da vibrazioni nocive della struttura di sostegno,
isolamento delle costruzioni dalle vibrazioni del terreno,
essenzialmente di origine sismica
TRASMISSIBILITÀ: grado di isolamento relativo = rapporto fra
l’ampiezza del moto dell’oscillatore e l’ampiezza del moto del
supporto:
2
X
1  2r 
Tr  
2
2 2
x0
1  r  2r 

Sia la trasmissibilità
del moto dalla base
alla struttura, sia la
trasmissibilità della
forza della struttura
alla base, sono fornite
dalla stessa funzione.
Quindi la curva di
trasmissibilità
rappresenta entrambi i
tipi di trasmissibilità.

4
Tr
=0,05
0,15
3
2
0,25
=0,5
=1
1
0
0
1
2
r
3
Risposta in termini di spostamento relativo
della massa rispetto al sostegno
equazione del moto in termini di spostamento relativo tra la massa m ed
il sostegno:
u  x  xs
xs t   x0 sin t
1 - sistema eccitato da uno spostamento armonico della base:
u t 
la risposta per lo stato permanente è:

x0
r2
sin  t  
1  r   2r 
2 2
2
2 - sistema eccitato da una accelerazione armonica alla base:
mu  cu  ku  mx0 sen t
la risposta per lo stato permanente è: u t  
x0

2 1  r
1
  2r 
2 2
2
sin  t  
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO: rapporto tra
l’ampiezza della risposta del sistema e la funzione eccitatrice
u/x 0
1 - sistema eccitato da uno
spostamento armonico della
base:
u

x0
2
=0,5
r2
1
1  r   2r 
2 2
=0,25
=1
2
0
0
1
2
3
4
5
r
2 - sistema eccitato da una
accelerazione armonica alla
base:
u
1

x0 2 1  r 2 2  2r 2


1,05
.. 1,04
=0
u/x 0 1,03
0,6
1,02
1,01
1
0,99
0,7
0,98
=0,75
0,97
0,96
0,95
0
0,2
0,4
0,6
0,8
r
STRUMENTI A RIFERIMENTO INERZIALE
(SISMICI)
c
x(t)
m
k
xs(t)
Strumenti in cui un solo terminale (la base dello strumento) è
fissato al punto dove deve essere eseguita la misura.
La massa è montata su molle ed in generale il moto è smorzato per
mezzo di un fluido o di correnti elettriche.
Le caratteristiche del moto sono ricavate dalla misura dello
spostamento relativo della massa sismica rispetto alla base dello
strumento.
Lo strumento può essere impiegato per misure di spostamento o di
accelerazione a seconda delle caratteristiche costruttive e del campo
di frequenza in cui si opera.
Lo spostamento relativo tra massa sismica e base è dato dalle
funzioni di trasferimento a seconda che il moto della base sia
espresso in termini di spostamento o di accelerazione, in funzione
di r e .
la risposta è praticamente uguale al
moto della base per rapporti di
frequenza r > 2 e rapporti di
smorzamento   0,5.
u/x 0
2
=0,25
=0,5
1
=1
0
0
1
2
3
4
5
r
La risposta di un sistema siffatto è essenzialmente
proporzionale all'ampiezza dello spostamento della base per
alte frequenze. Il campo di applicabilità dello strumento
aumenta col diminuire della frequenza naturale.
per   0,7 il valore della risposta
coincide con quello della base nel
campo di frequenze 0 < r < 0,5.
1,05
.. 1,04
=0
u/x 0 1,03
0,6
1,02
1,01
1
0,99
0,7
0,98
=0,75
0,97
0,96
0,95
0
0,2
0,4
0,6
0,8
r
Quindi uno strumento così concepito dà una risposta
proporzionale all'accelerazione della base.

2


piccolo  massa grande
trasduttor e di spostament o

 0.5


grande  massa piccola
accelerome tro
Qualora si misuri la velocità relativa tra massa e base, operando al
di sopra di , si realizza un sismometro, strumento per misurare
velocità relative.
RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE PERIODICA:
SERIE DI FOURIER
Per i sistemi lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti:
se F(t ) 
n
 F (t )
i
i 1
allora
somma di un certo numero di forze eccitatrici
n
n
i 1
i 1
x (t )   xi (t )   Hi Fi (t )
la risposta è data dalla somma delle risposte alle singole eccitazioni.
eccitazione periodica: si ripete uguale a uguali intervalli di tempo T 
eccitazione armonica: è un caso particolare di eccitazione periodica
2

Ogni funzione periodica può essere rappresentata, sotto certe
condizioni, da una serie di funzioni armoniche le cui frequenze
sono multipli interi di una frequenza fondamentale 0.
frequenza fondamentale
prima armonica
multipli interi
armoniche
SERIE DI FOURIER
Una funzione periodica può essere espressa dalla Σ di un
numero infinito di termini sen e cos cioè come somma di un
numero infinito di funzioni armoniche.

1
f t   a0   a p cos p 0 t  b p sen p 0 t
2
p 1
2
0 
T periodo della funzione
T
p  1,2,3,...
ap , bp rappresentano una misura della partecipazione delle
componenti armoniche cosp0t e sinp0t nella funzione f(t).
La rappresentazione in serie di Fourier evidenzia quindi le frequenze
dominanti ovvero il “contenuto in frequenza” della vibrazione.
La rappresentazione in serie di Fourier è possibile ammesso che gli
integrali che definiscono ap e bp esistano. Per i problemi fisici che ci
interessano tali integrali esistono.
1
a0
2
rappresenta il valor medio di f(t): è una costante, perciò, per
sistemi lineari, la risposta all'eccitazione costante può essere trattata
a parte (statica).
La risposta alle componenti armoniche può essere ottenuta come
somma delle risposte a ciascuna componente:


xt    H p a p cos( p 0 t   p )  b p sen( p 0 t   p )

p 1
1
Hp 
m 2
 p  arctg
.
1
  p 0 

1  
   
p 0
2
2 2
  p0 

   2
 
 
2
funzione di risposta
in frequenza

2
p


0 
1 

  
quindi la risposta alla f(t) è anch'essa periodica con lo stesso
periodo T  2 
0
Se il valore di p0 di una delle componenti armoniche è vicino
alla frequenza naturale  del sistema, allora quella particolare
armonica tende ad essere maggiormente amplificata e quindi a
fornire un contributo relativamente grande alla risposta,
specialmente per bassi valori dello smorzamento.
Nel caso di smorzamento nullo, se p0 =  per un certo p, allora si
ha una condizione di risonanza.
Quindi per un sistema non smorzato si può avere risonanza anche
quando l'eccitazione non è armonica ma semplicemente periodica,
purché una delle armoniche coincida con la frequenza naturale del
sistema.
RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE NON PERIODICA
NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE
Nel caso di eccitazione periodica con periodo T si è visto che la
risposta stazionaria, ottenuta ignorando l'eccitazione iniziale, è
periodica di periodo T.
Per eccitazione qualsiasi non si può parlare di risposta stazionaria e
l'intera soluzione deve essere considerata transitoria.
Ci sono più modi di risolvere il problema.
INTEGRALE DI FOURIER
Consiste nel rappresentare l'eccitazione con l'integrale di Fourier,
derivato dalla serie di Fourier con un procedimento al limite per il
periodo T che tende a : così il primo intervallo diventa illimitato e
la funzione è non periodica.
Abbiamo visto che una funzione periodica di periodo T può essere
rappresentata da una serie infinita di funzioni armoniche di
frequenze p0 (p=0,1,2,...) dove  0  2  (frequenza fondamentale).
T
Al crescere di T, le frequenze discrete tendono ad essere sempre
più vicine, fino a diventare continue, e la serie di Fourier diventa
l'integrale di Fourier.
1
f (t ) 
2



it
F ( )e d

F ( )   f (t )e it dt

Le due trasformate sono chiamate rispettivamente trasformata di
Fourier della f(t) mentre la f(t) è la trasformata inversa di Fourier
della F().
La seconda equazione mostra che ogni funzione arbitraria f(t) può
essere descritta da un integrale che rappresenta i contributi delle
componenti armoniche, aventi uno spettro di frequenze continuo da
-  a +.
La quantità F()d può essere interpretata come il contributo alla
funzione f(t) delle armoniche con frequenze nell'intervallo fra  e
 +d.
La seconda eq. è la rappresentazione tramite l'integrale di Fourier
di una funzione arbitraria f(t); contiene le informazioni sulla
composizione in frequenza della f(t).
La risposta di un sistema alla f(t) può essere scritta anche questa
come coppia di trasformate di Fourier:

X ( )   x(t )e

it
dt
1
x(t ) 
2



X ( )e it d
dove la trasformata di Fourier della risposta è:
X    H  F  
Le trasformate di Fourier sono di grande utilità quando interessa
la composizione in frequenza piuttosto che l'andamento nel tempo
della risposta.
TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER
FFT
La forma discreta è quella di maggior interesse nella pratica perché
ne permette l'uso in applicazioni numeriche.
Quando la funzione F(t) è nota solo in un numero finito di punti,
corrispondenti ad N intervalli di tempo uguali, gli integrali sono
sostituiti da Σ.
T = periodo della funzione o intervallo in cui è nota la funzione
T
t 
N
intervallo di campionamento
t j  jt
1
cn 
N
j  0,1,..., N  1
N 1
 2 i  nj N 


F
t
e
 j
tempi di campionamento
n  0,1,..., N  1
j 0
N 1
F t j    cn e 2 i nj N 
n 0
j  0,1,..., N  1

1
f t   c0   c p cos p0t   p 
2
p 1
L'analisi di Fourier permette di conoscere il "contenuto in
frequenza" di una oscillazione; infatti, i coefficienti ap e bp
rappresentano la misura dell'ampiezza di ciascuna componente
armonica dell'oscillazione.
Quanto maggiore è il valore del coefficiente relativo ad una certa
armonica, tanto più tale armonica caratterizzerà l'oscillazione.
Una rappresentazione particolarmente efficace dell'analisi di una
oscillazione si ha diagrammando le ampiezze corrispondenti a
ciascuna armonica in funzione della sua frequenza
SPETTRO: diagramma che in ascissa riporta frequenza o periodo
Terremoto del Friuli 1976
0.5
accelerazione / g
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t [s]
20
velocità [cm/s]
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
spostamento [cm]
t [s]
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t [s]
Terremoto del Friuli 1976
spettro di Fourier dell'accelerazione
0.25
ampiezza di Fourier
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
2
1.0
0.5
4
0.3
6
0.2
8
10
0.1
12
14
16
18
20
0.05
f [Hz]
T [s]