CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI
• ISOLATO. Può essere permeato dal
campo gravitazionale, ma non interagisce
in altro modo con l’ambiente circostante.
• CHIUSO. Può interagire con l’ambiente
circostante in ogni modo possibile, tranne
che scambiando atomi o molecole.
• APERTO. Può scambiare anche atomi o
molecole con l’ambiente circostante.
Ogni sistema fisico reale è aperto. Ad esempio il gas in un cilindro
con pistone scambia atomi e molecole con le pareti, ma in molti casi
possiamo dimenticarcene e trattarlo come un sistema chiuso. Per pensare
che sia anche isolato dobbiamo immaginare che le pareti siano ferme,
che non conducano il calore e che non lascino passare la radiazione.
Termodinamica di un sistema isolato
• Il momento ed il momento angolare del sistema isolato si conservano
sempre. In Termodinamica si pensa quasi sempre che siano nulli.
• Anche l’energia U del sistema isolato si conserva sempre, ma può
essere degradata da forme ordinate, ad esempio energia di un pendolo,
o di una goccia di benzina o di una pila interni al sistema, a forme
disordinate, ad esempio energia cinetica e potenziale delle molecole
che compongono il sistema ed energia dei fotoni presenti nel sistema.
• L’entropia S del sistema isolato aumenta spontaneamente,
raggiungendo un valore stazionario quando il sistema raggiunge uno
stato di equilibrio metastabile e raggiungendo valore massimo quando
il sistema raggiunge lo stato di equilibrio stabile.
• In condizioni di equilibrio termodinamico, la temperatura T del
sistema ed i potenziali (elettrogravito)chimici mk di ciascuna specie di
particelle componenti il sistema sono uniformi. Ciò vale sia in
condizioni di equilibrio metastabile, sia in condizioni di equilibrio
stabile. In quest’ultimo caso i potenziali (elettrogravito)chimici delle
varie specie di particelle sono legati gli uni agli altri da tante relazioni
algebriche quante sono le possibili reazioni indipendenti.
Sistema isolato fuori equilibrio
La temperatura ed i potenziali elettrogravitochimici delle
varie specie di particelle componenti il sistema dipendono
dal tempo t e dalla posizione r, ovvero sono descritte dai
campi scalari T(t, r) e μ k (t, r). I gradienti di tali campi
scalari sono campi vettoriali che giocano il ruolo di “forze”
e producono flussi di energia e di particelle. Fino a quando
le deviazioni dalle condizioni di equilibrio sono modeste i
flussi sono proporzionali alle “forze” ed agiscono facendo
evolvere il sistema verso la condizione di equilibrio, ovvero
facendo diminuire le “forze”. In tale evoluzione la densità
di energia u(t,r) dipende dal tempo e dalla posizione, ma il
suo integrale esteso a tutto il sistema rimane costante.
Invece l’integrale esteso a tutto il sistema della densità di
entropia s(t,r) aumenta nel tempo sino a raggiungere valore
stazionario quando si stabilisce l’equilibrio metastabile e
valore massimo quando si stabilisce l’equilibrio completo.
Processi di rilassamento
La variazione di entropia di un sistema chiuso inizialmente fuori equilibrio è la
somma di due contributi: l’entropia dQ /T fornita dall’ambiente e l’entropia dSi
creata entro il sistema. Il primo termine può essere positivo o negativo, il secondo
è sempre positivo, quindi dQ=TdS-TdSi è sempre minore di TdS. Di conseguenza
la variazione di energia risulta
dU  δQ  pdV  TdS - T dSi  pdV
Ciò comporta che l’energia diminuisce quando S e V non variano (l’entropia
prodotta deve uscire dal sistema per mantenere costante S, quindi esce calore a
volume costante e l’energia diminuisce). Per l’entalpia H, per l’energia libera
F=U-TS e per il potenziale di Gibbs G=H-TS si vede che
dH  dU  Vdp  pdV  TdS  T dSi  Vdp
dF  dU  TdS  SdT  SdT  TdSi  pdV
dG  dH  TdS  SdT  SdT  TdSi  Vdp
Insomma nei processi di rilassamento:
•l’energia U diminuisce quando S e V sono costanti,
• l’entalpia H diminuisce quando S e p sono costanti.
• l’energia libera F diminuisce quando V e T sono costanti,
• il potenziale di Gibbs diminuisce quando p e T sono costanti.
Termodinamica dei sistemi aperti: premessa
Finora abbiamo considerato sistemi chiusi, ma nelle situazioni studiate
e nei problemi affrontati abbiamo spesso finito per “guardare dentro”
al sistema. Ad esempio abbiamo descritto il sistema chiuso acquavapore in equilibrio pensando che in un dato intervallo di tempo tante
molecole evaporano quante condensano. O abbiamo fissato
l’attenzione su un volumetto con pareti immateriali interno al sistema
chiuso e abbiamo detto che, in equilibrio completo, tante moli di una
certa sostanza vi entrano quante ne escano. O abbiamo descritto
l’azione di un catalizzatore pensando che vi entrino più molecole
d’idrogeno e d’ossigeno di quante ne escano ed escano più molecole
d’acqua di quante ne entrino. Insomma, abbiamo pensato ai flussi di
energia, entropia e particelle che si instaurano in un sistema chiuso,
suddividendo idealmente il sistema in un gran numero di sistemi aperti
con pareti immateriali. In realtà la termodinamica dei sistemi aperti è
più semplice concettualmente di quella dei sistemi chiusi proprio
perché descrive i fenomeni con approccio aderente alla realtà e quasi
microscopico: basta dividere le grandezze molari per il numero di
Avogadro per ottenere i valori medi delle grandezze molecolari.
Potenziale di Gibbs e potenziale chimico
per un sistema ad un componente
Consideriamo un sistema costituito da N moli di una sostanza pura in equilibrio a
temperatura T e pressione p, ricordiamo che m=h-Ts, che dm=-sdT+vdp ed
indichiamo con G=NmHTS il potenziale di Gibbs del sistema. Pensando a m
come funzione delle sue variabili naturali T e p, si vede che
G(T, p, N)  N μ(T, p)
quindi
 G 
 G 
 G 
dG    dT    dp    dN  SdT  Vdp  μdN
 T p, N
 N T, p
 p T, N
Ora partiamo da G= mN, ricordiamo che H=G+TS, F=G-pV, U=F+TS=G-pV+TS
e notiamo che le equazioni centrali della termodinamica per un sistema ad un
componente con numero di particelle variabile sono
dG  SdT  Vdp  μdN , dH  TdS  Vdp  μdN
dF  SdT  pdV  μdN , dU  TdS  pdV  μdN
Dunque il potenziale chimico m può essere calcolato indifferentemente come
 G 
 H 
 F 
 U 
μ        
 N T, p  N S, p  N T, V  N S, V
In parole: l’aggiunta di una mole fa aumentare di m il potenziale di Gibbs
a p e T costanti, l’entalpia ad S e p costanti, l’energia libera a T e V costanti
e l’energia a S e V costanti.
Potenziale di Gibbs e transizioni di fase
Nelle figura a) e b) le linee piene rappresentano il potenziale di Gibbs per stati
di equilibrio dell’H2O, le linee tratteggiate rappresentano il potenziale di Gibbs
per stati di non equilibrio. Ad esempio a 273.15 K ed a 2 bar il ghiaccio è fuori
equilibrio e diventa acqua rapidamente; ad 1 bar e a 273 K l’acqua è fuori equilibrio
e diventa ghiaccio rapidamente.
Potenziale di Gibbs e potenziali chimici
per un sistema a molti componenti
Ora consideriamo un sistema a molti componenti in condizioni di equilibrio stabile o metastabile a
pressione p e temperatura T, indichiamo con mk ed Nk il potenziale chimico ed il numero di moli della
k-esima specie, e scriviamo il potenziale di Gibbs del sistema nella forma
G(T, p, N1 , N 2 ,...N k ,...)   μ k (T, p) N k
k
dove
 G
μ k (T, p)  
 N

k



T, p, N j  k
Naturalmente le derivate parziali di G, rispetto a T e p sono null’altro che –S e V, quindi
 G 
 G 
 G 

dG    dT   
dp   
dN k  SdT  Vdp   μ k dN k
 T p, N k
k  N k T, p, N
k
 p T, N k
j k
D’altra parte dG 
 N k dμ k   μ k dN k
k
 N k dμ k  SdT  Vdp
k
quindi deve valere la relazione
k
conosciuta come equazione di Gibbs-Duhem
Questa relazione mostra che le variabili intensive T, p e mk non possono variare indipendentemente.
Infine scriviamo le equazioni centrali della termodinamica per sistemi aperti nella forma
dG  SdT  Vdp   μ k dN k
, dH  dG  d(TS)  TdS  Vdp   μ k dN k
k
k
dF  dG  d(pV)  SdT  pdV   μ k dN k
k
e notiamo che
, dU  dF  d(TS)  TdS  pdV   μ k dN k
k
 G 
 H 
 F 
 U 




μ k  
 
 
 
 N k T, p, N j k  N k S, p, N j k  N k T, V, N j k  N k S, V, N j k
Potenziale di Gibbs e reazioni chimiche
Pensiamo che una camera con pareti flosce e conduttrici contenga inizialmente 10 moli di idrogeno
e 5 moli d’ossigeno e sia immersa in un ambiente a temperatura di 25 °C e a pressione di 1 bar.
Ammettiamo che la formazione di acqua avvenga tanto lentamente da poter pensare che, ad ogni
istante, il sistema sia in equilibrio metastabile, ovvero che la temperatura e la distribuzione spaziale
dei gas residui e dell’acqua formata siano in equilibrio. In tal caso, conoscendo il numero di moli
d’acqua formata, quindi i numeri di moli d’idrogeno e d’ossigeno residui al tempo t, possiamo
calcolare G per lo stato metastabile con il procedimento che illustreremo più avanti. Ma sin da ora
possiamo dire con certezza che l’evoluzione temporale di G deve essere del tipo mostrato in figura:
G diminuisce progressivamente nel tempo tendendo ad un valore minimo. Vedremo che la condizione
dG =0 consente di individuare lo stato di equilibrio finale (solo acqua in un volume di 180 cm^3).
Ammesso di conoscere la variazione DG del potenziale di Gibbs tra lo stato metastabile iniziale e lo
stato stabile finale, possiamo valutare l’entropia prodotta dalla reazione come DSi= DG /T.
Potenziale di Gibbs e diffusione
Pensiamo che una camera con pareti flosce e conduttrici, immersa in un ambiente
a temperatura T e pressione p, abbia due scomparti, uno contenente N1 moli del
gas perfetto 1 ed uno contenente N2 moli del gas perfetto 2. Al tempo zero
rompiamo la parete divisoria e lasciamo che i due gas si mescolino fino a formare
una miscela di Dalton. Il volume occupato dal gas 1 aumenta del fattore
(N1+N2)/N1, quello occupato dal gas 2 aumenta del fattore (N1+N2)/N2 . Quindi
l’entropia del sistema aumenta di DSi =R ln[(N1+ N2)2 /N1 N2 ]. D’altra parte, visti
complessivamente, gli stati iniziale e finale hanno temperatura e pressione uguali,
quindi il processo di diffusione fa diminuire il potenziale di Gibbs, precisamente
(N1  N 2 ) 2
ΔG  TΔ Si  RTln
N1N 2
Si noti che per N1<< N2, DG si riduce a –RT ln(N2 /N1). Soprattutto si noti che,
nello stato finale, elementi di volume uguali individuati idealmente entro
il sistema complessivo hanno lo stesso potenziale di Gibbs molare: la diffusione
agisce in modo da rendere uniforme la densità volumetrica di G, ovvero in modo
da rendere uniformi i potenziali chimici di ciascun componente.
Entropia delle sostanze nello stato standard
Si usa qualificare come standard le grandezze termodinamiche molari valutate alla pressione
p°=1 bar e ad alcune temperature: 298 K, 500 K, 1000 K e 1500 K. Ad esempio S°500 è
l’entropia molare valutata per p°=1 bar e T°=500 K. Ma nel seguito, per evitare notazioni
pesanti, considereremo solo grandezze standard a T°=298 K ed ometteremo il pedice. La
conoscenza delle grandezze termodinamiche standard delle varie sostanze viene da misure
(estese anche a bassissime temperature) dei calori specifici, dei calori latenti, dei calori di
reazione, delle compressibilità isoterme e dei coefficienti di dilatazione termica. In nessun
caso le misure possono essere interpretate con gli strumenti della fisica classica, e molto
spesso anche i calcoli condotti con metodi quantistici raffinati e poderose potenze di calcolo
non raggiungono accuratezza sufficiente. Ma per stati non troppo diversi dagli stati standard
le grandezze termodinamiche possono essere calcolate con semplicità partendo da quelle degli
stati standard. In particolare, per molti gas reali e per T poco diversa da T° l’entropia è ben
descritta in approssimazione di gas perfetto
S(T, p)  So  CV ln
T
V
T
p0
o

Rln

S

C
ln

Rln
p
V0
p
To
To
1)
Il calcolo di S° per gas reali non è mai semplice, ma, noto S°, il calcolo di S(T,p) in intervalli
ristretti di temperatura e pressione è semplicissimo, basta usare l’equazione 1).
Dalla tabella seguente si vede che le entropie molari standard dei gas sono intorno a 200 J/K,
quelle dei liquidi sono un po’ minori e quelle dei solidi cristallini sono molto minori. Si vede
anche che l’idrogeno ed i composti con molecole contenenti atomi di idrogeno hanno S° basso.
La ragione è che le vibrazioni degli atomi leggeri rimangono “congelate” anche a temperature
dell’ordine di 1000 K e contribuiscono poco al calore specifico, quindi all’entropia standard.
Infine si noti che il valore di S° per il vapore d’acqua va inteso come parametro senza
significato fisico diretto: per T=298 K non esiste il vapor d’acqua ad 1 bar ! Ma l’equazione 1),
con il valore di S° dato dalla tabella, consente di calcolare S(T, p) per pressioni con significato
fisico, ovvero minori della tensione di vapore a 298 K (circa 31 mbar).
Entalpia di formazione, potenziale di Gibbs di formazione ed
entropia di alcune sostanze in condizioni standard ( T=298 K, p=1 bar)
Sostanza DH  S°
kJ/mol
C (graf.)
Cl2 (g)
H2 (g)
N2 (g)
O2 (g)
Ti (c)
CH4 (g)
C2H2 (g)
CO (g)
CO2 (g)
J/Kmol
DG 
Sostanza
DH  S°
DG 
kJ/mol J/Kmol kJ/mol
kJ/mol
0
5.7
0
C6H5OH (l) -277.6 160.7 -174.8
0
222.9
0
0
130.5
0
0
191.5
0
0
205.0
0
0
30.6
0
-74.9
186.2
-50.8
226.8
200.8
209.2
-110.5
197.5
-137.5
-393.5
213.7
-394.4
CCl4 (l)
NH3 (g)
NO (g)
NO2 (g)
HCl (g)
H2O (g)
H2O (l)
TiO2 (c)
TiCl4 (l)
-135.4 214.4
-64.6
-46.2
192.6
-16.7
90.3
210.6
86.6
33.5
240.2
51.5
-92.3
186.8
-95.2
-241.8 188.7
-228.6
-285.8 70.1
-237.3
-943.9 50.3
-888.6
-804.2 252.4
-737.4
•
•
•
•
•
•
Note
alla
tabella
L’entropia S° è l’entropia assoluta della sostanza valutata per lo stato standard (virtuale nel
caso del vapor d’acqua) a partire dai dati sperimentali e tenendo conto della terza legge.
Per convenzione si pone uguale a zero l’entalpia di formazione di un elemento nello stato di
aggregazione più stabile in condizioni standard, specificato in parentesi.
L’entalpia di formazione DH° di un composto è la differenza tra l’entalpia standard del
composto nello stato di aggregazione specificato e le entalpie standard dei reagenti. Ad
esempio il metano può essere formato con la reazione C+2H2=CH4 condotta in una camera
con pareti flosce e conduttrici immersa in un ambiente standard. Il calore ceduto all’ambiente
quando viene prodotta una mole di metano vale 74.9 kJ, quindi DH°=- 74.9 kJ/mol.
Analogamente la reazione 2C+ H2 = C2H2 forma l’acetilene e assorbe dall’ambiente il calore
di 226.8 kJ per ogni mole formata, quindi l’acetilene ha DH°=226.8 kJ/mol.(L’acetilene è
un’ottima riserva di entalpia: nella reazione C2H2 +(5/2)O2=2CO2+H2O(g) i reagenti hanno
entalpia 226.8 kJ ed i prodotti hanno entalpia (–2x393.5-241.8) kJ, quindi la reazione eroga
1255 kJ/mol.)
Le entalpie molari di formazione non dipendono significativamente dalla pressione. Infatti il
prodotto pV è trascurabile rispetto all’energia di formazione per solidi e liquidi e dipende
poco dalla pressione per i gas (dipende solo dalla temperatura per i gas perfetti).
I potenziali di Gibbs di formazione riportati nelle tavole sono DG°= DH°- T° DS°, con DS°
differenza tra l’entropia standard del composto e quella dei componenti. Ad esempio per il
TiCl4 DG°= -804.2 kJ-298(0.2524-2x0.2229-0.0306) kJ=737.4. Quindi la colonna DG° delle
tavole potrebbe essere omessa senza perdita di informazione.
Quando dobbiamo valutare DG= DH-T° DS per un composto formato a pressione diversa da
quella standard partendo da elementi eventualmente a pressioni diverse da quella standard
dobbiamo tener presente che, mentre DH DH° con ottima approssimazione, DG è diverso da
DG° perché le entropie del composto e degli elementi dipendono dalla pressione.
Condizione di equilibrio chimico
Consideriamo un sistema in equilibrio metastabile a pressione p e temperatura T pensando che sia
contenuto in una camera con pareti flosce e conduttrici. E pensiamo che n1 moli
del componente A1 possano reagire con n2 moli del componente A2 per formare n3 moli
del componente A3 e n4 moli del componente A4, o viceversa, come indicato dalla scrittura
ν1A1  ν 2A2  ν3A3  ν 4A4
Pensiamo di conoscere i numeri di moli iniziali N10, N20, N30 ed N40 ed indichiamo con x
il grado di avanzamento della reazione tale che le variazioni dei numeri di moli siano
DN1   ν1ξ , DN2   ν 2ξ , DN3  ν3ξ , DN4  ν 4ξ
Naturalmente i potenziali chimici dei quattro componenti variano al variare di x, ma possiamo
essere certi che quando si stabilisce l’equilibrio chimico a temperatura e pressione uguali a
quelle iniziali il potenziale di Gibbs del sistema ha valore minimo, ovvero che per x  xeq+d x
dG è nullo al prim’ordine. Ciò comporta che, all’equilibrio, i potenziali chimici ed i numeri di
molecole sono legati dalla relazione
0  μ1dN1  μ 2dN2  μ3dN3  μ 4dN4  (μ1ν1  μ 2 ν 2  μ3ν3  μ 4 ν 4 )dξ
Quindi l’equilibrio chimico completo si stabilisce quando i potenziali chimici raggiungono
valori tali che
μ1ν1  μ 2 ν2  μ3ν3  μ 4 ν4
Insomma per descrivere l’equilibrio chimico di un sistema dobbiamo saper descrivere i potenziali
chimici dei reagenti e dei prodotti in funzione del grado di avanzamento della reazione, cosa tutt’altro
che facile in generale. Se poi le reazioni possibili sono tante……Ricordiamo infine che la variazione
di G tra lo stato metastabile iniziale e lo stato di equilibrio finale è il prodotto della temperatura per
l’entropia DSi creata dalla reazione.
Sistemi ideali
Sono di due tipi:
miscele di Dalton,
soluzioni diluite
In entrambi i casi si assume che il potenziale chimico del
k-esimo componente dipenda, oltre che dalla pressione totale
p° e dalla temperatura T, solo dalla concentrazione xk=pk/p°
del componente e si scrive
μ k T, p, x k   μk T, p  RT ln x k
Con tale approssimazione la condizione di equilibrio per la
reazione considerata nella precedente trasparenza risulta
xn3 3 xn4 4
n1μ1 T, p  n 2μ2 T, p n 3μ3 T, p n 4μ4 T, p  RT ln n n
x1 1 x2 2
Esprimendo le concentrazioni di equilibrio in funzione delle
concentrazioni iniziali e del grado di avanzamento possiamo
determinare il grado d’avanzamento e le concentrazioni d’equilibrio.
Esempio 6: equilibrio chimico
Una camera con pareti flosce e conduttrici, in equilibrio con l’ambiente esterno a p° e T°, contiene
inizialmente 1000 moli d’azoto, 300 d’ossigeno e 10 d’idrogeno. In presenza di un catalizzatore si
forma acqua. In quale stato d’aggregazione è l’acqua quando viene raggiunto l’equilibrio chimico?
Quali pressioni parziali raggiungono l’ossigeno, l’idrogeno ed il vapor d’acqua?
Se fossimo certi che non rimane idrogeno la risposta sarebbe immediata
pO2  p295/1305  226 mbar
, pH 2  0 , pH 2O  p 10/1305  7.66 mbar
Ciò assicura che la pressione parziale del vapore rimane ben minore della tensione di vapore,
quindi non si forma liquido. L’entalpia di formazione del vapor d’acqua non dipende dalla
pressione, infatti non ne dipendono sia DU, sia DpV) (in approssimazione gas perfetto). Ma le
entropie dei gas dipendono dalle pressioni parziali, valgono
SO 2  Rln
p
pO 2
, SH 2  R ln
p
pH 2
, SH 2 O  R ln
p
pH 2O
Ricordando che reagisce mezza mole di O2 per mole di H2 si ottiene l’entropia molare di formazione

p
p 1 p
ΔS  ΔS  R  ln
 ln
 ln
 pH O
p
2 pO 2
H2

2
p
pO 2

  ΔS  R ln H 2

p H 2 O p

Quindi il potenziale di formazione di Gibbs vale DG  DH - TDS  DG - RT ln
pH 2
pO 2
p H 2 O p
dove DG °=-228.6 kJ (vedi tabella). L’equilibrio chimico viene raggiunto per DG=0, ovvero quando
ln
pH 2
pO 2
p H 2 O p

228600
 92.2 
2479
p H 2  p H 2 O p O 2 /p e-92.2  3  10 40 mbar
Insomma, l’idrogeno scompare (pressioni minori di 10 -12 mbar sono difficilmente misurabili.)
Regola delle fasi di Gibbs
Pensiamo che un sistema chiuso abbia C sostanze componenti legate da R
reazioni chimiche e distribuite tra F fasi. In tal caso il numero di variabili
intensive indipendenti che individuano lo stato termodinamico di equilibrio vale
f  C-FR 2
Per convincercene cominciamo a notare che la regola funziona per C=1, R=0,
F 1  la pressione e la temperatura individuano lo stato di equilibrio.)
Poi notiamo che funziona per C=1, R=0, F2: in tal caso fissata la pressione,
è determinata la temperatura e viceversa. E funziona anche per C=1, R=0, F3:
non possiamo fissare alcuna grandezza intensiva.
In generale, dati C componenti distribuiti tra F fasi, oltre a p e T,
possiamo scegliere F(C-1) concentrazioni, ma l’equilibrio di distribuzione tra
le fasi richiede che i C potenziali di Gibbs siano uguali nelle diverse fasi, e ciò
fornisce C(F1 vincoli, inoltre l’equilibrio chimico delle R reazioni lega le
concentrazioni con R vincoli, quindi il numero di gradi di libertà risulta davvero
f  Φ(C  1)  C(Φ  1)  R  2  C  Φ  R  2
Naturalmente possiamo scegliere arbitrariamente anche una variabile estensiva,
ad esempio il volume, o il numero totale di moli, o l’energia, …..
Entropia di un sistema isolato
Un sistema isolato in equilibrio a temperatura T ha un unico livello energetico con
numero di microstati Ω quindi un microstato ha probabilità 1/ Ω e l’entropia vale
S  k B ln Ω
(equazione incisa sulla tomba di Boltzmann)
Si può pensare che il sistema passi in continuazione da un microstato all’altro e che
1/ Ω sia la frazione di tempo spesa in ciascun microstato. Si noti che il numero
complessivo di microstati di due sistemi isolati è il prodotto dei due numeri di
microstati, in pieno accordo con il fatto che l’entropia è la somma delle due entropie.
Si noti anche che il numero di microstati di un sistema macroscopico è enorme, ad
esempio una mole di idrogeno isolata a pressione di 1 bar e temperatura 298 K ha
entropia S=130.5 J/K, quindi ha numero di microstati pari a
Ωe
S
kB

N AS
e R
e
9.410 24
Infine domandiamo: quanti bits sono necessari per individuare un microstato tra Ω
microstati equiprobabili? La risposta è log2 Ω e differisce dall’entropia solo per un
fattore di scala. Ciò induce ad interpretare l’entropia come informazione mancante
per dare una descrizione microscopica completa del sistema.
.