Relazione tra i numeri quantici n, l ed m
Schema dell’esperimento di Stern
e Gerlach.
Dualismo onda-particella

E  m  c 2

h
h
 E  h     
p
mv

c
 


Dualismo onda-particella

E  m  c 2

h
h
 E  h     
p
mv

c
 


Palla da golf: m = 45,0 g v = 30 m∙s–1 :
6,626  10 34 j  s
h
34



4
,
9

10
m
m  v (45,0  10 3 kg)  (30,0 m  s 1 )
Dualismo onda-particella

E  m  c 2

h
h
 E  h     
p
mv

c
 


Palla da golf: m = 45,0 g v = 30 m∙s–1 :
6,626  10 34 j  s
h
34



4
,
9

10
m
m  v (45,0  10 3 kg)  (30,0 m  s 1 )
Elettrone nella 1° orbita dell’atomo di idrogeno:
m  9,11  1031 kg v  2,19  106 m  s 1
6,626  10 34 j  s
h
10



3
,
3

10
m
m  v (9,11  10 31 kg)  (2,19  10 6 m  s 1 )
Principio di Indeterminazione di Heisenberg
Non è possibile determinare simultaneamente e con uguale
precisione posizione e momento di una particella:
h
p  x 
4
Principio di Indeterminazione di Heisenberg
Non è possibile determinare simultaneamente e con uguale
precisione posizione e momento di una particella:
h
p  x 
4
Per determinare con una certa esattezza la posizione dell’elettrone si potrebbe
pensare di localizzarlo entro 10-12 m.
p  x 
h
4
Principio di Indeterminazione di Heisenberg
Non è possibile determinare simultaneamente e con uguale
precisione posizione e momento di una particella:
h
p  x 
4
Per determinare con una certa esattezza la posizione dell’elettrone si potrebbe
pensare di localizzarlo entro 10-12 m.
p  x 
h
4
6,626  10 34 j  s
h
23
1
23
1
p 


5
,
3

10
j

s

m

5
,
3

10
kg

m

s
4    x
4    10 12 m
p 5,3  10 23 kg  m  s 1
7
1
v 


5
,
8

10
m

s
m
9,11  10 31 kg
Equazione di Schrödinger
Nel 1926 E. Schrödinger propose un modello ondulatorio per la
descrizione del comportamento di un elettrone nell’atomo di idrogeno.
Equazione di Schrödinger
Nel 1926 E. Schrödinger propose un modello ondulatorio per la
descrizione del comportamento di un elettrone nell’atomo di idrogeno.
Le onde si dividono in onde progressive e stazionarie a seconda che la
loro ampiezza sia funzione dello spazio e del tempo o solo dello spazio.
Equazione di Schrödinger
Nel 1926 E. Schrödinger propose un modello ondulatorio per la
descrizione del comportamento di un elettrone nell’atomo di idrogeno.
Le onde si dividono in onde progressive e stazionarie a seconda che la
loro ampiezza sia funzione dello spazio e del tempo o solo dello spazio.
Esempio di onda
progressiva.
Esempio di onda stazionaria.
Le onde stazionarie sono quelle la
cui ampiezza dipende solo dalle
coordinate spaziali x, y e z.
Vibrazioni di una
corda di chitarra fissa
alle due estremità.
a) corda di
lunghezza d a riposo;
b) n=1: vibrazione
fondamentale;
c) n=2: prima
armonica;
d) n=3: seconda
armonica.
Schrödinger descrisse il comportamento di un elettrone orbitante
attorno al nucleo come quello di un’onda stazionaria.
Schrödinger descrisse il comportamento di un elettrone orbitante
attorno al nucleo come quello di un’onda stazionaria.
Propose, quindi, un’equazione, detta equazione d’onda con la
quale rappresentare l’onda associata all’elettrone.
Schrödinger descrisse il comportamento di un elettrone orbitante
attorno al nucleo come quello di un’onda stazionaria.
Propose, quindi, un’equazione, detta equazione d’onda con la
quale rappresentare l’onda associata all’elettrone.
Tale onda potrebbe essere immaginata come ottenuta dalla
vibrazione di una corda chiusa su se stessa:
2r = nλ
dove n = 1, 2, 3, …
Onde stazionarie circolari:
a) n=5; b) n=6.
Le soluzioni di questa equazione, dette funzioni d’onda , non hanno
un definito significato fisico, ma ad esse è associato un ben determinato
valore dell’energia da confrontare con i valori ricavati
sperimentalmente.
Le soluzioni di questa equazione, dette funzioni d’onda , non hanno
un definito significato fisico, ma ad esse è associato un ben determinato
valore dell’energia da confrontare con i valori ricavati
sperimentalmente.
Matematicamente esistono infinite soluzioni di tale equazione.
Soltanto alcune, finite, soluzioni (autofunzioni) soddisfano determinati
requisiti (vincoli) e sono, quindi, accettabili.
Le soluzioni di questa equazione, dette funzioni d’onda , non hanno
un definito significato fisico, ma ad esse è associato un ben determinato
valore dell’energia da confrontare con i valori ricavati
sperimentalmente.
Matematicamente esistono infinite soluzioni di tale equazione.
Soltanto alcune, finite, soluzioni (autofunzioni) soddisfano determinati
requisiti (vincoli) e sono, quindi, accettabili.
In particolare, i vincoli della funzione d’onda  possono esser così
riassunti:
1) continua e finita
2) ad un sol valore in ogni punto dello spazio
3) deve tendere a 0 all’infinito
4) deve soddisfare la condizione di normalizzazione: ∫ 2dV = 1.
 2 d 2


V   E 
2
2 m dx
soluzioni:
2
2
1
2 2
1
2
2m E

 x
2
a
8 m a2
 
 

Un'onda stazionaria ha alle pareti un'ampiezza uguale a 0 e perché questo
si verifichi la distanza a deve essere un multiplo intero di metà della
lunghezza d'onda:

h
an


essendo inoltre
si ha:
2
mv
nh
h
an
 mv
2mv
2a
E
n h
1
E  m v2
2
e
    sen 
1 m 2v 2

2 m
1 n2h2

2 4 a 2m

n2h2
8 m a2
Il movimento dell’elettrone orbitante attorno al nucleo è tridimensionale, per
cui è caratterizzato da tre costanti, dette numeri quantici, indicate con n, l ed m.
Il movimento dell’elettrone orbitante attorno al nucleo è tridimensionale, per
cui è caratterizzato da tre costanti, dette numeri quantici, indicate con n, l ed m.
Relazione tra i numeri quantici