Il fascino dell’attrattore
A cura di: Argentini, Cirocchi, Di
Girolamo, Fagiani, Lunardini,
Palenga, Romani,Tissi.
LICEO SCIENTIFICO “R. DONATELLI”
Con la collaborazione della
prof.ssa Mara Massarucci
Che cos’è un frattale?
"Figura geometrica o oggetto
naturale con una parte della sua
forma o struttura che si ripete a
scala differente, con forma
estremamente irregolare
interrotta e frammentata a
qualsiasi scala e con elementi
distinti di molte dimensioni
differenti".
Benoit Mandelbrot (les objects fractales,1989)
Che cos’è un frattale?
Autosimilitudine: cioè
ingrandendo un qualsiasi tratto di
curva si visualizzerà ancora un
insieme ricco di particolari e
complesso come il precedente. Da
tale proprietà scaturiscono due
caratteristiche:
le curve frattali pur
essendo continue non
ammettono una unica
tangente in un punto
presi due punti della
curva, anche se vicini
tra loro, la loro
distanza è sempre
infinita.
Teorema di Caccioppoli
Sia T una trasformazione insieme-insieme,
generata da una trasformazione geometrica .
Se  è una contrazione, allora esiste una
unica figura ATTRATTORE
tale che
F
F = T( F )
Inoltre, fissata comunque una figura
start F0, la successione delle figure
iterate
F0
F
start
n+1=T(Fn)
n=0,1,2…
costituisce una “approssimazione” della
figura F, che migliora ad ogni passo.
Verifica del teorema
 A partire da quattro differenti
moduli geometrici (start) e
applicando n volte le stesse
iterazioni, costruiremo quattro
frattali.
Ad ogni passo successivo le figure
ottenute dovrebbero, secondo il
teorema di Caccioppoli, apparire
sempre più simili, fino a poterle
considerare uguali. La figura finale
costituisce l’ATTRATTORE, comune in
tutti e quattro i casi.
Verifica del teorema
PASSO 1
Procedure trasforma
x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);
y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l);
...
putpixel (puntox(X1),puntoy(Y1),2);
...
Avvio
programma
Applicando tre semplici trasformazioni
ad un punto (start) possiamo dar vita
al primo frattale, in questo caso una
felce.
Verifica del teorema
PASSO 2
Procedure trasforma
x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);
y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l);
...
circle(puntox(X1),puntoy(Y1),r);
...
Avvio
programma
Modifichiamo il programma semplicemente
cambiando lo start in un cerchio.
Verifica del teorema
PASSO 3
Procedure trasforma
x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);
y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l);
...
triangle (puntox(X1),puntoy(Y1),r);
...
Avvio
programma
Cambiamo ulteriormente lo start in un
triangolo.
Verifica del teorema
PASSO 4
Procedure trasforma
x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);
y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l);
...
square (puntox(X1),puntoy(Y1),r);
...
Avvio
programma
Questa volta poniamo come start
quadrato.
un
Verifica del teorema
CONCLUSIONI
Procedure trasforma
x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);
...
putpixel (puntox3(X1),puntoy3(Y1),2);
circle
(puntox2(X1),puntoy2(Y1),r1);
...
Avvio
programma
Per riepilogare abbiamo voluto
realizzare questo programma che, in una
stessa schermata, mostra come da
quattro start, attraverso le stesse
trasformazioni, si arriva allo stesso
ATTRATTORE!