Algebra e logica
Ragionare,
simbolizzare,
rappresentare
Algebra alla primaria: sì o no?
Teorie del gap cognitivo (Filloy e Rojano, 1989;
Herscovics e Linchevski, 1994). Aritmetica e
algebra sono fondate su processi cognitivi
diversi. I bambini della primaria possono
risolvere problemi contenenti incognite, come
"5 + ? = 8", ma ricorrendo a strategie
elementari di conteggio o all’operazione
inversa, senza rappresentarsi le incognite e
senza operare su di esse. Tutto ciò che si può
fare è prevedere contenuti di “pre-algebra”
mirati a sfumare e a rendere meno brusca la
cesura tra le due discipline.
Approccio dell’algebrizzazione del curricolo
Algebra alla primaria: sì o no?
E' fattibile?
I bambini dai dai 6 agli 11 anni sono in grado di
comprendere intuitivamente alcune proprietà
astratte delle operazioni aritmetiche, di
risolvere semplici equazioni usando diverse
strategie, di leggere il grafico di una funzione
lineare, di costruire un’idea intuitiva di
funzione, persino di usare il simbolismo
algebrico.
E' desiderabile?
1) Meno difficoltà nel transitare all’algebra e nel
familiarizzarsi coi concetti di variabile, di
funzione, di relazione invariante
Contenuti algebrici e logici nella scuola
primaria
1.
2.
3.
4.
Identificare regolarità e forme che si
ripetono;
Comprendere intuitivamente i concetti di
relazione e funzione e saperli riconoscere;
Saper usare diversi tipi di rappresentazioni
simboliche, numeriche e grafiche;
Comprendere intuitivamente i concetti di
variabile e di equazione.
Moduli che si ripetono



In una sequenza di
elementi che si
ripetono con
regolarità, il modulo è
la più piccola stringa
di elementi che si
ripete
In terza, i bambini
avranno fatto molte
esperienze con le
sequenze e i moduli
Se ciò non è
avvenuto, conviene
iniziare da lì
Che succederà
dopo?
Sequenze in griglia

Le sequenze
possono essere
rappresentate,
invece che in
modo lineare, in
una griglia con un
numero di colonne
prefissato
Simboli in
griglia
Successioni crescenti


Costruire successioni
crescenti con materiali
strutturati e poi riportarle
su carta quadrettata (le
successioni possono
crescere rapidamente, i
materiali si esauriscono!)
Dalla costruzione di
successioni è opportuno
passare alla
considerazione del
rapporto tra il numero di
oggetti presenti in un
passo e quelli presenti nel
successivo
Estendi e
spiega
Quanti sono?
Rapporti ricorsivi e funzionali



Far accompagnare lo sviluppo
di una successione da una
tabella in cui a ciascun passo è
associato il corrispondente
numero di oggetti
RAPPORTO RICORSIVO: nella
successione in figura, il numero
di oggetti in ciascun passo si
ottiene da quelli del passo
precedente aggiungendo
numeri pari successivi
RAPPORTO FUNZIONALE: è una
regola che consente di trovare
il numero di oggetti in funzione
del numero del passo.
Dalla figura al rapporto funzionale
Trova la funzione
Successioni numeriche
1,2,2,3,3,3,…
Ripeti ogni cifra in base al
suo valore
2,4,6,8,10,…
Conta per due
1,2,4,8,16…
Raddoppia il numero
precedente
1,3,7,15…
Raddoppia il numero
precedente e aggiungi 1
1,2,4,7,11,16…
Aggiungi 1, poi 2, poi 3…
2,2,4,6,10,16…
Somma i due numeri
precedenti
Avete mai notato che…
3x3=9
4x2=8
4x4=16
5x3=15
5x5=25
6x4=24
6x6=36
7x5=35
7x7=49
8x6=48
8x8=64
9x7=63
A cosa serve una variabile?
1.
2.
3.
Ad indicare un’incognita: es. 3x + 2 = 5
(nelle prime classi, si usa spesso il
quadratino al posto della x)
Per enunciare proprietà valide per tutti i
numeri di un certo dominio: es. a + b =
b + a, per tutti i numeri naturali a,b.
Per indicare una variazione dipendente:
es. in y = 3x + 5 la y varia al variare
della x.
Errori sulle variabili
1.
2.
3.
4.
Le variabili sono abbreviazioni;
Le variabili assumono valori in base alla
loro posizione nell'alfabeto (a = 1, b =
2...)
Due variabili diverse non possono mai
assumere lo stesso valore
Occorrenze diverse di una variabile
possono assumere valori diversi
Variabili come incognite e mezzi per
esprimere proprietà universali
Il mago dei numeri
Cosa è vero per
tutti?
Dalla storia
all’equazione
Quantità speciali
Equazioni: l’ostacolo di base



In 3 + 2 = 5, l’espressione a sinistra
dell’= e quella a destra indicano la stessa
quantità
I bambini, però, interpretano quella a dx
come una quantità, quella a sx come un
comando (“aggiungi 2 al 3”)
In questo modo, si ha difficoltà a capire
che 3 + 2 è solo un altro modo di
denotare il 5
La fallacia dell'uguale
La fallacia dell'uguale
Equazioni: l’approccio “balance-pan”




Sfidare i bambini a
trovare più modi diversi
per esprimere lo stesso
numero, es. 6 e 8-2
Disegnare una bilancia
con delle espressioni
numeriche e chiedere
quale piatto “andrà giù”
perché più pesante
Scrivere la
(dis)uguaglianza
corrispondente, usando =,
<, >
Passare alle variabili
(3x8):2
2x6
Equilibrio (3x8):2 = 2x6
(3x9):5
6x8
Inclinazione (3x9):5 < 6x8
[] + 3
Prova [] = 5: inclinazione!
Prova [] = 3: equilibrio!
2x[]