Metodi Matematici per l’Economia
Prof. Antonio Carbone
Corso di Laurea in Economia Aziendale
Disciplina
Settore Disciplinare
Metodi Matematici per Economia
SECS-S/06 – Metodi Matematici dell’Economia e delle
Scienze Attuariali e Finanziarie
Il corso intende fornire agli studenti le conoscenze di base
Obiettivi Formativi
degli strumenti di Matematica che sono di largo utilizzo
nello studio e nelle applicazioni dell’Economia e della
Finanza.
Numero crediti
5+5
Propedeuticità
Nessuna
Modalità di svolgimento del Lezioni frontali ed esercitazioni per complessive ore 60 (30
corso
per il Modulo 1 e 30 per il Modulo 2)
Modalità di svolgimento dell'esame
1. L'esame consta di due parti: una prova scritta ed una prova orale.
2. La prova scritta ha la durata di 90 minuti: durante il suo svolgimento non é consentito di
uscire dall'aula per nessun motivo ed é consentito di ritirarsi entro 15 minuti dall'inizio
della prova stessa.
Durante la prova é consentito l'uso di un testo istituzionale e degli appunti di lezione. Non
é consentito l'uso di eserciziari e di calcolatrici grafiche.
Modalità di svolgimento
dell’esame e valutazione
3. Il superamento della prova scritta consente di sostenere l'esame orale unicamente
nell'appello al quale si riferisce la prova stessa.
4. Lo studente deve presentarsi sia alla prova scritta che a quella orale con un valido
documento di riconoscimento e con libretto universitario (se ne è già in possesso); in caso
contrario sarà escluso dalla prova stessa.
5. I compiti con esito negativo possono essere presi in visione solo dallo studente
interessato unicamente in una riunione appositamente fissata ed indicata contestualmente
agli esiti della prova scritta. Dopo tale riunione, gli elaborati vengono cestinati.
Eventuali osservazioni sulle prove scritte sufficienti potranno essere fatte durante la prova
orale.
6. Gli orali si svolgono in ordine alfabetico, a partire da una lettera estratta a sorte durante
la prova scritta. La lettera estratta verrà comunicata assieme ai risultati della prova scritta.
Alla fine della prova orale, all'atto della firma del verbale, lo studente é pregato di
controllare la completezza e l'esattezza del verbale stesso.
Contenuti del corso
Il corso è diviso in due moduli, ciascuno articolato in 30 ore di lezione frontale. Il primo
modulo è propedeutico al secondo.
Contenuti
Prerequisiti (argomenti trattati nel corso di Recupero dei debiti formativi nell’area logicomatematica)
Insiemi
Specificazione di un insieme - Eguaglianza fra insiemi - Insieme vuoto - Operazioni fra
insiemi: unione, intersezione, inclusione - Differenza fra due insiemi - Complementare di
un insieme - Insiemi disgiunti - Insieme delle parti di un insieme - Prodotto cartesiano di
due insiemi.
Numeri
Cenni sui numeri naturali, interi, razionali - Irrazionalità di
Intervalli della retta reale.
- I numeri reali -
Nozioni di topologia su R
La retta reale - La retta reale ampliata - Intervalli - Intorno di un punto - Intorno circolare Intorno bucato - Punto di accumulazione - Insiemi inferiormente limitati, superiormente
limitati, limitati - Estremo inferiore ed estremo superiore di un sottoinsieme di numeri reali
- Caratterizzazione dell'estremo inferiore e dell'estremo superiore di un sottoinsieme di
numeri reali - Massimo e minimo di un sottoinsieme di numeri reali.
Funzioni reali di una variabile reale
Definizione di funzione - Dominio e codominio - Funzioni iniettive, suriettive, biiettive Funzioni inferiormente limitate, superiormente limitate, limitate - Restrizione di una
funzione - Massimi e minimi relativi e assoluti.
Funzioni elementari: funzione di Kronecher - Funzione valore assoluto - Funzione
razionale intera di 1° grado e forme particolari (funzione identica, funzione costante) Funzione razionale intera di 2° grado - Funzione potenza n-esima - Funzioni
trigonometriche.
Funzioni strettamente crescenti, crescenti, strettamente decrescenti, decrescenti - Funzione
composta - Funzione esponenziale - Funzione logaritmica - trigonometriche.
Disequazioni.
Testi di riferimento
•
E.Allevi-M.I.Bertocchi-C.Birolini-G.Carcano-A.Gnudi-S.Moreni,
Manuale
Modulare di Metodi Matematici, Modulo 1 Calcolo a cura di Stefania Moreni,
G.Giappichelli Editore, Torino 2001.
•
E.Allevi-M.I.Bertocchi-C.Birolini-G.Carcano-A.Gnudi-S.Moreni,
Manuale
Modulare di Metodi Matematici, Modulo 2 Insiemi e spazi numerici a cura di Claudio
Birolini, G.Giappichelli Editore, Torino 2001.
Primo Modulo: Elementi di analisi combinatoria -Principio di induzione - Successioni numeriche
– Serie numeriche – Algebra lineare.
Elementi di analisi combinatoria
Disposizioni, permutazioni, combinazioni; coefficienti binomiali; sviluppo della potenza di
un binomio.
Principio di induzione
Successioni numeriche
Definizione di successione, esempi, ricostruzione del termine generale di una successione,
rappresentazioni grafiche; successioni definite per ricorrenza: successioni aritmetiche,
successioni geometriche, proprietà grafiche, interesse semplice, interesse composto;
successioni monotone, successioni limitate; comportamento asintotico di una successione,
esempi per via grafica, concetto di limite, successioni convergenti, divergenti, irregolari,
operazioni con i limiti, limite di polinomi e del rapporto di polinomi; limite di successioni
monotone, limite di successioni aritmetiche e geometriche; il numero e.
Serie numeriche
Definizione di serie, convergenza, esempi, serie geometriche e numeri periodici, qualche
criterio di convergenza per le serie a termini non negativi e convergenza delle serie a segni
alterni; applicazioni: valore attuale di una rendita.
Algebra lineare
R
n
- Vettori di
R
n
n
- Operazioni di somma fra vettori di R e di prodotto di
n
uno scalare per un vettore di R .
Spazi vettoriali - Sottospazi vettoriali.
Vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti.
Generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
Matrici - Matrici particolari - Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare,
prodotto fra due matrici.
Lo spazio
Determinanti - Calcolo di un determinante con la 1a regola di Laplace.
Inversa di una matrice.
Rango di una matrice - Teorema di Kronecker.
Sistemi lineari: compatibilità e determinatezza - Teorema di Rouchè-Capelli - Regola di
Cramer.
Sistemi omogenei - Sistemi parametrici.
Applicazioni lineari - Matrice associata ad un'applicazione lineare.
Immagine, nucleo di un'applicazione lineare - Il teorema delle dimensioni.
Applicazioni lineari iniettive, surettive - Isomorfismi - Endomorfismi.
Autovalori, autovettori, autospazi.
Secondo Modulo: Limiti di funzioni reali di una variabile reale – Funzioni continue - Calcolo
differenziale per funzioni reali di una variabile reale - Calcolo integrale - Elementi di calcolo
differenziale per funzioni di due (o più di due) variabili.
Limiti di funzioni reali di una variabile reale
Definizione di limite di una funzione in un punto - Definizione di funzione divergente
(negativamente, positivamente) in un punto.
Teorema di unicità del limite - Limiti laterali - Condizione necessaria e sufficiente per
l'esistenza del limite di una funzione in un punto.
Algebra dei limiti: limiti di somma, prodotto, quoziente.
Funzioni infinitesime, funzioni infinite - Principio di sostituzione degli infinitesimi Principio di sostituzione degli infiniti.
Limiti di forme indeterminate per la somma, la differenza, il prodotto, il quoziente di
funzioni.
Confronto fra funzioni infinitesime, confronto fra funzioni infinite - I simboli di Landau:
"o" e "~ ".
Teorema della permanenza del segno - Teorema del confronto - Limiti notevoli Relazioni asintotiche - Uso delle relazioni asintotiche nel calcolo dei limiti.
Funzioni continue
Definizione di funzione continua in un punto e di funzione continua in un intervallo L'insieme C°([a, b]).
Continuità della combinazione lineare di due funzioni continue - Continuità del prodotto e
del quoziente di due funzioni.
Discontinuità di una funzione - Classificazione dei punti di discontinuità.
Teorema globali sulle funzioni continue: 1° Teorema di Weierstrass (sui valori intermedi) 2° Teorema di Weierstrass (di limitazione globale o di esistenza dei massimi e minimi
assoluti) - Teorema di Bolzano (degli zeri) - Continuità della funzione composta.
Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale
Definizione di derivata - Interpretazione geometrica - Derivata sinistra e derivata destra Legame tra derivabilità e continuità di una funzione in un punto - Retta tangenteDerivata delle funzioni elementari - Algebra delle derivate - Derivate successive - Derivata
di funzioni composte.
Legami fra il segno della derivata prima e la monotonia di una funzione.
Crescenza e decrescenza di una funzione - Massimi e minimi relativi interni.
Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti cuspidali, punti a tangente verticale.
Caratterizzazione dei massimi e minimi locali relativi.
Studio delle forme indeterminate: i teoremi di De L'Hospital.
Calcolo integrale
Primitive di una funzione - Metodi di integrazione: per decomposizione in somma, per
parti, per sostituzione.
Integrale definito e sua interpretazione geometrica – Legame fra integrale definito e
integrale indefinito.
Calcolo differenziale per funzioni reali di due (o più di due) variabili reali
Dominio, linee di livello, curve di indifferenza; limiti di funzioni in più variabili, derivate
parziali e differenziale: equazione del piano tangente (cenni); condizioni necessarie del
primo ordine per la determinazione dei massimi e minimi, esempi di soluzione di
problemi di ottimizzazione libera e vincolata.
Bibliografia d’esame
Testi consigliati e bibliografia di riferimento
L.Scaglianti-A.Torriero, Matematica, Metodi e Applicazioni, Cedam, Padova 2000.
M.Scovenna-A.Grassi, Matematica, Esercizi e temi d’esame completamente risolti, Cedam,
Padova 2000.
L.Peccati–S.Salsa–A.Squellati, Matematica, per l’Economia e l’Azienda, Egea, Milano 2001.
G.Anichini-G.Conti, Calcolo 1, Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna 1996.
G.Anichini-G.Conti, Calcolo 2, Algebra lineare e geometria analitica, Pitagora Editrice, Bologna
1993.
G.Anichini-G.Conti, Calcolo 3 Funzioni di più variabili e modelli matematici Pitagora Editrice,
Bologna 1993.
V.Aversa, Metodi quantitativi delle decisioni, Liguori Editore, Napoli 2000.
V.Aversa-E.Melis, Appunti di Matematica-Introduzione ai corsi di Matematica di primo anno,
Cedam, Padova 1991.
G.C.Barozzi- C.Corradi, Matematica generale per le scienze economiche, il Mulino, Bologna
1998.
M.Bertocchi-S.Stefani-G.Zambruno, Matematica per l'economia e la finanza, McGraw-Hill
Italia, Milano 1992.
A.Guerraggio, Matematica Generale, Bollati Boringhieri, Torino 1998.
A.Carbone-V.Marino, Esercizi di Algebra lineare e geometria, Pàtron Editore, Bologna 1984.
G.Conti-R.Rossi, 100 funzioni di esame risolte, Pitagora Editrice, Bologna 1992.
F.Modesti-E.Salinelli-M.Vignati, Matematica Generale, Esercizi e complementi, Giappichelli
Editore, Torino 1995.
Il numero delle ore a disposizione e gli obiettivi del corso impongono contenuti e
metodologie che solo in parte di possono ritrovare sui testi indicati. Pertanto si potrà fare
riferimento alle dispense delle lezioni del docente che saranno rese disponibili di volta in
volta.