Combining different
theoretical perspectives for
analyzing students’ difficulties
in vector spaces theory
Mirko Maracci
Focus 1: difficoltà degli studenti
relativamente a TSV
The teaching of linear algebra at a university
Perché?
level is almost regarded as a frustrating experience
for instructors and students alike (Hillel 2000, p. 191).




Algebra lineare (e TSV): insegnamento diffuso nei CdL
scientifici
Difficoltà degli studenti: esperienza/percezione comune
“Scarso interesse” dei ricercatori
Mancanza di prove sperimentali
there is not […] a body of research that provides evidence that
would convince a sceptic of the lack of success of linear
algebra courses (Dubinsky, 1997)
Focus 1: difficoltà degli studenti
relativamente a TSV
1. Approccio assiomatico
tipicamente
 Nozioni di base di teoria degli spazi
vettoriali:seguito
base,
vettori linearmente (in)dipendenti, nell’insegnamento
generatori,
Clinical method because its flexibility
is highly di diversi
2.
Coesistenza
dimensioni.
appropriate for discovering and identifying
linguaggi,cognitive
sistemi di
processes and for uncovering phenomena,
providing modi
rappresentazione,
rich descriptions and generating hypotheses
di descrizione
 Studenti universitari e post-universitari
3. Necessità di sviluppare
“pensiero teorico” e
“flessibilità
 Interviste cliniche (Ginsburg, Swanson
et al.,cognitiva”
Cohen &
Manion)
(Dorier e Sierpinska, 2001)
Focus 1: difficoltà degli studenti
relativamente a TSV
Obiettivi:


Documentare difficoltà e errori legati a specifiche
nozioni di TSV
Individuare concezioni “responsabili” delle difficoltà e
degli errori documentati
refer to the variety of possible points of
view on a single mathematical object
(Artigue, 1991)
Focus 1: difficoltà degli studenti
relativamenteseau=αTSV
u + α u + ∙∙∙ + α
1 1




2
2
5
u, u , u sono linearmente
u5 ,
1
2
Una combinazione lineare ed i vettori
che
la
definiscono sono tra
indipendenti?
loro dipendenti o indipendenti?
u= α1ulinearmente
1+ α2 u2+ ∙∙∙ + α5 u5,
Una combinazione lineare di cinquesevettori
essere
indipendenti può essere scritta comepuò
combinazione
lineare di
u=β1v1+ β2 v2+ ∙∙∙ + β4 v4 ?
quattro (o tre) vettori linearmente indipendenti?
Quale dimensione deve aver uno spazio vettoriale che contiene
una combinazione lineare di un certo numero di vettori
linearmente indipendenti?
Come si possono scegliere i generatori di uno spazio vettoriale
che contiene una data combinazione lineare?
means to transform a commonsensical problem
into a researchable problem
Focus 2: quadri teorici
lens to analyze data and produce results of
research on a problem


(Silver & Herbst 2007)
Quadro concettuale di riferimento?
Perché?
 Analizzare/interpretare
fenomeni didattici
 Descrivere fenomeni didattici
 Individuare fenomeni didattici
Teorie come
strumenti
che mediano tra
ricerca e problemi
Quali teorie scegliere?
Come sceglierle? Perché?
Focus 2: quadri teorici
I principali quadri teorici di riferimento:
 Teoria dei modelli intuitivi taciti (Fischbein)
 Modello ckc: concezione – conoscenza – concetto
(Balacheff)
 Dualità processo/oggetto (Sfard)
La scelta della cornice teorica non fu fatta totalmente
a-priori, né imposta a posteriori sui dati, ma parallelamente
al progredire della ricerca (primi dati raccolti, prime analisi)
Conclusioni


Le analisi condotte secondo i diversi quadri teorici
contribuiscono a gettar luce su errori e difficoltà da diverse
angolazioni, e permettono di descriverli/le ed organizzarli/le in
sistemi dotati di una propria coerenza interna.
È possibile una sintesi tra i
diversi
“The different perspectives and
the contributi?
corresponding different
explanations usually answer different
questions and are useful
È desiderabile?
under different circumstances. The more perspectives and the
more explanations, the deeper the understanding of the
phenomenon under study.” (Leron, 2005).
E ora ?

Didattica dell’algebra lineare…

Teorie. Ruolo delle teorie. Dialogo tra contributi
provenienti da diverse impostazioni teoriche…
Mentre un confronto epistemologico tra
discorsi richiede la presenza di un
insieme di concezioni comuni ai
parlanti ampio e impegnativo
l’ermeneutica coglie le relazioni tra i vari
discorsi, come tra le linee di una
possibile conversazione, una
conversazione che non presuppone
matrici disciplinari comuni ai parlanti,
ma fin che dura mantiene la speranza
dell’accordo. Questa speranza non
punta alla scoperta di un terreno
comune esistente in precedenza, ma
semplicemente all’accordo, o almeno a
un disaccordo stimolante e fruttuoso
(Bagni 2009, Rorty 2004)