Indice
1 Introduzione e problematica
5
1.1
L’insegnamento dell’algebra lineare a livello universitario . . . . . . .
6
1.2
Ricerche in didattica nel campo dell’algebra lineare . . . . . . . . . .
7
1.3
Obiettivi di ricerca: una prima formulazione . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
La scelta dei paradigmi teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5
Sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 Stato dell’arte
2.1
2.2
2.3
13
La natura dell’algebra lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.1
Analisi storico-epistemologica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.2
L’ostacolo del formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.3
I linguaggi ‘geometrico’, ‘algebrico’ e ‘astratto’ . . . . . . . .
18
Le caratteristiche del pensiero in algebra lineare . . . . . . . . . . . .
20
2.2.1
Pensiero teorico vs pensiero pratico . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.2
Modi di pensare sintetico-geometrico, analitico-aritmetico e
analitico-strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
L’insegnamento dell’algebra lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.1
Principi di insegnamento/apprendimento e loro violazione . .
25
2.3.2
Il livello ‘mèta’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3.3
La dimensione geometrica nell’insegnamento dell’algebra lineare. 28
2.4
Concept-image in algebra lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.5
Un bilancio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3 Quadri teorici
3.1
Modelli intuitivi taciti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
2
INDICE
3.2
3.3
3.4
3.1.1
Ruolo e caratteristiche dei modelli intuitivi taciti . . . . . . .
34
3.1.2
Vari tipi di modelli intuitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Modello ck/c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.1
Concezioni, conoscenze e concetti . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2.2
Concezioni e soluzione di problemi . . . . . . . . . . . . . . .
40
Dualità processo/oggetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.3.1
La formazione dei concetti matematici . . . . . . . . . . . . .
42
3.3.2
Dualità processo/oggetto e processi cognitivi . . . . . . . . .
43
3.3.3
Quadri teorici correlati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Domande di ricerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4 Metodologia
49
4.1
Analisi dei manuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.2
Osservazione dei comportamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2.1
Il metodo clinico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2.2
I soggetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.2.3
I problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.2.4
Valutazione a priori della preparazione dei soggetti . . . . . .
56
5 Analisi di testi universitari
59
5.1
L’approccio antropologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.2
Metodologia di analisi dei manuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.3
Classificazione dei types de tâche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.4
L’analisi dei manuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.4.1
Marco Abate: Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.4.2
Silvana Abeasis: Elementi di algebra lineare e geometria . . .
91
5.4.3
Serge Lang: Algebra Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5
Sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6 Analisi a priori
123
6.1
Problema: Esistenza sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2
Problema: Dipendenza/indipendenza lineare in R n . . . . . . . . . . 133
6.3
Problema: Dipendenza/indipendenza lineare e ambiente grafico . . . 136
6.4
Problema: Esistenza sottoinsieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5
Collocazione istituzionale dei problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
INDICE
6.6
3
Alcuni risultati delle interviste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.6.1
Problemi: Dipendenza/indipendenza lineare . . . . . . . . . . 141
6.6.2
Problema: Esistenza sottoinsieme . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 Presentazione dei risultati della fase sperimentale
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Tâche: Dipendenza lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.1.1
Lau – medium high – FC I anno – 2003 . . . . . . . . . . . . 146
7.1.2
Car – medium – dottorando – 2003 . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.1.3
Nic – high – IV anno – 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.1.4
Tom – medium high – I anno – 2003 . . . . . . . . . . . . . . 150
Tâche: Combinazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2.1
Nic – high – IV anno – 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2.2
Aur – medium high – I anno – 2002 . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2.3
Sab – medium – I anno – 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2.4
Lau – medium high – FC I anno – 2003 . . . . . . . . . . . . 156
Tâche: Dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3.1
Enr – medium high –I anno – 2002 . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3.2
Sab – medium – I anno – 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.3
Ram – low – dottorando – 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.4
Ema – medium – I anno – 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Tâche: Generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.4.1
Aur – medium high – I anno – 2002 . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4.2
Sab – medium – I anno – 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4.3
Ema – medium – I anno – 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.4.4
Ram – medium – dottorando – 2003 . . . . . . . . . . . . . . 166
Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8 Analisi dei risultati
8.1
143
Modelli intuitivi
169
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.1.1
Attivazione di modelli taciti paradigmatici . . . . . . . . . . . 170
8.1.2
Spazi vettoriali Rn nei manuali analizzati . . . . . . . . . . . 172
8.1.3
Struttura del modello tacito ipotizzato . . . . . . . . . . . . . 174
8.1.4
Interpretazione delle difficoltà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.5
Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4
INDICE
8.2
8.3
Concezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.2.1
Tâche combinazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.2.2
Tâche generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.2.3
Tâche dipendenza lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.2.4
Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Dualità processo/oggetto nella concettualizzazione della nozione di
combinazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.4
8.3.1
Il processo di ‘combinazione lineare’ . . . . . . . . . . . . . . 191
8.3.2
Dipendenza della combinazione lineare dai vettori
8.3.3
Il carattere ‘locale’ della dimensione . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3.4
Generatori
8.3.5
La differenza come processo inverso
8.3.6
Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
. . . . . . 195
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
. . . . . . . . . . . . . . 199
Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9 Conclusioni
203
9.1
Confronto tra i contributi delle diverse analisi . . . . . . . . . . . . . 203
9.2
Un’ipotesi di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3
Epilogo e prospettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.4
The blind men and the elephant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Bibliografia
222
Appendice
230
Capitolo 1
Introduzione e problematica
‘L’algebra lineare dei matematici moderni [. . . ] è diventata con le sue
ramificazioni attuali (che vanno be al di là dell’insegnamento della laurea
stessa) una delle teorie più centrali e più efficaci della matematica contemporanea, ricca di applicazioni svariate, dalla teoria dei numeri alla
fisica teorica, passando per l’analisi, la geometria e la topologia’
a sostenerlo è Dieudonnée (1970, p. 6), nella prefazione a ‘Algebra lineare e Geometria elementare’1 in cui presenta la sua proposta per una innovazione dell’insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore.
Al di là del contesto specifico nel quale Dieudonnée esprime il suo giudizio, e al di
lá della valutazione di merito sulla sua proposta didattica, la sua posizione appare
ancor oggi quanto mai condivisa (Dorier 1998, Tucker 1993).
‘The constant use of the concepts and language of linear algebra in many field of pure and applied mathematics, natural and social sciences, and engineering, makes it
one of the most important mathematical prerequisite, particularly indispensable for
students of phisical sciences and technology’ (Harel 1990, p. 387). Non solo quindi
una teoria essenziale per la matematica ed i matematici, ma che offre anche modelli,
strumenti e un linguaggio per altri settori scientifici.
1
Titolo originale: ‘Algèbre linéaire et Géométrie élémentaire’
6
1.1
Introduzione e problematica
L’insegnamento dell’algebra lineare a livello universitario
Coerentemente con il riconoscimento dell’importanza dell’algebra lineare, il suo insegnamento è previsto fin dal primo anno di studi in molti Corsi di Laurea in discipline
scientifiche, ‘i[I]n recent years, demand for linear algebra training has risen in client
disciplines such as engineering, computer science, operations research, economics,
statistics’ (Carlson et al. 1993, p. 41) riportava nel 1993 il gruppo statunitense
LACSG (Linear Algebra Curriculum Study Group).
Per quanto riguarda la situazione nelle università italiane, la riforma universitaria,
entrata in vigore con l’anno accademico 2001/02, con l’introduzione di due percorsi
accademici consecutivi uno all’altro – ‘laurea triennale’ (corso di studi della durata
di tre anni) e ‘laurea specialistica’ (della durata di due anni dopo il conseguimento
della laurea triennale), a sostiuire la ‘vecchia’ laurea (della durata di quattro o cinque anni a seconda del corso di studi) – e la conseguente necessità per gli atenei di
rivedere l’offerta didattica ha avuto come effetto, collaterale, un calo delle richieste
di corsi di matematica da parte di diversi Corsi di Laurea (Scienze Biologiche, Geologiche, Naturali e simili), che ha investito anche i corsi di algebra lineare. Corsi di
algebra lineare continuano ad essere presenti al primo anno dei Corsi di Laurea in
Matematica, Fisica, Informatica e dei vari Corsi di Laurea della Facoltà di Ingegneria.
Per quanto concerne l’efficacia dell’insegnamente dell’algebra lineare, sembra essere esperienza comune di chi insegna constatare l’elevato numero di difficoltà che
i propri studenti incontrano anche riguardo i concetti di base dell’algebra lineare,
tanto da poter parlare di fallimento dell’insegnamento di questa disciplina.
‘Must the fog always roll in?’ si chiede Carlson (1993, p. 29) riferendosi all’insegnamento delle nozioni di base della teoria degli spazi vettoriali, ‘i[I]t is as if a heavy
fog has rolled in over them [my students], and they cannot see where they are or
where they are going.’ (ibidem).
Revuz parla dello ‘stupore’ dei matematici difronte alle difficoltà che gli studenti
incontrano confrontandosi con quella che considerano una delle più semplici teorie
matematiche: ‘i[I]l y a là cependant, aux yeux des mathématiciens, un singulier paradox: de toutes les théories mathématiques [. . . ] celle-ci [l’algèbre linéaire] paraı̂t la
1.2 Ricerche in didattica nel campo dell’algebra lineare
7
plus simple et les difficultés que rencontre son einsegnement sont hors de proportion
avec ses difficultés intrinséques’ (Revuz 1998, p. 9).
Hillel non esita a definire l’insegnamento dell’algebra lineare come un’esperienza frustrante (per docenti e studenti) – ‘t[T]he teaching of linear algebra at a univerisity
level is almost regarded as a frustrating experience for instructors and students alike’
(Hillel 2000, p. 191).
1.2
Ricerche in didattica nel campo dell’algebra lineare
Viste queste premesse – vale a dire, l’importanza dell’algebra lineare in molti settori
scientifici e le difficoltà che almeno apparentemente incontra il suo insegnamento,
che coinvolge studenti di diverse discipline – colpisce l’assenza fino alla fine degli
anni ’80, inizio degli anni ’90 di ricerche in didattica dell’algebra lineare. ‘Pendent
plusieurs années, il a semblé tant en France qu’à l’étranger, que l’algèbre linéaire
suscitait moins l’intérêt des chercheurs en didactique que l’autre grande partie de
l’enseignement de première année des universités scientifiques, c’est-à-dire l’analyse’
(Dorier 1998, p. 193). È infatti solo negli ultimi 15 anni che hanno visto la luce
studi in questo settore. Nel capitolo 2 offriremo una breve panoramica degli studi
più avanzati, per ora ci limitiamo ad accennare alcuni aspetti utili per poter situare
il nostro studio e meglio definire le nostre domande di ricerca.
Nel 2001, Dorier e Sierpinska hanno curato, nell’ambito di un ICMI-study sulla
didattica della matematica a livello universitario, un’indagine sullo stato dell’arte
della ricerca in didattica dell’algebra lineare. In quella sede hanno proposto una
prima classificazione, per loro stessa ammissione in parte artificiale, degli studi del
settore.
• studi sulla natura dell’algebra lineare, allo scopo di individuare le caratteristi-
che della disciplina che possono essere fonte di difficoltà per gli allievi (ad es.
Dorier at al. 1997, Hillel 2000);
• studi sulle caratteristiche del pensiero necessarie per la comprensione dell’algebra lineare (ad es. Sierpinska 2000, Sierpinska, Nnadozie 2001);
• studi sulle pratiche di insegnamento e teaching experiments (Harel, Kaput
1991, Rogalski 2000, Dorier et al. 2000).
8
Introduzione e problematica
Colpisce l’apparente assenza di studi incentrati sugli aspetti cognitivi relativi a specifiche nozioni di algebra lineare, soprattutto se si confronta tale letteratura con,
ad esempio, la letteratura esistente sulle difficoltà in analisi, nel cui ambito si sono
sviluppati o sono stati efficacemente utilizzati paradigmi quali quello dei ‘misconcetti’ (Confrey 1990), di ‘concept-immage and concept-definition’ (Tall, Vinner 1981),
degli ‘ostacoli epistemologici’ (Bachelard 1938).
Per quanto è a nostra conoscenza, l’unico studio di quel tipo in didattica dell’algebra
lineare è quello di Nardi (1997) sui concetti-immagine delle nozioni di ‘generatori’ e
‘spazio generato’, che presenteremo nel capitolo 2, e che per altro non appare nella
panoramica sulle ricerche in algebra lineare curata da Dorier e Sierpinska (2001).
A conclusione della panoramica da loro curata, Dorier e Sierpinska tracciano un
doppio bilancio: da un lato, alcune ragioni ‘why many students find linear algebra so
difficult to learn’ (ibidem, p. 270), dall’altro alcune implicazioni per l’insegnamento
dell’algebra lineare.
Relativamente all’interpretazione dell’origine delle difficoltà in algebra lineare – l’aspetto che più interessa il nostro studio – Dorier e Sierpinska individuano le ragioni
seguenti.
• L’algebra lineare verrebbe percepita come superflua, non necessaria, addirittura senza senso, poiché ‘a[A]ll linear problems within the reach of first year
university students can be solved without using the theory of vector spaces’
(ibidem).
• ‘Linear algebra is an ‘explosive compound’ of languages and systems of representation’ (ibidem)
• ‘Linear algebra is highly demanding from the cognitive point of view’ (ibidem)
per la necessità di muoversi da un linguaggio all’altro, da un punto di vista al-
l’altro (ad es. parametrico e cartesiano), da un registro semiotico (Duval 1995)
all’altro. Oltre alla necessità di articolare tipi di pensiero diversi (Sierpinska
2000).
Terminiamo questo paragrafo riportando come, nel 1997, quando diversi degli studi
citati da Dorier e Sierpinska erano comunque già avviati (ed alcuni da qualche anno),
Dubinsky ancora scrive che al di là di una generale comune percezione dell’inadeguatezza dell’insegnamento dell’algebra lineare, ‘t[T]here is not, however, a body of
1.3 Obiettivi di ricerca: una prima formulazione
9
research that provides evidence that would convince a skeptic of the lack of success
of linear algebra courses’ (Dubinsky 1997, p. 86).
1.3
Obiettivi di ricerca: una prima formulazione
Evidenziando la povertà di studi che documentano le difficoltà degli studenti in algebra lineare, Dubinsky implicitamente indica una possibile direzione di ricerca in
didattica dell’algebra lineare.
Senza pretesa di colmare la mancanza avvertita da Dubinsky, il nostro lavoro si situa
lungo quella direzione di ricerca: si tratta infatti di uno studio di carattere esplorativo che mira ad individuare alcune difficoltà di studenti universitari e dottorandi 2 di
fronte a problemi che coinvolgono nozioni di base della teoria degli spazi vettoriali.
Rispetto alla ricerca attuale nel settore, elemento distintivo del nostro studio è l’attenzione ad aspetti cognitivi specifici relativi alle difficoltà in algebra lineare.
Come anticipato, abbiamo circoscritto il campo di indagine: invece di considerare
l’algebra lineare nel suo complesso, focalizziamo la nostra attenzione su alcuni concetti chiave della teoria degli spazi vettoriali. Più precisamente, il nostro studio si
concentrerà sulle difficoltà inerenti le nozioni di: combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, sistema di generatori e basi.
Possiamo a questo punto tentare una prima formulazione degli obiettivi della ricerca:
• documentare (alcune) difficoltà degli studenti universitari relative alle no-
zioni di combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, sistema di
generatori e basi;
• individuare quali concezioni, relative alle nozioni sopra citate, possono descrivere le difficoltà, eventualmente, documentate.
L’uso del termin concezione richiede qualche parola di commento: Artigue (1991)
sottolinea come la nozione di concezione sia spesso usata in didattica della matematica come strumento di analisi, eppure raramente, se mai, definita in modo esplicito.
Secondo l’analisi che ne fa, la nozione di concezione risponde, tra le altre, alla necessità di ‘mettre en évidence la pluralité des points de vue possibles sur un même objet
2
Nel seguito, se non specifichiamo diversamente, quando parleremo di ‘studenti universitari’
intenderemo riferirci anche agli studenti di dottorato. Precisiamo, inoltre, che i soggetti coinvolti
nel nostro lavoro hanno ricevuto una formazione universitaria e pre-universitaria in Italia.
10
Introduzione e problematica
mathématique, différencier les représentations et modes de traitement qui lui sont
associés, mettre en évidence leur adaptation plus ou moins bonne à la résolution
de telle ou telle classe de problèmes’ (ibidem, p.265). In questo paragrafo usiamo
il termine ‘concezione’ con questa accezione, che è sufficientemente ampia per poter
essere utilizzata nell’ambito di diversi quadri teorici.
L’uso, da parte nostra, del termine concezione con un significato cosı̀ vago è motivato
dal progetto di analizzare le difficoltà degli studenti secondo le prospettive offerte da
diversi quadri teorici: precisamente, la teoria dei modelli taciti (Fischbein 1987), il
modello ck/c (Balacheff 1995), la teoria della dualità processo/oggetto (Sfard 1991).
Al termine del capitolo 3, dove presenteremo i tre quadri teorici, abbandoneremo
questa accezione del termine ‘concezione’ e potremo formulare in modo più preciso
il secondo obiettivo (3.4). Sempre in quel capitolo, introdurremo il modello ck/c
(Balacheff 1995) (3.2) e con esso daremo una definizione precisa del termine ‘concezione’, che da allora useremo solo con quel significato.
Tra l’altro, il nostro studio intende contribuire ad aumentare l’interesse verso la
ricerca in didattica a livello univeristario, della comunità italiana dei ricercatori
in didattica della matematica, tradizionalmente più attenta alle problematiche che
sorgono dall’insegnamento primario e sceondario, come confermato dalle recenti panoramiche sulla ricerca italiana edite in occasione delle ultime conferenze ICME 3
(Malara et al. 2000, Cannizzaro et al. 2004).
1.4
La scelta dei paradigmi teorici
Il panorama della ricerca in didattica è costellato da diversi paradigmi teorici che
offrono, da differenti prospettive, efficaci strumenti di analisi delle difficoltà relative
a specifiche nozioni matematiche.
Ognuno dei questi è stato messo alla prova e ha mostrato la propria efficacia in
occasione di diversi studi e relativamente a diversi campi della matematica. Non
sembra esserci, quindi, una scelta che si imponga a priori sulle altre.
Per il nostro studio abbiamo scelto tre diversi quadri teorici che mettono a fuoco
aspetti diversi tra loro ma – riteniamo – tutt’altro che incompatibili: la teoria dei
modelli taciti (Fischbein 1987), il modello ck/c (Balacheff 1995), la teoria della dualità processo/oggetto (Sfard 1991).
3
ICME9 a Tokyo e ICME10 a Copenaghen
1.4 La scelta dei paradigmi teorici
11
Nel capitolo 3, ne forniremo una presentazione dettagliata, qui precisiamo gli elementi che hanno orientato la nostra scelta.
Secondo Fischbein la conoscenza ha una dimensione inespressa, implicita, di cui
l’individuo non ha consapevolezza 4 . Tale dimensione esercita la sua influenza
sui processi di ragionamento, di soluzione di problemi, di scoperta, in breve
di costruzione e sviluppo della conoscenza. Per Fischbein, tuttavia, inespressa
non vuol dire inesprimibile, implicita non vuol dire inaccessibile ad una analisi
esplicita: ‘p[P]er noi ‘tacito’ non vuol dire misterioso, irrazionale, genuinamente inesplicabile’ (Fischbein 1992, p. 25). La teoria dei modelli taciti si presenta
come un tentativo di analisi della cognizione tacita al fine di spiegare le difficoltà dell’individuo ed in particolare degli allievi rispetto a specifici contenuti
scolastici.
Il riferimento a conoscenze acquisite che orientano e dirigono i comportamenti si
ritrova anche all’interno del modello ck/c (Balacheff 1995). Facendosi esplicitamente carico dell’assunto, largamente accettato all’interno della comunità
dei ricercatori in didattica della matematica, secondo cui ‘errors are not only
the effect of ignorance, of uncertainty, of chance, but also the effect of a previous knowing which was interesting and successful’ (Brousseau 1997, p.82),
Balacheff (1995) propone un modello della conoscenza dell’individuo che permette ed obbliga il ricercatore a determinare analiticamente quali errori sono
effetto di quale conoscenza, o in altri termini di determinare quei problemi su
cui comportamenti osservati e considerati errati possono essere caratterizzati
come conoscenza, quei problemi cioè rispetto ai quali i comportamenti altrove
errati o inappropriati fornirebbero risposte ‘adeguate’.
I due quadri teorici, citati sopra, non attengono specificatamente al dominio matematico oggetto del nostro studio. A tal proposito ci sembra importante
rilevare che la struttura di spazio vettoriale è una struttura algebrica, e di
natura algebrica sono le nozioni di ‘combinazione lineare’, ‘sistema di generatori’, ‘base’, di relazione di ‘dipendenza/indipendenza lineare’. Quando le si
formalizza – e l’insegnamento universitario prevede tradizionalmente, almeno
4
Questo punto di vista appare condiviso anche da altri ricercatori, ad esempio Polanyi (1979 e
1988), anche se non sembra altrettanto condiviso cosa si debba intendere per conoscenza tacita e
in che misura essa sia accessibile allo studio.
12
Introduzione e problematica
in Italia, l’introduzione alla teoria formale – le si esprime in linguaggio algebrico e la loro natura algebrica viene posta in evidenza. Alla luce di questa
considerazione appare importante inserire nella nostra scelta un quadro teorico
che abbia mostrato efficacia nel trattare difficoltà anche inerenti all’uso dell’algebra. Ci sembra che la teoria della dualità processo/oggetto (Sfard 1991)
risponda appieno a questa esigenza.
1.5
Sommario
Nel capitolo 2 proponiamo, più diffusamente e dettagliatamente di quanto fatto sopra, una panoramica degli studi più avanzati in didattica dell’algebra lineare.
Il capitolo 3 è dedicato alla presentazione dei quadri teorici coerentemente ai quali condurremo le analisi delle difficoltà degli studenti in algebra lineare: la teoria
dei modelli taciti (Fischbein 1987), il modello ck/c (Balacheff 1995), la teoria della
dualità processo/oggetto (Sfard 1991). Al termine del capitolo proporremo una formulazione migliore degli obiettivi della ricerca, mentre la metodologia di ricerca, con
l’indicazione dettagliata dei soggetti coinvolti, del tipo di intervista e dei problemi
loro proposti, è presentata nel successivo capitolo 4.
Nel capitolo 5, riportiamo l’analisi, coerente con la nozione di ‘prasseologia’ (Chevallard 1999), di alcuni manuali di algebra lineare di diffusione nazionale: Abate
Geomteria, Abeasis Elementi di algebra lineare e geometria e Lang Algebra lineare.
Coerente con la nozione di “prasseologia’ è anche l’analisi a priori dei problemi usati
nelle interviste, capitolo 6.
Alcune difficoltà dei soggetti emerse dalle interviste sono presentate nel capitolo 7;
la loro analisi, rispetto ai tre quadri teorici adottati, è oggetto del capitolo 8.
Nell’ultimo capitolo (9), tracciamo un bilancio del nostro studio confrontando le
diverse analisi condotte sulle difficoltà degli studenti: mettendo in rilievo gli aspetti
specifici di ciascuna e studiando la possibilità di integrarle tra loro. Concludiamo il
capitolo indicando alcune direzioni di ricerca aperte dal presente lavoro.
Infine, in appendice inseriamo la trascrizione completa non commentata di un’intervista per dare l’idea del tipo di dati raccolti nella fase sperimentale.
Capitolo 2
Stato dell’arte in didattica
dell’algebra lineare
Nell’ambito di un recente ICMI-study sulla didattica della matematica a livello universitario, Dorier e Sierpinska (2001) hanno condotto uno studio sullo stato dell’arte
della ricerca in didattica dell’algebra lineare nel quale propongono una prima classificazione degli studi del settore. Partendo da questa classificazione, in parte rielaborata, proponiamo in questo capitolo una breve panoramica su alcune delle ricerche
che ci sembrano più avanzate in didattica dell’algebra lineare 1 .
Nella nostra presentazione distingueremo, quindi 2 :
• studi sulla natura dell’algebra lineare, ‘the nature of the beast’ per usare un’espressione introdotta da Hillel (2000, p. 191), volti ad individuare le caratteri-
stiche di questo campo della matematica che possono essere fonte di difficoltà
per gli allievi;
• studi sulle caratteristiche del pensiero necessarie per la comprensione dell’algebra lineare e delle difficoltà che, relativamente ad esse, possono sorgere 3 ;
• studi sulle pratiche di insegnamento, che comprendono le analisi delle difficoltà
la cui origine risiede nell’approccio didattico seguito nell’insegnamento dell’al-
1
2
Per una rassegna più esetesa e dettagliata si rimanda a Dorier 1997 e 2000
Come già rilevato da Dorier e Sierpinska si tratta di una classificazione in parte artificiale
(ibidem, p. 256), alcuni degli studi si situerebbero in realtà a cavallo tra più categorie.
3
Dorier e Sierpinska chiamano queste ‘cognitive difficulties’ in opposizione alle ‘conceptual
difficulties’ dovute alla natura dell’algebra lineare, (ibidem, p. 256).
14
Stato dell’arte
gebra lineare, e teaching experiments, proposte innovative per l’insegnamento
dell’algebra lineare.
2.1
2.1.1
La natura dell’algebra lineare
Analisi storico-epistemologica
I maggiori contributi in questo settore ci sembrano portati dai lavori di Dorier (1995,
2000a, 2000b), che ha seguito le linee generali dello sviluppo storico dei concetti
elementari dell’algebra lineare: combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, rango, dimensione, trasformazioni.
Riportiamo brevemente quelli che ci sembrano le tappe fondamentali dello sviluppo
storico dell’algebra lineare cosı̀ come è delineato da Dorier.
I suoi studi evidenziano come i concetti dell’algebra lineare emergano intorno alla
metà del XVIII secolo in differenti settori della matematica: i sistemi di equazioni
lineari, la geometria, l’aritmetica, lo studio delle quadriche, le trasformazioni lineari,
le equazioni differenziali.
A partire dalla metà del 1700, con la nascita della teoria dei determinanti, dovuta
a Cramer, e la successiva emergenza del concetto di rango prendono vita ricerche
sistematiche sui sistemi lineari che conducono all’apparizione delle nozioni fondamentali relative al concetto di linearità. ‘T[t]he study of linear equations and the
theory of determinants represent the context in which the first theoretical concepts
[. . . ] related to vector space theory were created and applied in finite dimension’
(Dorier 1995, p. 233).
Parallelamente in geometria, agli inizi del 1800, una certa insoddisfazione per il
metodo delle coordinate, che sembra introdurre un elemento di arbitrarietà nelle
dimostrazioni geometriche, sfocia nella ricerca di un calcolo geometrico intrinseco,
indipendente dalle coordinate, che coinvolge numerosi matematici: Möbius, Bellavitis, Hamilton.
Metodi di soluzione di problemi che emergono dall’uno e dall’altro dominio vanno
progressivamente avvicinandosi. Tra la seconda metà del XIX secolo e gli inizi del
XX, attorno alla teoria dei determinanti si sviluppa un corpus di tecniche che consente di risolvere problemi (lineari) diversi, sorti in diversi settori: algebra, geometria,
fisica, equazioni differenziali. ‘The theoretical corpus centered more on similarities
2.1 La natura dell’algebra lineare
15
of methods than of objects, that took shape in the second half of the 19th century
is an essential step in the unification and theorization of linearity’ (Dorier 2000a).
Le prime proposte assiomatiche della teoria degli spazi vettoriali maturano a partire
dalla fine del XIX secolo – Peano, Pincherle, Burali-Forti – ma non sembrano suscitare l’interesse della comunità dei matematici, indirizzata piuttosto, con l’inizio del
nuovo secolo, a tentare di estendere a problemi infinito-dimensionali quel corpus di
tecniche di soluzione di problemi lineari a cui abbiamo accennato sopra.
Agli inizi del XX secolo, successivi tentativi di generalizzare metodi di soluzione di
equazioni differenziali, in particolare l’equazione di Fredholm, determinano l’emergere dell’idea di spazi funzionali e di funzioni di funzioni (Volterra, Fréchet, Riesz).
La necessità di definire su esse proprietà di continuità, derivabilità, ecc. impone a
sua volta la necessità di definire proprietà topologiche e metriche sugli spazi funzionali stessi.
Contemporaneamente a seguito dei lavori di Dedekind e Steinitz, si impone in algebra l’idea di struttura algebrica come risposta alla necessità di unificare varie teorie
matematiche: anelli, ideali, campi, moduli.
Appaiono in questo contesto, tra il 1920 ed il 1927, i lavori di Wiener, Hahn, Fréchet
ed il primo lavoro di Banach che ‘produced an axiomatic definition of a complete
normed vector space [. . . ] in a context related to functional analysis; [. . . ] none of
them defined the algebraic structure separately’ (Dorier 2000a, p. 51). Il loro successo è dovuto secondo Dorier al fatto che la loro apparizione risponde ad esigenze
di unificazione e generalizzazione, in analisi funzionale, che maturano pienamente
proprio in quel periodo. ‘Dans ce contexte, l’approche axiomatique va pouvoir enfin s’imposer parce qu’elle permet d’unifier divers problèmes aux origines variées
dont les ressemblances commencent à apparaı̂tre et parce qu’elle permet aussi de
combler les manques dans le processus de généralisation’ (Dorier 2000b, p. 36). Il
contributo decisivo all’assiomatizzazione dell’algebra lineare si ha con la quasi contemporanea pubblicazione dei lavori di van der Waerden, nel 1930, e Banach, nel
1932, che determinano il netto ridimensionamento dell’uso della teoria dei determinanti a vantaggio dell’approccio assiomatico. A proposito dell’opera di Banach,
Dorier sottolinea (2000a, p. 55) come essa ‘opened new perspectives and tackled
new types of questions which would appear to be essential for further development
of functional analysis’.
L’analisi storica mostra che l’approccio assiomatico per modellizzare problemi li-
16
Stato dell’arte
neari che oggi sembra naturale (Dorier 2000, p. 59) ha impiegato circa quaranta
anni ad imporsi, tanto è passato infatti dalle prime proposte assiomatiche di Peano
a quelle di Banach e van der Waerden. Come anticipato l’approccio assiomatico,
negli anni’20 e ’30, non si impone perché permette di risolvere nuovi problemi, ma
piuttosto perché risponde ad esigenze di unificazione e generalizzazione maturate
proprio allora. ‘T[t]he success of axiomatization did not come from the possibility
of reaching a solution to unsolved mathematical problems, but from its power of
generalization and unification and, consequently, of simplification in the search for
methods for solving problems in mathematics’ (Dorier, Sierpinska 2001, p. 257).
In breve lo studio di Dorier evidenzia il carattere ‘unificateur, gnralisateur, simplificateur et formalisateur’ (Dorier 2005b, pp. 36-37) dei concetti della teoria degli
spazi vettoriali che l’autore considera uno delle maggiori fonti di difficoltà per l’insegnamento e l’apprendimento dell’algebra lineare.
Nel paragrafo 2.3.2, presentiamo gli elementi salienti di alcuni teaching experiments,
condotti da vari ricercatori francesi, tra cui Dorier, costruiti a partire dalla considerazione di questa natura formalizzatrice, generalizzatrice, unificatrice e semplificatrice
dei concetti dell’algebra lineare.
2.1.2
L’ostacolo del formalismo
Diversi studi di tipo diagnostico condotti, con obiettivi e metodologie diverse, in
Francia tra il 1987 ed il 1994, da Dorier, Robert, Robinet e Rogalski (Dorier et al.
1997), evidenziano varie difficoltà in algebra lineare da parte di studenti al primo
anno universitario, nelle quali gli autori riconoscono le conseguenze di un medesimo
ostacolo, l’obstacle du formalisme.
Per loro stessa ammissione gli autori usano il termine ‘formalismo’ in senso naı̈f,
senza preoccuparsi di definire in modo più preciso il significato che attribuiscono a
questo termine4 .
L’ostacolo del formalismo sembra trarre origine dalla natura stessa dell’algebra lineare, che gli Autori considerano come il risultato di un’opera di formalizzazione:
4
Arzarello riconosce tre diversi significati attribuiti, in matematica, al termine ‘formale’: il primo
attiene alla forma delle proposizioni matematiche come oggetti sintattici indipendenti dal contesto,
il secondo si riferisce al modo in cui la matematica è presentata nella sua forma di prodotto finito,
il terzo riguarda la nozione di ‘conseguenza logica’ (Arzarello 2000, pp. 1-2).
2.1 La natura dell’algebra lineare
17
‘l’algèbre linéaire est l’aboutissement d’une vaste entreprise de formalisation’ (ibidem pp. 105-106). Lo studio dell’algebra lineare prevede la necessità, ad esempio,
di ‘jouer sur différentes bases sans représentations explicites, raisonner soit sur des
vecteurs soit sur leur cordonnées sansles confondre, [. . . ] travailler dans une structure donnée’ (ibidem p. 106). Tutte attività, queste, che costituiscono una fonte di
difficoltà per gli studenti al loro primo anno di università.
Il fatto che difficoltà, attribuibili all’ostacolo del formalismo, emergano negli studi
condotti in anni diversi consente ai ricercatori di ipotizzare che tale ostacolo sia stabile rispetto alle generazioni di studenti che si avvicendano nell’università e rispetto
alle pratiche di insegnamento.
Riportiamo brevemene i tre studi citati in apertura di paragrafo.
1987. Lo studio aveva l’obiettivo di individuare le conoscenze e le concezioni in algebra lineare di studenti che avessero frequentato un corso di algebra lineare
al primo anno di università. A questo scopo è stato somministrato a 379 studenti un questionario costituito da cinque quesiti di algebra lineare (a priori
classificati in ‘formali’ o ‘pratici’) e due quesiti mirati a raccogliere informazioni sull’immagine dell’algebra lineare e delle principali difficoltà del dominio,
elaborata dai soggetti.
Lo studio evidenzia, tra le altre difficoltà, la mancata padronanza da parte dei
soggetti del linguaggio insiemistico che risulta, in particolare, in una confusione
tra insiemi ed elementi, inclusione ed uguaglianza. Per quanto riguarda l’immagine che gli studenti hanno costruito della disciplina, ‘p[P]our une majorité
d’étudiantes, l’algèbre linéaire n’est qu’un catalogue de notions très abstraites
qu’ils n’arrivent pas à se représenter’ (ibidem p. 116).
1990. Lo studio aveva il duplice obiettivo di (i) raccogliere informazioni sui compiti
proposti agli studenti, presenti in esami e manuali e sulle procedure utilizzate
dagli studenti per risolverli; (ii) valutare l’evoluzione delle conoscenze dell’individuo in algebra lineare in funzione delle sue conoscenze anteriori in logica
e teoria degli insiemi elementare. Limitatamente a quest’ultimo obiettivo, gli
Autori hanno somministrato ai soggetti un pretest di logica ed hanno monitorato le loro prestazioni nei compiti svolti durante l’anno. Sempre in merito a
questo punto, lo studio ha mostrato una forte correlazione tra carenze in logica
ed insuccessi nei compiti, tuttavia più importante delle singole conoscenze di
18
Stato dell’arte
logica sembra essere il possesso di una soglia minima di conoscenze. ‘N[n]’ est
qu’au delà d’un certain seuil lobal de connaissances en logique [. . . ] que ces
connaissances sont mobilisables de façon effective et positif dans l’acquisition
des concepts elementaires d’algèbre linéaire’ (ibidem, p. 120)
1991-1994 nell’ambito di questo studio sono stati raccolti e confrontati gli esami
sostenuti all’inizio e alla fine di due corsi sperimentali di algebra lineare nel
’92 e nel ’93 (quello del ’93 era una rielaborazione del precedente che teneva
presente i risultati dell’anno precedente). Il confronto evidenzia, accanto ad alcuni miglioramenti nelle prestazioni dei soggetti, anche le persistenza di alcuni
errori relativi al rango di un sistema di vettori e al trattamento e confronto di
sottospazi vettoriali. Al di là del confronto tra gli esami, dagli elaborati dei
soggetti emergono varie difficoltà, che rivelerebbero l’ostacolo del formalismo,
sui seguenti punti: (i) differenza tra inclusione e uguaglianza di insiemi, (ii)
confronto tra sottospazi, (iii) un’equazione cartesiana è una restrizione che determina un sottoinsieme di un insieme, (iv) un sistema di equazioni rappresenta
l’intersezione di tutti i sottoinsiemi determinati da ciascuna equazione.
2.1.3
I linguaggi ‘geometrico’, ‘algebrico’ e ‘astratto’
Hillel (2000) nota che il corso di algebra lineare a livello universitario rappresenta tradizionalmente – almeno in Canada e Stati Uniti – il primo incontro per gli
studenti con una teoria matematica: ‘it [linear algebra] is proof-laden, and built
systematically from the grounds up, with all the fuss about making assumptions
explicit, justifying statements by reference to definitions and already proven facts’.
Molte delle difficoltà che gli studenti incontrano in algebra lineare hanno senz’altro
origine dall’incontro con la sistematizzazione in teoria, tuttavia le difficoltà “proofrelated” non possono considerarsi specifiche dell’algebra lineare ma emergono anche
in altri corsi universitari.
Muovendo da queste considerazioni Hillel si propone di affrontare lo studio dell’insegnamento e apprendimento dell’algebra lineare analizzando le cause delle difficoltà
concettuali specifiche all’algebra lineare tra cui, in particolare, spicca l’esistenza di
diversi linguaggi o modi di descrizione 5 .
5
Per quanto è a nostra conoscenza, Hillel non dà una definizione esplicita della nozione di ‘mode
of description’, che sembra spesso usare con il significato di ‘linguaggio’ o ‘rappresentazione’.
2.1 La natura dell’algebra lineare
19
Osserva infatti Hillel che un corso ‘tipico’ include generalmente differenti modi di
descrizione degli oggetti e delle operazioni di base dell’ algebra lineare, che ‘co-exist,
are sometimes interchangeable, but are certainly not equivalent’ (Hillel 2000, p. 192):
il modo astratto consiste nell’uso del linguaggio e dei concetti della teoria generale
formalizzata: spazio vettoriale, sottospazi, dimensione, ecc.;
il modo algebrico consiste nell’uso del linguaggio e dei concetti specifici della teoria
di Rn : n-uple, matrici, soluzioni di sistemi di equazioni, spazio delle righe, ecc.;
il modo geometrico consiste nell’uso del linguaggio e dei concetti della geometria
del piano e dello spazio: segmenti orientati, punti, rette, piani, trasformazioni
geometriche.
Hillel conduce quindi uno studio su quali immagini, terminologie e notazioni caratterizzino, all’interno di ciascun modo di descrizione, vettori, operazioni vettoriali e
trasformazioni lineari.
Questo studio evidenzia, da un lato, alcuni elementi interni a ciascun modo di descrizione, che possono essere fonte di difficoltà, dall’altro alcune difficoltà che possono
emergere nel passaggio da un modo all’altro.
In particolare vengono evidenziate all’interno del modo geometrico, le differenze tra
la descrizione in termini di geometria delle coordinate (in cui ad es. i vettori possono
essere descritti come punti e identificati con le relative coordinate) e di geometria
sintetica (in cui i vettori sono descritti come segmenti orientati).
Inoltre il ricorso al modo geometrico seppur costruisce un collegamente con le conoscenza anteriori degli studenti, può rappresentare un ostacolo a pensare in termini
di basi piuttosto che di sistemi di riferimento cartesiani, e a pensare alla necessità
del cambiamento di base.
Per quanto riguarda l’articolazione dei diversi modi di descrizione, Hillel afferma,
sulla base di videoriprese di alcune lezioni tenute da cinque differenti insegnanti, che
nella pratica di insegnamento si passa comunemente da un modo di descrizione all’altro in maniera implicita, senza che tali ‘passaggi’ vengano sottolineati e gli allievi
‘allertati’, anzi gli insegnanti medesimi non ne sembrano consapevoli.
Dal punto di vista dell’articolazione dei modi di descrizione due sembrano poter
essere cause di difficoltà:
20
Stato dell’arte
nell’articolazione tra modo geometrico e modo algebrico (o astratto), l’uso del linguaggio geometrico in senso metaforico, se il senso metaforico non è percepito
dagli studenti;
nell’articolazione tra modo algebrico e modo astratto, la dipendenza dalla scelta
della base dell’isomorfismo tra uno spazio vettoriale reale di dimenzione finita
e lo spazio Rn (per un’opportuna scelta di n), e conseguentemente il fatto che
una n-upla non è più solo un vettore ma rappresenta potenzialmente qualunque
altro vettore.
In particolare rispetto a quest’ultimo, Hillel osserva che l’isomorfismo tra spazi vettoriali reali n-dimensionali e Rn che è risultato teorico fondamentale sembra minare la
ragion d’essere stessa della teoria astratta: ‘questions related to lineare independence/dependence, basis, eigenvectors, kernel and range subspaces, or non-singularity
can be solved by direct manipulation’ (Hillel 2000, p. 205). Problemi di natura più
teorica assumono una connotazione di esercizi di deduzione logica che non contribuiscono in alcun modo alla chiarificazione dei concetti che interessano.
In conclusione, piuttosto che gli elementi relativi alla sistematizzazione in teoria,
quello che è caratterizzante dell’algebra lineare, e potenziale fonte di difficoltà per
gli studenti, è che il processo di astrazione, che porta alla costruzione dell’intera teoria, rientra su se stesso, essendo ogni spazio vettoriale reale n-dimensionale isomorfo
a Rn .
2.2
2.2.1
Le caratteristiche del pensiero in algebra lineare
Pensiero teorico vs pensiero pratico
Negli ultimi dieci anni Sierpinska ha condotto vari progetti di ricerca sull’apprendimento dell’algebra lineare: i primi studi (1993-1996) sono incentrati sulla modellizzazione dei comportamenti matematici degli allievi nel lavoro individuale con tutor o
libri di testo; più recentemente (1997-1999) ha progettato e sperimentato un percorso di introduzione all’algebra lineare via un modello geometrico di spazio vettoriale
bidimensionale sia in ambiente di geometria dinamica che in ambiente carta-penna
(Sierpinska 2000, Sierpinska et al. 1999).
Questi studi hanno condotto Sierpinska a sviluppare le nozioni antitetiche di pensiero teorico - theoretical thinking - e pensiero pratico - practical thinking - e formulare
2.2 Le caratteristiche del pensiero in algebra lineare
21
l’ipotesi che la tendenza a pensare in termini pratici piuttosto che teorici sia uno dei
motivi di difficoltà nell’apprendimento dell’algebra lineare.
La distinzione tra pensiero teorico e pensiero pratico (seppure identificati sotto altri
label), cosı̀ come il tentativo di darne una definizione operativa non sono nuovi nella
ricerca in didattica della matematica. La proposta di Sierpinska si ispira da un lato
alla distinzione aristotelica tra ‘sapere per sapere’ e ‘sapere per fare’ (Sierpinska
e Nnadozie, 2001) e dall’altro alla distinzione vygotskijana tra concetti scientifici
e concetti quotidiani, i primi caratterizzati da un’organizzazione sistemica opposta
alla semplice aggregazione dei secondi.
Sierpinska definisce pensiero teorico e pensiero pratico in opposizione l’uno all’altro:
• Il pensiero teorico viene definito come ‘a specialized mental activity in itself’
(Dorier and Sierpinska, 2001, p.263) laddove il pensiero pratico sarebbe un’attività mentale ausiliaria che accompagna e guida altre attività (ci si rierisce
soprattutto all’azione fisica).
• Il pensiero teorico è mediato dal linguaggio, mentre il pensiero pratico si
esprime direttamente tramite l’azione su un ambiente.
• In parte in conseguenza di quanto detto al punto precedente, il pensiero teorico
fa del sistema semiotico di rappresentazione un oggetto di riflessione; riflessione
assente invece nel pensiero pratico.
• Il pensiero teorico è basato sulle connessioni logiche e semantiche tra i concetti
organizzati in sistema, a differenza del pensiero pratico basato su aggregazioni
empiriche, contestuali e funzionali tra oggetti ed eventi.
A partire dai teaching experiments condotti, Sierpinska evidenzia vari aspetti in
cui si manifesterebbe il fallimento degli allievi nel pensare ‘teoricamente’, o, se si
preferisce, la loro tendenza a pensare in termini ‘pratici’ piuttosto che ‘teorici’, e che
mostrano come ‘this tendency may adversely affect their [degli studenti] reasoning
in linear algebra’ (Sierpinska 2000, p. 209).
Trasparenza del linguaggio. La mancanza di riflessione sui sistemi di rappresentazione, sulla loro forma e struttura, si riflette da un lato nella produzione, da
parte degli allievi, di testi con caratteristiche da “discorso interiore” (nel senso
22
Stato dell’arte
di Vygotskij), dall’altro nella scarsa sensibilità verso la struttura grammaticale
delle definizioni e della loro natura caratterizzante 6 .
Mancanza di sensibiltà verso il carattere sistemico della conoscenza scientifica. Secondo Sierpinska molti allievi tendono ad organizzare i concetti secondo uno
schema temporale che riflette la cronologia del loro apparire nello svolgimento
del corso di algebra lineare, non riuscendo invece a stabilire connessioni tra
i concetti sulla base di definizioni e teoremi generali. In particolare constata
che gli allievi producono, in tempi e contesti diversi, affermazioni tra loro in
contraddizione; la mancanza di un’organizzazione sistemica dei concetti non
consente loro di rilevare tali contraddizioni.
Pensare ai concetti matematici in termini prototipici. Per le menti pratiche (‘practical mind’, Sierpinska 2000, p.222) - scrive Sierpinska - gli oggetti matematici
sono ‘oggetti naturali’ e non ‘discorsivi’, definizioni e teorie ne possono solo descrivere alcune interessanti proprietà ma non costruirli. L’esempio più
significativo che Sierpinska fa per illustrare questo punto è quello delle trasformazioni lineari nel piano che verrebbero considerate non in generale come
trasformazioni che preservono le combinazioni lineari, ma di volta in volta
come trasformazioni particolari: rotazioni, simmetrie, proiezioni, ecc.
Logica dell’azione. Sotto quest’espressione Sierpinska sembra indicare la tendenza
a considerare i concetti matematici come un tutt’uno con il contesto didattico,
sociale e psicologico che li accompagna. Lo studente non discriminerebbe tra
il problema di conoscere il significato di un termine matematico ed il problema
di conoscere quello che l’insegnante si aspetta da lui (l’allievo) in risposta a
domande “tipiche”. I vincoli della situazione che determinano il significato di
un oggetto matematico e quelli che riguardano il contratto didattico vengono
considerati ugualmente importanti.
Dopo aver ipotizzato che il pensiero pratico può funzionare da ostacolo all’apprendimento dell’algebra lineare, nel 2001 Sierpinska, insieme a Nnadozie, ha investigato
l’affermazione contrappositiva: il pensiero di studenti con un ottimo rendimento in
6
Nel senso che le proprietà elencate in una definizione non sono solo alcune delle proprietà
dell’oggetto definito, ma lo determinano completamente.
2.2 Le caratteristiche del pensiero in algebra lineare
23
algebra lineare può essere caratterizzato come pensiero ‘strongly theoretical’ ? (Sierpinska e Nnadozie, 2001, p.177).
L’indagine, caratterizzata da un forte approccio quantitativo ed un’attenta analisi
statistica dei dati, ha coinvolto 14 studenti che avevano ottenuto il massimo voto al
primo esame di algebra lineare (6 dei quali avevano ottenuto nuovamente il massimo
in occasione del secondo esame).
Dall’analisi statistica dei dati emerge che almeno due delle caratteristiche ascritte al pensiero teorico non sono necessarie per il conseguimento di ottimi livelli di
rendimento:
• affrontare il problema non solo cercando di produrre una soluzione accettabile,
ma anche considerandolo come inserito in un dominio di conoscenza;
• sensibilità alla terminolgia matematica e alla sua articolazione nel formulare e
comunicare idee.
Commentano ironicamente Sierpinska e Nnadozie: ‘these two features are perhaps
those about which we care at most as mathematics educators’ (Sierpinska, Nnadozie
2001, p. 183).
2.2.2
Modi di pensare sintetico-geometrico, analitico-aritmetico e
analitico-strutturale
Sierpinska stessa riconosce che la distinzione pensiero pratico/pensiero teorico ‘is
very general and does not capture the specificity of thinking in linear algebra’ (Sierpinska, 2000, p.211), propone quindi un’analisi parallela che parte dalla distinzione
a priori tra tre modi di pensare in algebra lineare: sintetico-geometrico, analiticoaritmetico e analitico-strutturale.
La distinzione trae origine dall’analisi storico-epistemologica dello sviluppo dell’algebra lineare, che molto deve – osserva Sierpinska – alla costante interazione tra
questi modi di pensare, nessuno dei quali ha però storicamente “prevalso” e che tuttora coesistono; precisa infatti l’autore che i tre modi di pensare non devono essere
intesi come tappe nello sviluppo del pensiero algebrico ma come modi di pensare
complementari, tutti ugualmente utili seppur in contesti e con scopi specifici.
La differenza principale tra modo di pensare analitico e modo di pensare sintetico
è che, mentre per il primo gli oggetti sono definiti da proprietà caratterizzanti, per
24
Stato dell’arte
il secondo gli oggetti sono, in un certo senso, primitivi, presenti direttamente allo
spirito, le proprietà dell’oggetto lo descriverebbero ma non lo definirebbero (essendo
l’oggetto dato prima).
L’ulteriore differenziazione tra modo analitico-aritmetico e modo analitico-strutturale
evoca due processi differenti nello sviluppo dell’algebra lineare: l’aritmetizzazione
dello spazio nel passaggio da geometria sintetica a geometria analitica in R n , la dearitmetizzazione per cui gli oggetti del pensiero analitico perdono la loro sostanza
numerica per divenire elementi astratti il cui comportamento è definito da un sistema di assiomi.
I tre modi di pensare l’algebra lineare sviluppano anche diversi sistemi di rappresentazione intimamente connessi ai modi di descrizione - geometrico, algebrico e
astratto - introdotti da Hillel; in effetti i due paradigmi (modi di pensare e modi
di descrizione) sono stati sviluppati, almeno inizialmente, parallelamente dai due
autori (Sierpinska, Hillel 1997).
Ciascun dei tre modi di pensare conduce a significati diversi delle nozioni in gioco,
non tutti ugualmente accessibili agli studenti (soprattutto all’inizio), in particolare
il modo analitico-strutturale, preferito nei manuali e nella pratica d’insegnamento,
sembra quello più distante dalla sensibilità degli allievi. Oltre a ciò, quando gli
studenti hanno accesso a tutti e tre i modi di pensiero - afferma Sierpinska - non
sembrano in grado di gestirli in modo coerente: non sembrano infatti consapevoli né
delle potenzialità né dei limiti di ciascuno di essi e tanto meno riescono a muoversi
dall’uno all’altro correttamente, ne risultano modi di ragionamento intermedio che
spesso si rivelano inadatti ed inefficaci.
Sierpinska vede nello sviluppo di forme intermedie di pensiero un sintomo del pensiero pratico, che si manifesterebbe nella mancanza di preoccupazione da parte degli
allievi del fatto che concetti e tecniche appartengano o meno ad un sistema coerente,
purché risultino efficaci dal punto di vista didattico, ovvero efficaci per rispondere
in modo conforme alle aspettative dell’insegnante.
2.3 L’insegnamento dell’algebra lineare
2.3
25
L’insegnamento dell’algebra lineare
2.3.1
Principi di insegnamento/apprendimento e loro violazione
Harel osserva che l’insegnamento universitario (in particolare dell’algebra lineare)
si basa sull’assunto (tacito) che gli studenti all’inizio del loro percorso universitario
‘are capable of dealing with abstract structures without extensive preparation, and
can appreciate the economy of thought when particular concepts and systems are
treated through abstract representation’ (Harel 2000, p. 180); una serie di teaching
experiments lo conducono a denunciare la mancanza di fondamento di questo assunto.
In seguito alle sue osservazioni ed ispirandosi alla teoria piagetiana della formazione dei concetti, Harel propone tre principi per l’insegnamento della matematica
avanzata e dell’algebra lineare in particolare (Harel and Kaput, 1991):
Principio di Concretezza. Affinché uno studente possa astrarre una struttura matematica da un dato modello di quella struttura, gli elementi del modello
devono essere entità concettuali per lo studente, cioè lo studente può attivare
procedure mentali con quegli oggetti come input.
Principio di Necessità. Affinché uno studente apprenda, deve sentire la necessità intellettale di quello che gli si vuole insegnare. Si precisa ‘necessità intellettuale’,
in opposizione alle necessità sociali o economiche.
Principio di Generalizzabilità. Le attività didattiche relative ad un modello ‘concreto’, che soddisfi cioè il principio di concretezza, devono consentire ed incoraggiare la generalizzabilità dei concetti coinvolti.
Riguardo al principio di generalizzabilità, l’espressione ‘consentire la generalizzabilità dei concetti’ indica la necessità di trattare quei concetti in modo indipendente
dalle specifictà del modello, ad esempio definire linearmente indipendenti nello spazio tridimensionale tre vettori non complanari è una violazione di questo principio;
l’espressione ‘incoraggiare la generalizzabilità’ richiama la necessità di applicare il
principio in armonia con il principio di necessità.
Harel fornisce alcuni esempi di come l’insegnamento tradizionale dell’algebra lineare
realizzerebbe una violazione dei principi sopra esposti; la sua è dunque una intepretazione ‘didattica’ delle difficoltà in algebra lineare, le cui origini sarebbero da
26
Stato dell’arte
ricercare nell’approccio didattico seguito.
Harel illustra inoltre alcune delle conseguenze immediate che deriverebbero, invece,
dalla loro applicazione. In particolare l’adesione al principio di concretezza, cioè
all’assunto che gli studenti possono costruire il significato di un concetto solo se
inserito in un contesto per essi ‘concreto’, comporta che per introdurre o illustrare i
concetti basilari dell’algebra lineare debbano essere scelti, almeno inizialmente, modelli quali lo spazio geometrico e R n evitando (o riducendo al minimo) il riferimento
a spazi di matrici, polinomi o funzioni, i cui elementi non sono percepiti dagli studenti come oggetti ‘concreti’.
Un’indagine volta a stabilire quale, eventualmente, tra il contesto algebrico e quello
geometrico porti ad una migliore comprensione del concetto di spazio vettoriale da
parte degli studenti, permette ad Harel di concludere a favore della necessità di una
presentazione dei concetti astratti dell’algebra lineare anche in contesto geometrico.
Precisa tuttavia lo stesso che ciò non significa che un corso di algebra lineare debba
cominciare dalla geometria per costruire i concetti algebrici a partire da quelli geometrici, anzi se la geometria è introdotta troppo presto – vale a dire prima che siano
ben formati i concetti algebrici – si presenta il rischio che gli allievi non riescano a
generalizzare i concetti ivi introdotti.
2.3.2
Il livello ‘mèta’
Dorier e Sierpinska osservano (Dorier e Sierpinska, 2001, p.267) che la maggior parte delle ricerche condotte in Francia sull’insegnamento e apprendimento dell’algebra
lineare è più o meno direttamente connessa ad un teaching experiment implementato a Lille da Rogalski nel 1991 (Rogalski, 2000). Non presentiamo qui l’intero
corso, illustriamo piuttosto le idee-guida (Rogalski le caratterizza come ipotesi) a
partire dalle quali esso è stato progettato e che hanno ispirato altri esperimenti
sull’insegnamento dell’algebra lineare (Dorier et al., 2000).
I concetti dell’algebra lineare hanno una natura ‘formalizzatrice, generalizzatrice,
unificatrice e semplificatrice’ che deve essere esplicitamente presa in considerazione nell’insegnamento. La piena assunzione di questa ipotesi si realizza in
una sequenza che prevede: (i) la costruzione in setting diversi di diversi corpus
di conoscenze preliminari, che verrano unificati nella teoria generale, (ii) la
definizione di classi di problemi simili ma presentati e discussi nei corpus pre-
2.3 L’insegnamento dell’algebra lineare
27
liminari, (iii) il ricorso a cambi di prospettive tra i diversi problemi e i diversi
setting, (iv) la costruzione a partire dalle conoscenze preliminari di una teoria
unificante, ed il suo uso sia per re-interpretare oggetti e problemi che per risolvere nuovi problemi, (v) l’esplicitazione dell’importanza dei cambiamenti di
prospettiva effettuati e dell’unificazione delle precedenti conoscenze nel nuovo
corpus.
L’apprendimento del’algebra lineare richiede un numero di ‘prerequisiti’. I prerequisiti che Rogalski cita sono di natura piuttosto varia, spaziano da conoscenze
in settori specifici della matematica - una certa pratica in logica elementare,
familiarità con il linguaggio della teoria degli insiemi, conoscenze in geometria cartesiana - ad elementi propri di un certo ‘habitus mentale’ - accettare
di ragionare con simboli , concettualizzare oggetti matematici complessi come
entità individuali, accettare processi di generalizzazione ed assiomatizzazione.
Rogalski osserva che solo alcuni di essi dovrebbero essere in possesso degli
allievi al loro ingresso nell’università, mentre altri possono essere oggetto di
insegnamento subito prima o in parallelo all’insegnamento dell’algebra ineare.
È necessario implementare in modo interattivo una strategia a lungo termine, riflessioni di livello ‘mèta’ e il cambiamento di setting e punti di vista. L’espressione
‘strategia a lungo termine’ indica una sessione di insegnamento non frazionabile in moduli indipendenti. L’insegnamento appare non frazionabile perché
caratterizzato da continui cambiamenti di prospettiva che implicano continue
rivisitazioni delle nozioni oggetto di insegnamento, e ciò richiede anche tempi
lunghi. D’altra parte i ‘cambiamenti di setting e punti di vista’ appaiono necessari in un insegnamento che voglia, come detto sopra, esplicitamente prendersi
carico della natura formalizzatrice, generalizzatrice, unificatrice e semplificatrice dei concetti di algebra lineare. Infine, sempre la natura epistemologica
dell’algebra lineare rende necessario coinvolgere gli studenti in riflessioni sulla
loro attività matematica, sui metodi che utilizzano, la loro generalizzabilità, i
loro limiti, sulla matematica come dominio, sulla sua organizzazione, ecc.
La valutazione di questo tipo di insegnamento, soprattutto riguardo l’impatto delle
riflessioni ‘mèta’, è, come sottolineano Dorier et al. (2000), ‘problematica’. Le
differenze con un corso ‘tradizionale’ sono troppo profonde ed importanti per pensare
28
Stato dell’arte
ad una analisi comparativa, inoltre trattandosi di un corso a lungo termine (nel
senso precisato sopra) appare difficile individuare i momenti adatti per le eventuali
valutazioni. Le valutazioni interne attivate hanno comunque mostrato effetti positivi
pur lasciando aperte alcune questioni; in particolare la ricerca di tracce dirette o
indirette degli interventi didattici di tipo mèta nelle produzioni degli allievi ha dato
esito negativo: tali tracce sono assenti o comunque talmente disperse e frammentarie
da non poterne determinare l’influenza (Dorier et al., 2000, p.173).
2.3.3
La dimensione geometrica nell’insegnamento dell’algebra lineare.
A partire dal suo lavoro di tesi, Gueudet-Chartier ha condotto studi (2000, 2004,
2004a) sui limiti e le potenzialità dell’uso della geometria nell’insegnamento dell’algebra lineare.
Più precisamente oggetto di tali studi è il ruolo di modelli geometrici e modelli figurativi in algebra lineare: il termine ‘modello’ si riferisce alla teoria dei modelli
elaborata da Fischbein (1987)7 .
Più in dettaglio lo studio di Gueudet-Chartier si articola nelle analisi del
• ruolo dei modelli geometrici nello sviluppo storico dell’algebra lineare;
• ruolo dei modelli geometrici e figurativi nei manuali di algebra lineare;
• l’uso dei modelli geometrici e figurativi da parte dei docenti di algebra lineare;
• l’uso dei modelli geometrici e figurativi da parte degli studenti nella soluzione
di problemi di algebra lineare.
Il lavoro di Gueudet-Chartier evidenzia che nonostante gli insegnanti e gli autori
dei manuali concordino sulla necessità del ricorso all’intuizione geometrica, ad essa
viene lasciato un ruolo decisamente marginale tanto nell’insegnamento quanto nei
manuali.
Certo ‘le recours au géométrique ne peut pas constituer une solution miracle aux
problèmes renontrés par les étudiants en algèbre linéaire’ (Gueudet 2004a, p. 107).
La stessa analisi storico-epistemologica mostra che l’algebra lineare non può essere
7
La teoria dei modelli di Fischbein è uno dei quadri teorici rispetto a cui svilupperemo le nostre
analisi: nel paragrafo 3.1 ne esporremo gli aspetti salienti.
2.4 Concept-image in algebra lineare
29
costruita come semplice generalizzazione della geometria (Gueudet-Chartier 2004).
Inoltre l’uso di modelli geometrici propri della scuola secondaria sembra correlata
con l’emergere di misconcetti in algebra lineare. Tuttavia secondo l’Autore merita
di essere investigata la possibilità – finora poco studiata – di far precedere all’introduzione assiomatica dell’algebra lineare, lo studio degli spazi euclidei di dimensione
minore o uguale a 3. Tale studio permetterebbe agli studenti la costruzione di
modelli geometrici e figurativi adatti, o comunque più adatti di quelli della scuola
secondaria, anche per lo studio della teoria generale.
2.4
Concept-image in algebra lineare
In questo paragrafo, presentiamo brevemente uno studio condotto da Nardi (1997)
sui concept-images (Tall, Vinner 1981) in algebra lineare: più precisamente sui
concept-images delle nozioni di ‘sistema di generatori’ e ‘spazio generato’. Come
anticipato in introduzione (1.2), si tratta dell’unico lavoro, di cui siamo a conoscenza, che dedica la propria attenzione allo studio degli aspetti cognitivi relativi a
specifiche nozioni di algebra lineare. Questo studio non compare nel survey curato da
Dorier e Sierpinska (2001), né in altri di cui siamo a conoscenza (Dorier 1997 e 2000).
Nell’ambito del suo progetto di dottorato, da cui questo studio trae la propria origine, Nardi ha condotto uno studio su ‘the novice mathametician’s conceptual and
reasoning difficulties in their encounter with mathematical abstraction’ (Nardi 1997,
p. 47) in vari settori della matematica, tra cui appunto l’algebra lineare.
Come detto il quadro teorico di riferimento per questo studio è fornito dalla distinzione tra concept-definition e concept-image (Tall, Vinner 1981).
I soggetti coinvolti sono venti studenti del primo anno di università in matematica,
che sono stati osservati e audio-registrati durante le sessioni settimanali di tutorato,
e quindi intervistati. L’articolo di Nardi del 1997, a cui ci riferiamo riporta soltanto
i risultati delle interviste 8 .
Durante le interviste agli studenti è stato chiesto di riflettere a voce alta su alcuni
termini presentati loro; per quanto riguarda l’algebra lineare, i termini sono: ‘gene8
Stando all’Autore, al momento della pubblicazione di questo articolo lo studio era ancora in
progress, non siamo però a conoscenza di successive pubblicazioni dell’Autore su questo medesimo
tema.
30
Stato dell’arte
rare’, ‘essere generato da’, ‘sistema di generatori’ e ‘spazio generato’ 9 .
I risultati principali che emergono da questo studio sono:
• Nella loro presentazione di spazi generati e generatori, molti soggetti ricorrono
‘al uso de un soporte de representación visual, principalmente en R 2 , resultando
en una perplejidad cognitiva incrementada’ (Nardi 1997, p. 51).
• ‘L[l]a imagen conceptual dominante en los principiantes acerca de un conjunto
generador es que representa una base’ (ibidem).
• I termini spazio generato (‘espacio generado’) e sistema di generatori (‘conjunto
generador’) sono spesso confusi, usati in modo intercambiabili.
Il lavoro di Nardi si presenta originale rispetto al panorama delle ricerche internazionali, ed evidenzia aspetti relativi alle nozioni di spazio generato e sistema di
generatori che difficilmente si può pensare non siano fonte di difficoltà ed errori per
gli studenti, tuttavia – rileviamo – manca ancora uno studio sistematico in questa
direzione.
2.5
Un bilancio
Al termine della panoramica da loro curata sullo stato dell’arte della ricerca in didattica dell’algebra lineare, Dorier e Sierpinska (2001) evidenziano come i risultati
forniti da quelle ricerche mettano in luce, da un lato, alcune ragioni per le difficoltà
degli studenti in questo campo, e dall’altro, alcune implicazioni per il suo insegnamento.
Le ragioni ‘why many students find linear algebra so difficult to learn’ (ibidem,
p. 270), citate da Dorier e Sierpinska sono le seguenti.
• Il fatto, che i problemi lineari alla portata di studenti universitari del primo
anno di corso possano essere risolti senza ricorrere alla teoria degli spazi vet-
toriali, trasmette agli studenti un’immagine, o rinforza la loro percezione, di
gratuità ed insensateza dell’algebra lineare. ‘T[t]his theory has little chance of
being perceived as an intellectual necessity for these students’ (ibidem, p. 270).
9
‘generar, ser generado por, conjunto generador, espacio generado’ (Nardi 1997, p. 50).
2.5 Un bilancio
31
• ‘Linear algebra is an ‘explosive compound’ of languages and systems of representation’ (ibidem): la presenza di diversi linguaggi (o modi di descrizione, se-
condo la terminologia introdotta da Hillel, 2.1.3) e di diversi registri semiotici 10
rende l’algebra ineare un settore ‘concettualmente difficile’.
• ‘Linear algebra is highly demanding from the cognitive point of view’ (ibi-
dem) per la necessità di muoversi da un linguaggio all’altro, da un punto di
vista all’altro (ad esempio, parametrico e cartesiano), da un registro semiotico
all’altro, oltre alla necessità di articolare tipi di pensiero diversi (Sierpinska
2000).
Per quanto riguarda le implicazioni di natura didattica, Dorier e Sierpinska parlano di ‘well-founded ‘recommendations’ or ‘good advices’ concerning the practice
of school’ (2001, p. 270). Non essendo al centro degli interessi del presente lavoro, rinunciamo a trattare in modo completo e dettaglio queste ‘recommendations’
e ‘good advices’. Sottolineiamo che è messo sotto accusa l’approccio assiomatico,
considerato soprattutto discutibile nei ‘Corsi di Servizio’ – destinati cioè a discipline
scientifiche diverse dalla matematica. Se non si vuole o non si può rinunciare a tale
approccio, appare di fondamentale importanza discutere esplicitamente il carattere
generalizzante ed unificante dei concetti di algebra lineare.
In questo bilancio ovviamente non compaiono i risultati dello studio di Nardi (1997)
che abbiamo presentato nel paragrafo 2.4
Terminiamo questo capitolo riportando come, nel 1997, quando diversi degli studi citati da Dorier e Sierpinska sono già avviati 11 , Dubinsky può ancora denunciare,
al di là di una generale comune percezione dell’inadeguatezza dell’insegnamento dell’algebra lineare, l’assenza di ‘a body of research that provides evidence that would
convince a skeptic of the lack of success of linear algebra courses’ (Dubinsky 1997,
p. 86). Evidenziando la povertà di studi che documentino le difficoltà degli studenti
in algebra lineare, Dubinski indica implicitamente una possibile linea di ricerca.
Il nostro studio intende situarsi lungo la direzione indicata da Dubinski, che alla
luce delle recenti panoramiche sullo stato dell’arte (Dorier, Sierpinska 2001; Dorier
10
11
Qui gli autori si riferiscono allo studio di Pavlopoulou che noi non abbiamo trattato.
A tal proposito, si possono confrontare con questa di Dorier e Sierpinska (2001) le rassegne
curate da Dorier (1997, 2000).
32
Stato dell’arte
1997, 2000) appare ancora una direzione poco esplorata: lo studio delle difficoltà
cognitive relative a specifiche nozioni della teoria degli spazi vettoriali.
Capitolo 3
Quadri teorici
In questo capitolo presentiamo brevemente i quadri teorici coerentemente ai quali
svilupperemo la nostra analisi dei protocolli raccolti nella fase sperimentale. L’esposizione non intende essere esaustiva, ci limitiamo a richiamare i punti chiave che
saranno reinvestiti nella nostra analisi e gli aspetti che giustificano il loro uso.
3.1
Modelli intuitivi taciti
Fischbein (1987, 1992) sottolinea il rischio che il carattere astratto dei concetti e delle
operazioni matematiche e il loro trattamento formale possono portare a svuotare di
significato i simboli usati. Al contrario, per un pensiero produttivo è necessario che
tali simboli posseggano ‘qualche significato pratico, unificatore, di comportamento’
(Fischbein, 1992, p.26). Di qui la necessità per l’essere umano di produrre modelli
che conferiscano tale significato ai simboli usati. ‘If a notion is not representable intuitively one tends to produce a model which can replace the notion in the reasoning
process. We are referring here especially to substitutes which are able to translate
the concept in sensorial behavioral terms. These are intuitive models’ (Fischbein,
1987, p. 203).
In generale, ‘d[D]ati due sistemi, A e B, B può essere considerato un modello di A
se, sulla base di un certo isomorfismo tra A e B, una soluzione o descrizione prodotta in termini di A può essere pensata coerentemente in termini di B e viceversa’ 1
(Fischbein, 1992, p. 96).
1
Nel seguito, seguendo la scelta di Fischbein, chiameremo i due sistemi uno ‘modello’ e l’altro
‘originale’
34
Quadri teorici
La definizione proposta è molto ampia ed arriva a comprendere, ad esempio, i modelli
matematici e fisici di fenomeni concreti. Per questo Fischbein distingue tra modelli
astratti, in cui il sistema astratto (ad esempio un insieme di relazioni matematiche)
fornisce gli strumenti per risolvere problemi che si pongono nella realtà concreta, e
modelli intuitivi, che ‘concretizzano’ oggetti e relazioni matematiche, ovvero forniscono modi di pensare gli oggetti e le relazioni matematiche come se appartenessero
all’esperienza fisica.
Ciò che contraddistingue i modelli intuitivi è, quindi, la loro natura immediata,
pratica, concreta, di comportamento: esso può essere percepito, rappresentato, manipolato come una qualunque realtà concreta pur potendo essere esso stesso un
costrutto astratto.
Il nostro interesse è qui volto ai modelli intuitivi taciti, in quanto ‘rappresentazioni
di certe nozioni matematiche astratte che si sviluppano ad uno stadio iniziale del
processo di apprendimento e che continuano ad influenzare, tacitamente, le interpretazioni e le decisioni risolutive dell’allievo’ Fischbein, 1992, p. 96). Il termine
‘tacito’, o indifferentemente ‘implicito’, indica che l’individuo non è consapevole di
questa influenza, o comunque non della sua portata.
3.1.1
Ruolo e caratteristiche dei modelli intuitivi taciti
Come detto sopra, i modelli intuitivi verrebbero costruiti, deliberatamente o implicitamente, come conseguenza dell’impossibilità di manipolare direttamente oggetti
non intuitivamente accessibili. ‘The essential role of an intuitive model is, then, to
constitue an intervening device between the intellectually inaccesible and the intellectual accepatble and manipulable’ (Fischbein, 1987, p. 123).
Affinché un modello (intuitivo o meno) possa ricoprire tale ruolo, possa partecipare
quindi attivamente nei processi di ragionamento deve godere delle seguenti proprietà.
• Deve esistere un ‘isomorfismo strutturale’ tra un modello ed il suo originale,
questo implica che ‘a set of invariant, consistent, coherent, reciprocal rela-
tionships must exist between the original and the model’ (Fischbein, 1987,
p. 123).
• Un modello non può essere una regola isolata o una percezione, al pari di
una teoria matematica il modello è un entità strutturale, coerente, dotato di
proprie ‘leggi’.
3.1 Modelli intuitivi taciti
35
• Un modello deve essere autonomo rispetto all’originale, se fosse necessario un
continuo ritorno all’originale per compiere o controllare ogni singolo passo, il
modello non avrebbe nessuna utilità euristica.
Oltre a quelle sopra elencate, i modelli intuitivi taciti condividono altre caratteristiche.
• Concretezza. Come più volte ricordato, un modello intuitivo ha una natura concreta, pratica, di comportamento, anche se il modello è un costrutto
astratto.
• Semplicità, immediatezza, economia. I modelli intuitivi giocano un ‘ruolo
priviliegiato nel processo di ragionamento proprio perché [. . . ] direttamente
rappresentabili in termini di azioni’ (Fischbein, 1992, p. 33).
• Stabilità. I modelli intuitivi sono stabili, resistenti all’acquisizione di nuove
conoscenze. Nuove conoscenze vengono integrate nel modello o semplicemente
trattate in modo autonomo da esso. In ogni caso la forza del modello tale che
non è messo in crisi facilmente.
• Coercività. I modelli intuitivi possono esercitare un effetto coercitivo imponendosi, implicitamente, sull’individuo come le uniche rappresentazioni possibili
di un oggetto matematico, rendendo inaccettabili altre alternative. Conseguentemente i modelli intuitivi possono imporre limitazioni sui processi di
ragionamento dell’individuo e quindi sulle strategie risolutive di un problema.
Nel processo di soluzione di problemi, i modelli intuitivi si presentano all’individuo
come sostituti per loro stessa natura più efficaci dell’originale. Presupposto per
tale efficacia è l’autonomia del modello rispetto all’originale, in virtù della quale il
soggetto si può affidare, nella soluzione dei problemi, al solo modello, ‘b[B]ut, at the
same time, this increases the danger that the solver may become so much captured by
the model, that he may, sometimes draw conclusions for the original from properties
of the model which, in fact, are not relevant to the original’ (Fischbein, 1987, p. 124).
3.1.2
Vari tipi di modelli intuitivi
Concludiamo questa sezione descrivendo sinteticamente i diversi tipi di modello
intuitivo individuati da Fischbein (1987).
36
Quadri teorici
Modelli analogici. Due sistemi sono analogici se sussistono tra loro somiglianze sistematiche sulla cui base un individuo si sente, soggettivamente, autorizzato ad
assumere l’esistenza anche di altre somiglianze. Ciò che distingue un’analogia
da una somiglianza è che la prima è una mappa tra due sistemi che preserva
le inferenze. Citando Gentner, Fischbein afferma che ‘a[A]nalogy implies [. . . ]
similarity of structure, a stock of commun structured properties’ (Fischbein,
1987, p. 126).
Modelli paradigmatici. Un paradigma di una classe di oggetti o di fenomeni è un
esemplare o una particolare sottoclasse della medesima. Cosiccome una analogia non è una semplice somiglianza, un paradigma non è semplicemente un
esempio. Un paradigma è una particolare istanza percepita e accettata come
rappresentativa dell’intera classe, di conseguenza può accadere che proprietà
proprie di quella particolare istanza vengano estese a tutta la classe di cui essa
è paradigma. Modelli analogici e modelli paradigmatici hanno molti aspetti
in comune, ciò che distingue gli uni dagli altri è che nel primo caso il modello
e l’originale appartengono a due classi concettualmente distinte, mentre nel
secondo il modello è un esemplare o una sottoclasse dell’originale.
Modelli diagrammatici. Si parla di modello diagrammatico quando una rappresentazione grafica di un oggetto, di un fenomeno o di una relazione tra fenomeni
riveste il ruolo di modello. A differenza dei tipi di modello descritti sopra,
originale e modello non sono, in questo caso, due sistemi ‘esistenti’ indipendentemente uno dall’altro; il primo ‘exists in its own right, while the other,
the diagram, is an artificiale construct, intentionally created to model the first’
(Fischbein, 1987, p. 154).
P-prims. Seguendo diSessa, Fischbein definisce i p-prims – phenomenological primitives – come particolari fenomeni suscettibili, per il soggetto, di spiegare
una classe più ampia di fenomeni. Ad esempio il fenomeno di compressione
ed espansione di una molla può funzionare da modello per spiegare il comportamento di una palla che rimbalza, o più in generale il fenomeno degli
urti elastici (Fischbein, 1987, p. 154). Anche se non espresso eplicitamente,
la nozione di P-prim o modello fenomenologico ci sembra relativa soprattutto
all’ambito della fisica e delle scienze sperimentali.
3.2 Modello ck/
c
37
Concludiamo osservando che P-prims e modelli paradigmatici sono strettamente correlati: questi ultimi definiscono, per il soggetto, un’intera classe di
oggetti, i primi giustificano un’intera classe di fenomeni.
3.2
Modello ck/
c
Nel quadro della teoria delle situazioni (Brousseau, 1997), il modello ck/c, (Balacheff,
1995, 2000, Balacheff, Gaudin 2002)– acronimo per conception, connaissance e concept – si pone l’obiettivo ‘of modeling students knowing of mathematics under the
constraints of acknowledging both their possible lacking of coherency and their local
efficiency’ (Balacheff, Gaudin, 2002, p.1).
L’espressione ‘possible lacking of coherency’ si riferisce al fatto, ampiamente documentato in didattica della matematica, che un individuo possa mobilitare conoscenze
tra loro apparentemente contradditorie. Ammettere la possibilità di conoscenze tra
loro contraddittorie rischia di confliggere con l’ipotesi piagetiana e costruttivista
del carattere adattivo della conoscenza; ‘diagnostiquer un état de connaissance contradictoire réfute le principe théorique d’une structure mentale construite dans un
processus d’adaptation réglé par des critères de fiabilité et d’adequation à la resolution d’un probleme ou à l’accomplissement d’une tâche’ (Balacheff 1995, p. 220).
L’apparente paradosso è risolto se si prendono in considerazione il tempo, conoscenze contradditorie appaiono in momenti diversi della storia dell’individuo e si possono
perciò mutualmente ignorare, e la diversità delle situazioni su cui le conoscenze sono mobilitate. Tuttavia, come Balacheff e Gaudin osservano, ‘t[T]he issue of the
diversity of situations [. . . ] is a possible explanation insofar as one recognizes that
a knowing is not of a general nature but, on the contrary, it is related to a specific
and concrete domain of validity on which it is acknowledged as an efficient tool’
(Balacheff, Gaudin 2002, p. 4). Tali domini sono designati con l’espressione sfere di
pratica.
Sottolineiamo che il giudizio di contraddittorietà è espresso da un osservatore esterno
in grado di mettere in relazione situazioni vissute e viste come differenti dal soggetto.
Il problema di elaborare un modello in grado di render conto della complessità
descritta sinteticamente sopra è affrontato prendendo in considerazione e definendo
38
Quadri teorici
formalmente la nozione di ‘concezione’ e, a partira da essa, le nozioni di ‘conoscenza’
e ‘concetto’, che quindi acquisiscono un significato specifico all’interno del modello.
3.2.1
Concezioni, conoscenze e concetti
Artigue (1991) sottolinea come la nozione di concezione sia spesso usata in didattica
della matematica come strumento di analisi, eppure raramente, se mai, definita
in modo esplicito. Secondo l’analisi che ne fa, la nozione di concezione risponde,
tra le altre, alla necessità di ‘mettre en évidence la pluralité des points de vue
possibles sur un même objet mathématique, différencier les représentations et modes
de traitement qui lui sont associés, mettre en évidence leur adaptation plus ou moins
bonne à la résolution de telle ou telle classe de problèmes’ (ibidem, p.265).
Come riconosciuto da Balacheff (1995, 2000), la definizione di concezione proposta
all’interno del modello ck/c trae origine dalla definizione di concetto data da Vergnaud
(1991). Una concezione è caratterizzata da:
un insieme, P, di problemi su cui la concezione è operatoria, la sfera di pratica della
concezione stessa;
un insieme, R, di operatori, cioè di manipolazioni, azioni, trasformazioni, concrete
o astratte, che il soggetto può mettere in atto per risolvere un problema: ‘an
operator could take the form of a funcionality at the interface of a software or
of a semantic rule to transform an algebraic expression, or it could even take
the form of a theorem in an inference’ (Balacheff, Gaudin 2002, p. 7);
un sistema, L, di rappresentazione , cioè un insieme di significanti che consente di
rappresentare sia i problemi che gli operatori;
una struttura, Σ, di controllo , spesso implicita, che consente di scegliere un operatore, deciderne la rilevanza, valutarne l’efficacia, di decidere se un problema è
risolto o meno.
Adottando il formalismo del modello ck/c , diremo che una concezione è una quadrupla (P, R, L, Σ) le cui componenti – e le relazioni tra esse – sono descritte sopra.
In accordo con il quadro generale della teoria delle situazioni (Brousseau 1997), la
definizione data non fornisce una modellizzazione del soggetto, quanto piuttosto di
uno stato del sistema sujet–milieu: ‘le système de représentation doit permettre
3.2 Modello ck/
c
39
d’exprimer et de mettre en œuvre les opérateurs tant du point de vue du sujet
émetteur-actif que du milieu récepteur-réactif, les structures de contrôle doivent
autant modéliser les moyens du sujet-acteur que la capacité du milieu réacteur à
retourner dea feedbacks intellegibles’ (Balacheff 2000, p. 86). Non approfondiremo oltre questo aspetto in quanto esula dal problema al quale siamo interessati, ci
sembra comunque importante sottolineare il particolare punto di vista che integra
l’azione dell’individuo all’ambiente con il quale interagisce.
Prima di poter definire conoscenza e concetto in termini del modello ck/c, è necessario definire cosa vuol dire che due concezioni hanno lo stesso oggetto 2 , dal punto di
vista di una terza concezione.
Indichiamo con Cµ la concezione di un osservatore, diciamo che due concezioni C e
C 0 hanno lo stesso oggetto (o lo stesso contenuto di riferimento) dal punto di vista
di Cµ , se esistono due funzioni di ‘traduzione’ f : L → L µ e f 0 : L0 → Lµ tali che per
ogni problema p in P esiste un problema p 0 in P 0 che soddisfa f (p) = f 0 (p0 ) e vice-
versa. (Balacheff, Gaudin 2002). Il fatto che due concezioni C e C 0 abbiano o meno
lo stesso oggetto è riferito ad una terza concezione, si tratta di un giudizio espresso
da un osservatore, che basa tale giudizio sulla possibilità di mettere in relazione i
problemi costitutivi di C e C 0 riconoscendo che si tratta dei medesimi problemi.
Inoltre il fatto che due concezioni C e C 0 abbiano lo stesso oggetto agli occhi di un
osservatore non comporta che esse risolvano allo stesso modo i problemi delle rispettive sfere di pratica; quell’osservatore potrebbe riconoscere delle contraddizioni nel
modo di operare delle due concezioni sui medesimi – ai suoi occhi – problemi.
Una conoscenza è un insieme di concezioni aventi lo stesso oggetto. A questo punto
possiamo definire il dominio di validità di una conoscenza, come unione dei domini
di validità delle relative concezioni; per quanto detto sopra, tale definizione riconosce
la possibilità di un carattere contradditorio della conoscenza medesima. Un concetto
è l’insieme di tutte le conoscenze aventi il medesimo oggetto.
Concludiamo questo paragrafo osservando che una concezione può essere (ri)considerata come istanziazione della conoscenza di un soggetto in una situazione o come
istanziazione di un concetto rispetto alla coppia soggetto/situazione.
2
Facciamo notare che né qui né altrove abbiamo attribuito un significato all’oggetto di una
concezione
40
Quadri teorici
3.2.2
Concezioni e soluzione di problemi
Finora abbiamo parlato di problemi appartenenti alle sfere di pratica di una concezione, ma in generale non c’è nessuna ragione per cui tutti i problemi appartengano
alla sfera di pratica di una concezione. ‘Un problème quelconque peut ne pas entretenir de relation spécifique avec une conception, en général il sera lié à pleusieurs
ensembles de conceptions’ (Balacheff 1995, p. 234).
Questa considerazione unita all’ipotesi che le concezioni sono mobilitate nella ed
emergono dalla attività di risoluzione di problemi – ‘c’est sa manifestation en tant
que moyen de résolution dans le problème qui nous permet d’attester d’une conception’ (Gaudin 2002, p. 37) – pone la necessità di definire meglio i rapporti tra
concezioni e problemi che non appartengono alla sfera di pratica di nessuna specifica
concezione.
Balacheff affronta il problema proponendo la seguente definizione.
‘Soient un problème p et une famille de n conceptions {C 1 , . . . , Cn },
on dira que {C1 , . . . , Cn } résout p si et seulemente s’il existe une suite
d’opérateurs (ri1 , . . . , rim ) dont chaque terme est pris dans l’un des R i
pour i dans {1, . . . , n} telle que
• p1 = ri1 (p)
• pour k compris entre 2 et m: pk = rik (pik−1 )
• il existe s (resolu) de Σim vérifiant s(pim ) =vrai.
On dira, classiquement, que (ri1 , . . . , rim ) est une solution de p.’
(Balacheff 1995, p. 38, e 2000, p. 89)
La soluzione di un problema è dunque una successione di operatori in generale pertinenti a diverse concezioni che trasformano via via il problema dato in un problema
appartenente al dominio di validità di una concezione. Anche se Balacheff non
esplicita in questa definizione la dimensione della struttura di controllo, ci sembra
coerente con la modellizzazione presentata ipotizzare che dietro ogni operatore sia
attivato un certo numero di controlli, che assicurino la rilevanza, l’adeguatezza e
l’efficacia degli operatori mobilitati.
3.3 Dualità processo/oggetto
3.3
41
Dualità processo/oggetto
Premettiamo che il quadro teorico della dualità processo/oggetto elaborato da Sfard
(1991) pur avendo una portata generale ha mostrato una efficacia particolare nell’ambito dell’algebra.
Partendo da un’indagine sugli elementi che distinguono l’astrazione matematica da
altri tipi di astrazione, Sfard ha elaborato una teoria che è simultaneamente teoria
epistemologica della nascita e dello sviluppo storico dei concetti matematici e teoria
psicologica della formazione dei concetti matematici nell’individuo (Sfard 1991).
Centrale all’interno di tale quadro teorico è l’ipotesi che un’entità matematica possa essere concepita come un oggetto, ‘as if it was a real thing – a static structure,
existing somewhere in space and time’ (Sfard 1991, p. 4) o come un processo, ‘as
a potential rather than actual entity, which comes into existence upon request in a
sequence of actions’ (ibidem).
Le espressioni ‘concezione strutturale’ e ‘concezione operazionale’ di una nozione
matematica si riferiscono rispettivamente ai casi in cui la medesima sia vista come
oggetto o come processo3 .
Come Sfard stessa riconosce, la distinzione tra due tipi di conoscenza o di pensiero
matematico, uno attinente alla sfera del procedurale, dell’algoritmico e l’altro alla
sfera del concettuale non rappresenta una novità in didattica della matematica –
si veda Hiebert, 1986 per un’ampia presentazione degli studi sull’argomento. Ella
rivendica tuttavia due elementi innovativi originali della sua proposta, che costituiscono una rottura con i quadri teorici precedenti: la natura simultaneamente
ontologica – cioè inerente la natura stessa delle entità matematiche – e psicologica
– inerente al modo in cui le entità matematiche sono concettualizzate dall’individuo – della distinzione tra strutturale e procedurale, e la complementarietà tra le
due concezioni, ‘the terms operational and structural refer to inseparable, though
dramatically different facets of the same thing’ (Sfard 1991, p.9). Sfard intende il
termine complementarietà in un senso molto forte: la concezione strutturale e quella operazionale di una nozione matematica sono complementari, nello stesso senso,
in cui, in fisica si considereno complementari la natura corpuscolare e ondulatoria
3
Sfard oppone la nozione di concezione a quella di concetto, quest’ultima si riferisce ad un
costrutto teorico all’interno di un universo formale di sapere, la prima invece all’intera rete di
rappresentazioni interne e di associazioni evocate dal concetto.
42
Quadri teorici
delle entità subatomiche (Sfard 1994). Per questa ragione, Sfard preferisce parlare
di dualità piuttosto che di dicotomia.
Per quanto riguarda la dimensione ontologica, in cui non ci addentreremo, ci sembra importante riportare che sulla base dell’analisi epistemologica e dello sviluppo
storico dei concetti matematici Sfard giunge a formulare l’ipotesi che il fenomeno
per cui una medesima rappresentazione ed un medesimo concetto matematico possano essere concepiti a volte strutturalmente e altre volte operazionalmente pervade
l’intera matematica (Sfard, 1994, p.193).
3.3.1
La formazione dei concetti matematici
Per quanto riguarda la formazione dei concetti, Sfard formula l’ipotesi che indipendentemente dal tipo di insegnamento la concezione operazionale (process-oriented)
emerga per prima, solo in seguito si sviluppa, da questa, la concezione strutturale
(object-oriented) della nozione matematica in gioco. ‘I[i]n the process of learning
[. . . ] certain characteristics can be identified which appear to be quite immune to
changes in external stimuli. The precedence of the operational conceptions over
structural is [. . . ] one of such invariants’ (Sfard 1991, p. 17) 4 .
Nel processo di costruzione della concezione strutturale (oggetto) dalla concezione
operazionale (processo) Sfard riconosce tre fasi distinte:
• il processo è interiorizzato, può cioè essere compiuto mentalmente senza bisogno di ricorrere a rappresentazioni esterne, ‘in order to be considered, analyzed,
compared it needs no longer to be actually performed’ (Sfard 1991, p. 18);
• il processo è condensato, l’individuo può riferirsi al processo in termini di
relazioni tra input e output senza il bisogno di indicarne le operazioni;
• il processo è reificato in un oggetto, la concezione strutturale risulta costruita.
Una volta costruito, l’oggetto può essere input di nuovi processi, lo schema appena
descritto si rimette in moto: lo stadio di reificazione di un processo in oggetto e quello di interiorizzazione di un processo compiuto sul medesimo oggetto si incernierano
uno sull’altro, divenendo prerequisiti uno dell’altro. Di più, la necessità di compiere
4
I toni di questa ipotesi appaiono leggermente attenuati in lavori precedenti al 1991. ‘It seems
plausible [. . . ] that formation of an operational conception is for most people the inevitably first
step in the acquisition of a new notion’ (Sfard 1987, p. 164)
3.3 Dualità processo/oggetto
43
processi più ‘complessi’ su processi più ‘semplici’ rende necessaria la reificazione di
questi ultimi; ‘the lower-level reification and the higher-level interiorization are prerequisite for each other’ (Sfard 1991, p. 31).
La dualità processo/oggetto si riflette in parte anche nelle rappresentazioni dei concetti matematici, il cui ruolo nella costruzione dei medesimi appare difficilmente
sovrastimabile. Non tutte le rappresentazioni, infatti, sembrano poter evocare con
uguale immediatezza concezioni strutturali o operazionali. Ad esempio, relativamente alle possibili rappresentazioni di una funzione, Sfard (1991, p. 6) osserva
che il linguaggio verbale per la sua intrinseca sequenzialità esprime un approccio
operazionale, mentre per la sua natura olistica un grafico incoraggia un approccio
strutturale. Infine la rappresentazione algebrica di una funzione sembra, a Sfard,
facilmente interpretabile nei due modi: come descrizione di un processo di calcolo,
o relazione statica tra due grandezze.
3.3.2
Dualità processo/oggetto e processi cognitivi
Coerentemente con il modello descritto, una nozione matematica può essere considerata pienamente sviluppata solo se può essere concepita sia operazionalmente che
strutturalmente.
Sfard pone a questo punto il problema di comprendere cosa renda necessario questa
duplice prospettiva, ‘what can be achieved with the ability of seeing a concept both
operationally and structurally, which would not be attained if only one approach
was always assumed’ ((Sfard 1991, p. 23). Assunto che la concezione operazionale
precede sempre quella strutturale, cosa rende necessario la formazione di una concezione strutturale?
La risposta a tali domande risiederebbe nell’intrinseca difficoltà di elaborare adeguatamente le informazioni concepite operazionalmente. ‘The ‘operational’ knowledge
[. . . ] although sufficient for problem solving, can not be easily processed by the
learner’ (Sfard 1987, p. 164), e questo avverrebbe a causa della natura sequenziale,
dettagliata e non strutturata delle concezioni operazionali.
Di qui la necessità di un passaggio alle concezioni strutturali che, da un lato, si
distinguono per la loro natura sincretica ed istantanea e pertanto più direttamente
e facilmente ‘manipolabile’, e dall’altro consentono una riorganizzazione delle conoscenze operazionali.
44
Quadri teorici
‘I[i]n problem-solving processes, the compact abstract entities serve as pointers to
more details information. Thus almost any mathematical activity may be seen as an
intricate interplay between the operational and the structural versions of the same
mathematical ideas’ (Sfard 1991, p. 28).
3.3.3
Quadri teorici correlati
In tempi più recenti si sono sviluppati altri quadri teorici che richiamano ed indagano
in modi diversi e con diversi obiettivi la dualità processo/oggetto, e che, pur del
tutto autonomi dalla teoria di Sfard, appaiono coerenti con essa. Ci riferiamo in
particolare alla teoria APOS e alla nozione di ‘procept’ che trattiamo brevemente
qui di seguito.
APOS
La teoria APOS – il nome è l’acronimo per azione, processo, oggetto e schema – è
una teoria di come l’apprendimento di un concetto matematico potrebbe avere luogo. Da questo puno di vista si differenzia quindi decisamente dalla teoria di Sfard
che si presenta come modello ontogenetico della nascita e dello sviluppo dei concetti
matematici e come modello filogenetico della formazione dei concetti matematici
nell’individuo.
Secondo questa teoria, la costruzione dei concetti matematici comincia quando in
risposta a stimoli esterni l’individuo manipola, compie azioni su oggetti fisici o mentali. Le azioni possono essere interiorizzate in un processo, che a sua volta può essere
incapsulato in un oggetto. Oggetti e processi possono essere organizzati in schemi,
che a loro volta possono essere tematizzati in oggetti (Czarnocha et al. 1999, pp. 98
e 100).
Precisiamo subito che pensare al processo di costruzione dei concetti come ad un
processo lineare che va dalle azioni ai processi, da essi agli oggetti ed infine agli
schemi sarebbe fuorviante, infatti ‘not only is there a partial development at one
level, passage to the next level, returning to the previous and going back forth, but
also the development of each level influences both developments at higher and lower
level’ (Czarnocha et al. 1999, pp. 98). Il passaggio da un livello al superiore, da una
costruzione mentale all’altra – vale a dire i processi di interiorizzazione, incapsulamento e tematizzazione – avviene tramite il meccanismo dell’astrazione riflettente
3.3 Dualità processo/oggetto
45
descritto da Piaget5 .
La teoria APOS è stata usata estensivamente per progettare ed implementare teaching experiments. Elemento chiave della progettazione sembra essere la decomposizione genetica dei concetti matematici, cioè una descrizione dettagliata delle
costruzioni mentali che possono essere necessarie all’apprenndimento. Una volta
scelta una decomposizione genetica di un concetto 6 , questa serve da roadmap su cui
si articola il teaching experiment stesso. Si tratta dunque di un quadro che nasce pi
per modellizzare un intervento che non per descrivere e spiegare possibili concezioni
gi costruite o comunque per interpretare errori e difficolt
Procept
‘How can anything be a process and an object at the same time?’ (Sfard 1990,
p. 151). Gray e Tall affrontano esplicitamente il problema posto da Sfard e trovano
una risposta ad esso nella pratica professionale dei matematici: ‘t[T]hey employ the
simple device of using the same notation to represent both a process and the product
of that process’ (Gray, Tall 1994, p. 119).
Una chiave del successo in matematica risiederebbe, quindi, nell’uso ambiguo dei
simboli matematici per evocare processi od oggetti: ‘the mathematician simplifies
matters by replacing the cognitive complexity of process-concept duality by the notational convenience of process-product ambiguity’ (ibidem, p. 121).
Di qui la necessità, per Gray e Tall, di introdurre un costrutto teorico e con esso
una terminologia che abbandoni la distinzione processo/oggetto e che consenta di
esprimere e trattare efficacemente l’ambiguità di un simbolismo che denota simultaneamente processo e oggetto.
Questa riflessione sfocia nella definizione della nozione di ‘procept’. Un procept
elementare è dunque un amalgama costituito da tre componenti: un processo che
produce un oggetto matematico e un simbolo che può rappresentare entrambi. Un
procept è un insieme di procepts elementari che hanno lo stesso oggetto.
5
‘Reflective abstraction [. . . ] proceeds from two mechanisms [. . . ] projection onto higher level of
that which was derived from a lower level, and secondly relfection which reconstructs and reorganizes
[. . . ] what is transferred by projection (RUMEC 2001, p. 3)
6
Non si può adsumere l’unicità della decomposizione genetica
46
Quadri teorici
3.4
Domande di ricerca
La breve sintesi di diversi quadri teorici presentata nei paragrafi precedenti ci permette ora di tornare sugli obiettivi di ricerca formulati in termini generali nell’introduzione (sezione 1.3):
• documentare (alcune) difficoltà degli studenti universitari relative alle no-
zioni di combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, sistema di
generatori e basi;
• individuare quali concezioni7 , relative alle nozioni sopra citate, possono descrivere le difficoltà, eventualmente, documentate.
Quello che si intende fare è prendere i quadri teorici presentati e all’interno di ciascuno di essi formulare coerentemente, in modo più specifico, le domande generali
che ci siamo posti.
Teoria dei modelli taciti. All’interno del quadro dei modelli taciti, le difficoltà sono
ipotizzabili in termini di presenza di un modello tacito che nel caso particolare non
risulta efficace, inducendo errori o incertezze o comunque ostacoli per individuare
una strategia di soluzione.
• È possibile individuare un modello tacito che renda conto delle difficoltà osservate?
Naturalmente dato il carattere esplorativo potrebbe non essere possibile descrive tale modello in modo completo, ci si dovrà forse limitare a mettere in luce
alcune caratteristiche a patto che siano riconoscibili come elementi coerenti e
sistematici di un potenziale modello tacito.
• È possibile ipotizzare l’origine di tale modello? ad esempio nell’insegnamento universitario? nell’insegnamento pre-universitario?
Modello ck/
c . Coerentemente con il modello ck/c , la soluzione di un problema può
essere descritta come una successione di operatori, pertinenti a diverse concezioni,
attivati da determinati controlli.
7
Qui il termine ‘concezioni’ non è ancora usata in termini del modello ck/
c , ma con l’accezione
precisata in 1.3.
3.4 Domande di ricerca
47
• È possibile interpretare le difficoltà degli studenti in termini di
operatori male adattati o inadeguati alla situazione problematica
e relativi controlli?
• Una volta che i comportamenti degli allievi nella soluzione di determinati problemi sono stati interpretati come operatori e controlli è
possibile ipotizzare una concezione alla quale ricondurli?
La domanda, di tipo metodologico, appare interessante se si tieni presente
che i lavori sul modello ck/c sono ancora pochi e gli aspetti metodologici poco
investigati.
Dualità processo/oggetto. Pur non essendo specifica dell’algebra, ma, al contrario,
rivendicando una portata generale, l’interpretazione dei comportamenti e delle difficoltà in termini di dialettica processo/oggetto si è mostrata particolarmente efficace
in ambito algebrico.
• Le difficoltà degli allievi sono interpretabili in termini di dialettica
operazionale/strutturale?
• Quali aspetti specifici emergono da un’analisi in termini di processo/oggetto?
Accanto alle domande specifiche formulate sopra, ci proponiamo di investigare la possibilità di armonizzare e di integrare tra loro, nell’analisi delle difficoltà, gli elementi
peculiari relativi ai singoli quadri teorici.
• È possibile un confronto tra i contributi delle diverse analisi? da
quale punto di vista?
• Sono possibili interpretazioni delle difficoltà che sintetizzino, articolandole tra loro le specificità di ciascun quadro?
48
Quadri teorici
Capitolo 4
Metodologia
La prima parte del nostro lavoro, caratterizzata dallo studio della letteratura in
materia e dalla ricerca di quadri teorici, è sfociata nella formulazione di alcune
domande di ricerca (paragrafo 3.4) a cui tentiamo di dare risposta in questa seconda
parte.
Per rispondere alle domande poste, organizziamo il nostro studio in due fasi distinte,
diverse per oggetto di studio, obiettivi specifici e metodologie:
• l’osservazione e l’analisi dei comportamenti messi in atto dai soggetti nella
soluzione di problemi di teoria degli spazi vettoriali, tesa ad individuare le
difficoltà cognitive inerenti alle nozioni di ‘combinazione lineare’, ‘dipendenza/indipendenza lineare’, ‘sistema di generatori’ e ‘basi’;
• l’analisi di manuali di testo, che contribuisce a costruire un contesto ricco di
informazioni nel quale situare i comportamenti degli allievi.
Non si tratta comunque della giustapposizione di due studi: come vedremo in sede
di analisi dei protocolli e nel capitolo conclusivo, l’analisi dei manuali permette
di individuare alcuni elementi specifici dell’insegnamento universitario dell’algebra
lineare che forniscono importanti integrazioni all’analisi delle difficoltà.
4.1
Analisi dei manuali
L’analisi dei manuali offre un contesto di informazioni nel quale si situano i comportamenti degli allievi, un panorama complesso che può contribuire a precisarli, a
50
Metodologia
spiegarli, ad evidenziarne l’efficacia o al contrario metterne in risalto la loro inadeguatezza, il tutto dal punto di vista della pratica scolastica. L’analisi dei manuali
arricchisce quindi gli elementi disponibili per l’analisi delle difficoltà.
Evidentemente per le diverse interpretazioni coerenti con i diversi quadri teorici, il
tipo di indicazioni che possono emergere dall’analisi dei manuali ed essere reinvestiti
nell’analisi delle difficoltà sono differenti.
Un contesto più ricco, più dettagliato e, forse, aderente all’esperienza dei soggetti
sarebbe potuto emergere dall’analisi delle pratiche di insegnamento, alle quali però
non abbiamo avuto accesso.
Abbiamo tentato di supplire, almeno parzialmente, alla mancanza di accesso alle
pratiche di insegnamento dei corsi di algebra lineare 1 con l’analisi di alcuni manuali di diffusione nazionale indicati come testi di riferimento da diversi docenti di
suddetti corsi. In mancanza di statistiche ufficiali sull’uso e la diffusione dei testi
universitari, abbiamo orientato la nostra scelta su alcuni manuali che, al momento
in cui abbiamo cominciato il nostro studio, a.a. 2001/’02, da una nostra ricerca
condotta su diverse sedi universitarie e diversi Corsi di Laurea, sembravano essere i
più diffusi tra i ‘testi consigliati’ dai docenti titolari dei corsi di algebra lineare:
• Marco Abate, Geometria;
• Silvana Abeasis, Elementi di Algebra Lineare e Geometria
• Serge Lang, Algebra Lineare, 1992 (prima edizione italiana 1970).
Titolo
originale Linear Algebra, 1966.
La relazione tra testi di riferimento e pratiche insegnanti è senz’altro problematica
e certo non si possono dedurre in modo diretto queste ultime dai primi; anzi, come
sottolinea van Dormolen parlando dei possibili usi dei libri di testo da parte degli
insegnanti, ‘every kind of books is being used in every possible way’ (van Dormolen
1986, p. 142). Cionondimeno i libri di testo universitari, a differenza dei manuali
di scuola secondaria superiore, sono realmente ‘testi di studio’ per molti studenti.
Forniscono quindi precise e preziose indicazioni sulla sistemazione teorica e sui problemi con cui gli studenti si confrontano nel corso dei loro studi.
1
La ‘denominazione’ ufficiale del corso varia da un Corso di Laurea all’altro, ed è recentemente
cambiata, anche per effetto della riforma universitaria del 2001; ad esempio, presso il Corso di Laurea
in Matematica dell’Università di Pisa, tale corso ha cambiato denominazione, pur mantenendo in
gran parte inalterato il programma, da ‘Geometria 1’ a ‘Geometria Analitica e Algebra Lineare’
4.2 Osservazione dei comportamenti
51
Inoltre, poiché l’approccio assiomatico risulta dominante nell’insegnamento universitario della matematica, riteniamo ragionevole supporre che essi:
• rivelino una sistemazione teorica che rifletta, o comunque senz’altro coerente
con quella presentata agli studenti dai loro docenti;
• diano accesso ad esempi paradigmatici, o comunque significativi del tipo di
problemi proposti durante il corso.
Rimane fuori dalle possibilità del nostro studio il modo, niente affatto secondario, in
cui i docenti curano le relazioni tra la parte ‘teoria’ e la parte ‘problemi’ del corso.
Abbiamo sviluppato l’analisi dei manuali secondo un approccio coerente con la teoria
antropologica ed in particolare con la nozione di organizzazione prasseologica introdotte da Chevallard (1999). Presenteremo l’analisi dei manuali ed introdurremo
alcuni elementi di tale teoria nel capitolo 5.
4.2
Osservazione dei comportamenti
Abbiamo ulteriormente articolato questa fase in due sessioni distinte di cui la prima,
svolta nel 2002, è in parte servita per la preparazione della seconda, svolta nel 2003.
Le due sessioni differiscono, ma solo in parte, per i soggetti coinvolti e per i problemi
loro proposti – riporteremo analiticamente tali differenze; mentre condividono altre
caratteristiche.
Il metodo scelto per l’indagine è in entrambe le sessioni quello dell’intervista clinica
(4.2.1). Agli studenti sono stati proposti alcuni problemi da risolvere in incontri
individuali, un problema diverso ad ogni incontro, senza che fosse imposto loro
alcun limite di tempo (la maggior parte degli incontri si è comunque conclusa nel
giro di un’ora, un’ora e mezzo). Gli incontri sono stati registrati e le registrazioni
trascritte.
4.2.1
Il metodo clinico
Il metodo delle interviste cliniche è stato sviluppato negli anni ’20 da Piaget, alla
ricerca di un metodo di analisi dello sviluppo cognitivo dell’individuo più adeguato
dei tests psicologici standard: ‘a flexible method of questioning intended to explore
the richness of children’s thoughts’ (Ginsburg 1981, p. 4). Da allora il metodo delle
52
Metodologia
interviste cliniche, pur rimanendo controverso, ha guadagnato una forte diffusione
estendendosi anche ad ambiti di ricerca diversi dalla psicologia.
Ginsburg, Swanson e altri ricercatori (Ginsburg 1981, Swanson et al. 1981) hanno
investigato il dominio di validità del metodo delle interviste cliniche in termini degli obiettivi di ricerca. In particolare Ginsburg conclude che il metodo clinico è il
più appropriato in relazione agli obiettivi di: scoperta di processi cognitivi, identificazione di processi cognitivi e valutazione delle competenze (ibidem, p. 10). In
dipendenza dagli obiettivi, l’intervista clinica può essere condotta secondo tecniche
tra loro piuttosto eterogenee; tutte comunque condividono: la presenza di un compito di partenza, la richiesta di riflessioni verbali da parte dell’intervistato, il carattere
contingente delle domande poste dall’intervistatore – ‘t[T]he specific direction an
interview takes – the questions that are asked – varies as a function of the subject
and the subject’s answers to earlier questions’ (Swanson et al. 1981, p. 34).
Più recentemente, Cohen e Manion (1994), nella loro analisi dei diversi tipi di intervista affermano che il rischio di ‘non validità’ delle interviste è ridotto, o comunque
minore, nei casi di interviste ‘non-direttive’ – le cui caratteristiche fondamentali sono
‘the minimal direction or control exhibited by the interviewer and the freedom the
respondent has to express her subjective feelings’ (ibidem, p. 273) – e tra questa
in particolare nei casi di interviste ‘focalizzate’ – cioè interviste non-direttive in cui
l’intervistato viene posto in una situazione analizzata a priori dall’intervistatore. 2
Nonostante le posizioni sopra accennate non siano universalmente accettate e, come
gli autori citati riconoscono, l’uso di interviste cliniche incontri ancora alcune manifestazioni di scetticismo, il metodo clinico ‘has emerged as a major research tool’
(Brousseau et al. 1986, p. 207).
Per quanto attiene al nostro studio, abbiamo deciso di accettare i limiti e i rischi
del metodo clinico, persuasi che esso consenta di prendere più pienamente in considerazione la complessità dell’attività di problem-solving e che da questo possano
emergere risultati significativi. Inoltre per lo stadio iniziale di ricerca ed interpretazione delle difficoltà dei soggetti, ‘the clinical interview is highly suitable, since its
flexibility permits exploration, and since it provides the subject’s own view of the
knowledge and cognitive processes involved’ (Swanson et al. 1981, p. 35).
Per concludere, rileviamo che Brousseau et al. (1986) mettono in guardia contro il
2
Ci sembra che l’intervista clinica, come intesa sopra, sia trasversale rispetto a queste due
tipologie
4.2 Osservazione dei comportamenti
53
rischio che individui intervistati interpretino ogni affermazione, domanda, persino
ogni silenzio dell’intervistatore come un giudizio, in termini di ‘giusto’ o ‘sbagliato’, sulle loro affermazioni ed azioni. Condividendo questa preoccupazione abbiamo
tentato di seguire le indicazioni fornite dagli stessi per rendere minimo il rischio
che si verifichi tale fenomeno – ‘p[P]erhaps the best solution comes in two parts:
(i) we can explain the situation to the students, and (ii) we can be consistent in
being non-judgemental’ (Brousseau et al. 1986, p. 228) – e di esplicitare una sorta
di ‘contratto di intervista’.
4.2.2
I soggetti
Premettiamo che i soggetti, studenti dell’Università di Pisa, hanno partecipato volontariamente all’indagine.
La prima sessione di interviste ha coinvolto tre studenti al loro primo anno del
Corso di Laurea in Matematica, al termine del primo semestre di Algebra Lineare,
a ciascuno dei quali sono stati proposti tre problemi.
La seconda sessione di interviste ha coinvolto dodici studenti:
• cinque studenti del primo anno del Corso di Laurea in Matematica, al termine
del primo semestre di Algebra Lineare;
• quattro studenti tra il loro quarto anno ed il primo anno fuori corso del medesimo Corso di Laurea. Tutti questi studenti avevano già sostenuto l’esame
di Algebra Lineare al loro primo o secondo anno di corso.
• tre studenti della Scuola di Dottorato in Matematica, laureati in altre sedi
universitarie e con interessi di ricerca diversi tra loro.
Il nostro progetto prevedeva di proporre a ciascun studente due problemi in due
incontri distinti. Di dodici studenti che hanno aderito, inizialmente, al progetto solo
nove si sono resi disponibili per tutte e due gli incontri previsti; a loro, quindi, sono
stati proposti due problemi (uno in ciascun incontro). Gli altri hanno partecipato
solo al primo incontro nel quale è stato loro proposto un problema.
54
Metodologia
4.2.3
I problemi
Riportiamo di seguito i problemi proposti ai soggetti intervistati. Allo scopo di facilitare l’identificazione dei problemi in riferimenti futuri, ciascuno di essi è contraddistinto da una ‘etichetta’, che ne evoca un elemento distintivo. Nella prima sessione di
interviste sono stati usati i problemi: ‘esistenza sottospazi’,‘dipendenza/indipendenza
lineare in Rn ’ e ‘dipendenza/indipendenza lineare e ambiente grafico’; nella seconda
i problemi ‘esistenza sottospazi’ e ‘esistenza sottoinsiemi’ 3 .
Problema – esistenza sottospazi:
Sia V uno spazio vettoriale reale e siano u 1 , u2 , u3 , u4 e u5 cinque vettori in V
√
linearmente indipendenti. Consideriamo il vettore u = 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5 .
• dire se esistono due sottospazi di V , W 1 e W2 , di dimensione 3 tali che W1 ∩
W2 =< u >
• dire se esistono due sottospazi di V , U 1 e U2 , di dimensione 2 che non contengano u e tali che u ∈ U1 + U2
Problema – dipendenza/indipendenza lineare in R n :
Dimostrare che i seguenti vettori di R 5 sono linearmente indipendenti:





1
Siano a = πu1 + 15 u2 −u3 +u4 , b =
0
√
3
√
2





−2




 3 
 √ 


 0 

 1 

 11 







 5 













u1 =  0  , u 2 =  0  , u 3 = 
 , u4 =  0  , u5 =  1  .










 0 
 1 
 0 
 0 
 0 










π
0
0
0
0
1
2
2
√
√
2u2 + 34 u3 +3u4 −πu5 e c = u2 + 3u3 −u4 − 13 u5 .
I vettori a, b e c sono linearmente indipendenti?
Problema – dipendenza/indipendenza lineare e ambiente grafico:
3
L’ordine con cui i problemi sono stati proposti ai soggetti non è il medesimo per tutti i soggetti.
Per esempio a metà dei soggetti coinvolti nella seconda sessione di interviste è stato presentato per
primo il problema ‘esistenza sottospazi’, all’altra metà per primo il problema ‘esistenza sottoinsiemi’
4.2 Osservazione dei comportamenti
55
Siano u e v i due vettori rappresentati in figura.
Dire se le seguenti coppie di vettori sono o no
linearmente indipendenti:
• a = 2u + v
• a0 = 4u − 32 v
b = 72 u + 13 v;
b0 = 2u + 2v.
Siano quindi z = a + b e w = a0 + b0 , z e w sono
linearmente indipendenti?
u
v
A proposito di questo problema, dato che l’ambiente grafico è espressamente chiamato in scena, ci sembra opportuno sottolineare che i soggetti avevano a disposizione
un riga, compasso ma non carta quadrettata.
Problema – esistenza sottoinsieme:
Sia V uno spazio vettoriale reale e siano u, v e w tre vettori in V .
Dire se esiste un sottoinsieme A di V che verifichi le seguenti condizioni:
• il vettore u + 3v +
√
2w appartiene a A,
• A è un insieme chiuso rispetto alla somma,
• A non è chiuso rispetto al prodotto per scalare.
Parte integrante di questo problema possono essere considerate alcune domande che
avevamo programmato a priori e che sono state puntualmente poste ai soggetti che
hanno risposto affermativamente4 al quesito:
. Esistono altri sottoinsieme che soddisfano a quelle richieste?
. Ne esistono di più grandi o più piccoli in senso insiemistico?
. Esistono sottoinsiemi che verificano quelle condizioni e che contengono inoltre
i tre vettori u, v, w?
4
Intendiamo proprio dire affermativamente e non necessariamente in modo corretto.
56
Metodologia
Sempre di quest’ultimo problema abbiamo proposto, ad alcuni soggetti, una variante
in cui i coefficienti della combinazione lineare al primo punto sono numeri interi,
precisamente la prima condizione era sostituita da
• il vettore u + 3v − 2w appartiene a A,
Nel capitolo 6 presenteremo l’analisi a priori di questi problemi.
4.2.4
Valutazione a priori della preparazione dei soggetti
Concludiamo il capitolo, riportando una breve serie di domande poste a ciascun
soggetto intervistato nella seconda sessione, anno 2003, all’inizio del primo incontro.
. Cosa intendi per combinazione lineare?
Dai un esempio.
. Cosa vuol dire che dei vettori sono linearmente indipendenti?
E linearmente dipendenti?
Dai un esempio.
. Cosa intendi per generatori di uno spazio vettoriale?
Dai un esempio.
. Cosa intendi per sottospazio vettoriale?
Dai un esempio.
L’obiettivo con cui sono state poste queste domande, molto standard, rispetto alla
preparazione richiesta per la valutazione in sede di esame, e che in effetti potrebbero
essere poste in sede di esame, è duplice:
• da un lato, verificare il possesso di una ‘soglia minima’ di conoscenze per poter
affrontare i problemi proposti;
• dall’altro, offrire la possibilità di richiamare alla mente alcune delle nozioni di
base di teoria degli spazi vettoriali.
Sulla base delle risposte a queste domande e dell’esito dell’esame di Algebra Lineare
(se sostenuto dagli intervistati) abbiamo assegnato a ciascun soggetto una ‘valutazione’ sintetica: low, medium, high achieving (e valori intermedi).
4.2 Osservazione dei comportamenti
57
Anche ai soggetti intervistati nella prima sessione, 2002, è stata assegnata analoga
valutazione, in questo caso però si è tenuto conto soltanto dell’esito dell’esame di
Algebra Lineare.
Precisiamo che consideriamo la valutazione ha l’unico scopo di arricchire l’insieme
delle informazioni riguardo ai soggetti coinvolti nel nostro studio, alla stessa stregua
delle informazione sul Corso di Laurea, e sull’anno di corso, e come tale la trattiamo.
Lo studio di eventuali correlazioni tra ‘prestazione universitaria’ (e relativa valutazione) dei soggetti intervistati e le loro difficoltà che emergono dalle interviste, non
è tra gli obiettivi di questo lavoro.
58
Metodologia
Capitolo 5
Analisi di testi universitari
Conduciamo l’analisi dei testi universitari perché persuasi che possa fornire un contesto ricco di informazioni rispetto a cui collocare i comportamenti degli studenti,
che permetta di evidenziare l’eventuale adeguatezza, efficacia, coerenza dei comportamenti messi in atto, rispetto alla pratica universitaria – o al contrario, la loro
eventuale inadeguatezza, inefficacia, incoerenza.
Come precisato nel capitolo 4, il rapporto tra testi di riferimento di un corso e
pratiche di insegnamento è senz’altro problematico. Tuttavia riteniamo di poter
ragionevolmente supporre che essi:
• rivelino una sistemazione teorica che rifletta, o comunque senz’altro coerente
con quella presentata agli studenti dai loro docenti;
• diano accesso ad esempi paradigmatici, o comunque significativi del tipo di
problemi proposti durante il corso.
In questo capitolo esamineremo come le nozioni fondamentali di teoria degli spazi
vettoriali (combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, sistema di generatori, base, ecc.) vengono introdotte e trattate in alcuni manuali di algebra lineare.
L’assenza di un curriculum nazionale (per l’algebra lineare come per altri settori
scientifici) si riflette in una varietà di corsi differenti per la scelta dei contenuti e
dei modi in cui questi vengono trattati; tali differenze si riscontrano tra un Corso di
Laurea e l’altro, tra un’Università e l’altra, e persino all’interno di uno stesso Corso
di Laurea tra un docente e l’altro. Ne consegue un’abbondanza di manuali spesso
di diffusione locale o in forma di dispense fornite dai docenti ai propri studenti.
60
Analisi di testi universitari
I manuali scelti per la nostra analisi sono tra i più diffusi nei primi anni dei Corsi
di Laurea in Matematica (soprattutto), Fisica e Ingegneria o in veste di testo di
riferimento principale del corso o come testo complementare da affiancare ad altri
testi. Si tratta dei testi:
• Marco Abate, Geometria;
• Silvana Abeasis, Elementi di Algebra Lineare e Geometria;
• Serge Lang, Algebra Lineare, 1992 (prima edizione italiana 1970).
Titolo
originale Linear Algebra, 1966.
Svilupperemo la nostra analisi secondo una griglia: compito, tecnica, tecnologia e
teoria, coerente con la teoria antropologica che definiremo nei prossimi paragrafi.
5.1
L’approccio antropologico
Con il nome di approccio antropologico o teoria antropologica si indica una teoria
dell’organizzazione del sapere sviluppata in Francia a partire dai primi anni ’90
(Chevallard, 1992 e 1999; Bosch, Chevallard 1999). Non pretendiamo in questa sede di presentare in modo esaustivo tale approccio ed i contributi che ha dato alla
ricerca in didattica della matematica, in particolare in Francia, e d’altra parte una
trattazione ampia e dettagliata sarebbe largamente al di là degli scopi del presente
capitolo. Ci limiteremo in questo contesto a delineare alcuni aspetti che utilizzeremo
per definire la griglia di analisi dei testi.
L’approccio antropologico muove da una visione della matematica come prodotto
dell’attività umana: la matematica stessa, i suoi risultati, i suoi modi di pensare
sono dipendenti dai contesti sociali e culturali in cui sono sviluppati. Coerentemente gli oggetti matematici non sono considerati come oggetti assoluti ma piuttosto
come entità emergenti da un sistema di pratiche sviluppate all’interno di particolari istituzioni per risolvere determinati problemi. ‘Es el hecho de que en el seno
de ciertas instituciones se realizan determinados tipos de práctica lo que determina
la emergencia progresiva de los “objectos matemáticos” y el que el “significado” de
estos objetos esté intimamente ligado a los problemas y a la actividad realizada para
su resolución’ (Godino, Batanero 1994, p.331).
I termini pratica e istituzione sono da intendersi in un’accezione piuttosto ampia:
5.1 L’approccio antropologico
61
seguendo Godino e Batanero (1994) chiamiamo pratica qualunque attività o manifestazione (linguistica o no) realizzata da qualcuno per risolvere problemi, comunicarne
la soluzione ad altri, validare la soluzione e generalizzarla ad altri contesti o problemi
(ibidem, p. 334), e istituzione un insieme di persone coinvolte in una stessa classe di
situazioni problematiche; ‘el compromiso mutuo con la misma problemática conlleva la realización de unas prácticas sociales compartidas, las cuales están, asimismo,
ligadas a la institución a cuya caracterización contribuyen’ (ibidem, p. 336).
In questa prospettiva la nozione di significato di un oggetto perde di centralità ed
interesse a favore della nozione di ‘pratiques sociales qui se réalisent dans l’institution et qui mettent en jeu l’objet en question’ (Bosch, Chevallard 1999, p. 83).
Si pone allora la necessità di un metodo di analisi delle pratiche istituzionali che
consenta la loro descrizione e lo studio delle condizioni per la loro realizzazione.
È in questo contesto che fa il suo ingresso la nozione di prasseologia o organizzazione
prasseologica come modello di analisi delle pratiche istituzionali: “on y admet en effet que toute activité humaine1 régulièrement accomplie peut être subsumée sous un
modèle unique, que résume ici le mot de praxéologie”(Chevallard, 1999, p.223). Più
precisamente, la teoria antropologica postula che ogni attività umana possa essere
descritta e analizzata secondo un modello quaternario: tipo di compito T (type de
tâche), tecniche τ (techniques), tecnologia θ (technologie) e teoria Θ (théorie). La
quadrupla (T, τ, θ, Θ) prende il nome di prasseologia puntuale, puntuale in quanto
relativa ad un unico type de tâche. Esaminiamo ora più in dettaglio le componenti
di questa quadrupla2 .
Types de tâches. La nozione di type de tâche – che denoteremo con T – è piuttosto
ampia: ‘moltiplicare due interi’, ‘fattorizzare un numero intero’, ‘calcolare il
valore di una funzione in un punto’, ‘sviluppare un’espressione letterale’, ‘integrare una funzione tra due estremi’ sono esempi di types de tâche 3 . Una tâche
1
Osserviamo che la teoria antropologica si presenta come una teoria dell’organizzazione del sapere
in genere e non esclusivamente del sapere matematico, il che motiva il riferimento all’antropologia.
2
Per evitare ambiguità con le ‘accezioni comuni’ dei termini italiani ‘compito’, ‘tecnica’, ‘tecnologia’ e ‘teoria’ utilizzeremo nel seguito i termini originari francesi ‘tâche’, ‘technique’, ‘technologie’
e ‘théorie’.
3
Abbiamo citato solo esempi di types de tâche matematiche; coerentemente al carattere antropologico dell’approccio proposto (vedi nota 1) Bosch e Chevallard indicano tra i types de tâche
molte altre attività quali ‘suonare un brano di Mozart al piano’, ‘danzare il tango’, ‘chiudere una
porta’ (1999, p.84).
62
Analisi di testi universitari
è un’instanziazione di un type de tâche, ad esempio sono tâches: ‘fattorizzare
R1
228’, ‘calcolare il valore dell’integrale definito 0 (x2 + 1) dx’.
Non tutto è un type de tâche: non sono types de tâche ‘calcolare’, ‘integrare’,
‘sviluppare’ 4 , tout-court; il loro oggetto deve essere precisato.
Concludiamo osservando con Chevallard che ‘tâches, types de tâches [. . . ]
ne sont pas des donnés de la nature: ce sont des artefacts, des œuvres, des
construits institutionnels’ (1999, p.224).
Techniques. Una technique τ relativa ad un type T de tâche è un modo di compiere,
realizzare, risolvere le tâches del tipo T considerato. Non inganni la terminologia adottata, una tecnique non è necessariamente di natura algoritmica 5 . In
generale una technique sarà efficace solo su una parte delle tâche del tipo T
a cui è relativa, mentre tenderà a fallire sulle restanti. ‘La chose est évident,
mais très souvent oubliée, en mathématiques. Ainsi toute technique de calcul
sur N échoue-t-elle à partir d’une certaine taille de nombres. De même, le fait
qu’on ne sache pas en général factoriser un entier donné est notamment à la
base de certains techniques de cryptographie’ (ibidem, p. 225).
Sottolineiamo infine che in generale un’istituzione riconoscerà al suo interno
solo un numero relativamente piccolo di techniques, altre techniques esterne all’istituzione saranno considerate come artificiali ed in quanto tali contestabili,
addirittura inaccettabili.
Technologies. Una technologie θ relativa ad una technique τ è un ‘discorso’ volto
a giustificare, descrivere, chiarire la tecnique τ in questione. L’esistenza di
una technologie relativa ad una technique è coerente con l’assunto secondo il
quale ‘pour pouvoir exister dans une institution, une technique doı̂t apparaı̂tre
comme un tant soit peu compréhensible, lisible et jusitifiée’ (Bosch, Chevallard
1999, p.86).
Théories. A sua volta una technologie θ può richiedere una giustificazione o una
spiegazione; queste sono fornite da una théorie Θ. Da un punto di vista di
giustificazione - spiegazione, la théorie sta alla technologie come quest’ultima
4
Queste attività sono definite come genre de tâche (Bosch, Chevallard 1999, p.84; Chevallard
1999, p.224).
5
Il termine è usato nel senso etimologico di saper fare (Chevallard 1999, p.225).
5.1 L’approccio antropologico
63
sta alla technique. Artigue suggerisce l’immagine di théorie come ‘a technology
of the technology’ (2002, p.248).
Osserviamo che la distinzione tra tâche, technique, technologie e théorie non è assoluta, ma relativa ad una determinata attività matematica: ‘las nociones de “tarea”,
“técnica”, “tecnologia” y “teorı́a” son relativas a la funcı́on que desempeñan en una
actividad matemática determinada’ (Bosch et al. 2004, p. 212).
Abbiamo anticipato sopra che una quadrupla (T, τ, θ, Θ) costituisce una organizzazione prasseologica puntuale e questa specificazione suggerisce l’esistenza di altri
livelli di organizzazione prasseologica. In effetti, tenendo presente che in generale
una théorie Θ può render conto di diverse technologies θ j , ciascuna delle quali può
a sua volta giustificare e descrivere più techniques τ ij corrispondenti a diversi types
de tâche Tij , si possono distinguere un livello di organizzazione locale, (T i , τi , θ, Θ),
centrato su una stessa technologie, un livello regionale, (T ij , τij , θj , Θ), centrato su
una stessa théorie ed un livello globale, (T ijk , τijk , θjk , Θk ), che nasce dall’aggregazione di più organizzazioni regionali costruite attorno a diverse théories Θ k . Rileviamo
che le organizzazioni prasseologiche locali (o regionali) non sono la semplice giustapposizione di organizzazioni prasseologiche puntuali (rispettivamente locali), ma
piuttosto la loro integrazione attorno ad una stessa technologie (o ad una stessa
théorie) (Bosch et al. 2004): ‘una OML [organización matemática local] permite
plantear y resolver problemas [. . . ] que en las OMP [organizaciónes matemáticas
puntuales] iniciales non podı́an formularse con toda propriedad’ (ibidem, p. 213).
Concludiamo questo paragrafo evidenziando che l’aggregazione delle prasseologie
puntuali in organizzazioni locali e regionali, che caratterizza la presentazione e l’insegnamento di una ‘porzione del sapere’ 6 (nel caso che ci interessa, del sapere matematico), pone in rilievo il blocco tecnologico - teorico (θ, Θ) rispetto al blocco pratico
- tecnico (T, τ ). Conseguentemente, i types de tâche, per rispondere ai quali è stata
costruita l’intera prasseologia, vengono relegati ad un ruolo secondario, etichettati
come ‘applicazioni’, “qui, de génétiquement nécessaires, deviennent dès lors institutionnellement contingentes. L’étude de l’œuvre tend ainsi à créer une organisation
de savoir qui semble ne plus exister que pour elle-même” (Chevallard, 1999, p. 243).
6
Traduciamo con la locuzione ‘porzione del sapere’ il termine originale ‘œuvre’ usato da
Chevallard (1999)
64
Analisi di testi universitari
5.2
Metodologia di analisi dei manuali
Prima di precisare la metodologia di analisi, definiamo meglio quali informazioni,
tra le molte che l’analisi dei manuali può fornire, possono integrare in modo importante le analisi delle difficoltà che svilupperemo nel capitolo 8. Evidentemente
le informazioni ‘interessanti’ in questo senso variano da quadro teorico a quadro
teorico:
dal punto di vista dell’analisi i termini di modelli intuitivi taciti, è interessante
sapere se l’insegnamento universitario privilegia o incoraggia, implicitamente
o esplicitamente, particolari modelli. Possiamo rintracciare indicazioni in merito analizzando eventuali esempi ricorrenti, analizzando in quali ambiti sono
esemplificate le nozioni introdotte, in quali ambiti sono formulati i vari problemi, a quali ambiti è limitata la portata delle techniques (proposte nel manuale
o costruibili a partire da esso).
Dal punto di vista dell’analisi in termini del modello ck/
c , appare particolarmente
importante determinare in modo analitico e dettagliato i problemi, sia quelli
risolti dall’Autore che quelli proposti agli allievi, e le soluzioni, quelle fornite
dall’Autore e quelle che si possono costruire coerentemente con l’organizzazione
del sapere proposta nel manuale. Lo scopo è quello di individuare il contesto
coerente di problemi e soluzioni (di tâches, techniques e technologues, nel
linguaggio antropologico) nel quale gli allievi costruiscono operatori e controlli.
Dal punto di vista dell’analisi in termini di dualità processo/oggetto, ci chiediamo,
da una lato, se la pratica universitaria, come ci aspettiamo, mette in evidenza
soprattutto la natura algebrica dei concetti di teoria degli spazi vettoriali e,
dall’altro, se favorisce la formazione di concezioni operazionali o strutturali e
se si fa carico della dialettica tra le due.
Un’analisi coerente con la nozione di organizzazione prasseologica ci sembra adatta
rispetto agli obiettivi individuati sopra. Come detto in apertura di capitolo, limitiamo la nostra analisi alle nozioni di combinazione lineare, dipendenza/indipendenza
lineare, sistema di generatori, base, e a come esse sono trattate nei capitoli che introducono le nozioni di base della Teoria degli Spazi Vettoriali.
Studieremo quindi in quali types de tâches sono coinvolte, in quali techniques, quali
5.2 Metodologia di analisi dei manuali
65
sono i risultati tecnologici principali relativi a tali nozioni.
Più precisamente tentiamo di rispondere alle domande seguenti:
1. Quali types de tâche relativi alle nozioni considerate sono proposti? Quali
tâches vengono eventualmente trattate dagli Autori? Quali lasciate ai Lettori?
2. Quali techinques sono necessarie per risolvere le tâches proposte? Tali techniques sono esplicitamente offerte dagli Autori dei manuali? Oppure la loro
costruzione è lasciata al Lettore?
3. Quali technologies relative alle techniques? Quale è in particolare la loro
funzione? Giustificativa delle technique? Esplicativa?
4. Come sono trattati i rapporti types de tâche - techniques e techniques technologies?
5. In quali ambiti (spazi Rn , spazi matriciali, ecc.) sono formulate le tâches risolte
dall’Autore? In quale quelle non risolte?
6. Qual è la portata delle techniques usate dall’Autore?
Quale quella delle
possibili technique che il Lettore può costruire per risolvere le tâches?
Le risposte alle domande 1, 2, 3 e 4 dovrebbero consentire di individuare in modo
analitico e dettagliato il contesto di problemi, soluzioni e giustificazioni all’interno
del quale l’allievo costruisce operatori e controlli. Inoltre sempre dall’analisi delle
possibili soluzioni alle tâches presenti nei manuali, risposte alle domande 1, 2 e
3, cerchiamo di stabilire se la pratica universitaria favorisca l’attivazione di una
dialettica processo/oggetto nella concettualizzazione delle nozioni di base della teoria
degli spazi vettoriali. Infine le risposte alle domande 5 e 6 dovrebbero evidenziare
la presenza di eventuali modelli privilegiati nell’insegnamento universitario.
Per rispondere a queste domande, cominceremo analizzando in termini di tâche e
type de tâche i problemi che sono proposti nelle sezioni ‘Esercizi’ dei manuali, rileveremo quindi se l’Autore del manuale affronta e risolve tâches dei medesimi types
de tâche e nel caso analizzeremo le techniques di soluzione presentate e le relazioni
tra queste techniques e la technologie su cui le stesse si fondano. Per quanto riguarda
le tâches che l’Autore non affronta esplicitamente, saremo noi a proporre possibili
techniques in relazione alle technologies rese disponibili nel manuale.
66
Analisi di testi universitari
5.3
Classificazione dei types de tâche
Le tâches proposte in un manuale possono essere molte e, almeno apparentemente,
piuttosto varie; per strutturare il lavoro di analisi ci sembra quindi opportuno dotarci di una classificazione a priori dei types de tâche. Per classificazione ‘a priori’
intendiamo una classificazione che permetta di determinare a quale classe una tâche
appartiene senza bisogno di analizzare le possibili techniques e relative technologies.
Il criterio che adottiamo per la classificazione a priori è dato dal tipo di consegna.
D’altra parte, per organizzare meglio i risultati dell’analisi può essere utile affiancare alla classificazione a priori anche classificazioni e posteriori. Ne definiamo due
diverse: una rispetto alla disponibilità delle techniques di soluzione, l’altra rispetto
alle nozioni coinvolte.
Prima di proporre le nostre classificazioni, osserviamo che se è vero che una classificazione sui types de tâche induce una classificazione sulle tâches specifiche, non
è vero in generale il viceversa7 . Tuttavia, come risulterà dai prossimi paragrafi, i
parametri da noi individuati inducono classificazioni tra loro coerenti su tâches e
types de tâche; questo ci consente di parlare indifferentemente di classificazione di
tâches o di types de tâche senza timore di ambiguità.
Classificazione a priori dei types de tâche rispetto alla consegna.
Distin-
guiamo tre tipi di consegne8 :
• Tâches di dimostrazione. Sono quelle che richiedono la dimostrazione di un
enunciato e sono facilmente riconoscibili dalla presenza di espressioni-chiave
quali ‘dimostra che’, ‘prova che’, ‘verifica che’. Queste tâches possono essere
ulteriormente classificate a seconda della ‘posizione’ che l’enunciato da dimostrare occupa rispetto alla teoria degli spazi vettoriali (nel seguito del paragrafo
TSV) come presentata nel manuale.
7
Si pensi ad esempio ad una classificazione - puramente illustrativa - in base al numero di parole
espresse nella consegna, evidentemente tâches dello stesso type de tâche potrebbero essere espresse
con un diverso numero di parole e quindi questo criterio non indurrebbe una classificazione sui types
de tâche.
8
In seno alla teoria antropologica, quella proposta può essere considerata forse più propriamente
una classificazione dei genres de tâche (vedi nota 4).
5.3 Classificazione dei types de tâche
67
Enunciato interno alla TSV. Tra le tâches di dimostrazione ve ne sono alcune
che chiedono di dimostrare enunciati generali propri della teoria degli
spazi vettoriali. Una volta dimostrati, questi enunciati sono a tutti gli
effetti teoremi (più o meno significativi) della teoria generale.
Sia B un sottoinsieme finito massimale in uno spazio vettoriale V di vettori
linearmente indipendenti. Dimostra che B è una base di V .
(Abate 1996, p. 91, Esercizio 4.19)
Ricordiamo che la nozione di type de tâche, definendo una classe di tâches
che condividono la stessa struttura matematica e che di riflesso possono
essere considerate istanziazioni di un type di tâche, consente di focalizzare
l’attenzione sulla ‘struttura matematica’, appunto, tralasciando elementi per cosı̀ dire ‘contingenti’ delle specifiche tâches. Questa distinzione
appare difficilmente applicabile alle tâches che stiamo esaminando: la
generalità degli enunciati non consente di descrivere queste tâches come
instanziazioni di particolari types de tâches. Le due nozione – tâche e
type de tâche – collassano quindi una sull’altra.
Ci sembra inoltre che, richiedendo la costruzione di un discorso tecnologico, anche il confine tra technique e technologie, in altri casi evidente,
risulta qui decisamente più sfumato.
Enunciato esterno alla TSV. Si tratta di enunciati interamente formulati in
una teoria diversa da quella degli spazi vettoriali – teoria delle funzioni,
teoria dei polinomi in una indeterminata, ecc. – alla cui dimostrazione
possono però concorrere elementi della TSV 9 .
Essendo interamente formulati al di fuori della TSV, questi enunciati non
sono illustrazioni o esemplificazioni di nozioni della TSV, li definiremmo
piuttosto ‘applicazioni’ della medesima.
La nostra esperienza ci suggerisce che difficilmente incontreremo tali ‘applicazioni’ nelle sezioni che noi andremo ad analizzare.
Enunciato ‘misto’. Rientrano in questa categoria le tâches che richiedono di
dimostrare enunciati non interamente formulati all’interno della TSV né
interamente esterni alla medesima; enunciati, cioè, che mettono in gioco
9
Precisiamo che se da un lato elementi della TSV possono concorrere alla dimostrazione di tali
enunciati, dall’altro tali elementi potrebbero non essere affatto necessari.
68
Analisi di testi universitari
elementi della TSV su modelli specifici della teoria medesima.
Tra queste, ad esempio, possiamo inserire le esemplificazioni di elementi
della TSV:
Dimostra che
(
2
1
) (
) (
)
1 1 2 −1 −1 , , , e ,
1 3 3 1 −1 sono basi di R2 .
(Abate, 1996, p.91)
Ma non solo:
4
3
Dimostrare che esiste
un’applicazione lineare T : R → R surgettiva tale
1 0 che ker T = R 1 0 (nostra rielaborazione di un esercizio in:
Abate, 1996, p.118)
Questi enunciati mettono quindi in gioco sia elementi della teoria degli spazi vettoriali – le nozioni di base, indipendenza lineare, ecc. – sia
elementi esterni a tale teoria – n-uple, funzioni, polinomi ecc. Di conseguenza la loro dimostrazione non potrà essere condotta all’interno della
teoria degli spazi vettoriali ma richiederà il ricorso ad elementi tecnologiciteorici propri di altre teorie: teoria di R n , teoria dei sistemi lineari, teoria
delle funzioni, teoria dei polinomi in una indeterminata, ecc.
Concludiamo notando che nella soluzione di tâches di questo tipo, gli elementi
tecnologici-teorici in gioco forniscono spesso i primi passi in una technique.
• Tâches di azione. Sotto questa espressione indichiamo quelle tâches la cui
consegna evoca un’azione o una successione di azioni 10 da compiere.
Trovare le coordinate del vettore X rispetto ai vettori A, B, C.
a) X = (1, 0, 0), A = (1, 1, 1), B = (−1, 1, 0), C = (1, 0, −1).
(Lang, 1992, p.46)
10
Il termine ‘azione’, in questo contesto, non si riferisce alle sole azioni fisiche.
5.3 Classificazione dei types de tâche
69
La gamma di espressioni che identificano questa seconda categoria è molto più
ampia rispetto alla precedente: ‘trovare’, ‘risolvere’, ‘estrarre’, ‘completare’,
‘scrivere’, ecc. Osserviamo che la consegna può essere espressa anche in forma
interrogativa, ad esempio:
Quali sono le coordinate della funzione f (t) = 3 sin t + 5 cos t rispetto alla
base {sin t, cos t}?
(Lang, 1992, p.47)
• Tâches di decisione. Sono quelle che richiedono di decidere se un dato enunciato sia vero o falso.
Decidere se i vettori u1 , u2 , u3 sono una base di R3 [. . . ]:
2 u1 = 5 ,
0 3 u2 = 1 ,
2 1 u3 = −4 2 (Abeasis, 1993, p.72)
Dire quali, tra le seguenti applicazioni F , sono lineari:
a) F : R3 → R2 definita ponendo F (x, y, z) = (x, z).
..
.
g) F : R2 → R definita ponendo F (x, y) = xy.
(Lang, 1992, p.87)
Anche in questo caso come nel caso delle tâches di dimostrazione, l’enunciato
il cui valore di verità deve essere stabilito può essere ‘interno’, ‘esterno’ o
‘parzialmente interno’ alla teoria degli spazi vettoriali.
Tra le espressioni che identificano questo tipo di consegne possiamo annoverare
ad esempio: ‘verifica se’, ‘stabilisci se’, ‘dire quali’.
Concludiamo precisando che, nei manuali, tâches di dimostrazione, di azione e di
decisione possono essere affiancate in uno stesso esercizio. L’esempio che segue
mostra un esercizio in cui sono giustapposte una tâche di dimostrazione (‘Verificare
che . . . ’) e una tâche di azione (‘completarli . . . ’).
70
Analisi di testi universitari
Verificare che i vettori v, w sono linearmente indipendenti e completarli ad una
base di R3 :
−3 v = 1 ,
2 1
w = 5
−1
.
(Abeasis, 1993, p.73)
Classificazione a posteriori dei types de tâche rispetto alla disponibilità
delle techniques di risoluzione.
Questo parametro induce una classificazione
delle tâches che dipende non solo dalle possibili techniques di risoluzione, ma anche
– forse soprattutto – dall’organizzazione del sapere cosı̀ come è proposta nei manuali.
• Types de tâche per i quali è proposta almeno una technique di soluzione. È
piuttosto frequente trovare nei manuali esempi di tâches risolte, spesso con
l’obiettivo di esemplificare una nozione definita nel blocco tecnologico-teorico,
altre volte con quello di presentare una particolare technique.
Per le eventuali successive tâches del medesimo type de tâche, il Lettore ha
quindi a disposizione le techniques che l’Autore del manuale ha fornito nella
discussione di questi esempi. In questi casi al Lettore è affidato il compito di
riconoscere le tâches del medesimo type de tâches ed eventualmente riadattare
alla tâche specifica la technique (o una delle techniques) presentata.
Appartengono quindi a questa categoria quei types de tâche una cui specifica
tâche è esplicitamente posta e risolta dall’Autore del manuale.
In relazione alla classificazione a priori proposta sopra, se una tâche di dimostrazione (o di decisione) relativa ad enunciati generali della TSV è lasciata
come esercizio al Lettore, il Lettore medesimo non avrà direttamente a disposizione una technique di soluzione. Infatti, in questo caso, come abbiamo già
avuto modo di osservare, i types de tâche hanno un’unica istanziazione; quindi
l’Autore deve decidere se risolvere quell’unica istanziazione o se lasciarla al
Lettore. Diversamente, l’Autore potrebbe risolvere tâches di dimostrazione di
enunciati esemplificativi di nozioni di TSV e tâches di azione esemplificative
di particolari tecniche, e proporre al Lettore altre tâches del medesimo type de
tâches - per le quali a questo punto il Lettore avrebbe almeno una technique.
• Tâches per le quali una technique può essere costruita ‘per imitazione’. Sono
types de tâche non direttamente affrontati nei manuali, per i quali tuttavia è
5.3 Classificazione dei types de tâche
71
possibile costruire techniques imitando ed adattando techniques di soluzione
di altri types de tâche, questi sı̀, risolti dall’Autore.
A differenza di quanto avviene per i types de tâche al punto precedente, in
questo caso il Lettore non può limitarsi a ‘riconoscere’ una tâche come appartenente ad un type de tâche già trattato, ma deve piuttosto riconoscere
l’esportabilità di una technique da un type de tâche ad un altro differente.
• Tâches per le quali una technique può essere costruita per ‘immediata’ applica-
zione di risultati tecnologici teorici. Si tratta appunto di tâche, che seppur non
esplicitamente trattate nel manuali, sono risolvibili applicando direttamente
un risultato tecnologico-teorico presentato dall’Autore. Nel caso di tâches di
dimostrazione, l’enunciato da dimostrare si può considerare un ‘corollario’ dei
risultati già presentati.
• Tâches che richiedono necessariamente la costruzione di nuove techniques.
Concludiamo citando i types de tâche la cui soluzione richiede techniques
non direttamente disponibili né immediatamente costruibili per imitazione.
Raramente una technique sarà veramente nuova in tutte le sue parti; sotto l’espressione ‘nuove techniques’ includiamo qui, ad esempio, anche quelle
che articolano tra loro in modo nuovo porzioni di techinques già disponibili o
costruibili per imitazione.
L’interesse per questa distinzione risiede nella centralità assegnata alle possibili techniques e, soprattutto, al fatto per esse siano rese o meno disponibili dall’Autore. Ovviamente il fatto che le techniques necessarie per la soluzione di una tâches siano o
meno direttamente trattate dall’Autore non le rende immediatamente ‘disponibili’ al
Lettore che potrebbe non riuscire, per esempio, a costruire gli adeguati collegamenti
tra le tâches o ad esportare le techniques; quindi in particolare questa distinzione
non fornisce, e non vuole farlo, una misura della difficoltà di soluzione delle tâches.
Classificazione a posteriori dei types de tĉhe in base alle nozioni coinvolte
nelle tâches.
Terminiamo classificando le tâches a seconda del ‘livello’ in cui sono
coinvolte le nozioni oggetto del nostro studio, vale a dire le nozioni di ‘combinazione lineare’, ‘indipendenza lineare’, ‘sistema di generatori’ e ‘base’. Distingueremo
quindi tra:
72
Analisi di testi universitari
• tâches le cui consegne riguardano direttamente ed esplicitamente tali nozioni;
• tâches in cui dette nozioni pur non comparendo direttamente nella consegna,
entrano necessariamente nelle techniques di soluzione;
• tâches che possono essere risolte senza coinvolgere direttamente le nozioni di
‘combinazione lineare’, ‘indipendenza lineare’, ‘sistema di generatori’ e ‘base’
oppure in cui il ruolo giocato da tali nozioni è limitato e circoscritto a sottotâches.
5.4
L’analisi dei manuali
Prima di presentare l’analisi dei manuali, esplicitiamo alcune notazioni che utilizzeremo nella presentazione dell’analisi dei manuali. Le tâches sono organizzate secondo la classificazione rispetto alla consegna e numerate. Se T 1 denota una tâche,
le diverse techniques per risolverla saranno denotate con τ 1,a , τ1,b , . . . . Eventuali
sotto-tâches che emergano all’interno di una technique τ 1,a saranno indicate con
0 , . . . e se una di queste si risolve tramite più techniques indicheremo queste
T1,a , T1,a
0
0
rispettivamente con τ1,a,1 , τ1,a,2 , . . . e τ1,a,1
, τ1,a,2
, . . . . Per le technologies adottiamo
le stesse convenzioni riguardo a indici e apici definite per le techniques, sostituiremo
però la lettera τ con la lettera θ.
5.4.1
Marco Abate: Geometria
La teoria degli spazi vettoriali è introdotta in modo assiomatico nel quarto capitolo
del manuale di cui riportiamo l’indice come indicazione dei temi che l’Autore tratta
e di come li struttura, globalmente, tra loro.
Spazi vettoriali:
Spazi e sottospazi, Combinazioni lineari, Indipendenza lineare
e basi, Esistenza delle basi, Somma e intersezione di sottospazi, Somme dirette.
Premettiamo che il manuale che stiamo considerando ha un’unica sessione Esercizi al termine del capitolo in oggetto, e non diverse sessioni al termine di ciascun
paragrafo. Condurremo la nostra analisi ipotizzando che, in opposizione all’organizzazione del manuale, il Lettore non attenda la fine del capitolo prima di affrontare
gli esercizi proposti. Questo pone il problema di determinare con precisione quale
5.4 L’analisi dei manuali
73
parte del blocco tecnologico-teorico debba considerarsi a disposizione dell’eventuale
solutore. In mancanza di indicazioni a tal proposito, ci sembra lecito considerare
disponibile il più piccolo blocco tecnologico-teorico che parta dall’inizio dell’opera e
comprenda le definizioni ed i principali risultati riguardanti le nozioni espressamente
chiamate in gioco.
Types de tâche
Tâches di dimostrazione: enunciati ‘misti’
Type de tâche T1 : Dati i vettori v1 , . . . , vn di uno spazio vettoriale V , dimostra che
{v1 , . . . , vn } è una base di V .
Type de tâche T2 : Dati i vettori v1 , . . . , vn , w1 , . . . wn , siano U = Span{u1 . . . um } e
W = Span{w1 . . . wn } due sottospazi di Rm+n . Dimostra che Rm+n = U ⊕ W .
Tâches di dimostrazione: enunciati di TSV
Type de tâche T3 : Sia B un sottoinsieme finito massimale in uno spazio vettoriale
V di vettori linearmente indipendenti. Dimostra che B è una base di V .
Type de tâche T4 : Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, e B = {v 1 , . . . , vn }
un sistema di generatori di V . Dimostra che B è una base di V .
Type de tâche T5 : Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, e prendiamo
v1 , . . . , vp ∈ V . Dimostra che se p < n allora {v1 , . . . , vp } non è un sistema di
generatori di V .
Type de tâche T6 : Siano U e W sottospazi di uno spazio vettoriale V , con V =
U ⊕ W . Dimostra che se B è una base di U e C è una base di W , allora B ∪ C
è una base di V .
Tâches di azione
Type de tâche T7 : Trova le coordinate del vettore dato v rispetto alla base assegnata
B.
Per le ragioni precisate nel paragrafo 5.3, una reale distinzione tra le nozioni di type
de tâche e tâche ha pieno significato solo per i types T 1 , T2 e T7 ; solo per essi ha
senso parlare di istanziazioni in tâches specifiche. Nella sezione ‘Esercizi’ troviamo
74
Analisi di testi universitari
tâches T1 , relative a n-uple e matrici di numeri reali e polinomi a coefficienti reali
in una indeterminata, tâches T7 , relative a n-uple e polinomi, ed un’unica tâche del
tipo T2 , posta in ambiente R3 .
Di questi tre types de tâche, l’Autore affronta e risolve tâches T 1 , relativamente a
n-uple e polinomi, e tâches T7 , solo relativamente a n-uple.
Nel paragrafo seguente mostreremo le techniques adottate e ne valuteremo l’efficacia
rispetto alle tâches proposte negli ‘Esercizi’. Discuteremo inoltre, relativamente alle
altre tâches, alcune possibili techniques che il Lettore potrebbe costruire a partire
dai risultati tecnologico-teorici disponibili.
Techniques e Technologies
Cominciamo con le techniques per le tâches T 1 e T7 proposte dall’Autore.
Come abbiamo anticipato nel paragrafo 5.3, e ne ritroveremo conferma in seguito,
avviene spesso, per le tâches esemplificative di una particolare nozione, che la definizione della nozione medesima fornisca i primi passi della technique.
Type de tâche T1 . Dati i vettori v1 , . . . , vn di uno spazio vettoriale V , dimostra che
{v1 , . . . , vn } è una base di V .
L’Autore illustra due diverse techniques, τ 1,a e τ1,b : la prima relativa a tâches in cui
i vettori siano n-uple, la seconda per le tâches in cui i vettori siano polinomi.
Technique τ1,a . Come si osserverà questa technique (presentata dall’Autore in Esempio 4.12) si articola in due parti ben distinte, richiamate esplicitamente dall’Autore
(Esempio 4.5 e Esempio 4.9), che posson essere considerate techniques relative a
due differenti types de tâche. Nell’esempio 4.5, l’Autore esplicita lo spazio generato
da una coppia di vettori dati in R3 , e nell’esempio 4.9 dimostra che quella stessa
coppia di vettori è un insieme di vettori linearmente indipendenti.
Per una più facile lettura riportiamo i tre esempi nell’ordine in cui essi appaiono nel
manuale.
Esempio 4.5 Prendiamo V = R3 e
3 v1 = 1 0 e
−1 v1 = −1 .
0 5.4 L’analisi dei manuali
75
Allora
Span(v1 , v2 ) =
=
−1 3 α1 1 + α2 −1 | α1 , α2 ∈ R =
0 0 3α1 − α2 α1 − α 2 | α1 , α2 ∈ R .
0
è il piano z = 0, cioè l’insieme di tutti i vettori della forma
Geometricamente,
b1 b2 .
0 Infatti è facile verificare che per ogni b1 , b2 ∈ R esistono α1 , α2 ∈ R tali che
(
3α1 − α2 = b1 ,
α1 − α 2 = b 2 ,
per cui
b1 b2 = α1 v1 + α2 v2 ∈ Span(v1 , v2 );
0 per l’esattezza risolvendo il sistema [. . . ] si vede che basta prendere α 1 = (b1 −b2 )/2
e α2 = (b1 − 3b2 )/2.
(Abate, 1996, p.73)
Esempio 4.9 I vettori v1 e v2 ∈ R3 dell’Esempio 4.5 sono linearmente indipendenti.
Infatti, la relazione α1 v1 + α2 v2 = O vale se e solo se
(
3α1 − α2 = 0,
α1 − α2 = 0,
e questo sistema ha come unica soluzione α1 = α2 = 0.
(ibidem, p.75)
Esempio 4.12 Sia
b1 V = b2 b1 , b2 ∈ R
0 76
Analisi di testi universitari
il piano z = 0 in R3 . Allora i vettori {v1 , v2 } dell’Esempio 4.5 sono una base di V ;
infatti, abbiamo visto nell’Esempio 4.5 che sono un sistema di generatori di V , e
nell’Esempio 4.9 che sono linearmente indipendenti.
(ibidem, p.76)
L’esempio 4.12 mostra quello che da un certo punto di vista potremmo considerare il
nucleo della technique τ1,a : ricondurre cioè la soluzione della tâche T 1 alla soluzione
di due tâches diverse – T1,a : ‘dimostrare che un dato insieme di vettori è un sistema
0 : ‘dimostrare l’indipendenza lineare
di generatori per un dato spazio vettoriale’, T 1,a
di un dato insieme di vettori’ – ciascuna con proprie techniques.
La portata di questa parte della technique è del tutto generale e si applica con
successo anche ai casi in cui i vettori non sono n-uple di numeri reali, nel qual
caso però sarà necessario integrare di volta in volta con techniques e technologies
specifiche della teoria dei polinomi, delle funzioni, ecc.
Technologie θ1,a . La validità della technique, che non è discussa dall’Autore, riposa
sulla definizione stessa di ‘base’:
Definizione 4.7 Sia V uno spazio vettoriale. Un insieme B = {v 1 , . . . , vn } di
vettori di V è una base se
(a) V = Span(v1 , . . . , vn ), cioè v1 , . . . , vn sono un sistema di generatori di V ;
(b) v1 , . . . , vn sono linearmente indipendenti.
(ibidem, p.76)
Quanto alle due tâches in cui il problema si articola:
0 . Dimostrare l’indipendenza lineare di un dato insieme di vettori di
Tâche T1,a
Rn .
0
0 è illustrata nell’esempio 4.9.
Technique τ1,a,1
. Una soluzione della tâche T1,a
0
Technologie θ1,a,1
. La technique proposta muove direttamente dalla definizio-
ne, non richiamata dall’Autore, di indipendenza lineare:
Definizione 4.6 Un insieme di vettori v1 , . . . , vk ∈ V di uno spazio vettoriale
V si dice linearmente indipendente se esistono α1 , . . . , αk ∈ R non tutti nulli
tali che
α1 v1 + · · · + αk vk = O.
5.4 L’analisi dei manuali
77
Viceversa, v1 , . . . , vk si dicono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti, ovvero se α1 v1 + · · · + αk vk = O implica α1 = · · · = αk =
0.
(ibidem, p.75)
Tâche T1,a . Dimostrare che un dato insieme di vettori di R n è un sistema di
generatori per un dato spazio vettoriale.
Technique τ1,a,1 . Un po’ più complesso il discorso relativo alla tâche T 1,a che
non è direttamente discussa nell’esempio 4.5, cui allude l’Autore. Infatti, sebbene all’interno dell’esempio in questione non sia formulata in modo preciso
alcuna tâche, appare chiaro che la prospettiva adottata non è tanto quella di
dimostrare che i vettori dati siano generatori di un certo spazio vettoriale –
notiamo a tal proposito che la definizione stessa di ‘sistema di generatori’ è
data dall’Autore contestualmente a quella di ‘base’, in θ 1,a , posteriormente
quindi alla discussione di questo esempio – quanto piuttosto quella di esprimere lo spazio generato da vettori dati in un modo considerato più efficace,
più esplicito, forse più significativo, che non l’insieme delle loro combinazioni
lineari tout-court.
Dall’esempio 4.5 si può tuttavia estrapolare una technique per dimostrare l’u
guaglianza tra i due insiemi Span(v 1 , v2 ) e (b1 , b2 , 0) | b1 , b2 ∈ R , che consente
di risolvere la tâche T1,a .
Technologie θ1,a,1 . La relativa technologie, non esplicitata, comprende la definizione di ‘Span’ di un insieme di vettori:
Lo span dei (o sottospazio generato dai) vettori v1 , . . . , vk è l’insieme di tutte
le combinazioni lineari di v1 , . . . , vk . In simboli,
Span(v1 , . . . , vk ) = {α1 v1 + · · · + αk vk | α1 , . . . , αk ∈ R}.
(ibidem, p.72)
oltre ad elementi di teoria degli insiemi - due insiemi sono uguali se e solo se
sottoinsiemi l’uno nell’altro, A = B se e solo se A ⊆ B e B ⊆ A - e di teoria
elementare dei sistemi lineari.
78
Analisi di testi universitari
Elementi di teoria dei sistemi lineari, necessari anche per risolvere la tâche
0 , sono presenti nel manuale nel capitolo precedente a quello in oggetto.
T1,a
Nel manuale è pure presente una sezione introduttiva di elementi di teoria
degli insiemi, che però non comprende il risultato tecnologico citato sopra.
Ci sembra interessante rilevare che, solo dopo aver trattato gli esempi sopra riportati,
l’Autore espone in termini generali una technique, τ 1,a,2 , per risolvere tâches T1,a .
Technique τ1,a,2 .
Osservazione 4.7 Per stabilire se v1 , . . . , vk ∈ Rn sono un sistema di generatori
di Rn , si considera di nuovo la matrice
A = v1 · · · vk ∈ Mn,k (R);
i vettori v1 , . . . , vk sono un sistema di generatori se e solo se il sistema Ax = b
ha soluzione qualunque sia b ∈ Rn
(ibidem, p.78)
La technique τ1,a,2 non è ulteriormente illustrata.
Technologie θ1,a,2 . Accanto alla definizione di ‘Span’, già riportata in θ 1,a,1
citiamo la proposizione:
Proposizione 4.3 Sia Ax = b un sistema lineare in m equazioni ed n incognite, e siano A1 , · · · An le colonne della matrice dei coefficienti. Allora il
sistema è compatibile11 se e solo se
b ∈ Span(A1 , . . . An )
.
(ibidem, p.74)
0 , trattate dall’Autore, come
Concludiamo insistendo sul fatto che le tâches T 1,a e T1,a
sopra mostrato, a esemplificazione degli elementi della teoria, non appaiono nella
sezione degli ‘Esercizi’ direttamente proposti al Lettore, ma emergono piuttosto
come sotto-tâches di tâches T1 .
Technique τ1,b L’Autore affronta tâches T1 che coinvolgono non solo n-uple, ma anche
polinomi.
11
Cioè ammette almeno una soluzione.
5.4 L’analisi dei manuali
79
Esempio 4.13 Consideriamo lo spazio vettoriale (Esercizio 4.5) V = R 3 [t] dei
polinomi in una variabile a coefficienti reali di grado minore o uguale a 3. Allora i
polinomi
p0 = 1, p1 = t, p2 = t2 , p3 = t3
compongono una base di V . Infatti sono un sistema di generatori: un generico
polinomio
p = α 0 + α 1 t + α 2 t2 + α 3 t3
si scrive come combinazione lineare di p0 , . . . , p3 nel modo più naturale, cioè
p = α 0 p0 + α 1 p1 + α 2 p2 + α 3 p3 .
Sono anche linearmente indipendenti: infatti un polinomio è identicamente nullo se
e solo se tutti i suoi coefficienti sono zero.
(ibidem, p.77)
Technologie θ1,b . La technique τ1,b condivide con la technique τ1,a l’articolazio0 12 , e i risultati tecnologici citati in
ne della tâche in due sotto-tâches, T 1,a e T1,a
0
θ1,a , θ1,a,1 , θ1,a,1
. Ne differisce invece per elementi tecnici e tecnologici propri degli
specifici ambiti di riferimento: teoria dei polinomi in questo caso, teoria di R n e dei
sistemi lineari nel precedente.
La presentazione della technique τ 1,b condivide con la presentazione della technique
τ1,a la carenza di riferimenti tecnologici.
In questo caso, inoltre, ci sembra che la technique esposta sia resa ancor più criptica
dall’assenza di ‘collegamenti’ tra gli elementi tecnici o tecnologici propri della teoria
degli spazi vettoriali e quelli propri della teoria dei polinomi; emblematico in questo
senso il passaggio ‘Sono anche linearmente indipendenti: infatti un polinomio è identicamente
nullo se e solo se tutti i suoi coefficienti sono zero.’. Osserviamo infine che l’assenza di
‘collegamenti’ espliciti tra gli elementi tecnici o tecnologici propri delle due teorie,
può rendere difficile la mobilitazione della technique τ 1,b ai casi in cui i polinomi
non siano quelli della ‘base canonica’, casi in cui viene a mancare la ‘naturalezza’
evocata nel testo.
Concludiamo ricordando che nella sezione ‘Esercizi’ viene proposta una tâche T 1 che
coinvolge le matrici:
12
I types de tâches sono i medesimi, le tâches però risultano dalla loro istanzazione in due ambiti
diversi: teoria di Rn nel caso precedente, teoria dei polinomi in questo.
80
Analisi di testi universitari
Sia Eij ∈ Mm,n (R) la matrice che ha 1 al posto (i, j) e 0 altrove. Dimostra che
{E11 , . . . , Emn } è una base di Mm,n (R) [. . . ].
(ibidem, p.91)
Le techniques τ1 mostrate, nella parte riguardante gli elementi della teoria degli
spazi vettoriali, possono essere applicate con successo anche in questo caso a patto
ovviamente di essere integrate con i necessari elementi tecnici, tecnologici e teorici
propri dell’ambito matriciale.
Type de tâche T7 . Trova le coordinate del vettore dato v rispetto alla base assegnata B.
Technique τ7 . Nella sezione ‘Esercizi’ sono presenti tâches T 7 relative sia a n-uple
che a polinomi in una indeterminata; l’Autore illustra una technique di soluzione
solo relativamente al primo caso. Preavvisiamo il Lettore che nella discussione dell’esempio 4.17, che presentiamo di seguito, l’Autore fa riferimento all’esempio 4.12,
che abbiamo riportato sopra illustrando la technique τ 1,a .
Esempio 4.15 Se x ∈ Rn possiamo scrivere
x 1 . x = .. = x1 e1 + · · · + xn en
xn per cui (x1 , . . . , xn ) sono le coordinate di x rispetto alla base canonica.
[ ...]
Esempio 4.17 Sia V lo spazio vettoriale dell’Esempio 4.12, e prendiamo
2 w = 0 ∈ V.
0 [. . . ] Per trovare le coordinate di w rispetto alla base B2 = {v1 , v2 }, dobbiamo
risolvere il sistema w = α1 v1 + α2 v2 , cioè
(
3α1 − α2 = 2,
α1 − α2 = 0.
Si vede subito che la soluzione è α1 = α2 = 1, per cui le coordinate di w rispetto
a B2 sono (1, 1).
5.4 L’analisi dei manuali
81
(ibidem, p.78)
Technologie θ7 . Osserviamo la totale assenza di discorsi tecnologici nell’esempio
4.15: nessuna spiegazione, nessuna giustificazione della technique usata. Più ricca,
anche se ancora carente, la technologie esplicitata nell’esempio 4.17: ‘Per trovare le
coordinate . . . dobbiamo risolvere . . . ’, che ha la doppia funzione di chiarire e giustificare
(almeno in parte) la soluzione proposta.
Il fondamento tecnologico-teorico è fornito da:
Sia {v1 , . . . , vn } una base di uno spazio vettoriale V , e prendiamo v ∈ V . Siccome
la base è un sistema di generatori di V , esistono α1 , . . . , αn ∈ R tali che v =
α1 v1 + · · · αn vn ; siccome i vj sono linearmente indipendenti, per la proposizione
4.5 gli α1 , . . . , αn sono univocamente determinati.
Definizione 4.8 Sia B = {v1 , . . . , vn } una base di uno spazio vettoriale V , e
v ∈ V . Gli n numeri reali (α1 , . . . , αn ) tali che v = α1 v1 + · · · αn vn sono le
coordinate di v rispetto alla base B.
(ibidem, p.77)
Come mostriamo in τ70 , la technique τ7 può essere implementata, con le opportune
modifiche richieste dal diverso contesto, per risolvere anche le tâches T 7 formulate
nell’ambito della teoria dei polinomi, ad esempio:
Prendiamo i polinomi p1 (t) = 1 + t, p2 (t) = 1 + 2t + t2 , p3 (t) = t − t2 ∈ R2 [t].
Dimostra che {p1 , p2 , p3 } è una base di R2 [t], e trova le coordinate di q1 (t) =
2 − t + t2 [. . . ] rispetto a questa base.
(ibidem, p. 91, Esercizio 4.17)
Technique τ70 . Supposto di aver dimostrato che {p 1 , p2 , p3 } è una base di R2 [t] (tâches
T1 ), per trovare le coordinate di q1 rispetto a detta base, dobbiamo determinare
α1 , α2 , α3 ∈ R tali che
q1 = α1 p1 + α2 p2 + α3 p3 , cioè
2 − t + t2 = α1 (1 + t) + α2 (1 + 2t + t2 ) + α3 (t − t2 );
che, in virtù del principio di identità dei polinomi, equivale a trovare le soluzioni del
sistema:



 α1 + α 2 = 2
α1 + 2α2 + α3 = −1 .


 α −α =1
2
3
82
Analisi di testi universitari
Proponiamo ora alcune techniques per risolvere le tâches, citate in apertura, presenti
nella sezione ‘Esercizi’ di questo manuale ma non direttamente affrontate dall’Autore.
Tranne T2 , i restanti types de tâche richiedono la costruzione della dimostrazione
di enunciati propri della TSV, la cui soluzione richiede quindi la costruzione di un
discorso tecnologico. La distinzione tra technique e technologie si fa in questi casi
molto sfumata.
Type de tâche T3 . Sia B un sottoinsieme finito massimale in uno spazio vettoriale
V di vettori linearmente indipendenti. Dimostra che B è una base di V .
Technique τ3 . Tentiamo di costruire una technique partendo dalla definizione di
base.
Poiché l’indipendenza lineare dei vettori di B è data come ipotesi, è sufficiente
dimostrare che tali vettori costituiscono un sistema di generatori di V , cioè che
Span(B) = V o, equivalentemente che Span(B) ⊇ V .
Poniamo B = {v1 , . . . , vn }, se v ∈ B, allora v = vj per un indice j e quindi, essendo
v = 0v1 + · · · + 1vj + · · · + 0vn , v ∈ Span(B).
Se v 6∈ B, per l’ipotesi di massimalità in V di B, B ∪ {v} è un sistema di vetto-
ri linearmente dipendenti, cioè esistono β, α 1 , . . . , αn reali non tutti nulli tali che
βv + α1 v1 + · · · + αn vn = 0.
Se fosse β = 0, avremmo α1 v1 + · · · + αn vn = 0 con αi non tutti nulli, e quindi
i vettori v1 , . . . , vn sarebbero linearmente dipendenti contro l’ipotesi fatta; quindi
deve essere β 6= 0. Possiamo allora scrivere:
α1
αn
v = − v1 − · · · −
vn ,
β
β
ossia v ∈ Span(B). La dimostrazione è quindi conclusa.
Technologie θ3 . Nel corso della dimostrazione abbiamo citato, o usato senza citarli,
risultati tecnologici già richiamati in precedenza: la definizione di ‘base’, di ‘indipendenza lineare’, di ‘Span’ e di ‘sistema di generatori’.
L’elemento di novità principale è costituito dalla nozione di massimalità:
Definizione 4.9 Sia A un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V . Diremo che
B ⊆ A è un sottoinsieme massimale in A di vettori linearmente indipendenti se
5.4 L’analisi dei manuali
83
prima di tutto gli elementi di B sono linearmente indipendenti, e inoltre aggiungendo
a B un qualunque altro vettore di A si ottiene un insieme di vettori linearmente
dipendenti.
(ibidem, p.79)
Sottolineiamo la vicinanza di questa technique con quella usata dall’Autore nella
dimostrazione del seguente teorema.
Teorema 4.8 Sia A = {v1 , . . . , vk } un sistema di generatori di uno spazio vettoriale V . Sia B ⊆ A sottoinsieme massimale in A di vettori linearmente indipendenti.
Allora B è una base.
(ibidem, p.80)
Non sfuggirà che in questo teorema, come nella tâche T 3 , si chiede di dimostrare
che un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti è una base; tuttavia
la tâche T3 non è un corollario del presente teorema - non essendo dato, né immediatamente ottenibile che B sia sottoinsieme di un sistema finito di generatori.
Una parte rilevante della technique τ 3 può essere comunque ‘ottenuta per imitazione’
dalla dimostrazione del teorema.
Dimostrazione Scriviamo B = {v1 , . . . vr } [. . . ] è sufficiente far vedere che A ⊂
Span(B). Sia w un qualunque elemento di A che non stia già in B. Per ipotesi di
massimalità, v1 , . . . , vr , w sono linearmente dipendenti; quindi esistono α 1 , . . . , αr , β ∈
R non tutti nulli tali che
α1 v1 + · · · + αr vr + βw = O.
Ora se fosse β = 0, avremmo scritto una relazione di dipendenza lineare fra i vettori
v1 , . . . vr che sappiamo essere linearmente indipendenti; quindi dev’essere β 6= 0.
Ma allora
w=−
α1
αr
v1 − · · · −
vr ∈ Span(B),
β
β
e, essendo w generico, otteniamo A ⊂ Span(B).
(ibidem, p.80)
Concludiamo osservando che la technique esposta può essere ulteriormente articolata in tâches e techniques. Tenuto conto del fatto che questa non è una technique
84
Analisi di testi universitari
riportata nel manuale, e che l’articolazione in sotto-tâches non avrebbe apportato
nuovi elementi di analisi, abbiamo ritenuto opportuno evitare una eccessiza frammentazione.
Type de tâche T4 : Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, e B = {v 1 , . . . , vn }
un sistema di generatori di V . Dimostra che B è una base di V .
Technique τ4 . Estraiamo da B un sistema massimale di vettori linearmente indipen-
denti, B1 . B1 in quanto sottoinsieme massimale, in un insieme di generatori di V ,
di vettori linearmente indipendenti è una base.
Poiché la dimensione di V è n, allora B 1 ha n elementi esattamente come B. Di
conseguenza B1 = B, per cui B è una base di V .
Technologie θ4 . La possibilità di estrarre da un sistema finito dei generatori un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, che è quindi una base, è assicurata
dall’Autore che illustra in termini generali una technique ‘di estrazione’.
Rimane il problema di come trovare una base di un dato spazio vettoriale. Il teorema
4.8 suggerisce una prima procedura. Sia A = {v1 , . . . , vk } un sistema di generatori
di V . Se V = {O} abbiamo finito; altrimenti, A contiene un elemento non nullo,
diciamo v1 . Se v1 e vj sono linearmente dipendenti qualunque sia v j ∈ A, allora
{v1 } è un sottoinsieme massimale in A di vettori linearmente indipendenti, per cui
è la base cercata. Altrimenti, ci sarà un altro vettore di A, diciamo v 2 , tale che
v1 e v2 sono linearmente indipendenti. Se {v1 , v2 } è un sottoinsieme massimale in
A di vettori linearmente indipendenti, abbiamo trovato la nostra base; altrimenti
[. . . ]. Si procede cosı̀ fino a trovare la base voluta.
(ibidem, pp.80-81)
Aggiungiamo che la finitezza dell’insieme di generatori garantisce che la procedura
illustrata abbia termine.
Accanto a questo brano e in esso esplicitamente richiamato, va collocato il teorema
4.8 citato in questo brano e riportato nella discussione sulla technologie θ 3 .
Oltre a questi risultati, la technologie θ 4 comprende la definizione di dimensione di
uno spazio vettoriale:
Definizione 4.10 Se {v1 , . . . vn } è una base di uno spazio vettoriale V , il numero
n [. . . ] si chiama dimensione di V [. . . ].
5.4 L’analisi dei manuali
85
(ibidem, p.84)
Osserviamo che, in alternativa, avremmo potuto tentare di risolvere la tâche partendo anche questa volta dalla definizione di base (θ 1 ), che avrebbe ‘ridotto’ la tâche
T4 alla richiesta di dimostrare l’indipendenza lineare dei vettori v 1 , . . . , vn , ovvero
(θ10 ) che ‘α1 v1 + · · · + αk vn = O implica α1 = · · · = αn = 0’.
Tuttavia la definizione di indipendenza lineare, che è sembrata fornire techniques
efficaci per dimostrare l’indipendenza lineare di specifici vettori (n-uple o polinomi),
sembra perdere il suo carattere operativo nel caso in cui i vettori non siano esplicitati, e con esso perde parte della sua efficacia. Inoltre la nozione di dimensione di uno
spazio vettoriale pone l’accento sul numero di vettori indipendenti, aspetto secondario nella definizione di indipendenza medesima, e quindi l’ipotesi essenziale sulla
dimensione di V appare difficilmente utilizzabile in questo tentativo di soluzione.
Type de tâche T5 . Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, e siano v 1 , . . . , vp
in V . Dimostra che se p < n allora {v1 , . . . , vp } non è un sistema di generatori di V .
Questa tâche – Esercizio 4.22 della sezione ‘Esercizi’ – gode di una ‘particolare investitura’ da parte dell’Autore che ne cita l’enunciato tra i risultati tecnologici relativi
alla nozione di dimensione, assegnandogli di conseguenza una certa rilevanza 13 .
Osservazione 4.10 Dunque la dimensione di uno spazio vettoriale è il massimo
numero di vettori linearmente indipendenti; analogamente si può vedere (Esercizio
4.22) che è il minimo numero di vettori in un sistema di generatori.
(ibidem, p.85)
Technique τ5,a . Riformuliamo la tâche e dimostriamo che lo spazio generato da
(v1 , . . . , vp ) ha dimensione minore o uguale a p.
Estraiamo da {v1 , . . . , vp } una base {vi1 , . . . , vik } di Span(v1 , . . . , vp ), k è evidente-
mente minore o uguale a p. La dimensione di Span(v 1 , . . . , vp ) è uguale a k, e quindi
minore o uguale a p. Da ciò segue che la dimensione è minore di n e che quindi
Span(v1 , . . . , vp ) 6= V .
13
Altre tâches, ad esempio di type T3 , sono espressamente citate dall’Autore nella presentazione
del blocco tecnologico-teorico, ma più spesso in quanto parti di dimostrazioni che l’Autore sembra
voler lasciare al Lettore piuttosto che come risultati in sé rilevanti.
86
Analisi di testi universitari
Technologie θ5,a . La technologie comprende risultati già più volte citati: la definizione di base, di ‘generatori’, di ‘dimensione’, di ‘Span’, ed la technologie che permette
di estrarre una base da un sistema di generatori di uno spazio vettoriale, già citata
in θ3 .
Technique τ5,b . In alternativa possiamo dimostrare che sotto le ipotesi date esiste
un vettore v di V che non appartiene a Span(v 1 , . . . , vp ).
Estraiamo da {v1 , . . . , vp } una base {vi1 , . . . , vik } di Span(v1 , . . . , vp ) e completia-
mola ad una base {vi1 , . . . , vik , w1 , . . . wn−k } di V (osserviamo che n − k > 0). I
vettori vi1 , . . . , vik , w1 sono linearmente indipendenti quindi w 1 non appartiene a
Span(vi1 , . . . , vik ) e quindi nemmeno a Span(v1 , . . . , vp ) (i due spazi sono il medesimo).
Technologie θ5,b .
Parte di θ5,b è evidentemente in comune con θ5,a .
A questa
aggiungiamo il teorema del completamento:
Teorema 4.10 (del completamento) Sia B = {v1 , . . . , vn } una base di uno
spazio vettoriale V , e siano w1 , . . . , wp ∈ V (con p ≤ n) vettori linearmente
indipendenti. Allora esistono n−p vettori di B che insieme a w1 , . . . , wp formano
una base di V .
(ibidem, p.81)
Il fatto che dall’indipendenza lineare di v i1 , . . . , vik , w1 segua che w1 non può appartenere Span(vi1 , . . . , vik ) può essere dimostrato direttamente dalle definizioni di
‘indipendenza lineare’, ‘base’ e ‘spazio generato’. Oppure dall’Osservazione 4.10 –
citata sopra – si può dedurre che Span(v i1 , . . . , vik ) non può contenere k + 1 vettori
linearmente indipendenti e quindi, poiché contiene v i1 , . . . , vik non può contenere w1 .
Type de tâche T6 : Siano U e W sottospazi di uno spazio vettoriale V , con V =
U ⊕ W . Dimostra che se B è una base di U e C è una base di W , allora B ∪ C è una
base di V .
Technique τ6,a . Che B∪C sia una base di V è dimostrato una volta che sia dimostrato
che B ∪ C è un sistema di generatori di V (T 6,a ) e un insieme di vettori linearmente
0 ).
indipendenti (T6,a
5.4 L’analisi dei manuali
87
Technique θ6 . La technologie è essenzialmente costituita dalla definizione di base di
uno spazio vettoriale.
Tâches T6,a . Dimostrare che B ∪ C è un sistema di generatori di V .
Technique τ6,a,1 . La dimostrazione segue direttamente dall’uguaglianza V =
U ⊕ W = U + W e da una proposizione presente nel manuale.
Technologie θ6,a,1 . La prima sotto-tâche si può considerare quasi direttamente
risolta dall’Autore:
Lemma 4.15 Siano U, W sottospazi di uno spazio vettoriale V , B un sistema
di generatori di U e C un sistema di generatori di W . Allora B ∪C è un sistema
di generatori di U + W .
(ibidem, p.86)
A proposito dell’uguaglianza U ⊕ W = U + W , ci sembra importante sottoli-
neare che raramente viene esplicitato che ‘⊕’ e ‘+’ definiscono due operazioni
diverse tra sottospazi di un dato spazio vettoriale, solo in quanto è diverso
il loro insieme di definizione – la somma è ammessa tra qualunque coppia di
sottospazi, mentre la somma diretta solo su coppie con intersezione nulla – ma
laddove entrambe siano definite lo spazio risultante è il medesimo.
L’Autore definisce prima la ‘somma’ tra sottospazi:
Sia V uno spazio vettoriale, e U e W suoi sottospazi. Possiamo allora costruire
altri sottospazi di V :
(a) [. . . ]
(b) il sottospazio somma U + W = {u + w |u ∈ U, w ∈ W }.
(ibidem, p.86)
dimostrando che si tratta in effetti di un sottospazio, e quindi la ‘somma
diretta’:
Se U e W sono sottospazi di uno spazio vettoriale V tali che U ∩ W = {O},
il Teorema di Grassmann ci dice che
dim(U + W ) = dim U + dim W.
In questo caso scriveremo U ⊕ W e diremo che U ⊕ W è la somma diretta
di U e W .
88
Analisi di testi universitari
(ibidem, p.86)
Technique τ6,a,2 . Alternativamente il fatto che B ∪ C è un sistema di generatori
di U +W , può essere ri-dimostrato autonomamente a partire dalle definizioni di
somma di sottospazi e di sistema di generatori. La dimostrazione risulterebbe
ovviamente del tutto analoga alla dimostrazione del lemma 4.15:
Dimostrazione. Ogni elemento di U (rispettivamente, W ) si scrive come
combinazione lineare di vettori di B (rispettivamente C). Quindi il generico
elemento di U + W si scrive some somma di una combinazione lineare di
vettori di B e di una combinazione lineare di vettori di C - ovvero come una
combinazione lineare di vettori di B ∪ C.
(ibidem, p.86)
Technologie θ6,a,2 . La technologie è limitata alle sole definizioni delle nozioni coinvolte, ad esempio: ‘somma di sottospazi’, ‘sistema di generatori’,
‘combinazione lineare’.
0 . Dimostrare che B ∪ C è un insieme di vettori linearmente indipenTâche T6,a
denti.
Technique tau06,a,1 .Consideriamo una relazione lineare nulla tra vettori di B∪C,
α1 u1 + · · · + α m um + β 1 w1 + · · · + β n wn = O
con α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βn scalari, u1 , . . . , um ∈ B e w1 , . . . , wm ∈ C.
Da tale relazione otteniamo
α1 u1 + · · · + αm um = −β1 w1 − · · · − βn wn ∈ U ∩ W ;
ora, poiché U ∩ W = {O}, valgono le relazioni lineari:
α1 u1 + · · · + α m um = O
e
β1 w1 + · · · + βn wn = O.
Da cui, per l’indipendenza lineare dei vettori u 1 , . . . , um e dei vettori w1 , . . . , wn ,
si ottiene α1 = · · · = αm = β1 = · · · = βn = 0 .
I vettori di B ∪ C sono linearmente indipendenti.
5.4 L’analisi dei manuali
89
0
Technologie θ6,a,1
. Oltre alla definizione di ‘indipendenza lineare’ e di ‘in-
tersezione tra sottospazi’, parte di questa technique ‘imita’ la dimostrazione
dell’unicità di rappresentazione dei vettori di U ⊕W come somma di un vettore
di U e un vettore di W :
Proposizione 4.17 Siano U e W due sottospazi di uno spazio vettoriale
V tali che U ∩ W = {O}, e prendiamo u1 , u2 ∈ U e w1 , w2 ∈ W . Allora
u1 + w1 = u2 + w2 se e solo se u1 = u2 e w1 = w2 .
Dimostrazione. Infatti u1 +w1 = u2 +w2 implica u1 −u2 = w2 −w1 ∈ U ∩W ;
la tesi segue allora da U ∩ W = {O}.
(ibidem, p.88)
Concludiamo osservando che una technique alternativa, τ 6,b , potrebbe essere costruita avendo a disposizione il seguente risultato tecnologico:
Un sottoinsieme B di uno spazio vettoriale V è una base di V se e solo se
ogni vettore v ∈ V può essere scritto in modo unico come combinazione
lineare dei vettori di B.
Da questa caratterizzazione segue che, per dimostrare che B ∪ C è una base di
U ⊕ W , si potrebbe dimostrare che ogni vettore di U ⊕ W si esprime in modo unico
come combinazione lineare di vettori di B ∪ C; strategia alternativa al dimostrare
separatamente che B ∪C è un sistema di generatori di U ⊕W ed un insieme di vettori
linearmente indipendenti.
Accenniamo velocemente a come si concluderebbe tale dimostrazione: ogni vettore
u di U ⊕ W si scrive in modo unico come somma di un vettore u ∈ U e di un vettore
w ∈ W , i quali si scrivono in modo unico come combinazioni lineare rispettivamente
dei vettori di B e dei vettori di C, quindi u medesimo si scrive in modo unico come
combinazione lineare dei vettori di B ∪ C.
L’Autore riporta solo parzialmente il risultato tecnologico di cui sopra:
L’importanza delle basi consiste nel fatto che se {v 1 , . . . vn } è una base di V allora
ogni elemento di V può essere scritto in un solo modo come combinazione lineare
dei vettori v1 , . . . vn .
(ibidem, p.77)
90
Analisi di testi universitari
che non risulta quindi sufficiente a giustificare la validità della technique τ 6,b .
Type de tâche T2 . Siano U = Span{u1 . . . um } e W = Span{w1 . . . wn } due sotto-
spazi di Rm+n . Dimostra che Rm+n = U ⊕ W .
Questo type de tâche è presente anche nel testo ‘Algebra Lineare’ di Lang (5.4.3,
type de tâche T2 ). Poiché le possibili tecniques sono molte ed i due manuali condividono la stessa impostazione assiomatica, anche se il testo di Abate presenta un
blocco tecnologico più ricco, per non appesantire ulteriormente questo paragrafo, si
rimanda per l’illustrazione di queste techniques all’analisi del testo scritto da Lang.
I risultati tecnologici presentati da Abate consentono di costruire altre techniques
oltre quelle che illustriamo in 5.4.3, in particolare basate sulla Formula di Grassmann
e sulla teoria delle equazioni lineari.
Conclusioni
Precisiamo che nel manuale sono presenti molte tâches e molto di-
verse tra loro, in particolare non riconducibili a types de tâche comuni. Nell’impossibilità di analizzarle tutte abbiamo selezionato quelle che ci sembravano più
significative relativamente al nostro studio.
Notiamo tra le tâches presenti nel manuale una netta predominanza di types de tâche
di dimostrazione su quelli azione e di decisione, questi ultimi del tutto assenti, e tra
i types de tâche di dimostrazione una netta predominanza quelli di dimostrazione
di enunciati interni alla teoria.
I type de tâches di dimostrazione di ‘enunciati misti’ sono esemplificativi delle nozioni di base e di somma diretta, vale a dire solo di una esigua parte delle nozioni
introdotte nel blocco tecnologico-teorico, anche se la loro soluzione si articola in
sotto-tâches che richiamano esplicitamente altre nozioni quali quella di generatori o
di indipendenza lineare. Nel manuale sono presenti tâches formulate in diversi ambiti, Rn , spazi di matrici e di polinomi: Rn risulta l’ambito maggiormente ricorrente
anche se tutt’altro che esclusivo.
La predominanza di tâches di dimostrazione di enunciati interni alla teoria ha come
conseguenza che il numero di tâches di cui l’Autore illustra esplicitamente le techniques è piuttosto esiguo. Comunque anche in questi casi l’Autore non esplicita i
riferimenti tecnologici relativi alle techniques.
5.4 L’analisi dei manuali
91
Per quanto riguarda le tâches non risolte dall’Autore, il manuale ne presenta alcune
per le quali le techniques possono essere costruite, almeno parzialmente per imitazione, altre per le quali le techniques devono essere totalmente costruite dal Lettore .
Sottolineiamo che le definizioni di combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, sistema di generatori, base, vengono direttamente coinvolte solo in tâches
‘esemplificative’ (T1 ), più raramente in tâches di dimostrazione di enunciati interni
alla teoria degli spazi vettoriali (T 4 , T5 ). Inoltre, se per le prime le definizioni fornivscono un’entrata efficace in una technique, per le seconde il ricorso diretto alle
definizioni appare inadeguato per risolvere la tĉhe medesima che richiede piuttosto
il ricorso a proposizioni.
Infine ci sono problemi che sembrano richiedere un’articolazione processo/oggetto:
ad esempio la technique τ3 richiede il passaggio da una relazione lineare, statica
e simmetrica, tra vettori all’esplicita espressione di un vettore come combinazione
lineare degli altri. Ci sembra che potrebbe far emergere la necessità di questa arti0 , la cui soluzione richiede di studiare una relazione lineare tra
colazione la tâche T6,a
i vettori di due famiglie di vettori linearmente indipendenti, analoga articolazione
0
anche se apparentemente più complessa è richiesta dalla technique τ 6,a,1
. Tuttavia
l’articolazione operazionale/strutturale non è esplicitamente presa in considerazione
dell’Autore.
5.4.2
Silvana Abeasis: Elementi di algebra lineare e geometria
L’Autore antepone al capitolo ‘Spazi Vettoriali’, un capitolo ‘Sistemi lineari’ all’interno del quale inserisce un paragrafo ‘Spazi vettoriali numerici sui reali’ che introduce,
in esempi specifici, alcune delle nozioni di nostro interesse. Types de tâches, techniques, technologies e théories che discuteremo nella sezione sono tratti, oltre che
dal capitolo ‘Spazi Vettoriali’, anche dal suddetto paragrafo dal quale cominciamo
la nostra analisi.
Spazi vettoriali numerici sui reali.
Types de tâche
Tâches di dimostrazione: enunciati ‘misti’
92
Analisi di testi universitari
Type de tâche T1 : Verificare che i vettori dati x1 , . . . , xn sono linearmente dipendenti (o indipendenti).
Tâches di azione
Type de tâche T2 : Scrivere la combinazione lineare con pesi rispettivamente α 1 , . . . αn
dei vettori v1 , . . . vn .
Tâches di decisione
Type de tâche T3 : Vedere se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o
indipendenti.
Prima di procedere è necessario precisare alcuni elementi che potrebbe altrimenti
generare ambiguità:
• abbiamo usato il termine ‘vettori’ con il significato di ‘elementi di uno spazio
vettoriale’, indichiamo, quindi, con tale termine, in particolare, sia n-uple che
matrici di numeri reali; ed in effetti nella sezione ‘Esercizi’ relativa al paragrafo
in esame l’Autore propone sia tâches inerenti a n-uple che a matrici. Tuttavia,
a questo punto del manuale, i ‘vettori’ sono definiti solo come ‘elementi di
Rn ’ e quando l’Autore parla di vettori si riferisce esclusivamente a n-uple.
Cercheremo nel seguito di ridurre al minimo le occasioni di ambiguità derivanti
dall’uso del termine ‘vettore’.
• Coerentemente con la classificazione proposta a inizio capitolo (sezione 5.3),
abbiamo etichettato ‘misto’ l’enunciato ‘i vettori x 1 , . . . , xn sono linearmente
dipendenti’, in quanto istanziazione di nozioni generali della teoria degli spazi
vettoriali in un ambiente specifico, R n o Mm n (R); tuttavia in questo caso, in
cui tali nozioni sono definite nei suddetti ambiti specifici, l’enunciato in oggetto
sarebbe più propriamente interno alla teoria di R n o di Mm n (R), quindi esterno
alla teoria generale. Manteniamo la dicitura ‘enunciato misto’ per esprimere il
fatto che si tratta di esempi la cui funzione è soprattutto quella di anticipare,
fornendone dei modelli, la teoria generale.
• l’Autore definisce le nozioni di ‘combinazione lineare’ e ‘dipendenza/indipen-
denza lineare’ solo relativamente agli spazi R n . La discussione dell’estensione di
5.4 L’analisi dei manuali
93
tali definizioni allo spazio vettorial delle matrici M m n (R) è affidata al discorso
tecnologico seguente:
4.15 Osservazione Abbiamo detto che questo esempio14 è solo apparentemente diverso da Rn . Infatti se ad ogni matrice A ∈ Mm n (R) associamo il vet-
tore a di componenti a11 , a12 , . . . , a1n , a21 , a22 , . . . , a2n , am1 , am2 , . . . , amn
(che possiamo scrivere sia come vettore riga che come vettore colonna di R mn )
vediamo che gli insiemi Mm n (R) ed Rmn sono in corrispondenza biunivoca e
si corrispondono anche le operazioni! Come spazi vettoriali sono in sostanza la
stessa cosa o, come si dice, sono “ isomorfi”. Per questo motivo non illustreremo qui le solite nozioni, combinazione lineare, dipendenza ed indipendenza
lineare, sottospazi. Sarebbe una inutile ripetizione.
Lo studente tenga presente negli esercizi che il passaggio dalle matrici ai vettori
(colonna) è utile!
(ibidem, p.34)
Nella sezione ‘Esercizi’ sono presenti tâches T 1 , relativamente a n-uple, e T2 e T3 ,
relativamente a n-uple e matrici. L’Autore propone esempi di techniques per la
soluzione delle tâches in ambiente R n (in un caso la technique è esposta in termini
generali). Per quanto riguarda le tâches relative a matrici, il medesimo discorso tecnologico citato sopra, fornisce una technique generale per trasformare tâches relative
a quest’ultimo in tâches relative a R mn , per le quali le techniques sono, appunto,
date.
Techniques e technologies
Type de tâche T1 . Verificare che i vettori dati x1 , . . . , xn sono linearmente dipendenti (o indipendenti).
Technique τ1 . L’Autore risolve una tâche T1 , in cui i vettori dati sono linearmente
indipendenti ed una in cui sono linearmente dipendenti:
14
4.7 Esempio. Si considerino i vettori canonici di R4 :
1 0 0 0 1 0 e1 = , e2 = , e3 = ,
0 0 1 0 0 0 È riferito a Mm n (R) come esmpio di spazio vettoriale su R.
e4 = 0 0 0 1 94
Analisi di testi universitari
Essi sono linearmente indipendenti. Infatti in questo caso l’equazione (4.6):
α1 1 0 + α2 0 0
0 1 + α3 0 0
0 0 + α4 1 0
ammette l’unica soluzione α1 = α2 = α3 = α4 = 0.
0 0 =
0 1 0 0 0 0 4.8 Esempio. I vettori di R3 : x di componenti 1, 2, −1 ed y di componenti
1/2, 1, −1/2 sono linearmente dipendenti. Infatti l’equazione (4.6) diviene:
1
α 2
−1
1/2
+β
1
−1/2
0 = 0 ,
0 cioè
α + (1/2)β
2α + β
−α − (1/2)β
0 = 0 ,
0 ovvero il sistema α + (1/2)β = 0, 2α + β = 0, −α − (1/2)β = 0. Questo
sistema omogeneo di tre equazioni in due incognite ammette infinite soluzioni in
quanto, effettuando l’eliminazione di Gauss, si trova che rg(A) = 1 quindi il sistema
ammette infinite soluzioni, dipendenti da una parametro libero (cfr. 3.17 i)).
(Abeasis, 1993, pp.31-32)
Technologie θ1 . La technique esposta, valida sia per i casi in cui si debba dimostrare la dipendenza sia per i casi i cui si debba dimostrare l’indipendenza lineare di particolari insiemi di n-uple, prende l’avvio dalla definizione di dipendenza/indipendenza lineare, che non è esplicitamente richiamata ma evocata tramite
il riferimento all’equazione 4.6.
4.5 Definizione. Dato un insieme di vettori v1 , . . . , vk ∈ Rn essi si dicono
linearmente indipendenti se l’equazione:
(4.6)
α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk = 0,
nelle incognite α1 , α2 , . . . , αk , ammette la sola soluzione α1 = α2 = · · · = αk =
0.
Essi si dicono linearmente dipendenti se l’equazione (4.6) ammette anche altre
soluzioni in cui i pesi non siano tutti nulli.
(ibidem, p.31)
5.4 L’analisi dei manuali
95
Osserviamo che la technique presentata nell’esempio 4.8 si avvale di techniques e
technologies proprie della teoria dei sistemi lineari, introdotte nei paragrafi precedenti. In particolare la proposizione 3.17 i), richiamata a conclusione dell’esempio
4.8, afferma e dimostra che un sistema omogeneo a n equazioni e k incognite (n ≥ k)
ha come unica soluzione quella nulla se e solo se il rango della matrice dei coefficienti
è k. Il richiamo di tali techniques e technologies conferisce un’ampia portata alla
technique medesima; nel caso specifico, trattandosi di due sole terne la tâche poteva
essere risolta con techniques ad hoc di portata limitata.
Sottolineiamo che la portata della technique τ 1 , che riconduce la soluzione della
tâche allo studio della risolubilità di sistemi lineari, si estende con efficacia al di là
delle tâches T1 anche alle tâches T3 (che non ridiscuteremo).
A conferma riportiamo la descrizione, in termini generali, che l’Autore fa di tale
technique :
4.9 Ossevazione. Supponiamo di aver assegnati k vettori di R n ; due casi sono
possibili, a norma della definizione 4.615 : o essi sono indipendenti oppure dipendenti. La verifica di ciò è legata allo studio delle soluzioni dell’equazione (4.6) che
di fatto è un sistema omogeneo di n equazioni nelle k incognite α 1 , . . . , αk . Tale
sistema è sempre compatibile in quanto ammette la soluzione costituita dalla n-upla
nulla. Si tratta quindi di vedere se la soluzione è unica oppure no (cfr. 3.17 i)).
(ibidem, p.32)
Come si vede tale technique è applicabile solo a tâche riguardanti n-uple. L’estendibilità a tâches riguardanti le matrici verrà affrontata tra breve.
Type de tâche T2 . Scrivere la combinazione lineare con pesi rispettivamente α 1 , . . . αn
dei vettori v1 , . . . vn .
Technique τ2 . L’Autore illustra la technique relativa alle tâches T 2 nel caso in cui i
vettori siano elementi di uno spazio R n .
15
Riteniamo si tratti di un refuso di stampa, non essendovi una ‘definizione 4.6’, e che l’Autore
intendesse la definizione 4.5.
96
Analisi di testi universitari
τ2 : 4.4 Esempio. La combinazione
0
1 1
2 b1 = , b1 = 0
0 2
1 1 2 + 3 0 1
lineare, con pesi 1, 3, −2 dei vettori di R 4 :
−1 1 , b1 = −1 , è il vettore
1 −1 3 0 1 3 1 = .
−2
0 −1 2 1 5 2 (ibidem, p.31)
Technologie θ2 . L’esempio trattato dall’Autore segue immediatamente la definizione
di combinazione lineare, che è data solo per vettori di R n e che fornisce direttamente
una technique per risolvere le tâches T 2 formulate in quell’ambito.
Le proprietà I, . . . , VII16 permettono di operare sui vettori di Rn . Possiamo per
esempio estendere la somma da due a più vettori e possiamo combinare le due
operazioni nel modo seguente. Se v1 , v2 . . . vk ∈ Rn e α1 , α2 . . . αk ∈ R allora
risulta:
w = α 1 v1 + α 2 v2 + · · · + α k vk ∈ R n .
(4.3)
Il vettore w si dice combinazione lineare dei vettori v1 , v2 , . . . vk con pesi (o
coefficienti) α1 , α2 . . . αk .
(ibidem, p.31)
Nella sezione ‘Esercizi’ sono proposte anche tâches T 2 (e T3 ) formulate in ambito
matriciale, ad esempio:
Scrivere la combinazione lineare, con pesi rispettivamente α 1 = −1, α2 = 1, α2 =
1/2, delle matrici:
16
1 2
A1 = 0 1
1
3 1 2
, A2 = , A3 = 2 4 4 −1
Le proprietà della somma tra n-uple e del prodotto per scalare corrispondenti agli assiomi che
definiscono uno spazio vettoriale.
5.4 L’analisi dei manuali
97
(ibidem p. 35, esercizio 5.)
Come abbiamo anticipato, le nozioni di ‘combinazione lineare’, di ‘dipendenza/indipendenza lineare’, ecc. sono definite solo per gli spazi R n . L’estensione di tali nozioni
nell’ambito degli spazi matriciali è discussa nell’ Osservazione 4.15 alla pagina 34
del manuale, riportata all’inizio di questa sezione.
Alla luce di questo discorso la tâche sopra riportata può essere risolta scrivendo i
vettori a1 , a2 , a3 associati alle tre matrici – tramite l’isomorfismo tra M m n (R) e Rmn
esplicitamente dscritto nella medesima osservazione – applicando la technique ‘nota’
τ2 per scrivere la combinazione lineare dei vettori a 1 , a2 , a3 con i pesi dati, e infine
scrivendo la matrice associata al vettore risultante.
Passiamo ora ad analizzare il capitolo esplicitamente dedicato agli spazi vettoriali.
Prima, però, riportiamo l’indice degli argomenti in essp trattati.
Spazi vettoriali: Altri esempi di spazi vettoriali, Basi e dimensioni per un sottospazio, Spazi vettoriali su K: il caso di dimensione finita, L’algoritmo di Gauss
per selezionare una base da un sistema di generatori, Sottospazi e sottovarietà affini,
Intersezione e somma di sottospazi: somme dirette.
Types de tâche
Per evitare confusioni, anziché ricominciare da 1 la numerazione dei types de tâches
proposti nel capitolo, riprendiamo la numerazione da dove abbiamo terminato quella
dei types de tâches del paragrafo ‘Spazi vettoriali numerici sui reali’ appena trattato.
Precisiamo inoltre che nel capitolo che andremo ora ad esaminare vengono proposte
alcuni types de tâche già proposti nel paragrafo esaminato sopra (ad esempio T 1 ),
non le citeremo una seconda volta.
Tâches di azione
Type de tâche T4 : Assegnato U sottospazio vettoriale di V , calcolarne la dimensione.
Type de tâche T5 : Sia U il sottospazio di V generato dai vettori dati u 1 , . . . , um
determinarne la dimensione.
98
Analisi di testi universitari
Type de tâche T6 : Siano U e W i sottospazi di V generati rispettivamente dai
vettori dati u1 , . . . , um e w1 , . . . , wn , determinare la dimensione di U + W .
Type de tâche T7 : Siano U e W i sottospazi di V generati rispettivamente dai
vettori dati u1 , . . . , um e w1 , . . . , wn , determinare la dimensione di U ∩ W .
Type de tâche T8 : Siano U e W i sottospazi di V generati rispettivamente dai
vettori dati u1 , . . . , um e w1 , . . . , wn , determinare una base di U ∩ W .
Type de tâche T9 : Completare i vettori dati v1 , . . . , vk ∈ Rn (linearmente indipendenti) ad una base di Rn .
Tâches di decisione
Type de tâche T10 : Siano U e W i sottospazi di V generati rispettivamente dai
vettori u1 , . . . , um e w1 , . . . , wn di Rp , dire se Rp = U ⊕ W .
Ad eccezione delle tâches T4 , formulata anche relativamente a spazi di polinomi, le
altre sono formulate solo in ambito R n o Mm n (R). Inoltre la maggior parte di esse
si può ricondurre - vedremo come - al type de tâche: ‘determinare una base di uno
spazio vettoriale dato un suo sistema di generatori’ per il quale l’Autore presenta una
technique di risoluzione di portata abbastanza ampia ed in termini sufficientemente
generali per risolvere le tâches presenti nel manuale.
Precisiamo ancora che ciò che distingue le tâches T 4 dalle tâches T5 è che mentre
in questo ultimo caso il sottospazio di cui si chiede la dimensione è dato tramite un
sistema di generatori, nel primo caso lo spazio è descritto come insieme di vettori
che soddisfano date proprietà, ad esempio lo spazio dei polinomi di grado minore o
uguale a 4 o lo spazio delle matrici n × n simmetriche.
Infine, a proposito di T9 , rileviamo che tra gli esercizi proposti nel manuale sono
presenti sia alcune specifiche tâches, istanziazioni del type de tâche T 9 , cioè con
assegnati i numeri k, n e le k n-uple di numeri reali 17 , sia la tâche T9 formulata
in termini generali, in quest’ultimo caso la soluzione consiste nella descrizione di
una technique di portata generale per risolvere le possibili istanziazioni della tâche
medesima.
17
In questo caso le tâches T9 sono affiancate a tâches T1 in cui si chiede di dimostrare
l’indipendenza dei vettori v1 , . . . , vk dati.
5.4 L’analisi dei manuali
99
Techniques e technologies
Type de tâche T4 : Assegnato U sottospazio vettoriale di V , calcolarne la dimensione.
Rileviamo innanzitutto che al momento in cui vengono poste le tâches T 4 , ancora
mancano le definizioni generali di ‘spazio vettoriale’, ‘combinazione lineare’, ‘dipendenza ed indipendenza lineare’ e ‘sottospazio vettoriale’ – che verranno definite nelle
pagine immediatamente successive. Alcune di queste nozioni sono state definite nel
paragrafo ‘Spazi vettoriali numerici sui reali’ solo limitatamente agli spazi R n .
Il primo paragrafo del capitolo in esame è dedicato a fornire altri esempi, oltre gli
spazi Rn e Mm n (R), di spazi vettoriali: lo spazio V O dei segmenti orientati (nello
spazio ordinario) centrati in O, lo spazio dei polinomi in una indeterminata R[x] e lo
spazio Cn . Le nozioni sopra ricordate non vengono direttamente ridefinite in questi
ambiti, ma si invoca piuttosto una ‘immediata’ estendibilità delle definizioni date in
Rn e Mm n (R):
Cosı̀ come in Rn , anche in VO abbiamo la nozione di sottospazio W , di combina-
zione lineare di vettori, di sottospazio generato da un insieme di vettori, di vettori
linearmente indipendenti; basta per ciò ripetere le definizioni date per R n (cfr. capitolo 1, sezione 418 ) e che di fatto prescindono dalla natura degli elementi dello
spazio vettoriale in esame.
(ibidem, p. 58)
Anche R[x] è quindi un esempio di spazio vettoriale su R. Tutte le proposizioni e definizioni date nella sezione 4 del capitolo 1 continuano a valere perché
conseguenza delle operazioni e delle proprietà citate 19 .
(ibidem, p. 60)
Tutto ciò deve considerarsi parte integrante delle technologies relativa alla tâche.
Technique τ4 . A titolo esemplificativo, l’Autore calcola le dimensioni degli spazi
vettoriali Rn , Cn , Mm n (R) e VO e per farlo esibisce insiemi di vettori che poi dimostra essere basi di tali spazi (T40 ); per i primi tre spazi quelle esibite sono le ‘basi
18
19
È il paragrafo ‘Spazi vettoriali numerici sui reali’.
Gli assiomi che definiscono gli spazi vettoriali.
100
Analisi di testi universitari
canoniche’. Coerentemente con la definizione di dimensione, il numero di elementi
della base fornisce la dimensione dello spazio.
Technologie θ4 . La tâche è ricondotta alla dimostrazione che un dato sistema di vettori sia una base per un dato spazio vettoriale. Dalla soluzione di questa si ottiene
la dimensione dello spazio direttamente dalla definizione medesima di dimensione.
2.7 Definizione. Sia {0} 6= W ⊆ V un sottospazio; si chiama dimensione di
W , e si indica con dim(W ), il numero degli elementi di una sua qualunque base.
Se W = {0} si pone dim(W ) = 0.
(ibidem, p.62)
Tâche T40 . Dimostrare che i vettori dati formano una base dello spazio vettoriale U .
Come detto nel manuale sono risolte tâches in cui gli spazi vettoriali sono
Rn , Cn , Mm n (R) ed i vettori dati sono quelli delle rispettive ‘basi canoniche’ , e una tâche in cui lo spazio è quello dei vettori geometrici nello spazio
tridimensionale, VO , ed i vettori sono tre vettori non complanari.
0
Technique τ4,1
2.2 esempio. Sia ei ∈ Rn il vettore che ha tutte le componenti nulle tranne
la ima che vale 1. I vettori e1 , e2 , . . . , en sono una base per Rn , che prende
il nome di base canonica. Infatti ogni vettore x ∈ Rn si può scrivere nella
forma:
x = x 1 e1 + x 2 e2 + · · · x n en ,
dove x1 , x2 , . . . , xn sono le componenti di x. Quindi i vettori dati sono un
sistema di generatori. Inoltre sono linearmente indipendenti in quanto l’equazione α1 e1 + α2 e2 + · · · αn en = 0 è verificata solo per α1 = α2 = · · · αn = 0
(cfr. definizione 4.6
20
ed esempio 4.7 del capitolo 1)
(ibidem, p.62)
0 La technique τ 0 deriva direttamente dalla definizione di base,
Technologie θ4,1
4,1
data però solo per alcuni spazi vettoriali:
20
Vedi nota 15.
5.4 L’analisi dei manuali
101
[. . . indichiamo con V uno qualunque degli spazi vettoriali R n , Cn , Mm n (R),
0
VO [lo spazio dei vettori geometrici] e VO
[il piano dei vettori geometrici]. 2.1
Definizione.Sia W ⊆ V un sottospazio. Un insieme ordinato di vettori
v1 , v2 , . . . , vk si dice una base per W se:
i) W = Span(v1 , v2 , . . . , vk ), cioè i vettori dati sono un sistema di generatori per W ;
ii) i vettori v1 , v2 , . . . , vk sono linearmente indipendenti.
(ibidem, p.61)
la dimostrazione dell’indipendenza lineare di una famiglia di vettori, ulteriore sotto-tâche in sui si articola la technique presentata, era già trattata
dall’Autore per gli spazi Rn (T1 ).
0 . τ 0 è illustrata su una tâche T 0 in cui i vettori lo spazio dato è
Technique τ4,2
4,2
4
quello dei vettori geometrici ed i vettori dati sono tre vettori non complanari.
Consideriamo tre vettori i = OU1 , j = OU2 , k = OU3 tali che i punti
U1 , U2 , U3 individuino un triangolo su un piano non passante per O. Vogliamo
provare che questi tre vettori sono una base per VO . Infatti sia
r3
P
3
P
U
3
O
U
P
U
2
P
2
r2
1
1
r1
OP ∈ VO un qualunque vettore e siano r1 , r2 , r3 le rette che congiungono
O rispettivamente con U1 , U2 , U3 ; esiste un unico parallelepipedo che ha OP
come diagonale e con i lati sulle rette r1 , r2 , r3 . Corrispondentemente abbiamo
la decomposizione unica:
OP = OP1 + OP2 + OP3 = xi + yj + zk,
102
Analisi di testi universitari
dove OP1 = xi, OP2 = yj e OP3 = zk. La tesi è quindi provata [. . . ].
(ibidem, p.64)
0
Technologie θ4,2
La technique esposta si fonda sulla seguente caratterizzazione
delle basi di uno spazio vettoriale:
2.3 Proposizione. L’insieme dei vettori v1 , v2 , . . . , vk è una base per il sottospazio W ⊆ V se e solo ogni w ∈ W si può esprimere come combinazione
lineare dei vettori della base ed i coefficienti sono unici.
(ibidem, p.62)
Nonché su vari elementi tecnologici propri della teoria dei vettori geometrici.
0 e τ 0 , in cui si artiLa portata della technique τ4 (considerata con le technique τ4,1
4,2
cola) è abbastanza ampia da comprendere tutte le tâches T 4 proposte nella sezione
‘Esercizi’. Risulta però del tutto assente qualsiasi discorso tecnologico che fornisca
elementi utili, indicazioni per poter scegliere una ‘candidata’ base per un dato spazio
vettoriale.
Type de tâche T5 . Sia U il sottospazio di V generato dai vettori dati u 1 , . . . , um ,
determinarne la dimensione.
Technique τ5 . Come già sottolineato per le tâches T 4 , un modo per calcolare la
dimensione di uno spazio vettoriale è esibirne un base. Una technique per le tâches
T5 , che si sviluppi direttamente dalla definizione di dimensione, fa emergere quindi
immediatamente una nuova tâche T50 : ‘determinare una base di uno spazio vettoriale
dato un suo sistema di generatori’.
Tâche T50 . Determinare una base di uno spazio vettoriale dato un suo sistema
di generatori.
0 e τ 0 . L’Autore tratta questa tâche in termini generali (limiTechniques τ5,1
5,2
0 e τ 0 ):
tatamente agli spazi Rn ) e fornendo due diverse techniques (τ 5,1
5,2
4.5 Problema. Dati k vettori appartenenti ad Rn come si fa a verificare
che essi sono linearmente indipendenti ed in caso contrario come si fa a
determinare una base per il sottospazio da essi generato?
La risposta si può ottenere in due modi diversi.
0
[τ5,1
]: I) Scriviamo i k vettori dati come vettori riga di una matrice A ed
5.4 L’analisi dei manuali
103
indichiamoli con a1 , a2 , . . . ak ∈ Rn ; la matrice A è del tipo k × n. Basta
ora calcolare il rango r di A tramite una sua riduzione a scala S. Se r = k i
vettori sono indipendenti; se r < k i vettori sono dipendenti e una base per lo
spazio da essi generato è dato dai vettori riga non nulli della matrice S (cfr.
proposizione 4.3).
0
[τ5,2
]: II) Scriviamo i k vettori dati come vettori colonna di una matrice A e
pertanto indichiamoli con a1 , a2 , . . . ak ∈ Rn ; la matrice A è del tipo n × k.
Calcoliamo il rango r di A tramite una sua riduzione a scala S. Se r = k
i vettori dati sono indipendenti; se r < k i vettori dati sono dipendenti ed i
vettori aj1 , aj2 , . . . ajr che si trovano sulle colonne relative ai pivots sono una
base per lo spazio da essi generato (cfr. proposizione 4.4).
(ibidem, pp.70-71)
0 , consente
Technologie θ50 . Invitiamo ad osservare che la prima technique, τ 5,1
di determinare una base per lo spazio generato da un dato insieme di vettori,
0 , consente di ‘estrarre’ una base da un insieme di genementre la seconda, τ5,2
ratori.
Nell’esposizione delle due techniques, l’Autore fa esplicito riferimento ai risultati tecnologici principali su cui esse si basano - le proposizioni 4.3 e 4.4, che
riportiamo qui sotto - e rimanda a techniques introdotte nel capitolo precedente
- ad esempio, la riduzione a scala di una matrice.
4.3 Proposizione. Sia A una matrice di tipo m × n e rango r ed S una
sua riduzione a scala. Allora:
α) I vettori riga s1 , s2 , . . . sr di S sono una base per il sottospazio Span(a1 , a2 , . . . am )
generato dai vettori riga di A, e quindi si ha:
Span(a1 , a2 , . . . am ) = Span(s1 , s2 , . . . sr )
β) Il rango di A è il massimo numero di vettori riga di A che sono
linearmente indipendenti.
(ibidem, p.69)
4.4 Proposizione. Sia A una matrice di tipo m × n e rango r e sia S una
sua riduzione a scala in cui i pivots si trovino sulle colonne j1 , j2 , . . . jr .
Allora:
α) I vettori colonna aj1 , aj2 , . . . ajr sono linearmente indipendenti e sono
una base per il sottospazio generato dai vettori colonna di A.
104
Analisi di testi universitari
β) Il rango di A è il massimo numero di vettori colonna che sono linearmente indipendenti.
(ibidem, p.70)
Le due technique sono entrambe illustrate sul medesimo esempio di tâche T 5 :
4.7 Esercizio. Dati i vettori
−1 1 1 −3 0 −1 ∈ M2 (R)
, , 1 2 0 −2 1/2
0 determinare una base e la dimensione del sottospazio da essi generato.
(ibidem, p.69)
dove, per applicare le techniques medesime, l’Autore ricorre all’identificazione
tra M2 (R) e R4 descritta nel discorso tecnologico nell’Osservazione 4.15, che
abbiamo riportato a inizio sezione.
Type de tâche T6 . Siano U e W i sottospazi di V generati rispettivamente dai vettori dati u1 , . . . , um e w1 , . . . , wn , determinare la dimensione di U + W .
0 , τ 0 , determiTechnique τ6 . Tramite una delle due technique illustrate sopra, τ 5,1
5,2
niamo a partire dai vettori u1 , . . . , um , una base B1 per U e, a partire dai vettori
w1 , . . . , wn , una base B2 per W . B1 ∪ B2 forma un sistema di generatori per U + W ,
siamo quindi in presenza di una tâche T 5 , che possiamo risolvere determinando a
partire da B1 ∪ B2 una base per U + W .
Technologie θ6 . Comprende la seguente proposizione (non dimostrata dall’Autore).
Notiamo che, se u1 , . . . , uh è una base per U e w1 , . . . wk è una base per W , i
vettori u1 , . . . , uh , w1 , . . . wk generano U + W
(ibidem, p.81)
Tale technique potrebbe essere semplificata notando che, in θ 6 ,l’ipotesi che u1 , . . . , uh
e w1 , . . . wk siano basi rispettivamente per U e W , non è necessaria; è sufficiente
che quei vettori siano generatori. Questa osservazione consente di implementare
5.4 L’analisi dei manuali
105
la technique τ5,a un’unica volta, direttamente a partire da {u 1 , . . . , uh , w1 , . . . wk }
piuttosto che tre volte separatamente.
Type de tâche T7 . Siano U e W i sottospazi di V generati rispettivamente dai
vettori dati u1 , . . . , um e w1 , . . . , wn , determinare la dimensione di U ∩ W .
Techniques τ7 . Calcoliamo le dimensioni dei sottospazi U, W – tâches T 5 – e U + W
– tâche T6 . Da queste tramite la formula di Grassmann si ottiene la dimensione di
U ∩ W.
Technologie θ7 . Elemento tecnologico nuovo è la formula di Grassmann:
6.10 Formula di Grassamnn. Dati due sottospazi U, W ⊂ Rn si ha la seguente
formula:
dim(U + W ) + dim(U ∩ W ) = dim(U ) + dim(W )
(ibidem, p.83)
È evidente che se fosse noto un sistema di generatori dello spazio vettoriale U ∩ W ,
potremmo applicare la stessa technique τ 5,a per determinarne una base e calcolarne
quindi la dimensione. La tâche T8 pone esplicitamente il problema di determinare
una base dell’intersezione di due sottospazi vettoriali; anticipiamo che la technique
τ8 , che l’Autore usa per trovare una base per l’intersezione di due sottospazi vettoriali
e che riportiamo tra breve, consente all’Autore di trovarne la dimensione senza
necessariamente doverne esibire una base.
Type de tâche T8 : Siano U e W i sottospazi di V generati rispettivamente dai
vettori dati u1 , . . . , um e w1 , . . . , wn , determinare una base di U ∩ W .
Techniques τ8,a . Nel manuale l’Autore presenta una technique per determinare una
base di U ∩W , anche se nel caso che affronta solo uno dei due spazi è dato tramite un
sistema di generatori, mentre l’altro è rappresentato tramite equazioni cartesiane.
Come vedremo l’Autore esprime entrambi gli spazi e la loro intersezione tramite
sistemi di equazioni cartesiane; per risolvere tâches T 8 seguendo questa technique,
entrambi gli spazi andranno rappresentati in forma cartesiana.
6.3 Esercizio. Sia U il sottospazio di equazioni x1 − x2 + x3 = 0, x4 = 0 e
sia W =Span(w1 , w2 ) dove w1 e w2 hanno rispettivamente componenti 1, 1, 1, 1
106
Analisi di testi universitari
e 0, 1, 0, −1. Determinare una base [. . . ] per U ∩ W .
[. . . ] Per determinare equazioni cartesiane di U ∩ W conviene trovare equazioni
cartesiane per W . A partire dalle equazioni parametriche x 1 = t, x2 = t + t0 , x3 =
t, x4 = t − t0 si ricavano le equazioni cartesiane x1 − x3 = 0, 2x1 − x2 − x4 = 0.
Poiché appartengono a U ∩ W tutti e soli i vettori che sono simultaneamente in U
e W essi devono verificare le equazioni di entrambi i sottospazi. Si ottiene quindi
un sistema di 4 equazioni in 4 incognite la cui matrice dei coefficienti ha rango 3
[. . . ]. Pertanto dim(U ∩ W ) = 1 ed una base è costituita per esempio dal vettore
di componenti 1, 2, 1, 0.
(ibidem, p.81)
Technologie θ8,a . La technique esposta ricorre a non esplicitate techniques di ‘conversione’ tra le possibili rappresentazioni dei sottospazi di R n : il passaggio da ‘descrizione tramite sistema di equazioni cartesiane’ a ‘descrizione tramite un sistema
di equazioni parametriche’ si basa sulle techniques di soluzione dei sistemi lineari
presentate nel primo capitolo del manuale (in cui viene sviluppata parte della teoria
dei sistemi lineari), il passaggio ‘inverso’ e quello da ‘descrizione tramite un sistema
di generatori’ a ‘descrizione tramite un sistema di equazioni parametriche’ è illustrata dall’Autore in uno dei paragrafi precedenti.
Rimane del tutto implicita, il passaggio da descrizione parametrica a quella tramite
un sistema di generatori.
τ8,a appare inoltre basarsi principalmente sul seguente teorema di teoria dei sistemi
lineari (di cui citiamo solo la parte rilevante per il nostro caso):
3.16 Teorema. Sia A una matrice m × n e b un vettore ad m componenti.
Il sistema di matrice A e termine noto B è compatibile se e solo se [. . . ], dove
r = rg(A). In questo caso [. . . ] ammette infinite soluzioni dipendenti da n − r
parametri se r < n; [. . . ].
(ibidem, p.24)
Nel caso in cui il sistema sia omogeneo, proprio il numero n − r di parametri fornisce
la dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni del sistema medesimo. Questo
passaggio, strettamente connesso con la conversione da descrizione parametrica a
quella tramite un sistema di generatori, sembra lasciato implicito dall’Autore nell’intero manuale.
5.4 L’analisi dei manuali
107
Come abbiamo anticipato sopra, l’Autore trova la dimensione dello spazio vettoriale
prima di esibirne una base; questo in particolare rende la technique presente una
‘technique’ alternativa per le tâches T 7 .
Technique τ8,b . Illustriamo un’ulteriore possibile technique su un esercizio proposto
dall’Autore:
1. Nello spazio R4 si considerino il sottospazio U =Span(u1 , u2 ) ed il sottospazio
W =Span(w1 , w2 , w3 ); determinare una base per U ∩ W [. . . ]:
u1 = 2 1 2 3 1 0 2 3 3 1 , u2 = , w1 = , w2 = , w3 = .
1 −4 0 3 2 5 1
−4
0
3
(ibidem p. 84, esercizio 1.)
Appartengono a U ∩W tutti e soli i vettori che possono essere scritti simultaneamente
come combinazione lineare dei vettori u 1 , u2 e w1 , w2 , w3 . Dobbiamo quindi cercare
α1 , α2 e β1 , β2 , β3 reali tali che:
α1 u1 + α 2 u2 = β 1 w1 + β 2 w2 + β 3 w3
da cui
α1 u1 + α 2 u2 − β 1 w1 − β 2 w2 − β 3 w3 = 0
Una riduzione a scala del sistema corrispondente è:
α 1 1 2
1
2 3 0 2 −1 −1 0 α2 β1 = 0 0
4
2
1
β 2 0 0
0
0 3 β3 0 0 0 0 0 da cui otteniamo, tra l’altro, β3 = 0 e β2 = −2β1 . Appartengono, quindi, a U
∩ W
3 4 tutti e soli i vettori β1 w1 − 2β1 w2 , cioè β1 (w1 − 2w2 ); il vettore w1 − 2w2 = è
6 6 una base per U ∩ W .
108
Analisi di testi universitari
Technologie θ8,b . Questa technique, pur basandosi al pari di altre riportate in precedenza su elementi della teoria dei sistemi lineari e comunque costruita su elementi
tecnologici presenti nel manuale è ‘nuova’ - nel senso attibuito a questo termine nella
classificazione da noi proposta (paragrafo 5.3) - e non ci sembra costruibile da altre
per imitazione.
Type de tâche T9 . Completare i vettori dati v1 , . . . , vk ∈ Rn (linearmente indipen-
denti) ad una base di Rn .
Mentre, come abbiamo visto, l’Autore illustra una technique generale per estrarre
0 ), mancano del tutto techniques per comuna base da un sistema di generatori (τ 5,2
pletare un insieme di vettori linearmente indipendenti ad una base.
Di seguito presentiamo in termini generali due techniques per risolvere tâches di
tipo T9 . Il fatto che presenteremo le technique in termini generali, e che dovremo
costruire alcuni elementi technologici assenti nel manuale, assottiglia la distinzione
technique/technologie: preferiamo, in questa sede rinunciare a questa distinzione.
Infine ricordiamo che l’Autore inserisce nella sezione ‘Esercizi’ la tâche T 9 formulata
in termini generali, la cui soluzione richiede quindi l’esplicita descrizione, sempre in
termini generali, di una technique, analogamente a quanto faremo in questo paragrafo.
Technique τ9,a e technologie θ9,a . Possiamo costruire una technique per risolvere la
0
tâches T9 , reinvestendo più volte la technique τ 5,2
su sistemi di vettori differenti.
Anziché completare le k n-uple ad una base di R n , completiamola ad un sistema di
generatori (finito!), a questo punto cerchiamo di estrarre tramite τ 5,20 dal sistema di
generatori ottenuto una base per Rn contenente i k vettori dati.
La prima sotto-tâche che emerge dal piano sopra delineato - completare una k-upla
di vettori ad un sistema finito di generatori - è di facile soluzione: è sufficiente, infatti, unire ai vettori dati un qualunque sistema finito di generatori di R n , ad esempio
la base canonica e1 , . . . en .
0 consente di estrarre da v , . . . , v , e , . . . e una base. Il probleOra la technique τ5,2
1
n
k 1
ma sta nel mostrare che tale technique si può implementare in modo che i vettori
v1 , . . . , vk (che, ricordiamo, sono linearmente indipendenti) appartengano alla base
estratta.
Scriviamo i k + n vettori v1 , . . . , vk , e1 , . . . en , in questo ordine, come colonne di una
5.4 L’analisi dei manuali
109
matrice A, che risulta n × (k + n); per l’indipendenza lineare delle prime k colonne,
cioè dei vettori v1 , . . . , vk , una qualunque riduzione a scala di A ha k pivots nelle
prime k colonne e, essendo rg(A) = n, n − k pivots tra le restanti n colonne. I
vettori che si trovano sulle n colonne contenenti pivots costituiscono una base per
Rn , e tra questi come detto vi sono i k vettori dati.
Questa technique consente di risolvere le istanziazioni del type de tâche T 9 , tutta-
via la sua costruzione richiede una technologie non fornita dall’Autore e che quindi
dovrebbe essere costruita dal Lettore: ‘l’indipendenza lineare delle prime k colonne
assicura che una qualunque riduzione a scala di A ha k pivots nelle prime k colonne’.
Type de tâche T10 . Siano U e W i sottospazi di V generati rispettivamente dai vettori u1 , . . . , um e w1 , . . . , wn di Rp , dire se Rp = U ⊕ W .
Technique τ10 L’Autore risolve un esempio di tâche non molto lontane dalle tâches
T10 , da cui però differisce (i) in quanto tâche di dimostrazione e (ii) poiché uno dei
sottospazi è rappresentata tramite equazioni cartesiane. Nonostante le differenze la
technique illustrata può essere facilmente adattata alle tâches T 10 .
6.9 Esercizio.21 Si considerino i sottospazi U , di equazioni cartesiane x1 +
x2 +2x3 = 0, −x1 +x4 = 0 e W =Span(w1 , w2 ), dove w1 ha componenti 1, 1, 2, 0
e w2 ha componenti −2, 0, 0, 1. Verificare che risulta R4 = U ⊕ W .
I vettori che generano W sono indipendenti, pertanto dim(W ) = 2. Le soluzioni
del sistema che rappresenta U sono ξ1 = x4 , ξ2 = −2x3 − x4 , ξ3 = x3 , ξ4 = x4 ed
i vettori u1 e u2 , di componenti rispettivamente 0, −2, 1, 0 e 1, −1, 0, 1 sono una
base di U . A questo punto basta controllare, tramite l’E.G. 22 , che w1 , w2 , u1 , u2
siano indipendenti.
(ibidem, p.83)
Technologie θ10 . Cosiccome nella technique τ8 anche qui l’Autore ricorre a techniques
di conversione tra i modi di descrivere un sottospazio vettoriale di R n , con l’obiettivo
21
Riportiamo la soluzione dell’esercizio cosı̀ come appare nel manuale anche se riteniamo ci sia
un certo numero di refusi nel secondo periodo dell’ultimo capoverso. Il testo corretto dovrebbe
essere:Le soluzioni del sistema che rappresenta U sono x1 = ξ4 , x2 = −2ξ3 − ξ4 , x3 = ξ3 , x4 = ξ4 ed
...
22
Eliminazione di Gauss.
110
Analisi di testi universitari
opposto a quello in τ8 di avere i due spazi vettoriali espressi tramite delle loro basi.
L’Autore risolve molto sinteticamente la tâche e non spiega perché l’indipendenza
lineare dei vettori w1 , w2 , u1 , u2 sia sufficiente a concludere la dimostrazione. Ci pare
che il risultato tecnologico principale su cui si basa la technique sia la proposizione:
6.7 Proposizione. V = U ⊕ W se e solo se, dette u1 , . . . , uh una base in U e
w1 , . . . , wk una base in W , i vettori u1 , . . . , uh , w1 , . . . , wk sono una base di V .
(ibidem, p.82)
A questo punto sembra che la conclusione della dimostrazione poggi su un risultato
tecnologico, di cui abbiamo già evidenziato la mancanza (quando abbiamo trattato
le tâches T9 ): ‘n vettori linearmente indipendenti di R n formano un sistema di
generatori, e quindi una base, per R n medesimo’.
Conclusioni
Come abbiamo avuto modo di vedere, l’introduzione alla teoria degli
spazi vettoriali proposta ad Abeasis segue un’impostazione che si distingue nettamente da quella proposta da Abate. Infatti le nozioni di base della teoria degli spazi
vettoriali sono prima introdotti relativamente agli spazi R n , quindi ‘estesi’ ad altri
modelli di spazio vettoriale: lo spazio C n , lo spazio delle matrici Mm n (R) e lo spazio
dei vettori geometrici VO . Solo in seguito vengono formalmente definite la nozione
di spazio vettoriale e le altre nozioni di base. Questo approccio si riflette anche nella
proposta delle tâches.
Nella parte di manuale analizzata sono quasi del tutto assenti tâches di dimostrazione e sono rare le tâches di decisione. Inoltre per effetto del particolare approccio
scelto, e descritto nei paragrafi precedenti, mancano del tutto enunciati generali interni alla teoria degli spazi vettoriali.
Il manuale presenta varie tâches formulate in ambito R n o matriciale, e fornisce
esplicitamente un isomorfismo tra gli spazi M m n (R) e Rmn per riformulare problemi
dall’ambito matriciale a quello di R n e ivi risolverli. Reinforzando ancor più il ruolo
già prominente di Rn come modello privilegiato della nozione di spazio vettoriale.
Dal punto di vista delle technique spiccano due techniques relative all’ambito degli
spazi Rn , presentate in termini generali dall’Autore per determinare la base di uno
spazio vettoriale noti che siano i suoi generatori. Tali techniques possono essere
5.4 L’analisi dei manuali
111
reinvestite nella soluzione della maggior parte dei problemi.
Infine la possibilità di, anzi l’incoraggiamento a, riformulare tutte le tâches in ambito
Rn in cui, in più, il Lettore dispone di un’unica technique che consenta di trattare risolvere tutte questa tâches, nasconde a necessità dell’articolazione tra livello
strutturale e operazionale.
5.4.3
Serge Lang: Algebra Lineare
Lang introduce la nozione di spazio vettoriale e le nozioni elementari di teoria degli
spazi vettoriali nel secondo capitolo del suo manuale.
Spazi vettoriali:
Definizioni, Basi, Dimensione di uno spazio vettoriale, Somme
e somme dirette.
Types de tâche
Tâches di dimostrazione: enunciati misti
Type de tâche T1 : Dimostrare che i vettori dati A1 , . . . , An sono linearmente indipendenti.
Type de tâche T2 : Dati i vettori A1 , . . . , Am , B1 , . . . , Bn dello spazio vettoriale V =
Km+n ed i sottospazi W e U generati rispettivamente dai vettori A 1 , . . . , Am
e B1 , . . . , Bn , dimostrare che V è somma diretta di W e U .
Tâches di azione
Type de tâche T3 : Esprimere l’assegnato vettore X come combinazione lineare dei
vettori dati A1 , . . . , An e trovare le coordinate di X rispetto ad A 1 , . . . , An .
Type de tâche T4 : Trovare le coordinate del vettore assegnato X rispetto ai vettori
dati A1 , . . . , An .
Per quanto riguarda i tipi T1 e T4 l’Autore propone sia tâches in cui i vettori
X, A1 , . . . An sono n-uple di numeri reali o complessi, sia tâches i cui i vettori sono
funzioni reali. Le tâches T2 e T3 sono invece limitate ai soli spazi K n .
A titolo esemplificativo l’Autore risolve due tâches dei types de tâche T 1 e T4 : una
112
Analisi di testi universitari
che coinvolge n-uple e l’altra che coinvolge funzioni. Nel prossimo paragrafo illustreremo le techniques usate in questi esempi.
Concludiamo osservando che nelle tâches T 3 e T4 , come risulta evidente dalla loro
formulazione (si parla di ‘le coordinate di X rispetto...’), i vettori A 1 , . . . , An sono
linearmente indipendenti; mancano del tutto tâches in cui si chieda di esprimere un
dato vettore come combinazione lineare di una famiglia di vettori non linearmente
indipendenti.
Techniques e Technologies
Type de tâche T1 . Dimostrare che i vettori dati A1 , . . . , An sono linearmente indipendenti.
Come anticipato sopra tra le tâches T 1 possiamo distinguere quelle per le quali i
vettori A1 , . . . An sono n-uple e quelle per le quali sono funzioni. L’Autore illustra
due techniques diverse, τ1,a e τ1,b , per risolvere le due tâches, tuttavia come vedremo
la portata della technique τ1,b risulta limitata ad un numero piuttosto ristretto di
casi.
Technique τ1,a .
Esempio 3. Dimostrare che i vettori (1, 1) e (−3, 2) sono linearmente indipendenti
su R.
Siano a, b due numeri reali tali che
a(1, 1) + b(−3, 2) = 0
Riscrivendo questa uguaglianza separando le componenti, troviamo
a − 3b = 0,
a + 2b = 0.
Questo è un sistema di due equazioni che risolviamo rispetto ad a e b. Sottraendo
la seconda uguaglianza dalla prima otteniamo −5b = 0, da cui b = 0. Sostituendo
b in una delle due equazioni troviamo a = 0. Quindi a e b sono entrambi nulli e i
vettori dati sono perciò indipendenti.
(Lang 1992, p. 44)
Technologie θ1,a . Notiamo che parte della technique esposta è relativa alla soluzione
di sistemi lineari a due equazioni e due incognite, anche se lo studio dei sistemi
5.4 L’analisi dei manuali
113
lineari, che è in sé al di fuori dei nostri interessi, è trattato nel manuale solo dopo
il capitolo in esame. Sembra che l’Autore assuma che il Lettore sappia risolvere
sistemi lineari a due equazioni e due incognite 23 , pur ignorando la teoria generale
dei sistemi lineari.
La technologie θ1,a a sostegno di questa technique comprende evidentemente la
definizione di indipendenza lineare di un sistema di vettori.
Noi diremo che v1 , . . . , vn sono linearmente dipendenti su K se in K esistono n
elementi a1 , . . . , an , non tutti nulli, tali che
a1 v1 + · · · + an vn = 0.
Se elementi siffatti non esistono, diciamo che v1 , . . . , vn sono linearmente indipendenti su K.
(ibidem, p. 42)
Nell’esposizione della technique mancano i riferimenti alla dimensione tecnologicoteorica, che dovrebbero essere (ri)costruiti dal Lettore. In particolare è lasciata al
Lettore la (ri)costruzione del discorso tecnologico che consiste nel reinterpretare la
definizione in termini (più operativi) del tipo: ‘se l’unica soluzione dell’equazione
(vettoriale) a1 v1 + · · · + an vn = 0 è quella nulla allora i vettori sono linearmente
indipendenti’.
Technique τ1,b . Per quanto riguarda le tâches in cui i vettori sono funzioni, l’Autore
propone la seguente technique:
Esempio 2. Sia V lo spazio vettoriale di tutte le funzioni della variabile reale
t. Siano f1 (t), . . . , fn (t), n funzioni. Dire che esse sono linearmente dipendenti
significa affermare che esistono n numeri reali a1 , . . . , an , non tutti nulli, tali che
a1 f1 (t) + · · · + an fn (t) = 0
per ogni valore di t.
Le due funzioni et , e2t sono linearmente indipendenti. Per dimostrarlo supponiamo
che vi siano due numeri a, b tali che
aet + be2t = 0
23
In effetti, in Italia, techniques di soluzione di sistemi lineari di due (o tre) equazioni con due (ri-
spettivamente tre) incognite sono tradizionalmente oggetto di insegnamento nella scuola secondaria
superiore.
114
Analisi di testi universitari
(per ogni valore di t). Derivando otteniamo
aet + 2be2t = 0.
Sottraendo la prima relazione dalla seconda, otteniamo be 2t = 0 e quindi b = 0.
Dalla prima relazione segue allora che aet = 0 e quindi che anche a è nullo. Si
conclude perciò che et ed e2t sono linearmente indipendenti.
(ibidem, p. 43)
Technologie θ1,b . Rileviamo la presenza di un discorso tecnologico che, esemplificando la definizione di indipendenza lineare a famiglie di funzioni, costituisce un ponte
tra il blocco teorico e quello pratico. Tuttavia questo rimane l’unico riferimento alla
dimensione tecnologica, che – osserviamo – comprende risultati propri dell’analisi
matematica.
Evidenziamo inoltre la limitata portata della technique τ 1,b (seppur sufficiente a risolvere tutte le tâches proposte nella sezioni ‘Esercizi’). Non è difficile pensare coppie
(perché non famiglie?) di funzioni su cui τ 1,b sarebbe scarsamente efficace: si provi
ad esempio a dimostrare l’indipendenza lineare delle funzioni te t , t sin t seguendo tale
technique. Colpisce quindi l’assenza di proposte alternative quali la ‘costruzione di
un sistema lineare tramite sostituzione di un numero finito di opportuni valori di t’.
Type de tâche T4 . Trovare le coordinate del vettore assegnato X rispetto ai vettori
dati A1 , . . . , An .
Esattamente come per tâches T1 , anche per le tâches T4 possiamo distinguere tra
le tâches per le quali i vettori X, A 1 , . . . An sono n-uple e quelle per le quali sono
funzioni, ed anche in questo caso sono necessarie due diverse techniques τ 4,a e τ4,b ,
entrambe illustrate dall’Autore.
Technique τ4,a .
Esempio 4. Determinare le coordinate di (1, 0) rispetto ai due vettori (1, 1) e
(−1, 2).
Dobbiamo trovare due numeri a, b tali che
a(1, 1) + b(−1, 2) = (1, 0)
5.4 L’analisi dei manuali
115
Riscrivendo questa uguaglianza separando le coordinate, troviamo
a − b = 1,
a + 2b = 0.
Ricavando nel solito modo24 a e b, otteniamo b = − 31 e a = 23 . Quindi le coordinate
di (1, 0) rispetto a (1, 1) e (−1, 2) sono ( 32 , − 31 ).
(ibidem, pp. 44-45)
Technologie θ4,a . La technologie rilevante (dal nostro punto di vista) relativa a
questa technique consta della definizione di coordinate di un vettore (rispetto ad
una base), e più precisamente del discorso tecnologico che stabilisce le relazioni tra
le nozioni di combinazione lineare, base di uno spazio vettoriale e coordinate di un
vettore rispetto ad una base data:
Sia V uno spazio vettoriale e {v1 , . . . , vn } ne sia una base. Gli elementi di V
possono essere rappresentati da n-uple di numeri relativamente a questa base nel
modo seguente. Se un elemento v di V è scritto come una combinazione lineare
v = x 1 v1 + · · · + x n vn
di elementi della base, diciamo che (x1 , . . . , xn ) sono le coordinate di v rispetto
alla base data [. . . ].
(ibidem, p. 44)
Osserviamo di nuovo l’assenza di espliciti riferimenti al blocco tecnologico-teorico che
giustifichino l’efficacia della technique presentata. In particolare manca il minimo
accenno alla questione dell’indipendenza dei vettori (1, 1) e (−1, 2) e quindi della
‘buona posizione’ della tâche medesima.
Technique τ4,b . Per le tâche T4 in cui i vettori sono funzioni e non n-uple, la technique
indicata è:
Per esempio25 , sia V lo spazio vettoriale di funzioni generato dalle due funzioni
et , e2t . Allora le coordinate della funzione
3et + 5e2t
24
Poche righe sopra l’Autore illustrando quella che abbiamo chiamato technique τ1,a ha risolto
un sistema lineare a due equazioni con due incognite.
25
Questo paragrafo segue immediatamente la definizione di ‘coordinate di un vettore rispetto ad
un data base’ e di ‘vettore delle coordinate’.
116
Analisi di testi universitari
rispetto alla base {et , e2t } sono (3, 5).
(ibidem, p. 44)
Technologie θ4,b . Esattamente come θ4,a , θ4,b comprende ovviamente la definizione
di coordinate di un vettore. A parte questo, osserviamo che rispetto alle tâches T 4
che coinvolgono n-uple, in questo caso il vettore X di cui si chiedono le coordinate è
già espresso in termini di combinazione lineare dei vettori A 1 , . . . , An rispetto cui si
chiedono appunto le coordinate. La technique τ 4,b risulta quindi decisamente meno
articolata della τ4,a , limitandosi di fatto al ‘riconoscimento’ delle coordinate di un
vettore espresso come combinazione lineare di altri vettori.
Nemmeno in questo caso è affrontata la questione della ‘buona posizione’ della tâche
anche se l’Autore aveva già dimostrato l’indipendenza lineare dei vettori e t , e2t .
Ricordiamo che per le tâches T2 e T3 l’ Autore non propone nessuna technique. Per
queste ultime può comunque essere costruita una technique imitando τ 4,a , mentre
techniques per risolvere le tâches T 2 devono essere costruite ex-novo a partire dai
risultati tecnologici disponibili nel manuale.
Type de tâche T2 . Dati i vettori A1 , . . . , Am , B1 , . . . , Bn dello spazio vettoriale V =
Km+n ed i sottospazi W e U generati rispettivamente dai vettori A 1 , . . . , Am e
B1 , . . . , Bn , dimostrare che V è somma diretta di W e U .
Questo type de tâche è presente anche nel manuale ‘Geometria’ di Abate. La coerenza fra le due impostazioni fa sı̀ che le techniques che andiamo a discutere siano
accettabili anche all’interno dell’organizzazione del sapere proposta da Abate.
Techniques τ2,a . Sull’esempio delle techniques proposte dall’Autore per risolvere altre tâches si potrebbe essere indotti a tentare di costruire una technique partendo
dalla definizione stessa di somma diretta. Si può quindi tentare di dimostrare che
per ogni vettore v di V esistono due soli vettori u di U e w di W tali che v = u + w.
Osservando che u e w sono vettori di U e W se e solo se esistono scalari a 1 , . . . , am
e b1 , . . . , bn tali che u = a1 A1 + · · · + am Am e w = b1 B1 + · · · + bn Bn 26 , possiamo
26
Osserviamo da un lato che la portata di questa technique è limitata ai casi in cui siano noti
due sistemi di generatori dei sottospazi U e W e dall’altro - aspetto dal nostro punto di vista più
rilevante - che siamo in presenza di una nuova tâche e una nuova technique.
5.4 L’analisi dei manuali
117
trattare il problema di dimostrare per ogni v ∈ V l’esistenza e unicità di scalari
a1 , . . . , am , b1 , . . . , bn tali che v = a1 A1 + · · · + am Am + b1 B1 + · · · + bn Bn (Tâche
T2,a ).
Technologie θ2,a . La technologie comprende tra l’altro le definizioni di spazio generato e di somma diretta di due sottospazi, nozioni entrambe esplicitamente richiamata
dal testo del problema.
Diremo poi27 che V è somma diretta di U e W se ogni elemento v di V può essere
scritto in modo unico come somma di un elemento u ∈ U e di un elemento w ∈ W .
(ibidem, p. 52)
Tâche T2,a . Dati m + n vettori, A1 , . . . , Am , B1 , . . . , Bn , in Km+n dimostrare
che per ogni vettore di Km+n esistono e sono unici degli scalari a 1 , . . . , am , b1 , . . . ,
bn tali che v = a1 A1 + · · · + am Am + b1 B1 + · · · + bn Bn .
Technique τ2,a,1 . Tenendo presente che i vettori sono (m + n)-uple di elementi
di un campo K, la tâche può essere risolta studiando la risolubilità del sistema
lineare con parametri associato. Ricordiamo però che il manuale non mette a
questo punto ancora a disposizione elementi tecnologici della teoria dei sistemi
lineari
28 .
Alternativamente possiamo formulare la tâche T 2,a nei termini seguenti:
0 . Dati m + n vettori, A , . . . , A , B , . . . , B , in Km+n dimostrare
Tâche T2,a
1
m
1
n
che costituiscono una base di Km+n .
0
Technique τ2,a,1
. Poiché la dimensione di Km+n è m+n, è sufficiente dimostrare
che i vettori dati sono linearmente indipendenti (T 1 )
0
Technologie θ2,a,1
. Citiamo innanzitutto la definizione di base necessaria per
0 , quindi i risultati tecnologici:
la riformulazione della tâche T2,a in tâche T2,a
[...] più in generale, per ogni corpo29 K, lo spazio vettoriale Kn ha dimensione
n su K.
27
Nel manuale in esame, questa definizione segue immediatamente quella di ‘somma di due
sottospazi’.
28
Il manuale di Abate, al contrario, premette all’introduzione degli spazi vettoriali un capitolo
sui sistemi lineari, che consente di portare a termine con successo questa technique.
29
L’Autore utilizza il termine ‘corpo’ nel senso di ‘corpo commutativo’ o ‘campo’.
118
Analisi di testi universitari
(ibidem, p. 49)
Teorema 4 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, e siano v1 , . . . , vn
elementi linearmente indipendenti di V . Allora i vettori v1 , . . . , vn costituiscono una base di V .
(ibidem, p. 50)
Technique τ2,b . Alternativamente si può dividere la tâche T 2 in due sottotâches:
0 ).
dimostrare che U + W = V (T2,b ) e dimostrare che U ∩ W = {0} (T2,b
0 risulta dalla proposizione seTechnologie θ2,b . L’articolazione di T2 in T2,b e T2,b
guente.
Teorema 8 Sia V uno spazio vettoriale sul corpo K, siano U, W suoi sottospazi.
Se U + W = V e se U ∩ W = {0}, allora V è somma diretta di U e W .
(ibidem, p. 52)
Anche in questo caso le due sotto-tâches sono istanze di due ‘nuovi’ types de tâche
per i quali mancano techniques di risoluzione. Proponiamo di seguito relativamente
alle due ‘nuove’ tâches alcuni esempi di possibili techniques.
Tâche T2,b . Dati i sottospazi U e W come descritto sopra, dimostrare che
U + W = Km+n .
Technique τ2,b,1 . Si può dimostrare che U + W = V , dimostrando che per
ogni vettore v di V esistono un vettore u di U ed uno w di W tali che v =
u + w. Con la differenza (non marginale) di non mettere in gioco la questione
dell’unicità, la soluzione di questa tâche richiederebbe la costruzione di una
technique del tutto simile a quella descritta sopra, τ 2,a , e porterebbe allo studio
della risolubilità di un sistema lineare a m + n equazioni e m + n incognite.
Technologie θ2,b,1 . Questa technique può essere costruita direttamente sulla
technologie costituita dalla definizione di somma di sottospazi vettoriali e da
quella di generatori di uno spazio vettoriale.
Technique τ2,b,2 . Dall’osservazione che U +W contiene la (m+n)-upla di vettori
linearmente indipendenti A1 , . . . , Am , B1 , . . . , Bn – Tâche T1 – si deduce che
la sua dimensione è almeno m + n; essendo m + n proprio la dimensione di
5.4 L’analisi dei manuali
119
V (ricordiamo che V = Km+n ) si ha dim V = dim(U + W ), da cui si può
concludere che U + W = V .
Technologie θ2,b,2 . L’elemento technologico fondamentale è costituito dalla
proposizione seguente:
Corollario Sia V uno spazio vettoriale e sia W un suo sottospazio. Se
dim V = dim W allora V = W .
(ibidem, p. 50)
0 . Dati i sottospazi U e W come descritto sopra, dimostrare che
Tâche T2,b
U ∩ W = {0}.
0
Technologie θ2,b,1
. Se un vettore appartiene a U ∩ W deve simultaneamente es-
sere esprimibile come combinazione lineare dei generatori di U , cioè dei vettori
A1 , . . . , Am , e dei generatori di W , cioè dei vettori B 1 , . . . , Bn ; uguagliando le
due combinazioni lineari (via la soluzione di sistemi lineari) si deduce che il
vettore in questione deve essere nullo.
0
0
Technologie θ2,b,1
. La technologie relativa a θ2,b,1
comprende le definizioni
di generatori e intersezione di sottospazi vettoriali, oltre ad elementi della
teoria dei sistemi lineari. Osserviamo che se fosse disponibile la formula di
Grassmann30 , una volta dimostrata l’uguaglianza U + W = V , un semplice
calcolo sulle dimensioni avrebbe consentito di concludere che dim U ∩ W = 0
e quindi che U ∩ W = {0}.
Conclusioni
Osseviamo innanzitutto come risulti limitata la varietà di types di
tâches proposti dall’Autore. Abbiamo evidenziato due tâches di dimostrazione di
enunciati ‘misti’, e due tâche di azione. Tutte queste si presentano come esemplificazioni di nozioni di base della teoria, una parte esigua di quelle proposte nel blocco
tecnologico teorico. Tutti e quattro i types de tâches sono istanziati su spazi K n (con
K campo reale o complesso), e di due di essi sono proposte formulazioni nell’ambito
delle funzioni in una variabile reale.
30
Disponibile in ‘Geometria’ di Abate.
120
Analisi di testi universitari
L’Autore si limita a presentare alcune techniques relative a due diversi types de
tâches – sia in ambito Kn che nell’ambito della teoria delle funzioni in una variabile
reale – senza comunque preoccuparsi di esplicitare i relativi riferimenti tecnologici.
Per motivi tra loro diversi le technique esposte hanno portata piuttosto limitata.
Per le tâches non risolte dall’Autore, le nozioni esemplificate nella tâche medesima
forniscono l’entrata in una technique di soluzione che deve essere comunque costruita
dal solutore sulla base di un bagaglio di risultati tecnologici sicuramente sufficiente
ma non troppo ricco.
Anche qui, come per il manuale di Abeasis, la necessità di articolare tra processo e oggetto è parzialmente celata dalla presenza di techniques algoritmiche che
consentono di risolvere gran parte dei problemi proposti. L’unica eccezione (in un
panorama di problemi comunque molto limitato) è rappresentato dalla tâche T 2 che
richiede di concettualizzare la somma di sottospazi (rispettivamente la combinazione
lineare di vettori) alternativamente come processo e prodotto.
5.5
Sintesi
Pur nella diversità tra i manuali, che interessa l’approccio proposto per l’introduzione
della teoria degli spazi vettoriali, il numero ed i tipi di esercizi proposti, emergono
chiaramente alcuni aspetti comuni, rilevanti rispetto agli obiettivi che ci siamo posti
nell’affrontare questa analisi.
• Gli spazi Rn forniscono un ambito privilegiato in cui le nozioni di teoria degli
spazi vettoriali sono a volte introdotte e spesso esemplificate, anche se con
diversa enfasi a seconda dei manuali.
Sempre in questo ambito sono formulate e risolte diverse tâches da parte degli
Autori, e molte sono lasciate al Lettore.
• La necessità di articolare livello operazionale e livello strutturale è parzialmente
nascosta dalla presenza di algoritmi per risolvere varie tâches. Anche per le
tâches per cui non si hanno a disposizione algoritmi, gli Autori non si fanno
carico di esplicitare le articolazioni processo/oggetto che rimangono implicite.
• Infine, per quanto riguarda le tâches risolte dagli Autori, sottolineiamo che
5.5 Sintesi
121
mancano spesso discorsi tecnologici a sostegno della correttezza e dell’adeguatezza delle techniques prodotte.
122
Analisi di testi universitari
Capitolo 6
Analisi a priori dei problemi
Come sottolineano Cohen e Manion, elemento caratterizzante dell’intervista focalizzata è l’analisi a priori: ‘the distinctive feature of the focused interview is the prior
analysis by the researcher of the situation in which subjects have been involved’
(Cohen, Manion 1994, p. 289).
In questo capitolo presentiamo le analisi a priori dei problemi utilizzati per il nostro
studio. Ricordiamo che l’analisi delle difficoltà e degli errori dei soggetti intervistati
verrà condotta in termini di quadri teorici diversi: la teoria dei modelli intuitivi
taciti, il modello ck/c ed il quadro della dualità processo/oggetto.
Data la prospettiva esplorativa dello studio si preferisce un’analisi a priori neutra
rispetto ai quadri teorici, dalla quale si possa avere un’idea del tipo di tâches che
emergono durante l’attività di soluzione del problema, delle techniques necessaria
alla loro soluzione, delle relative technologies e dell’articolazione tra questi componenti. Riteniamo, quindi, adatta anche per l’analisi a priori la griglia già elaborata
per l’analisi dei manuali universitari nel precedente capitolo (paragrafi 5.2 5.3) coerentemente con la nozione di prasseologia. Inoltre un’analisi dei problemi nei termini
suddetti consente di collocare meglio i problemi proposti rispetto alla pratica universitaria istituzionale, e quindi può fornire un contesto più ricco di informazioni nel
quale situare le risposte dei soggetti intervistati.
Prima di procedere con l’analisi a priori, esplicitiamo alcune notazioni che utilizzeremo nell’esposizione della medesima. Se T (o T a ) denotano una tâche, le diverse techniques per risolverla saranno denotate con τ 1 , . . . , τn (rispettivamente τa,1 , . . . , τa,n .
Eventuali sotto-tâches che emergano all’interno di una technique τ 1 (τa,1 ) saranno in-
124
Analisi a priori
0 , T 00 , . . . ), se una di queste si risolve tramite più technique
dicate con T10 , T100 , . . . (Ta,1
a,1
0 , τ 0 bis, τ 0 ter, . . . ).
indicheremo queste con τ10 , τ10 bis, τ10 ter, . . . (eventualmente τa,1
a,1
a,1
Per le technologies adottiamo le stesse convenzioni riguardo a indici e apici definite
per le techniques, sostituiremo però la lettera τ con la lettera θ.
Concludiamo precisando alcuni punti, di natura diversa, riguardo le technologies:
• intendiamo dedicare maggiore attenzione alle technologies proprie della teoria
degli spazi vettoriali, limitandoci solo a citare altre appartenti ad altre théories
(teoria elementare degli insiemi, teoria dei sistemi lineari, ecc.);
• scegliamo per la nostra analisi di riferirci ad un blocco tecnologico/teorico
coerente con quelli presenti nei testi analizzati (in particolare in Abate e Lang)
senza però adottarne in toto alcuno – d’altra parte l’analisi dei manuali ha
evidenziato che impostazioni tecnologiche coerenti possono differire riguardo
alla presenza o meno di certi risultati tecnologici;
• come è ovvio, le technologies comprendono le definizioni delle nozioni mate-
matiche in gioco, non ci soffermeremo su esse ma focalizzeremo, piuttosto, la
nostra attenzione su altri elementi tecnologici;
• nell’analisi della technologie useremo indistintamente il termine ‘proposizione’
per riferirci a proposizioni, teoremi, lemmi, corollari, ecc. ad eccezione di
quesi risultati teorici che hanno un ‘nome istituzionale’, ad esempio ‘Formula
di Grassmann’ o ‘Teorema del completamento’.
Intitoliamo le sezioni dedicate alle analisi a priori con il ‘label’ assegnato al problema
ivi trattato (paragrafo 4.2.3).
6.1
Problema: Esistenza sottospazi
Sia V uno spazio vettoriale reale e siano u1 , u2 , u3 , u4 e u5 cinque vettori in V
√
linearmente indipendenti. Consideriamo il vettore u = 2u1 − 31 u2 +u3 +3u4 −πu5 .
• dire se esistono due sottospazi di V , W1 e W2 , di dimensione 3 tali che
W1 ∩ W2 =< u >;
• dire se esistono due sottospazi di V , U1 e U2 , di dimensione 2 che non
contengano u e tali che u ∈ U1 + U2 .
6.1 Problema: Esistenza sottospazi
125
Il problema comprende due tâches di decisione – ‘Sia V . . . dire se esistono due sottospazi di V , W1 e W2 , di dimensione 3 tali che W1 ∩ W2 =< u >’ e ‘Sia V [. . . ] dire
se esistono due sottospazi di V , U1 e U2 , di dimensione 2 che non contengano u e tali
che u ∈ U1 + U2 ’ – che denoteremo nel corso della sezione rispettivamente con T a e
Tb . Analizziamo ora le possibili techniques di soluzione e la relativa technologie.
Tâche Ta . Sia V uno spazio vettoriale reale e siano u 1 , u2 , u3 , u4 e u5 cinque vettori
√
in V linearmente indipendenti. Consideriamo il vettore u = 2u1 − 13 u2 + u3 +
3u4 − πu5 , dire se esistono due sottospazi di V , W 1 e W2 , di dimensione 3 tali che
W1 ∩ W2 =< u >.
Technique τa,1 . Denotiamo con W1 e W2 , i due sottospazi di V generati rispettivamente da {u, u1 , u2 } e {u, u3 , u4 }. Ciascuna delle due terne è un sistema di vettori
0 ) quindi i due sottospazi hanno dimensione 3. Nolinearmente indipendenti (Ta,1
tiamo che u appartiene ad entrambi i sottospazi e quindi alla loro intersezione, e
quindi < u >⊆ W1 ∩ W2 . Bisogna dimostrare che i due sottospazi sono proprio
00 ).
uguali (Ta,1
Technologie θa,1 . I risultati tecnologici (relativi alla teoria degli spazi vettoriali) che
giustificano la porzione di technique sopra esposta comprendono:
i) La proposizione: un sottospazio vettoriale di uno spazio V è uno spazio vettoriale
con le operazioni indotte da V;
ii) La definizione di base di uno spazio vettoriale, che consente di affermare (una
0 ) che {u, u , u } e {u, u , u } sono basi rispettivamente di W e W ,
volta risolta Ta,1
1 2
3 4
1
2
e non solo due loro sistemi di generatori;
iii) La definizione di dimensione di uno spazio vettoriale, che consente di concludere
che la dimensione di W1 e W2 è 3.
iv) La definizione di spazio generato da un sistema di vettori {v 1 , . . . , vn } e la propo-
sizione da cui risulta che è il più piccolo spazio, rispetto all’inclusione, che contiene
i vettori v1 , . . . , vn .
v) La proposizione: se W1 , W2 sono sottospazi di uno spazio vettoriale V , tale è
anche W1 ∩ W2
vi) La proposizione: se V è uno spazio vettoriale e v 1 , . . . , vn ∈ V , allora < v1 , . . . , vn >
è un sottospazio vettoriale di V , che giustifica la relazione di inclusione < u >⊆
W1 ∩ W 2 .
126
Analisi a priori
0
00 , di cui proponiamo una forPassiamo ora a considerare le due tâches T a,1
e Ta,1
mulazione tra le tante possibili.
0 . Dimostrare che i vettori u, u , u sono linearemente indipendenti.
Tâche Ta,1
1 2
0 . Siano α, α , α tre scalari per cui αu + α u + α u = 0,
Technique τa,1
1
2
1 1
2 2
esprimendo u come combinazione lineare dei vettori u 1 , . . . , u5 si ottiene la
√
relazione lineare ( 2α + α1 )u1 + (− 31 α + α2 )u2 + αu3 + 3αu4 − παu5 = 0. Per
l’indipendenza lineare dei vettori u 1 , . . . , u5 , si conclude α = α1 = α2 = 0
0 . La technique τ 0
Technologie θa,1
a,1 si fonda sulla definizione di indipendenza
lineare.
0 bis. Siano α, α , α tre scalari per cui αu + α u + α u = 0.
Technique τa,1
1
2
1 1
2 2
Se fosse α = 0, per l’indipendenza lineare di u 1 , u2 vale anche α1 = α2 = 0.
D’altra parte α non può essere diverso da 0, altrimenti avremmo u = α1 (α1 u1 +
√
α2 u2 ) da cui la relazione 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5 = α1 (α1 u1 + α2 u2 ) che
non può sussistere vista l’indipendenza lineare dei vettori u 1 , . . . , u5 .
0 bis. Oltre alla definizione di indipendenza lineare, citiamo le
Technologie θa,1
proposizioni:
i) una sottoinsieme di una famiglia di vettori linearmente indipendenti è una
famiglia di vettori linearmente indipendenti, che giustifica l’affermazione che
u1 , u2 sono linearmente indipendenti;
ii) se v1 , . . . , vk sono linearmente indipendenti e α1 , . . . , αk , β1 , . . . , βk sono
scalari tali che α1 v1 +· · ·+αk vk = β1 v1 +· · ·+βk vk allora α1 = β1 , . . . , αk = βk ,
√
che verrebbe contraddetta se sussistesse la relazione 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 −
πu5 = α1 (α1 u1 + α2 u2 ).
00 . Dimostrare che < u >= W ∩ W .
Tâche Ta,1
1
2
00 . I vettori u, u , . . . , u sono linearmente indipendenti (è una
Technique τa,1
1
4
0 per cui valgono le medesime technitâche del medesimo type de tâches di T a,1
ques), e formano un sistema di generatori per W 1 + W2 , che ha quindi dimensione 5. Dalla formula di Grassmann dim W 1 + dim W2 = dim(W1 + W2 ) +
6.1 Problema: Esistenza sottospazi
127
dim(W1 ∩ W2 ) si ottiene che la dimensione di W1 ∩ W2 è 1, e quindi, poiché < u >⊆ W1 ∩ W2 , l’intersezione dei due sottospazi coincide proprio con
< u >.
00 . Accanto ai risultati tecnologici già citati in θ
Technologie θa,1
a,1 , sottolineamo:
i) la definizione di somma di sottospazi vettoriali di uno spazio V ;
ii) la proposizione se B e C sono un sistema di generatori rispettivamente di
V 0 e V 00 allora B ∪ C è un sistema di generatori per V 0 + V 00 ;
iii) la Formula di Grassmann;
iv) Se W è un sottospazio vettoriale di V (entrambi di dimensione finita),
allora V = W se e solo se dim V = dim W .
00 bis. Un vettore v appartiene a W ∩ W se e solo se esistono
Technique τa,1
1
2
scalari α, α0 , α1 , . . . , α4 tali che v = αu + α2 u1 + α2 u2 e v = α0 u + α3 u3 + α4 u4 .
Uguagliando le due combinazioni lineari, per l’indipendenza lineare dei vettori
0 ), si deduce α = α0 e α = · · · = α = 0. Quindi valgono
u, u1 , . . . , u4 (Ta,1
1
4
entrambe le inclusioni W1 ∩ W2 ⊆< u > e < u >⊆ W1 ∩ W2 , e dunque i due
insiemi coincidono.
00 bis. I risultati tecnologici interni alla teoria degli spazi vettoTechnologie θa,1
riali sono ridotti alla sola definizione di indipendenza lineare. Altri risultati
00 bis attengono alla teoria elemntare
tcnologici fondamentali per giustificare τ a,1
degli insiemi.
Technique τa,2 . Il vettore u non è nullo quindi possiamo completare {u} ad una base
B di V . Poiché la dimensione di V è almeno 5, B conterrà almeno altri 4 vettori
v1 , . . . , v4 oltre a u. Prendiamo come W1 e W2 , i due sottospazi di V generati rispet-
00 (o
tivamente da {u, v1 , v2 } e {u, v3 , v4 }. A questo punto terminiamo come τa,1 e τa,1
00 bis).
τa,1
00 (o
Technologie θa,2 . L’unico elemento di novità rispetto alle technologies θ a,1 e θa,1
00 bis) è costituito dal Teorema di completamento.
θa,1
Technique τa,3 . Sia W =< u1 , . . . , u5 >, se W contiene due sottospazi con le
proprietà richieste, lo stesso vale per V . Esprimeremo i vettori di W in coordinate
rispetto ai vettori u1 , . . . , u5 . Dobbiamo trovare due sottospazi di W la cui intersezio-
128
Analisi a priori
√
ne sia generata dal vettore di coordinate ( 2, − 13 , 1, 3, π). Le due terne di vettori di
√
√
coordinate ( 2, − 31 , 1, 3, π), (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0) e ( 2, − 31 , 1, 3, π), (0, 0, 1, 0, 0),
0 ), per cui
(0, 0, 0, 1, 0) formano due sistemi di vettori linearmente indipendenti (T a,3
i sottospazi da essi generati hanno dimensione 3 e la loro intersezione è generata dal
√
00 ).
vettore di coordinate ( 2, − 13 , 1, 3, π) (Ta,3
Technologie θa,3 . I risultati tecnologici alla base di τ a,3 comprendono:
i) l’unicità di rappresentazione di un vettore come combinazione lineare dei vettori
della base;
ii) la definizione di coordinate di un vettore rispetto ad una base;
iii) la transitività della relazione ‘essere sottospazio di’.
√
0 . Dimostrare che i vettori di coordinate ( 2, − 1 , 1, 3, π), (1, 0, 0, 0, 0),
Tâche Ta,3
3
√
(0, 1, 0, 0, 0) (o ( 2, − 13 , 1, 3, π), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0)) sono linearmente in-
dipendenti.
0 . L’indipendenza dei tre vettori segue dall’indipendenza dei
Technique τa,3
vettori coordinate considerati come elementi di R 5 (l’indipendenza dei vettori
coordinate è una nuova tâche che tratteremo più nel dettaglio nella sezione
6.2).
0 . Il risultato principale su cui si fonda τ 0
Technologie θa,3
a,3 è la proposizione
che afferma che ‘fissata una base di uno spazio vettoriale di dimensione finita
n, l’applicazione che ad ogni vettore dello spazio associa la n-upla delle sue
coordinate definisce un isomorfismo tra lo spazio dato e R n ’.
00 . Dimostrare che l’intersezione degli spazi generati dai vettori deTâche Ta,3
√
finiti sopra è generata dal vettore di coordinate ( 2, − 13 , 1, 3, π).
00 . La stessa proposizione citata in θ 0
Technique τa,3
a,3 consente di riformulare
questa tâche in: ‘dimostrare che l’intersezione degli spazi generati dai vetto√
√
ri ( 2, − 13 , 1, 3, π), (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0) e ( 2, − 13 , 1, 3, π), (0, 0, 1, 0, 0),
√
(0, 0, 0, 1, 0) è generata dal vettore ( 2, − 13 , 1, 3, π)’, in cui si passa allo studio
diretto sui vettori coordinate. Per risolvere questa tâche si possono esprimere
i due spazi vettoriali in forma cartesiana e studiare il sistema formato da tutte
le equazioni di entrambi i sottospazi.
6.1 Problema: Esistenza sottospazi
129
00 . Oltre alla proposizione già citata in θ 0 , la technologie comTechnologie θa,3
a,3
prende risultati di conversione tra i modi di rappresentare sottospazi vettoriali
di Rn nonché risultati propri della teoria dei sistemi lineari. L’analisi del
manuale di Abeasis (5.4.2) ha messo in luce in modo più preciso i risultati
tecnologici qui solo accennati.
Tâche Tb . Sia V uno spazio vettoriale reale e siano u 1 , u2 , u3 , u4 e u5 cinque vettori
√
in V linearmente indipendenti. Consideriamo il vettore u = 2u1 − 13 u2 + u3 +
3u4 − πu5 , dire se esistono due sottospazi di V , U 1 e U2 , di dimensione 2 che non
contengano u e tali che u ∈ U1 + U2 .
Technique τb,1 . Denotiamo con U1 e U2 , i due sottospazi di V generati rispettiva√
mente da { 2u1 , − 31 u2 } e {u3 , 3u4 − πu5 }. Sono due coppie di vettori linearmente
0 ) quindi i due sottospazi hanno dimensione 2. Infine, u appartiene
indipendenti (Tb,1
00 ).
alla somma U1 + U2 senza però appartenere a U1 né a U2 (Tb,1
Technologie θb,1 . Sono evidenti numerosi punti di contatto tra la technique τ b,1 appena presentata e la technique τa,1 , di riflesso anche le tchnologies θb,1 e θa,1 sono in
buona parte comune:
i) la proposizione: un sottospazio vettoriale di uno spazio V è uno spazio vettoriale
con le operazioni indotte da V;
ii) la definizione di base di uno spazio vettoriale;
iii) la definizione di dimensione di uno spazio vettoriale;
a questi elementi tecnologici vanno aggiunte:
iv) la definizione di somma di sottospazi vettoriali di uno spazio V ;
v) la proposizione: se B e C sono un sistema di generatori rispettivamente di V 0 e
V 00 allora B ∪ C è un sistema di generatori per V 0 + V 00 .
0 e T 00 .
Passiamo ora a considerare le due tâches T b,1
b,1
√
0 . Dimostrare che { 2u , − 1 u } e {u , 3u − πu } sono due coppie
Tâche Tb,1
3
4
5
1
3 2
di vettori linearmente indipendenti 1 .
1
00
Questa tâche come la successiva Tb,1
accorpa in realtà due tâches dello stesso type de tâches,
quindi ci sono alcune techniques efficaci per risolvere entrambe. Tuttavia il basso numero di vettori
linearmente indipendenti in gioco, e con esso il fatto che le due tâches possono essere poste rispettivamente in ambiente di dimensione 2 o 3, consente il ricorso a techniques specifiche di portata
130
Analisi a priori
0 . Poiché u , . . . , u sono vettori linearmente indipendenti, tali
Technique τb,1
1
5
sono anche i vettori u1 , u2 e i vettori u3 , u4 , u5 . Siano α, β scalari tali che
αu3 + β(3u4 − πu5 ) = 0, allora da αu3 + 3βu4 − πβu5 = 0, vista l’indipendenza
lineare dei vettori u3 , u4 , u5 , si conclude α = β = 0. L’indipendenza lineare
√
dei vettori 2u1 , − 13 u2 , si può dimostrare con la medesima technique oppure
si può osservare che se i vettori u1 , u2 sono indipendenti allora non sono uno
multiplo dell’altro, dunque non sono multiplo uno dell’altro nemmeno i vettori
√
e 2u1 , − 13 u2 che quindi sono linearmente indipendenti.
0 . Vi fanno parte:
Technologie θb,1
i) la definizione di indipendenza lineare,
ii) la proposizione: un sottoinsieme di una famiglia di vettori linearmente indipendenti è una famiglia di vettori linearmente indipendenti, e
iii) a giustificazione dell’ultimo passo, la proposizione: due vettori sono linearmente indipendenti se e solo se non sono uno multiplo dell’altro.
0 bis. Come prima, poiché u , . . . , u sono vettori linearmente inTechnique τb,1
1
5
dipendenti, tali sono anche i vettori u 1 , u2 e i vettori u3 , u4 , u5 . Operiamo un
2 , u , u sono linearmente indicambio di quadro, due vettori geometrici in V O
1 2
√
pendenti se e solo se non sono allineati. Poichè 2u1 e − 13 u2 sono allineati
rispettivamente con u1 e u2 , non lo sono tra di loro e sono quindi indipen-
3 , u , u , u sono linearmente
denti. D’altra parte, tre vettori geometrici in V O
3 4 5
indipendenti se e solo se non sono complanari. Poiché i vettori u 3 , u4 , u5 non
sono complanari, il vettore u3 non appartiene al piano individuato da u 4 , u5 a
cui invece appartiene il vettore 3u 4 − πu5 , che quindi non è collineare con u3 .
Anche questi due vettori sono linearmente indipendenti.
0 bis. alle definizioni di prodotto per scalare e somma di vetTechnologie θb,1
tori geometrici (regola del parallelogramma), vann affiancate le proposizioni
seguento:
i) due vettori geometrici sono proporzionali se e solo se sono allineati;
ii) due vettori geometrici sono linearmente indipendenti se e solo se non allineati;
limitata ad una sola delle due.
6.1 Problema: Esistenza sottospazi
131
iii) tre vettori geometrici sono linearmente indipendenti se e solo non sono
complanari.
00 . Dimostrare che u non appartiene agli spazi U =<
Tâche Tb,1
1
e U2 =< u3 , 3u4 − πu5 >
√
2u1 , − 13 u2 >
00 . Se u appartenesse a U allora esisterebbero due scalari α, β tali
Tecnique τb,1
1
√
1
che u = 2αu1 − 3 βu2 , questo non è possibile i) perché u, u 1 , u2 sono linear-
0 ), oppure ii) perché
mente indipendenti (punto già discusso in precedenza, T a,1
√
otterremmo la relazione lineare 2(1 − α)u1 − 13 (1 − β)u2 + u3 + 3u4 − πu5 = 0
che non può sussistere vista l’indipendenza lineare dei vettori u 1 , . . . , u5 ; oppure iii) perché u si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori
u1 , . . . , u 5 .
00 . Gli elementi tecnologici relativi a τ 00 , già citati in precedenTechnologie Tb,1
b,1
za, sono:
i) definizione di indipendenza lineare;
ii) se v1 , . . . , vk sono linearmente indipendenti e α1 , . . . , αk , β1 , . . . , βk sono scalari tali che α1 v1 +· · ·+αk vk = β1 v1 +· · ·+βk vk allora α1 = β1 , . . . , αk = βk , che
√
verrebbe contraddetta se sussistesse la relazione 2u1 − 13 u2 +u3 +3u4 −πu5 =
1
α (α1 u1
+ α2 u2 ).
Technique τb,2 . Analogamente a τa,3 , poniamo W =< u1 , . . . , u5 >, se W contiene
due sottospazi con le proprietà richieste, lo stesso vale per V . Esprimeremo i vettori
di W in coordinate rispetto ai vettori u 1 , . . . , u5 . Dobbiamo trovare due sottospazi
√
di W che non contengano il vettore di coordinate ( 2, − 13 , 1, 3, π) ma la cui somma
lo contenga. I sottospazi generati dai vettori di coordinate (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0)
0 ) e
e (0, 0, 0, 3, π), (0, 0, 1, 0, 0) hanno dimensione 2 (medesimo type de tâche di T a,3
√
0 ) che però appartiene
non contengono il vettore di coordinate ( 2, − 13 , 1, 3, π) (Tb,2
alla loro somma.
0 .
Technologie θb,2 . Gli elementi tecnologici sono quelli già citati in θ a,3 e θa,3
√
0 . Dimostrare che il vettore di coordinate ( 2, − 1 , 1, 3, π) non apTâche Tb,2
3
partiene allo spazio generato dai vettori di coordinate (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0).
132
Analisi a priori
0 . In virtù dei risultati riportati in θ
0
Technique τb,2
a,3 e θa,3 , possiamo formulare
la tâche in termini di vettori di Rn direttamente. A questo punto possiamo: (i)
00 , (ii) notare che i tre vettori sono
adattare al caso particolare le techniques τ b,1
linearmente indipendenti (tâche T a in 6.2), (iii) esprimere in forma cartesiana
√
il sottospazio e vedere che ( 2, − 13 , 1, 3, π) non è soluzione del sistema lineare
00 per le technologies relative).
che definisce il sottospazio (vedi θ a,3
Technique τb,3 . Operiamo un cambio di quadro analogamente a quanto fatto in
0 bis. Consideriamo un vettore v nello spazio 3–dimensionale dei vettori geometrici
τb,1
3 . Poiché V 3 contiene almeno 4 vettori a tre a tre non complanari, possiamo
VO
O
prendere due piani per O distinti che non contengono v, la loro somma coincide con
3 e quindi contiene v.
VO
Technologie θb,3 . Agli elementi di θb0 1 bis, ne va aggiunto almeno uno relativo alla
teoria degli spazi euclidei E3 3-dimensionali, cioè l’esistenza di cinque punti a quattro
a quattro non complanari.
Technique τb,4 . Poiché il vettore u non è nullo, esiste un vettore v tale che u, v sono
linearmente indipendenti. Quindi anche u−v, v sono linearmente indipendenti (tâche
0 ); li completiamo ad una base B di V , che conterrà, poiché la dimensione di V è
Tb,4
maggiore o uguale a 5, almeno altri due vettori v 1 e v2 . Siano, ora, U1 =< u−v, v1 >
00 )
e U2 =< v, v2 >: la loro dimensione è 2, u non appartiene ad uno né all’altro (T b,4
ma appartiene a U1 + U2 .
Technologie θb,4 . La technologie comprende risultati già citati più volte:
i) la definizione di indipendenza lineare;
ii) la definizione di spazio generato;
iii) la definizione di dimensione di uno spazio vettoriale;
iv) il teorema del completamento.
0 . Dimostrare che u − v, v sono linearmente indipendenti.
Tâche Tb,4
0 . Siano α, β scalari tali che α(u−v)+βv = 0, da αu+(β−α)v = 0
Technique τb,4
per l’indipendenza lineare di u, v si conclude α = β = 0, da cui l’indipendenza
lineare di u − v, v .
0 . Questa technique si basa soltanto sulla definizione di indiTechnologie θb,4
pendenza lineare.
6.2 Problema: Dipendenza/indipendenza lineare in R n
133
00 . Dimostrare che u non appartiene a U , né a U .
Tâche Tb,4
1
2
00 . u appartiene a U (rispettivamente U ) se e solo se esistono
Technique τb,4
1
2
due scalari α, β tali che u = α(u − v) + βv 1 (rispettivamente u = αv + βv2 ),
ma questo non è possibile poiché u = (u − v) + v e u − v, v, v 1 (rispettivamente
u − v, v, v2 ) sono elementi di una stessa base di V .
00 . Agli elementi tecnologici già menzionati in θ
Technologie θb,4
b,4 aggiungiamo
l’unicità di rappresentazione di un vettore di uno spazio vettoriale V come
combinazione lineare degli elementi di una base dello spazio medesimo.
6.2
Problema: Dipendenza/indipendenza lineare in Rn
Dimostrare che i seguenti vettori di R 5 sono linearmente







1
1
0
 2 



 √ 
 0 
 1 

 3 





 √ 







u1 =  0  , u2 =  0  , u3 =  2  , u4 = 







 0 
 0 

 1 







0
0
π
Siano a = πu1 + 51 u2 − u3 + u4 , b =
√
indipendenti:



2
−2

 √ 
3 
 11 
5 





0  , u5 =  1  .



 0 
0 



0
0
2u2 + 43 u3 + 3u4 − πu5 e c = u2 +
√
u4 − 31 u5 . I vettori a, b e c sono linearmente indipendenti?
3u3 −
Anche questo problema è costituito da due tâches, una di dimostrazione ed una
di decisione di enunciati che coinvolgono esplicitamente elementi della teoria di R n .
Nonostante le molte analogie non consideriamo le due tâches appartenenti allo stesso
type de tâche per i modi, tra loro diversi, in cui sono definiti i vettori u 1 , . . . , u5 , da
un parte, e a, b, c, dall’altra, che inoltre permettono di attivare techniques diverse.
Tâche Ta . Dimostrare che i seguenti vettori di R 5 sono linearmente indipendenti:





1
0
√
3
√
2


2



−2



 3 
 √ 




 1 

 11 
 0 





 5 















;
u
=
;
u
=
u1 =  0  ; u 2 =  0  ; u 3 = 
 0 
 1 .

4
5










 1 
 0 
 0 
 0 
 0 










π
0
0
0
0
1
2
134
Analisi a priori
Technique τa,1 . Siano x1 , . . . , x5 scalari tali che x1 u1 + · · · + x5 u5 = 0. Il sistema
lineare

1


2 x1 + x2 + 2x4 − 2x5 = 0

√
√


3

x
+
3x
+
11x5 = 0
x
+

2
3
4
5
 √
2x3 + x5 = 0





 x3 = 0


x2 = 0
ha come unica soluzione x1 = · · · = x5 = 0.
Technologie θa,1 . Comprende la definzione di indipendenza lineare e technologies
proprie della teoria dei sistemi lineari, che giustificano la soluzione del sistema.
Technique τa,2 . Dalla matrice avente i vettori u1 , . . . , u5 come colonne, permutando
le colonne medesime si ottiene un matrice triangolare con tutti elementi non nulli
sulla diagonale.

1
2
0 2 −2
√
√
3 35
11
1
√
0
2 0
1
1

 0


 0

 0 0

0 π
1
0
0
0
0
0










1
2

 0


 0

 0

0

−2
0 1
√
√

3
11
3 1 
5

√

0
1
2 0 

0
0
1 0 

0
0
0 π
2
Il suo rango è 5, per cui i vettori sono indipendenti.
Technologie θa,2 . τa,2 è giustificata da:
i) l’invarianza del rango di una matrice rispetto a permutazione delle colonne (più
in generale rispetto alle ‘operazioni elementari’ sulle colonne);
ii) una matrice (quadrata) non singolare ha rango massimo;
iii) il rango di una matrice a scala coincide con il numero di pivot;
iv) il rango di una matrice è il massimo numero di vettori colonna (o vettori riga)
linearmente indipendenti;
v) il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi
sulla diagonale.
Tâche Tb . Siano dati i vettori u1 , . . . , u5 di R5 come sopra e siano a = πu1 + 15 u2 −
6.2 Problema: Dipendenza/indipendenza lineare in R n
u3 + u 4 , b =
135
√
√
2u2 + 34 u3 + 3u4 − πu5 e c = u2 + 3u3 − u4 − 13 u5 . I vettori a, b e c
sono linearmente indipendenti?
Technique τb,1 . Siano α, β, γ scalari, dalla relazione lineare αa+βb+γc = 0 otteniamo
√
√
παu1 + ( 51 α + 2β + γ)u2 − (α + 34 β + 3γu3 )u3 + (α + 3β − γ)u4 − (πβ + 13 γ)u5 = 0.
Per l’indipendenza lineare dei vettori u 1 , . . . , u5 , questa relazione lineare vale solo se
α = β = γ = 0.
Technologie θb,1 . La technologie si limita alla definizione di indipendenza lineare e
a risultati relativi alla soluzione di sistemi lineari.
Technique τb,2 . Data l’indipendenza lineare dei vettori u 1 , . . . , u5 (Ta ), sono ben
definite le coordinate rispetto ad essi dei vettori a, b, c, che indicheremo con [a], [b], [c].

π

 1 


 5 


[a] =  −1  ;


 1 


0



0
 √ 

 2 




 3 

[b] =  4  ; [c] = 



 3 




−π
0







−1 

− 31
1
√
3
I vettori a, b, c sono indipendenti se e solo se lo sono i vettori delle loro coordinate
intesi come elementi di R5 . (Ta ).
Technologie θb,2 . La technologie θb,2 si basa sulla definizione di coordinate di un
vettore e sulla proposizione da cui risulta che l’applicazione definita dal cambio di
base è un isomorfismo.
Technique τb3 . Il cacolo esplicito dei vettori a, b, c rende la tâche T b una del medesimo
type de tâche Ta . La portata del techniques τa,1 e τa,2 è abbastanza ampia da
risolvere questa tâche, anche sia la soluzione del sistema (τ a,1 ) sia la riduzione a
scala della matrica (τa,2 ) risultano avere un ‘costo computazionale’ decisamente più
elevato.
136
Analisi a priori
6.3
Problema: Dipendenza/indipendenza lineare e ambiente grafico
Siano u e v i due vettori rappresentati in figura.
Dire se le seguenti coppie di vettori sono o no
linearmente indipendenti:
• a = 2u + v
• a0 = 4u − 32 v
b = 72 u + 13 v;
b0 = 2u + 2v.
Siano quindi z = a + b e w = a0 + b0 , z e w sono
u
linearmente indipendenti?
v
Osserviamo innanzitutto che la presenza della figura come parte integrante del testo
del problema, da cui trarre informazioni rilevanti e necessarie alla soluzione del medesimo, è un elemento di forte rottura con la pratica istituzionale dell’insegnamento
universitario dell’algebra lineare, di conseguenza le techniques e technologies necessarie alla soluzione potrebbero non essere completamente istituzionalizzate.
Il problema comprende tre tâches di decisione. Le prime due appartenengono allo
stesso type de tâche (Ta ), e pertanto le tratteremo insieme. La terza, come già nel
caso del problema dipendenza/indipendenza lineare in R n , nonostante le molte
analogie con le prime appartiene ad un type de tâche diverso, in quanto diverso è il
modo in cui sono dati i vettori a, b (o a 0 , b0 ) e z, w.
Tâche Ta . Siano u e v i due vettori rappresentati in figura. Dire se i vettori
a = 2u + v e b = 27 u + 13 v sono o no linearmente indipendenti.
Technique τa,1 . Nella figura che accompagna il
a
testo disegnamo i vettori a e b. Non appartenendo alla medesima retta, i due vettori non sono
multiplo uno dell’altro e sono quindi indipendenti.
Technologie θa,1 .
Consideriamo la figura co-
me un modello diagrammatico dello spazio
2 dei vettori geometrici del
2-dimensionale VO
piano.
b
u
v
6.3 Problema: Dipendenza/indipendenza lineare e ambiente grafico 137
Fanno allora parte della technologie, oltre alle definizioni di prodotto per scalare e
somma di vettori geometrici (regola del parallelogramma), le proposizioni ch affermano:
i) due vettori geometrici sono proporzionali se e solo se sono allineati;
ii) due vettori geometrici sono linearmente indipendenti se e solo se non sono allineati.
Technique τa,2 . I vettori u, v sono linearmente indipendenti. La tâche si può risol0 , della sezione 6.1, e τ , τ
vere con le techniques già descritte in precedenza: τ b,1
b,1
b,2
della sezione 6.2.
Technologie θa,2 . I risultati tecnologici comprendono quelli relativi alle techniques
testé citate, nonché gli elementi tecnologici di θ a,1 .
Technique τa,3 . Interpretando la quadrettatura come un sistema di riferimento cartesiano nel piano, possiamo associare ai vettori u, v le coppie (1, 2), (3, 0). A questo
punto la tâche è del medesimo tipo di T a della sezione 6.2, si possono quindi mobilitare le medesime techniques. In alternativa, in maniera più ‘economica’, si può
osservare direttamente che le due coppie non sono proporzionali ed i vettori sono
quindi indipendenti.
Tâche Tb . Dati come sopra i vettori a, b e a0 , b0 , dire se i vettori z = a+b e w = a0 +b0
sono linearmente indipendenti.
Technique τb,1 . Se abbiamo associato ai vettori u, v le coppie (1, 2), (3, 0), come in
τa,3 , possiamo esprimere come coppie i vettori a, b e a 0 , b0 e tramite loro i vettori z e
w, otterremmo precisamente u = (19/2, 11) e w = (10, 12). A questo punto si può
concludere come sopra, τa,3 .
Technique τb,2 . Esprimiamo i vettori z, w in termini di u, v: z = 11/2u + 4/3v e
w = 6u + 4/3v. Si può ora concludere come per τ a,2 .
Concludiamo osservando che la technique τ a,1 non sarebbe efficace per risolvere questa tâche, in quanto: (i) i vettori z e w non sono rappresentabili nella figura che
accompagna il testo perché troppo limitata, (ii) senza voler rappresentare i vetto-
138
Analisi a priori
ri z e w, per individuare le rette che li contengono, sarebbe comunque necessario
‘riscalare’ i vettori (cioè determinare dei loro sottomultipli), infine (iii) le due rette
formano una angolo ‘piccolo’, per cui, se si volesse tentare di ‘stimare’ la posizione
dei due vettori, sarebbe necessaria una ‘stima’ piuttosto accurata.
6.4
Problema: Esistenza sottoinsieme
Sia V uno spazio vettoriale reale e siano u, v e w tre vettori in V .
Dire se esiste un sottoinsieme A di V che verifichi le seguenti condizioni:
• il vettore u + 3v +
√
2w appartiene a A,
• A è un insieme chiuso rispetto alla somma,
• A non è chiuso rispetto al prodotto per scalare.
Indichiamo con T la tâche identificata dal problema.
√
Technique τ . Supponiamo che u + 3v + 2w non sia nullo. Un insieme che contenga
√
il vettore u + 3v + 2w e che sia chiuso rispetto alla somma, deve contenere almeno
i multipli naturali del vettore medesimo, vale a dire A deve contenere tutti i vettori
√
della forma n(u + 3v + 2w) con n numero naturale.
√
√
Sia A l’insieme {n(u + 3v + 2w) | n ∈ N} allora A contiene il vettore u + 3v + 2w.
Se v1 , v2 appartengono a A, esistono due numeri naturali n 1 , n2 tali che v1 =
√
√
√
n1 (u+3v + 2w) e v2 = n2 (u+3v + 2w) e quindi v1 +v2 = (n1 +n2 )(u+3v + 2w)
che appartiene ad A.
√
√
Inoltre 2(u + 3v + 2w) non appartiene ad A in quanto se ciò accadesse esiste√
√
√
rebbe un numero naturale n tale che 2(u + 3v + 2w) = n(u + 3v + 2w), da
√
√
√
cui ( 2 − n)(u + 3v + 2w) = 0 e quindi, essendo u + 3v + 2w 6= 0, si avrebbe
√
√
2 = n ∈ N che contraddice l’irrazionalità di 2.
√
Se u + 3v + 2w = 0 e lo spazio V contiene almeno un vettore u non nullo, allora
l’insieme {zu|z ∈ Z} soddisfa le richieste del problema.
Se, al contrario, V = {0}, non ha sottoinsiemi che verificano le condizioni poste.
Technologie θ. Come si vede i risultati tecnologici usati sono piuttosto poveri, per
quel che riguarda la teoria degli spazi vettoriali essi si limitano agli assiomi sulle
operazioni, che garantiscono la correttezza delle manipolazioni fatte, e la proposizione (assioma???) che afferma che ‘se αv = 0 allora α = 0 o v = 0’.
6.5 Collocazione istituzionale dei problemi
139
Si possono elaborare altre techniques, a seconda anche delle ipotesi che si formulano su u, v, w, per risolvere il problema. Ad esempio, nell’ipotesi che i tre vettori
siano tra loro indipendenti, l’insieme {nu + mv + λw| n, m ∈ N, λ ∈ R} verifica le
√
condizioni poste, ad esempio 2u 6∈ A.
6.5
Collocazione istituzionale dei problemi
In questo paragrafo discutiamo brevemente come i problemi proposti, le tâches che
emergono dalla loro risoluzione, le techniques e technologies relative si collocano
rispetto alle pratiche istituzionali emerse dall’analisi dei manuali.
Precisiamo che il fatto che alcune tâches o techniques non siano istituzionalmente
accettate non vuol dire che non lo siano dall’individuo, né che l’individuo rifiuti di
affrontare tale tâche o non sia in grado di costruire tali techniques.
Esistenza sottospazi. Come si vede dall’analisi a priori, relativamente a questo
problema, quello che siamo tentati di chiamare il gioco tâche-technique è molto
articolato. Il problema proposto comprende due tâches distinte, ciascuna delle
quali si può risolvere con diverse techniques. Da queste techniques possono
emergere altre tâches risolvibili a loro volta da più techniques.
Seppure il problema ci appaia legittimamente inserito tra i problemi di teoria degli spazi vettoriali, poche delle tâches in cui si articola (e delle relative
techniques) sono esplicitamente trattate nei manuali da noi analizzati. L’elemento che, più di altri, sembra distinguere queste tâches da quelle evidenziate
dall’analisi dei manuali, è la richiesta, esplicita o implicita, di ‘confrontare’ da
diversi punti di vista un vettore espresso come combinazione lineare (u) con i
vettori che partecipano alla combinazione lineare medesima (u 1 , . . . , u5 ).
Oltre a questa, sono poco diffuse la richiesta di dimostare che dei vettori – che
non sono dati esplicitamente né come n-uple, né come matrici– sono linearmente indipendenti Type de tâches e techniques, presenti anche nei manuali,
emergono, ad esempio, se si effettua il passaggio ai vettori coordinate e quindi
a R5 , passaggio che di fatto rende tacito il confronto tra combinazione lineare
e vettori; la richiesta di costruire spazi vettoriali che contengono un singolo
vettore; ed infine la richiesta di decomporrespazi vettoriali.
Concludiamo rimarcando che anche la richiesta stessa di stabilire se un certo
oggetto esiste o meno è rara.
140
Analisi a priori
Dipendenza/indipendenza lineare in R n . Le tâches in cui si articola il problema appaiono istituzionalmente accettate e sono presenti nei manuali che
spesso presentatno e discutono anche le relative techniques (o molte di esse).
Ad esempio tâches Ta sono presenti abitualmente nei manuali e spesso gli autori illustrano techniques per l loro soluzione. Sono meno diffuse le tâches T b
che sono comunque ‘facilmente’ riconducibili a tâches T a .
Dipendenza/indipendenza lineare e ambiente grafico. Il ruolo della figura, indispensabile2 per completare il testo del problema, e che non serve
‘solamente’ da supporto visivo, è istituzionalmente non accettata. Non accettati risultano, a maggior ragione, le techniques (o quelle parti delle techniques)
che ricorrono alla figura come elemento imprescindibile. Osserviamo che, una
volta dedotta dalla figura l’indipendenza lineare dei vettori u, v o una volta
associati ad essi i vettori coordinate, la tâche risultante appartiene ad un type
de tâche istituzionalmente accettato e presente nei manuali, che, in alcuni casi,
forniscono esplicitamente le relative techniques.
Esistenza sottoinsieme. La richiesta di decidere sull’esistenza o meno di un
sottoinsieme ci sembra che ponga questo problema al di fuori delle pratiche
istituzionali relative alla teoria degli spazi vettoriali. All’interno di questa,
infatti, la nozione stessa di insieme, isolata dalle questioni di linearità, non
appare significativa. Relativamente alle techniques, abbiamo già sottolineato
come le parti direttamente attinenti alla teoria degli spazi vettoriali sono povere
e si limitino quasi alla manipolazione di espressioni agebriche
6.6
Alcuni risultati delle interviste
Dalle interviste è emerso che i soggetti coinvolti hanno incontrato le maggiori difficoltà di fronte al problema esistenza sottospazi. Nei prossimi capitoli, presenteremo i relativi protocolli ed analizzeremo tali difficoltà. Al contrario, gli altri tre
problemi non hanno suscitato comportamenti, intesi in termini di difficoltà ed errori, altrettanto rilevanti rispetto agli obiettivi del nostro studio.
Per questo motivo, in questo paragrafo trattiamo brevemente questi tre, su cui, non
ritorneremo in seguito.
2
Rispetto a come è formulata la consegna.
6.6 Alcuni risultati delle interviste
6.6.1
141
Problemi: Dipendenza/indipendenza lineare
I due problemi dipendenza/indipendenza lineare in R n e dipendenza/indipendenza lineare e ambiente grafico sono stati utilizzati nella prima sessione
di interviste (sezione 4.2); dalla lettura dei protocolli emerge che gli studenti a cui
sono stati proposti non hanno incontrato grandi difficoltà nel risolverli.
In effetti come evidenziano l’analisi a priori e l’analisi dei libri di testo, la soluzione dei problemi richiede l’implementazione di techniques trattate ampiamente nei
manuali di algebra lineare. Inoltre la presenza, come parte integrante del testo del
problema dipendenza/indipendenza lineare e ambiente grafico, della figura e la necessità di dover trarre da essa ipotesi indispensabili per la soluzione del
problema, seppur istituzionalmente non accettate, non hanno rappresentato alcun
ostacolo per i soggetti intervistati i quali, inoltre, hanno mostrato di possedere e
saper mobilitare le techniques adeguate per la soluzione del problema.
6.6.2
Problema: Esistenza sottoinsieme
Per quanto attiene a questo problema, utilizzato nella seconda sessione di interviste, rileviamo che la maggior parte delle difficoltà emerse dall’analisi dei protocolli
concerne techniques e technologies esterne alla teoria degli spazi vettoriali e appartenenti invece alla teoria elementare degli insiemi.
Soprattutto è emersa una difficoltà, da parte di alcuni soggetti, relativa alla consegna
‘prendere/descrivere un insieme’, per la quale i medesimi non sembravano possedere
né sapere costruire techniques adeguate.
Per quanto riguarda eventuali techniques e technologies più direttamente relative alla teoria degli spazi vettoriali, il tentativo di isolare con questo problema la
nozione di combinazione lineare dalla altre a cui è correlata – generatori, dipendenza/indipendenza lineare, basi, ecc. – ha determinato una perdita di significatività,
la nozione di combinazione lineare ne risulta, ci sembra, impoverita e le tâches risultano di fatto ridotte a compiti prettamente di manipolazione algebrica, che non
hanno rappresentato alcun ostacolo per la soluzione del problema.
142
Analisi a priori
Capitolo 7
Presentazione dei risultati della
fase sperimentale
In questo capitolo riportiamo i risultati ottenuti dalle due fasi sperimentali (capitolo
4), la cui analisi sarà condotta nel prossimo capitolo.
Come abbiamo anticipato nel paragrafo 6.6, in cui abbiamo brevemente e parzialmente accennato ai risultati della fase sperimentale, dalle interviste è emerso che
i soggetti coinvolti hanno incontrato le difficoltà maggiori nel (tentare di) risolvere
il problema esistenza sottospazio. I risultati presentati in questo capitolo sono
relativi solo a questo problema, di cui ci sembra opportuno riportare il testo.
Sia V uno spazio vettoriale reale e siano u 1 , u2 , u3 , u4 e u5 cinque vettori
√
in V linearmente indipendenti. Consideriamo il vettore u = 2u1 − 13 u2 +
u3 + 3u4 − πu5 .
• dire se esistono due sottospazi di V , W 1 e W2 , di dimensione 3 tali
che W1 ∩ W2 =< u >;
• dire se esistono due sottospazi di V , U 1 e U2 , di dimensione 2 che non
contengano u e tali che u ∈ U1 + U2 .
Poiché la maggior parte delle trascrizioni delle interviste – nel seguito useremo più
brevemente il termine ‘protocollo’ – risultano troppo lunghe per essere integralmente
riportate in questo capitolo e troppo articolate per essere completamente analizzate, presenteremo una selezione di brani tratte dalle medesime da cui emergano le
difficoltà e gli errori dei soggetti intervistati relativamente alle nozioni elementari di
144
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
teoria degli spazi vettoriali: combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare,
sistema di generatori, base, dimensione.
La lettura di una selezione di brani rischia di riuscire poco organica, frammentaria e dispersiva se la presentazione non è opportunamente strutturata. Esigenze di
chiarezza ed ordine nell’esposizione pongono quindi il problema di organizzare la
presentazione medesima.
Una prima proposta potrebbe essere quella di organizzare la presentazione per brani
dai quali emergano difficoltà ed errori tra loro ‘affini’. Tale proposta introduce però
il problema di definire in che senso certe difficoltà od errori siano affini; ci sembra
che la risposta a tale problema possa essere ricercata una volta fissato un preciso
quadro teorico di riferimento e che, almeno a priori, quadri teorici differenti possano
fornire risposte differenti. Dato che nel nostro caso affronteremo l’analisi dei risultati proprio rispetto a diversi quadri teorici, sentiamo la necessità in questa sede di
strutturare la presentazione in modo il più neutro possibile rispetto ai medesimi.
Coerente con l’esigenza di neutralità rispetto ai quadri teorici, appare la proposta
di strutturare la presentazione in sezioni ‘tematiche’ relative a precise nozioni matematiche, raggruppando insieme brani che rivelino difficoltà relative alle medesime
nozioni: ‘Difficoltà relative alla nozione di combinazione lineare’, ‘Difficoltà relative
alla nozione di base’, ecc.. Tuttavia la validità di tale proposta si basa sull’assunto
che sia sempre possibile individuare in modo chiaro a quali precise nozioni matematiche siano relative le difficoltà e gli errori riscontrati. I brani che presenteremo
mostrano come raramente questo accada, e di conseguenza come tale assunto non
sia completamente ben fondato.
In alternativa proponiamo un’organizzazione della presentazioni in sessioni ‘tematiche’, relative a particolari tâches piuttosto che a particolari nozioni.
La lettura dei protocolli evidenzia come molte delle difficoltà e degli errori dei soggetti intervistati possano essere interpretate in termini di risposte, in molti casi errate,
a particolari tâches che emergono durante la soluzione del problema dato e con cui
i soggetti si sono dovuti confrontare. Sottolineiamo che tali tâches sono raramente
espressamente formulate nel corso dell’intervista, da parte del soggetto intervistato
o da parte dell’intervistatore, ma sono individuate a posteriori dall’osservatore.
Non a caso nelle righe precedenti abbiamo usato il termine ‘tâches’: la scelta fatta
ci sembra infatti completamente coerente con l’approccio antropologico in didattica
della matematica come descritto nel paragrafo 5.1.
145
Le tâches enucleate dai protocolli, rispetto alle quali struttureremo la presentazione
sono:
• Tâche Dipendenza lineare: Una combinazione lineare ed i vettori che la definiscono sono tra loro dipendenti o indipendenti?
• Tâche Combinazione lineare: Una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti può essere scritta come combinazione lineare di quattro (o tre) vettori linearmente indipendenti?
• Tâche Dimensione: Quale dimensione deve aver uno spazio vettoriale che
contiene una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti?
• Tâches Generatori: Come si possono scegliere i generatori di uno spazio vettoriale che contiene una data cominazione lineare?
Abbiamo assegnato a ciascuna tâche un’etichetta che evoca precise nozioni di teoria
degli spazi vettoriali, le stesse direttamente ed esplicitamente evocate dalle tâches;
tuttavia, coerentemente a quanto precisato sopra, non intendiamo con questo affermare che le difficoltà o gli errori che emergono dalle risposte a tali tâches siano
relative a quelle particolari nozioni e, soprattuto, eventualmente solo a quelle.
Prima di concludere questo paragrafo introduttivo, esplicitiamo le convenzioni adottate nella presentazione e nella redazione delle trascrizioni.
I brani riportati sono individuati tramite il nickname associato al soggetto intervistato. Sono inoltre riportati il giudizio sintetico a priori assegnato al soggetto
come descritto nel paragrafo 4.2.4, la posizione accademica al momento dell’intervista e l’anno in cui si è svolta l’intervista. Nella redazione delle trascrizione abbiamo
definito le seguenti convenzioni:
• La segmentazione dei protocolli in items segue i criteri:
– cambio di interlocutore: intervistato/intervistatore,
– pausa non breve (più lunga di 3 secondi circa),
– netto cambiamento di tema,
– stesura di un testo non commentata da parte del soggetto.
• La numerazione degli items segue l’ordine cronologico degli ‘interventi’, senza
voler fornire indicazioni sul tempo trascorso.
146
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
• I testi, eventualmente scritti dagli studenti mentre parlano, ed i relativi com-
menti sono inseriti all’interno di un unico item. In questo caso i testi scritti
sono riportati in un paragrafo separato.
• I puntini di sospensione ‘. . . ’ indicano una frase lasciata in sospeso o una breve
pausa di pochi secondi (2 o 3 circa), i due avvenimenti spesso coincidono.
• Indichiamo con ‘ inaudible ’ una parola, o raramente un’espressione, che
risulta incomprensibile dalle registrazioni.
• Eventuali omissioni all’interno di un item sono indicate con ‘[. . . ]’; segnaliamo
l’omissione di interi items, che risulterà comunque evidente anche dai salti
.
nella numerazione dei medesimi, con tre puntini in verticale ‘ .. ’.
• Inseriamo tra parentesi quadre ‘[ ]’ termini od espressioni lasciate sottointese
dall’interlocutore, che riteniamo opportuno esplicitare per agevolare le lettura
del testo.
• Eventuali annotazioni del tipo: ‘il soggetto bisbiglia’, ‘ripete a voce alta quello
che scrive’, ecc. sono in italico.
Tâche: Dipendenza lineare
7.1
Una combinazione lineare ed i vettori che la definiscono sono tra loro
dipendenti o indipendenti?
7.1.1
Lau – medium high – FC I anno – 2003
Nel risolvere il primo quesito, Lau cerca di determinare due terne di vettori linearmente indipendenti che siano basi di due sottospazi, W 1 e W2 , con le proprietà
richieste e, nel farlo, si trova a dover affrontare il problema di trovare vettori linearmente indipendenti con il vettore u (items 47 e 53), che vorrebbe appunto inserire
nelle due terne.
47. Lau: io ho a disposizione cinque. . . vettori linearmente indipen. . . , dire se esistono, quindi
se li posso costruire. Allora uno sicuramente lo piglio ed è u. . . voglio arrivare a costruire
una dimensione 3, u ce l’ho, ci sta in W1 e sta in W2 devo trovarne altri due, altri due
linearmente indipendenti e che non stiano nell’interse. . . linearmente indipendenti da u
7.1 Tâche: Dipendenza lineare
147
..
.
53. Lau: allora vediamo di trovare altri due vettori. . . se riesco a trovare due vettori
..
.
57. Lau: diciamo per costruire questo sottospazio vorrei fornire una base, allora prendo come
vettore u, come primo vettore, poi potrei prendere u1 e u2 , questi due sono linearmente
indipendenti. . . che generano in un certo senso W1
{u, u1 , u2 }
58. Lau: questi due sono linearemente indipendenti, u 1 e u2 per ipotesi
59. Lau: e il punto è: sono indipendenti rispetto a u? no [. . . ] perché questo è combinazione
lineare. . . eh sı̀, è combinazione lineare di u1 . . .
60. Lau: u è combinazione lineare di u1 , u2 , u3 , u4 , u5 quindi questo non è linearmente
indipendente da questi altri due
Lau riesce ad aggirare l’ostacolo eliminando il vettore u dai generatori scelti per il
√
sottospazio W1 e sostituendolo con il vettore u − 2u1 + 13 u2 , sulla cui scelta Lau
manifesta comunque una, almeno iniziale, perplessità (items 64 e 66).
√
61. Lau: ah però, se prendessi come vettore u− 2u1 + 31 u2 questo è uguale a u3 +3u4 −πu5
u−
√
2 + 31 u2 = u3 + 3u4 − πu5
62. Lau: e prendo come insieme. . .
63. Lau: u1 , u2 . . .
64. Lau: non funziona. . . u1 , u2 sono tra loro indipendenti
65. Int: e lı̀ cosa vorresti metterci come terzo vettore?
66. Lau: pensavo questo qui [u −
√
2u1 + 31 u2 ], però questo ha u1 e u2
67. Lau: ah però non importa
68. Lau: questo qui [u −
√
2u1 + 31 u2 ], se io lo chiamo per esempio w, questo qui è
combinazione lineare dei soli vettori u3 , u4 e u5
Dopo qualche altro attimo di esitazione Lau conferma la sua scelta (items 74 e 75);
148
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
74. Lau: questi due sono indipendenti per ipotesi. . . questo w è combinazione lineare di questi
tre
75. Lau: questo w è combinazione lineare di questi tre che sono linearmente indipendenti
con u1 e u2 , quindi. . . va bene, dovrebbero andar bene come base per W 1
anche per il sistema di generatori di W 2 Lau attuerà una strategia analoga, scegliendo
√
l’insieme di vettori {u3 , u4 , 2u1 − 13 u2 − πu5 }.
7.1.2
Car – medium – dottorando – 2003
Car impiega, senza successo, molti minuti nel tentativo di risolvere il primo quesito.
In particolare dedica molto tempo allo studio del caso in cui gli spazi W 1 , W2 siano
generati rispettivamente dalle famiglie di vettori {u 1 , u2 , u3 } e {u3 , u4 , u5 }, e, dopo
aver constatato che Span(u1 , u2 , u3 ) ∩ Span(u3 , u4 , u5 ) = Span(u), agisce sulla scelta
dei sistemi di generatori cercando di inserirvi il vettore u.
Questo solleva il problema di trovare due coppie di vettori linearmente indipendenti
con u (item 107).
107. Car: quindi diciamo dovrei fare una cosa del genere, mettere W 1 . . . metterci u qua. . . e
metterci u qua
W1 = span(u, ,
W2 = span(u, ,
come ho fatto prima e questi forse mi potrebbero dare u. . . span di u, però qua, bisogna,
allora, almeno trovare altri due vettori linearmente dipendenti con u in V , quelli che siano
mi vanno bene. . . chiaramente non gli stessi perché se no l’intersezione è lo stesso spazio
..
.
109. Car: proviamo a fare questa roba allora. proviamo a cercare vettori linearmente indipendenti. . . ma come faccio, questo c’è già. . . tutti u1 , u2 , u3 , u4 e u5
..
.
113. Car: [. . . ] Questo deve avere dimensione tre quindi vicino a u ci devo mettere due vettori
linearmente indipendenti con u e idem qui e che siano distinti
..
.
7.1 Tâche: Dipendenza lineare
149
116. Int: [. . . ] ti dico quello che ho sentito, quello che ho captato: un discorso del tipo
‘u1 , u2 , u3 , u4 e u5 sono già dentro u’, no?
117. Car: sı̀
118. Int: vorrei che mi chiarissi questa cosa qui [. . . ]
119. Car: eh no, stavo dicendo: come faccio a trovare questi ũ 1 , ũ2 linearmente indipendenti
rispetto a u? perché il problema è che u contiene u1 , u2 , u3 , u4 e u5 , se u conteneva solo
u1 , u2 , u3 io qua ci mettevo u4 e u5 e stavo tranquillo
Poiché Car non riesce apparentemente a superare questa difficoltà, ed essendo trascorso molto tempo dall’inizio della sessione, l’intervistatore propone a Car di affrontare il secondo quesito, lasciando almeno temporaneamente in sospeso il primo.
7.1.3
Nic – high – IV anno – 2003
Nel tentativo di rispondere alla prima domanda, Nic, che formula una congettura corretta, appare insicura sull’indipendenza lineare della famiglie di vettori {u, u 1 , u2 }.
Risolve comunque autonomamente e rapidamente tale insicurezza e prosegue la
risoluzione del problema.
6. Nic: allora, se io ci metto, quelli sono linearmente indipendenti. . . possiamo provare u, u 1
e u2 [. . . ] poi u, mi avanza u5 , u3 e u4
< u, u1 , u2 >= W1
< u, u3 , u4 >= W2
7. Nic: allora questi hanno dimensione tre intanto, perché u 1 e u2 sono linearmente indipendenti e. . . u non dipende da. . . u dipende da u1 e u2 , quindi me la sto inventando
questa cosa. . . questa cosa non è, questa cosa è falsa. . . cioè questi qui non sono linearmente indipendenti, perché riesco. . . no, sono linearmente indipendenti. . . va be’ mi potrei
mettere a fare delle verifiche, a parte che non avevo voglia di mettermi a fare i conti
8. Int: allora, che cos’è che ti ha fatto sospettare che non lo fossero e cos’è che ti fa pensare
che lo siano?
9. Nic: allora mi ha fatto sospettare che non lo fossero per un attimo il fatto che nella
scrittura di u compaiono u1 e u2 il problema è però che nella scrittura di u compaiono
anche u3 , u4 e u5 ; non ce li metto qui non è che u riesco a scriverlo soltanto come combinazione di u1 e u2 quindi. . . e siccome, tra l’altro, u1 e u2 sono indipendenti, linearmente
indipendenti da u3 , u4 e u5 , non c’è verso se non ci metto u3 , u4 e u5 insieme di ottenere
u
150
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
7.1.4
Tom – medium high – I anno – 2003
Tom ha affrontato entrambi i quesiti e li considera risolti, quando l’intervistatore lo
invita a riconsiderare la soluzione (incompleta) fornita al primo quesito mettendone
in luce l’incompletezza.
In questa situazione Tom affronta il problema della dimensione dello spazio generato
dai vettori u, u1 , u2 .
Inizialmente il soggetto mostra una certa sicurezza quando asserisce che i vettori
u, u1 , u2 sono indipendenti (items 137 e 138); l’affermazione è in effetti corretta ma
è inadeguata la giustificazione, il ‘ragionamento fatto prima’ (items 138 e 139) da
cui Tom vorrebbe far seguire l’indipendenza lineare dei tre vettori si riferisce alla
√
dimostrazione dell’indipendenza lineare dei vettori 2u1 − 13 u2 e u3 . Di fronte all’obiezione dell’intervistatore (item 140), di cui riconosce apparentemente pertinenza e
rilevanza (item 141), Tom considera conveniente cambiare i generatori di W 1 e W2
piuttosto che investigare per altre vie se i vettori u, u 1 , u2 siano o no linearmente
indipendenti.
135. Tom: scrive
W1 = Span{u, u1, u2 }
W2 = Span{u, u3, u4 }
136. Int: allora hai preso W1 come lo spazio generato da u, u1 , u2
137. Tom: e W2 invece è data da v . . . da u, u3 e u4 ; allora qui sono sicuro che W1 ha
dimensione 3 perché. . .
138. Tom: per il ragionamento fatto prima, perché u è dato dalla somma di questi vettori e questi qui erano tutti linearmente indipendenti e. . . qui ho vettori che appartenevano. . . cioè
davano u
139. Tom: be’, se faccio lo stesso ragionamento qui viene uguale a prima
140. Int: io vedo una differenza: [. . . ] per esempio qui in U 1 il primo vettore è combinazione
√
lineare di u1 e u2 [ 2u1 − 31 u2 ] il secondo vettore è u3 e questi sono linearmente indipendenti, lo sapevamo già prima, cioè u1 , u2 , u3 sono linearmente indipendenti e questo è
stato usato nella dimostrazione. Ma qua, in W1 , vedo u, e u1 e u2 partecipano, diciamo,
nella combinazione del vettore u, perché il vettore u è combinazione lineare non solo di
u3 , u4 , u5 ma anche di u1 e u2 . Questa è la differenza che vedo io rispetto a prima,
potrebbe essere una differenza irrilevante
7.2 Tâche: Combinazione lineare
151
141. Tom: no, no è rilevante, perché non è vero, infatti non è vero che sono. . .
..
.
144. Tom: possiamo prendere W1 . . . prendiamo per esempio i primi tre, cosı̀ siamo sicuri
√
rispetto, cioè visto che lo abbiamo verificato prima, siamo sicuri, allora 2u1 − 31 u2 + u3
e poi il vettore u4 e il vettore u5
√
W1 = Span{ 2u1 − 31 u2 + u3 , u4 , u5 }
[. . . ]
Tom sceglierà in modo analogo il sistema di generatori di W 2 , segnatamente {u1 , u2 , u3 +
3u4 − πu5 }.
Tâche: Combinazione lineare
7.2
Una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti
può essere scritta come combinazione lineare di quattro (tre) vettori
linearmente indipendenti?
7.2.1
Nic – high – IV anno – 2003
Poco dopo aver letto la seconda domanda del problema ‘Sottospazi’, Nic formula
l’ipotesi che i sottospazi U1 , U2 non possano esistere, motivandola come segue.
83. Nic: e qui ho già più seri dubbi che sia possibile. . . perché. . . perché per scrivere u ho
bisogno di cinque vettori linearmente indipendenti, per scriverlo come somma di due sottospazi di dimensione 2 al più ne posso usare quattro, perché siccome sono linearmente
indipendenti. . . però potrei usarne altri. . .
..
.
89. Nic: eh, perché io innanzitutto avevo considerato, u lo scrivo con cinque vettori e mi
servono tutti e cinque insomma, non è che posso farne a meno perché questi vettori sono
linearmente indipendenti. . . e invece se U1 e U2 devono essere spazi di dimensione 2, loro
possono essere generati insomma al più da due vettori linearmente indipendenti. . . e quindi
al più se u sta in U1 + U2 ne uso quattro. Il problema qual è? che u, io so che u si può
scrivere cosı̀ ma magari con un cambio di base, con un cambio di [. . . ] magari con un
cambio di base riesco a trovare una scrittura più comoda di u. Quindi da una parte sono
152
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
abbastanza convinta di no, però dall’altra non ho la più pallida idea di come si possa fare
a farlo vedere.
Nei minuti che seguono Nic esprime più volte la sua convinzione manifestando al
tempo stesso un certo disagio per non sapere come poter dimostrare la sua asserzione.
Osserviamo che Nic è evidentemente a conoscenza della possibilità di cambiare base
e ‘trovare una scrittura più comoda di u’ (item 89), ed è altresı̀ consapevole del fatto
che questa possibilità oppone un ostacolo (di fatto insormontabile) alla dimostrazione
della sua asserzione. Tuttavia tale consapevolezza non fa apparentemente vacillare
la sua fiducia nella propria congettura.
102. Nic: allora. . . però visto che qualcosa va fatto. . . io sono convinta. . . quasi convinta che
non è possibile.
103. Nic: e quindi prendiamo U1 uguale a v1 , v2 , U2 uguale a v3 , v4 prendo vi indipendenti
e questi, facciamo finta che siano i nostri candidati, v i tutti diversi da u e proviamo a
supporre che u sia in U1 + U2 e vediamo cosa viene fuori
U1 =< v1 , v2 >
U2 =< v3 , v4 >
vi ind.
vi 6= u
u ∈ U1 + U2
104. Nic: allora viene fuori che. . . u è uguale a. . . un vettore che sta. . . generico, quindi α 1 v1 +
α2 v2 +, giusto per cambiare lettera, β1 v3 + β2 v4 . . .
u = α 1 v1 + α 2 v2 + β 1 v3 + β 2 v4
questi sono linearmente indipendenti. . . [. . . ]
Nonostante Nic sia riuscito ad esprimere correttamente in termini algebrici la relazione tra il vettore u e gli eventuali generatori dei sottospazi U 1 , U2 , la potenziale
efficacia dell’approccio appare limitata perché diretta da Nic alla ricerca, infruttuosa, di qualche contraddizione.
Solo quando l’intervistatore attira nuovamente l’attenzione di Nic su quanto lo stesso ha scritto agli items 103 e 104, questi, rimettendo totalmente in discussione le
sue precedenti posizioni, risolve il problema.
128. Int: aver supposto questo U1 come generato da v1 , v2 , U2 come generato da v3 , v4 con i
vi indipendenti e diversi da u non ti sta aiutando a capire se esistono o non esistono. . . cioè
non ti convince che esistono e non ti dà nessun indizio su come dimostrare che non esistono.
Mi sembra questa la situazione?!
7.2 Tâche: Combinazione lineare
153
129. Nic: sı̀
130. Nic: ah, no, non
..
.
132. Nic: cioè voglio dire, e se esistessero in realtà? [. . . ]
..
.
135. Nic: voglio dire se da qua, per esempio facciamo. . . che se io, facciamo v 1 uguale u1 , v2
uguale u2 , v3 uguale u3 , v4 uguale a. . . proviamo 3u4 − πu5 e facciamo U1 uguale v1 , v2 ,
U2 uguale v3 , v4 ,
v1 = u1 v2 = u2 v3 = u3 v4 = 3u4 − πu5
U1 =< v1 , v2 >
U2 =< v3 , v4 >
allora questo ha dimensione due, sono linearmente. . . anche questo; non contengono u e
√
a questo punto u ci sta nella somma. . . u è uguale a 2v1 − 13 v2 , che stupida che sono,
+v3 + v4
u=
√
2v1 − 13 v2 + v3 + v4
proprio per come l’ho preso. Finito.
7.2.2
Aur – medium high – I anno – 2002
Aur formula una congettura analoga a quella di Nic, anch’egli nel giro di pochissimi
minuti.
74. Aur: dico che cosı̀ ad occhio mi sa di no perché u è combinazione lineare di cinque vettori
linearmente indipendenti. . . e se si scrive come somma di. . . cioè è un elemento che si scrive
come somma di, di un elemento di U1 e di un elemento di U2 , cosı̀ ad idea, al massimo può
essere combinazione lineare di quattro vettori linearmente indipendenti. . . allora, vediamo
Aur imposta il problema in termini algebrici generali e appropriati, ma nel giro di
poco si dedica allo studio del caso in cui gli spazi U 1 , U2 siano generati rispettivamente dai vettori {u1 , u2 } e {u3 , u4 } considerandolo apparentemente sufficientemente
generale.
75. Aur: fissiamo su U1 e U2 delle basi, chiamiamo B base di U1 con w1 e w2 e C base di
U2 con v1 e v2
154
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
B base di U1 , {w1 , w2 }
C base di U2 , {v1 , v2 }
76. Aur: quindi. . . U1 sarà lo spazio generato da w1 e w2 e U2 lo spazio generato da u1 e u2
U1 = Span < w1 , w2 >
U2 = Span < v1 , v2 >
77. inaudible
78. Aur: U1 + U2 è lo spazio generato da w1 , w2 , v1 e v2 e ha una dimensione minore o
uguale a quattro
U1 + U2 = Span < w1 , w2 , v1 , v2 >
79. Aur: no, stavo pensando, invece di prendere dei vettori qualsiasi come basi di U 1 e
U2 . . . poiché mi basta che siano due vettori linearmente indipendenti, di prendere quelli
che ho già, cioè u1 , u2 e. . . u5 ; se io faccio cosı̀, se prendo come U1 lo spazio generato da
u1 e u2 , e come U2 lo spazio generato da u3 e u4
U1 = Span < u1 , u2 >
U2 = Span < u3 , u4 >
Tale studio conferma la congettura di Aur, che sembra comunque consapevole di
aver trattato un caso particolare. Purtuttavia, Aur non investiga oltre la propria
asserzione che anzi (ri)compare come argomento conclusivo.
86. Aur: qualsiasi altra base che io scelga, cioè anche se non scelgo questi cinque vettori
come base, ma come avevo fatto prima ne scelgo dei vettori a caso, basta che siano
indipendenti a due a due, comunque trovo che. . . u si scrive come combinazione lineare
di cinque vettori linearmente indipedenti. . . e quindi, cioè non riesco con quattro vettori
linearmente indipendenti a scrivere, a scrivere u
Soltanto quando l’Intervistore chiede la redazione di un testo scritto e pone esplicitamente il problema di spiegare meglio perché il vettore u non si possa scrivere
come combinazione lineare di quattro vettori, Aur rimette in discussione la propria
congettura e risolve, questa volta correttamente, il problema.
102. Int: cerchiamo di dire perché non si può fare. Perché questo u non si può scrivere come
combinazione lineare di quattro?
7.2 Tâche: Combinazione lineare
155
103. Aur: perché. . . allora, preso comunque U1 + U2 . . . avrò che gli elementi di U1 + U2
si scriveranno come. . . prendiamo questo caso qui, in questo caso qui abbiamo (ripete
scrivendo)
α1 w 1 + α 2 w 2 + α 3 v 1 + α 4 v 2
α1 ∈ R
tutti gli elementi si scriveranno in questa maniera e. . .
104. Aur: ho un sottile dubbio. . . allora, no mi viene un dubbio perché
105. Aur: potrei prendere, cioè, potrei prendere come vettori del. . . della base di uno u 1 e
u2 , dell’altro u3 e come altro vettore, lo chiamo, w1 che è proprio, cioè che è somma di
due. . . di altri due. . . di due. . . di u4 e u5
7.2.3
Sab – medium – I anno – 2002
Dopo aver risolto il secondo quesito, Sab affronta il primo trattando da principio e
rapidamente un caso particolare, W 1 = Span {u1 , u2 , u3 } e W2 = Span {u3 , u4 , u5 }
(item 23). Subito dopo sembra affrontare il problema in termini generali, W 1 =
Span {v1 , v2 , v3 } e W2 = Span {w1 , w2 , w3 }, anche se non è chiaro se i simboli v i , wj
denotino vettori generici in V o più limitatamente in {u 1 , . . . , u5 }.
23. Sab: [. . . ] poi invece. . . vediamo, se hanno dimensione tre. . . qui ce ne posso mettere. . . cosı̀. . . posso fare
W1 =< u1 , u2 , u3 >
W2 =< u3 , u4 , u5 >
però in questo caso io non potrei avere. . . cioè la loro intersezione è solo u 3 . Quindi per
avere intersezione u è un po’, è un po’ un problema
24. Sab: io so che u è un elemento di W1 e u è elemento di W2
u ∈ W1
u ∈ W2
quindi u si scrive come, ora per ora non so ancora la base che voglio mettere, comunque
facciamo che v1 . . . v3 sia una base di W1 e. . . non mi vengono le lettere. . . w1 , . . . , w3
base di W2
W1 =< v1 , v2 , v3 >
W2 =< w1 , w2 , w3 >
156
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
allora io lo devo poter scrivere sia come
u = α 1 v1 + α 2 v2 + α 3 v3
u = β 1 w1 + β 2 w2 + β 3 w3
ora però io mi devo ricordare che W1 è contenuto in V ed è contenuto strettamente perché
ha dimensione minore, quindi ho. . .
W1 ⊂ V
e so che u è una combinazione. . . li chiamo c perché non ho voglia di scriverli
u = c 1 u1 + · · · + c 5 u5
Mentre nel trattare il ‘caso particolare’ Sab giunge alla conclusione che u non appartenga all’intersezione dei due sottospazi, W 1 ∩ W2 , nel ‘caso generale’ Sab trae
la conclusione che u non possa appartenere a nessuno dei due sottospazi, W 1 , W2 ,
motivandola con l’osservazione che ‘se u appartiene a W 1 che ha dimensione 3 io lo
posso scrivere come combinazione lineare di tre vettori indipendenti, ma allora non
servono. . . due di questi vettori indipendenti che ho non servono, invece qui so che
servono, mi servono a determinarlo perché mi è stato dato cosı̀’ (item 33).
33. Sab: [. . . ] secondo me anche nel primo non è che torni tanto perché se. . . lo scrivo come
cinque, somma di cinque vettori indipendenti. Questi v 1 , v2 , v3 dovranno derivare in
qualche modo da V perché io ho due sottospazi vettoriali [. . . ] se u appartiene a W 1 che
ha dimensione 3 io lo posso scrivere come combinazione lineare di tre vettori indipendenti,
ma allora non servono. . . due di questi vettori indipendenti che ho non servono, invece qui
so che servono, mi servono a determinarlo perché mi è stato dato cosı̀. Quindi anche in
questo caso dico no, non mi sembra, non mi sembra giusto che esistano, perché se deve
essere somma di cinque vettori indipendenti non sarebbe se no. . . non sarebbe se no, non
sarebbero indipendenti i cinque vettori che mi hai dato, perché se no lo potrei scrivere con
un’altra combinazione lineare che è impossibile.
7.2.4
Lau – medium high – FC I anno – 2003
Lau affronta il secondo quesito studiando inizialmente il caso in cui U 1 e U2 sono
generati rispettivamente dalle coppie di vettori u 1 , u2 e u3 , u4 . Stando alle parole di
Lau i due spazi sono scelti a partire dagli spazi W 1 e W2 (paragrafo 7.1.1) eliminando
√
dai loro sistemi di generatori rispettivamente u 3 + 3u4 − πu5 e 2u1 − 13 u2 − πu5 .
Nel particolare caso sotto esame Lau conclude che u non appartiene alla somma
7.2 Tâche: Combinazione lineare
157
dei due spazi generati da u1 , u2 e u3 , u4 motivando con il fatto che tale somma non
contiene il vettore u5 , in generale osserva che u non appartiene alla somma di due
spazi 2-dimensionali perché questa non può contenere cinque vettori linearmente
indipendenti.
274. Lau: no, non va bene comunque perché, come faccio, se vale questa formula [la formula di Grassmann: dim(U1 + U2 ) = dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩ U2 )], come faccio a
trovare qualcosa. . . che debba avere almeno 5 vettori linearmente indipendenti, se qua ci
sottraggo [− dim(U1 ∩ U2 )]. . . il massimo che posso ottenere è quattro vettori linearmente
indipendenti, direi. . . no, no. . . sı̀, giusto. . . a prescindere
..
.
278. Lau: a prescindere da come ho preso U1 , U2 , so ,per ipotesi, che hanno uno dimensione
2, l’altro dimensione 2. . . usando la formula di Grassmann
279. Lau: cioè la condizione ottimale che posso ottenere, per aver qua il maggior numero di
vettori linearmente indipendenti che si avvicini in un certo senso a cinque è che questo
[dim(U1 ∩ U2 )] sia 0
..
.
283. Lau: stavo dicendo, non ci posso mai arrivare a un U 1 + U2 che contenga cinque vettori
linearmente indipendenti, perché . . .
284. Lau: alla meglio se questo [dim U1 ∩ U2 ] è 0, ottengo comunque quattro, cioè quattro
vettori, a cinque come u non ci posso arrivare
285. Int: quindi la dimensione di U1 + U2 è al massimo 4
286. Lau: esatto è al massimo 4 e se voglio, come dice qui, un u che appartenga ad U 1 + U2 ,
u però è combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti, come faccio a
trovare il quinto se ne ho quattro, al massimo, di linearmente indipendenti? dico io. E
basta, quindi direi che non esistono.
Dopo pochi altri minuti di valutazione della propria soluzione, Lau conferma le
conclusioni tratte.
295. Lau: è sufficiente dire questo a parole? u è combinazione lineare di 5 vettori linearmente
indipendenti. . . sı̀, no no, va bene, cinque vettori linearmente indipendenti che non ce li
trovo nella somma perché la somma è fatta di quattro, al più quattro, vettori indipendenti
296. Lau: no, giusto quindi posso dire che non esistono U 1 e U2
158
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
Già all’inizio dell’intervista Lau aveva formulato una congettura coerente con questa
posizione, congettura che però ha liquidato in modo piuttosto rapido e deciso.
6. Lau: allora, u quindi deve appartenere sia a W1 che a W2 , se questi due sottospazi
esistono u deve appartenere, u è questa cosa qui, combinazione lineare di cinque vettori
linearmente indipedenti
7. Lau: quindi, io direi, se ci appartiene u in W1 , ci devono stare anche u1 . . . questi cinque
vettori
..
.
10. Lau: no, non e‘ detto, [. . . ] ho detto una grossa cavolata
Tâche: Dimensione
7.3
Quale dimensione deve avere uno spazio vettoriale che contiene una
combinazione lineare di 5 vettori linearmente indipendenti?
7.3.1
Enr – medium high –I anno – 2002
Dopo aver trattato seppur in modo incompleto il primo quesito, Enr affronta e risolve
in pochi minuti anche il secondo.
21. Enr: intanto passo a vedere l’altro, allora due sottospazi di V di dimensione 2 che non
contengono u ma tali che u sta nella somma
..
.
23. Enr: u però deve stare nella somma. . . quindi si può scrivere come somma di un vettore
di uno e somma di un vettore dell’altro
24. Enr: però u è formato da cinque coordinate e quindi da cinque vettori linearmente
indipendenti, perciò stando nella somma dovrebbe essere combinazione lineare di tutti
questi cinque quindi vuol dire che la base, cioè la dimensione deve essere almeno 5; invece
la somma non può avere dimensione maggiore di 4, perché ce l’ha proprio solo se i due
sottospazi hanno intersezione nulla e quindi questo mi porta a dire che invece questi due
sottospazi non esistono
25. Enr: penso di non avere da dire altro su questa parte [. . . ]
7.3 Tâche: Dimensione
7.3.2
159
Sab – medium – I anno – 2002
Dopo aver letto l’intero testo del problema ed aver sottolineato l’unicità di rappresentazione del vettore u,
4. Sab: [. . . ] ho un vettore u
u=
√
2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5
si scriverà in modo unico. . .
..
.
8. Sab: allora, vediamo io intanto devo. . . u lo trovo univocamente, [. . . ]
Sab affronta subito il secondo quesito e quindi, una volta risolto, passa al primo. I
passaggi più interessanti delle due fasi sono riportati rispettivamente nei paragrafi
7.4.2 e 7.2.3.
Una volta risolti i due quesiti, la richiesta dell’intervistatore di redigere la soluzione
porta Sab a riconsiderare l’intero processo risolutivo e a trarre la conclusione che il
vettore u non può appartenere a spazi di dimensione minore di 5 (item 48).
46. Sab: [. . . ] mi sembra lampante, è uguale. In pratica, non può appartenere a U 1 perché
ha dimensione due, quindi il ragionamento è uguale, e nemmeno a U 2 . Però non può
appartenere nemmeno alla loro somma perché ha dimensione minore, quindi. . .
47. Int: la loro somma ha al massimo dimensione?
48. Sab: al massimo dimensione qua. . . quattro, [. . . ] e appunto, u non può essere a questo
punto proprio. . . non può essere contenuto in un sottospazio proprio né di dimensione 2,
1, 3, 4, deve almeno appartenere al sottospazio di dimensione 5 [. . . ]
7.3.3
Ram – low – dottorando – 2003
Inizialmente Ram sembra riferire il problema ad un caso particolare (item 22), e
senza ulteriori argomentazioni formula l’ipotesi che i due sottospazi non esistano
(item 23), a questo punto non è chiaro se l’ipotesi sia limitata al caso particolare o
sia di portata più generale. Nel giro di pochi istanti, comunque, almeno a giudicare
dalle sue parole, Ram affronta il quesito da un punto di vista più generale (item 25),
ancorché parziale.
160
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
21. Ram: stavo dicendo che u è la combinazione lineare, è scritto come combinazione lineare
di 5 vettori indipendenti, e va bene
22. Ram: prendiamo W1 come lo spazio generato da. . . u1 , u2 , u3 , quindi questo qua ha
dimensione 3 e siamo apposto
23. Ram: no, non esistono due sottospazi di dimensione 3 tale che la loro intersezione
24. Int: perché? [. . . ]
25. Ram: dunque W1 , W2 sono due sottospazi di V , ok, quindi. . . i generatori di questi due
sottospazi sono. . . li scelgo tra u1 , . . . , u5 e comunque come combinazione lineare di alcuni
di questi u1 , . . . , u5 , giusto? sia W1 che W2
Ram dirige i propri sforzi verso lo studio della dimensione di W 1 ∩ W2 , inizialmente
con la sola ipotesi che i due sottospazi W 1 , W2 abbiano dimensione 3 (items 51–67),
in seguito nell’ipotesi che W1 ∩ W2 contenga il vettore u (items 82 e segg.) – il
‘caso specifico’ a cui si fa riferimento agli items 86 e 87 è proprio quello in cui u
appartenga a W1 ∩ W2 .
51. Ram: quello che mi frega è la dimensione. . . che devo prendere due sottospazi di dimensione 3 e nella loro intersezione devo generare. . . se ho capito bene
52. Int: la loro intersezione è lo spazio generato dal vettore u
..
.
65. Ram: W1 ha dimensione 3, W2 anche ha dimensione 3 e l’intersezione
66. Int: cosa possiamo dire della dimensione dell’intersezione?
67. Ram: al massimo è 3
..
.
82. Int: qual è la dimensione dell’intersezione?
83. Ram: è 5. . . no, ma prima avevo detto che era diversa, no no, mi sto confondendo aspetta
84. Ram: prima ho detto che è più piccola
85. Int: prima abbiamo detto che l’intersezione, la dimensione dell’intersezione deve essere
minore della dimensione dei due sottospazi, minore o uguale [. . . ] quindi 3 al massimo
nel nostro caso
7.3 Tâche: Dimensione
161
86. Int: ora mi dici, se ho ben capito, nel caso specifico preso in considerazione, se questi
due sottospazi esistessero, quella dimensione dovrebbe essere 5 ?
87. Ram: sı̀ ti sto dicendo che nel caso specifico deve essere 5
88. Int: perché deve essere 5?
89. Ram: se riesco ad essere sicura che è 5 sono a posto, perché non va bene . . . perché è
più piccola
90. Ram: perché deve essere 5? sı̀, deve essere 5 perché
91. Ram: perché è lo spazio generato da u
92. Ram: sı̀ deve essere 5, mentre
93. Ram: c’è qualcosa che non mi convince ma non so che cosa
..
.
96. Int: [. . . ] vorrei capire il tuo livello di fiducia su questo argomento, sugli argomenti dati
..
.
99. Ram: diciamo che sono abbastanza fiduciosa
Ram giunge alla conclusione, per nulla argomentata, che lo spazio generato da u
debba aver dimensione 5 e da qui la conferma che i due sottospazi non possano
esistere. Ram non cela una certa insoddisfazione (item 93), almeno iniziale; ma nei
minuti successivi, in cui riconsidera la sua soluzione, sembra cambiare il proprio
stato d’animo fino ad esprimere una maggiore seppur cauta fiducia (item 99).
Tale fiducia vacilla nel leggere il secondo quesito (item 115), tuttavia Ram rinuncia
a riesaminare le sue conclusioni.
114. Ram: sia U1 che U2 sono più piccoli dello spazio che genera u perché hanno dimensione
2, e va bene [. . . ] però u appartiene alla somma
U1
U2
dim 2
dim 2
115. Ram: già leggendo questa seconda domanda mi viene il dubbio che la prima sia sbagliata
[. . . ]
116. Int: perché ti viene in mente che quella prima sia sbagliata, leggendo la seconda?
162
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
117. Ram: perché leggendo la seconda, mi viene chiesto che i due sottospazi di dimensione
2, che hanno dimensione 2, non contengono u . . . mi viene proprio chiesto che non contengono u, li voglio scegliere in modo che inaudible sembrerebbe che anche se hanno
dimensione 2 potrebbero anche contenerlo u [. . . ]
Ram dedica vari minuti allo studio del caso in cui U 1 e U2 siano generati rispettivamente da {u1 , u2 } e {u3 , u4 }. Riportiamo che le dimostrazioni che U 1 , U2 e U1 + U2
non contengano u non si basa su considerazioni relative alle dimensioni dei tre spazi
quanto sul fatto che nessuno di essi contiene tutti e cinque i vettori u 1 , . . . u5 .
Terminato lo studio del caso in esame, è l’intervistatore che pone la necessità di risolvere il problema nella sua generalità (item 195). Per farlo Ram ricorre alle stesse
considerazioni sulle dimensioni su cui già si basava la soluzione del primo quesito
(items 202 e segg.).
195. Int: [. . . ] abbiamo lavorato molto su questo esempio, che però appunto era un esempio,
allora si può generalizzare oppure no? quali passi bisogna fare per generalizzarlo e poter
arrivare a concludere in generale che non è possibile?
..
.
197. Ram: be’ per esempio la formula di Grassman: la dimensione della somma. . . quindi, la
dimensione di U1 più la dimensione di U2 è uguale alla dimensione della somma più la
dimensione dell’intersezione. Prendiamo U1 e U2 generici, quindi, però di dimensione 2
..
.
199. Ram: quindi U1 e U2 di dimensione 2, di dimensione 2 ma generici
U1 , U2
dim 2 dim 2 generici
e torno alla formula di Grassman, quindi la dimensione della somma dei due è uguale alla
dimensione di uno più la dimensione dell’altro meno la dimensione dell’intersezione, ok?
dim(U1 + U2 ) = dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩ U2 )
200. Ram: per lo stesso ragionamento di prima, per avere . . .
201. Int: la dimensione di U1 + U2 quanto può essere?
202. Ram: io vorrei che fosse 5 come al solito
7.4 Tâche: Generatori
163
203. Int: tu vorresti che fosse 5 affinché u vi appartenesse?
204. Ram: sı̀, e quindi cosı̀ non andrebbe bene, perché
205. Int: quanto può essere, per quella formula, al massimo, questa dimensione?
206. Ram: 2 più 2, 4, meno l’intersezione che è 0, quindi. . .
7.3.4
Ema – medium – I anno – 2002
Nei primissimi minuti, subito dopo la lettura del testo del problema ‘Sottospazi’,
Ema si pone il problema di determinare la dimensione dello spazio generato dal solo
√
vettore 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5 . Ema non elabora ulteriormente su questo
punto, che rimane irrisolto, tuttavia ci sembra degno di nota il fatto stesso che il
problema sia stato direttamente sollevato ed esplicitamente formulato dal soggetto
medesimo.
2. Ema: quindi, devo cercare i sottospazi di dimensione tre. . . due sottospazi di dimensione
tre che siano generati da questo vettore, quindi. . .
V
u 1 , u2 , u3 , u4 , u5
W1 ∩ W2 =< u >
3. Ema: allora se W1 , quindi se W1 e W2 devono avere dimensione tre. . . la loro intersezione. . . può avere massimo intersezione tre, quindi
W1 ∩ W2 =<
√
2u1 − 31 u2 + u3 + 3u4 − πu5 >
4. Ema: quindi, allora dovrei stabilire se questa roba qua, cioè se il sottospazio generato da
questo vettore. . . se ha dimensione maggiore di tre sicuramente non esiste
7.4
Tâche: Generatori
Come si possono scegliere i generatori di uno spazio vettoriale che
contiene una data combinazione lineare?
Come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, molti soggetti hanno studiato il problema proposto in casi particolari piuttosto che in piena generalità. In alcuni casi, i
soggetti sembrano consapevoli della portata limitata dei loro studi, in altri casi tale
164
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
consapevolezza non emerge o comunque i soggetti sembrano persuasi che i casi trattati, di cui riconoscono la particolarità, godano di sufficienti proprietà di genericità.
In questo paragrafo presentiamo estratti, alcuni già riportati precedentemente, che
testimoniano casi in cui i soggetti non del tutto appaiono consapevoli della specificità
dei casi trattati e dei limiti dele conclusioni inferite.
7.4.1
Aur – medium high – I anno – 2002
Nella soluzione del secondo quesito, dopo aver impostato il problema in termini
algebrici generali (item 78), Aur affronta il caso particolare in cui U 1 e U2 siano
Span{u1 , u2 } e Span{u3 , u4 } giudicandolo forse sufficientemente generico (item
79). Ricordiamo che concludendo la sua soluzione Aur esplicita la possibilità di
scegliere altre basi per i due spazi senza comunque investigarne le conseguenze (item
86, paragrafo 7.2.2).
78. Aur: U1 + U2 è lo spazio generato da w1 , w2 , v1 e v2 e ha una dimensione minore o
uguale a quattro
U1 + U2 = Span < w1 , w2 , v1 , v2 >
79. Aur: no, stavo pensando, invece di prendere dei vettori qualsiasi come basi di U 1 e
U2 . . . poiché mi basta che siano due vettori linearmente indipendenti, di prendere quelli
che ho già, cioè u1 , u2 e. . . u5 ; se io faccio cosı̀, se prendo come U1 lo spazio generato da
u1 e u2 , e come U2 lo spazio generato da u3 e u4
U1 = Span < u1 , u2 >
U2 = Span < u3 , u4 >
7.4.2
Sab – medium – I anno – 2002
Sab affronta il secondo quesito del problema ‘Sottospazi’, ed in breve formula l’ipotesi che i due sottospazi non esistano. Inizialmente le sue conclusioni sembrano di
carattere generale ma poi l’asserzione secondo cui i vettori u 1 , u2 , u3 , u4 , u5 dovrebbero appartenere a U1 + U2 (item 13) inducono Sab a trattare, come esemplare, solo
il caso in cui gli spazi U1 , U2 siano generati dai vettori u1 , u2 e u3 , u4
13. Sab: [. . . ] u non deve, u non dev’essere elemento né di U1 va bene di Ui per ogni i [. . . ]
u∈
/ Ui
∀i
7.4 Tâche: Generatori
165
e poi u dev’essere elemento della loro somma, vediamo
u ∈ U1 + U2
mi sembra difficile che accade; perché se io metto. . . vediamo io ho V , per avere che u è
nella loro somma io devo avere per lo meno che nella somma posso trovare sia u 1 che u2
che u3 che u4 che u5 ; perché sono indipendenti quindi non li posso ricavare uno dall’altro
[. . . ]. Però se la dimensione di U1 è due allora io ho come massimo numero di vettori
indipendenti due vettori e io potrei supporre u1 e u2 , potrei mettere come U1 uguale allo
Span – facciamo cosı̀ – di u1 e u2
U1 =< u1 , u2 >
e u non potrebbe essere elemento di U1 , se poi mettessi U2 come, facciamo conto, u3 ,
Span di u3 e u4
U2 =< u3 , u4 >
avrebbe dimensione due [. . . ]. Però non posso trovare u nella loro somma. Perché mi
manca u5
7.4.3
Ema – medium – I anno – 2002
Inizialmente, cercando sistemi di generatori per due spazi 3-dimensionali W 1 , W2 ,
Ema sembra considerare terne i vettori linearmente indipendenti qualunque (item
16), nel giro di pochi minuti, tuttavia, quando prende esplicitamente in considerazione la richiesta che u appartenga ai due spazi, Ema ferma la sua attenzione a spazi
generati da terne di vettori in {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } (items 21 e segg).
Osserviamo, en passant, la confusione, a cui comunque Ema rimedia in breve, tra lo
√
spazio generato dal vettore 2u1 − 13 u2 + u3 e quello generato dai vettori u1 , u2 , u3
(item 23).
16. Ema: al massimo tre vettori appartenenti a V che potrebbero essere qualcuno di questi
[u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ]. . . ma potrebbe essere qualcuno. . . qualcun altro vettore linearmente
indipendente da questi
..
.
20 Ema: no, allora praticamente, non. . . quindi non so. . . allora. . . l’intersezione tra questi
due. . . quindi l’intersezione tra questi due sottospazi deve essere generata da u [. . . ]
166
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
21. Ema: solo che, quindi. . . sia questi due sottospazi devono avere dimensione 3. . . cioè se
l’intersezione, no ci sono. . . se questi due sottospazi devono avere dimensione 3. . . allora. . . devo
riprendere, per avere sottospazi di dimensione 3, dovrei avere, allora. . . tre. . . una base
composta da tre vettori linearmente indipendenti, ora io li posso scegliere solo tra questi cinque. . . quindi dovrei scegliere tre vettori per una base di W 1 e tre vettori per una
base di W2 . . . sempre tra questi cinque e poi dovrei fare in modo che l’intersezione tra
questi. . . cioè facendo. . . mettendo a sistema W1 e W2 mi dovrebbe venire questo vettore
qua, cioè uno spazio generato, lo spazio generato da questo vettore. . . però materialmente
cioè, si dovrebbero fare un po’ di conti. . .
..
.
23. Ema: allora sı̀ dunque se. . . voglio che W1 sia,
W1 =<
√
2u1 − 31 u2 + u3 >
no va be’ questo è sbagliato,[. . . ] voglio che W1 sia un sottospazio generato da u1 ,
cioè. . . da u1 , u2 e u3
W1 =< u1 , u2 , u3 >
W2 =<
e cosı̀ sono linearmente indipendenti, se scrivo, se voglio che W 2 sia un sottospazio
generato da. . .
..
.
26. Ema: u4 , u5 e. . . u1 , cioè. . . allora
W2 =< u4 , u5 , u1 >
27. Ema: in realtà sarebbe cosı̀ ui , uj e uz , con i, j e z che variano da 1 a 5 ma che sono
diversi (corregge quanto scritto sopra)
W1 =< ui , uj , uz >
W2 =< up , uq , ut >
7.4.4
i, j, z = 1, . . . , 5 i 6= j 6= z
p, q, t = 1, . . . , 5
Ram – medium – dottorando – 2003
Solo nei primi minuti Ram si pone il problema di determinare possibili generatori per
gli spazi W1 , W2 , al quale fornisce una risposta solo parziale, ma che comunque non
impedirebbe la corretta soluzione di entrambi i quesiti. Ram, tuttavia, non segue
7.5 Conclusioni
167
quella strategia, e volge i propri sforzi allo studio delle possibili dimensioni di W 1 , W2
prima e di U1 , U2 poi, in virtù del quale concluderà rispondendo negativamente ad
entrambi i quesiti (paragrafo 7.3.3).
25. Ram: dunque W1 , W2 sono due sottospazi di V , ok, quindi. . . i generatori di questi due
sottospazi sono. . . li scelgo tra u1 , . . . , u5 o comunque come combinazione lineare di alcuni
di questi u1 , . . . , u5 , giusto? sia W1 che W2
7.5
Conclusioni
Scopo di questo capitolo era presentare i risultati delle fasi sperimentali. Le interviste
raccolte hanno messo in luce alcune difficoltà dei soggetti intervistati relative alle
nozioni di base di teoria degli spazi vettoriali su cui il nostro studio è centrato.
Abbiamo organizzato le presentazione delle difficoltà dei soggetti attorno a quattro
tâches:
• Tâche Dipendenza lineare: Una combinazione lineare ed i vettori che la definiscono sono tra loro dipendenti o indipendenti?
• Tâche Combinazione lineare: Una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti può essere scritta come combinazione lineare di quattro (o tre) vettori linearmente indipendenti?
• Tâche Dimensione: Quale dimensione deve avere uno spazio vettoriale che
contiene una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti?
• Tâches Generatori: Come si possono scegliere i generatori di uno spazio vettoriale che contiene una data cominazione lineare?
Ricordiamo che queste tâches non sono state esplicitamente formulate durante le
interviste. Esse traggono origine dall’analisi a posteriori delle trascrizioni delle interviste: siamo noi che, a posteriori, abbiamo riconosciuto che molte delle difficoltà
e degli errori degli studenti possono essere interpretate come tentativi di risolvere
queste stesse tâches.
Riconosciamo che attribuire alcuni brani come soluzioni di una tâche piuttosto che
di un’altra può in alcuni, pochi secondo noi, casi apparire una scelta arbitraria, ed in
effetti alcuni brani sono stati presentati in riferimento a tâches diverse. Ricordiamo
168
Presentazione dei risultati della fase sperimentale
a tal proposito che esigenze di chiarezza dell’esposizione hanno posto il problema
di strutturare la presentazione e riteniamo che, dal punto di vista della chiarezza e
leggibilità, il risultato ottenuto possa attenuare l’eventuale insoddisfazione nei confronti dell’inevitabile piccola arbitrarietà di alcune attribuzioni.
Capitolo 8
Analisi dei risultati
In questo capitolo affrontiamo le analisi delle difficoltà evidenziate nel capitolo precedente rispetto ai quadri teorici: modelli intuitivi, concezioni e dualità processo/oggetto, presentati nel capitolo 3.
Nel capitolo precedente abbiamo evidenziato come molte difficoltà dei soggetti intervistati sembrano sorgere nel tentativo di dare una risposta a tâches, non necessariamente esplicitamente formulate, emerse durante l’attività di soluzione dei problemi
proposti.
Attorno a tali tâches abbiamo strutturato la presentazione dei protocolli dei soggetti
intervistati.
Poiché nell’analisi dei risultati faremo spesso riferimento ad esse, ci sembra opportuno richiamarle.
• Tâche Dipendenza lineare: Una combinazione lineare ed i vettori che la definiscono sono tra loro dipendenti o indipendenti?
• Tâche Combinazione lineare: Una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti può essere scritta come combinazione lineare di quattro (o tre) vettori linearmente indipendenti?
• Tâche Dimensione: Quale dimensione deve avere uno spazio vettoriale che
contiene una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti?
• Tâches Generatori: Come si possono scegliere i generatori di uno spazio vettoriale che contiene una data cominazione lineare?
170
Analisi dei risultati
Per quanto riguarda i protocolli, nel corso dell’analisi richiameremo, se necessario,
alcuni dei brani già presentati e ne presenteremo, dove opportuno, dei nuovi.
8.1
Modelli intuitivi
Secondo il quadro teorico dei modelli intuitivi descritto in 3.1, i concetti e le operazioni matematiche sono costrutti fondamentalmente astratti, il cui significato e la cui
coerenza non ci sono direttamente accessibili e che non possiamo manipolare spontaneamente. Di conseguenza, afferma Fischbein, produciamo modelli che forniscono a
concetti e simboli significati direttamente accessibili ed unificatori (Fischbein, 1992).
Ricordiamo che, per Fischbein, ‘generally speaking, a system B represents a model
of system A if, on the basis of a certain isomorphism, a description or a solution
produced in terms of A may be reflected consistently in terms of B and vice versa’
(Fischbein, 1987, p. 121).
Molto spesso nell’attività di risoluzione di problemi, la ricerca di strategie risolutive
può essere influenzata da modelli (intuitivi) che operano tacitamente, al di fuori
di un controllo diretto e consapevole del soggetto; ‘the intuitive model manipulates from behind the scenes the meaning, the use and the properties of the formally
estabilished concept’ (Fischbein, 1994, p.236). In questa sezione mostreremo come
alcune delle difficoltà emerse dai protocolli dei soggetti intervistati e presentate nel
capitolo precedente siano attribuibili ai limiti di modelli taciti.
8.1.1
Attivazione di modelli taciti paradigmatici
Nel paragrafo 7.4, in cui abbiamo presentato le difficoltà relative alla tâche generatori ,
abbiamo evidenziato come diversi studenti abbiano dedicato molto tempo allo studio
di ‘casi particolari’, precisamente al caso in cui i generatori dei sottospazi, W 1 , W2 e
U1 , U2 , siano scelti tra i vettori u1 , u2 , u3 , u4 e u5 .
Alcuni studenti, tra cui Ema, sembrano trattare questi ‘casi particolari’ senza essere
consapevoli della loro portata limitata, senza cioè sembrare consapevoli del fatto che
si tratta di ‘casi particolari’ appunto, e da questi traggono risultati che considerano
di portata generale.
21. Ema: [. . . ] per avere sottospazi di dimensione 3, dovrei avere, allora. . . tre. . . una base
composta da tre vettori linearmente indipendenti, ora io li posso scegliere solo tra questi
8.1 Modelli intuitivi
171
cinque. . . quindi dovrei scegliere tre vettori per una base di W 1 e tre vettori per una base
di W2 [. . . ]
..
.
27. Ema: [. . . ] sarebbe cosı̀ ui , uj e uz , con i, j e z che variano da 1 a 5 ma che sono
diversi
W1 =< ui , uj , uz >
W2 =< up , uq , ut >
i, j, z = 1, . . . , 5 i 6= j 6= z
p, q, t = 1, . . . , 5
(paragrafo 7.4.2)
Altri, ad esempio Aur, appaiono consapevoli delle limitazioni proprie degli approcci
adottati, e tuttavia alla consapevolezza della portata solo specifica dei casi trattati
non sempre corrisponde una analisi approfondita delle limitazioni medesime ed un
ridiscussione delle conclusioni inferite.
78. Aur: U1 + U2 è lo spazio generato da w1 , w2 , v1 e v2 e ha una dimensione minore o
uguale a quattro
U1 + U2 = Span < w1 , w2 , v1 , v2 >
79. Aur: no, stavo pensando, invece di prendere dei vettori qualsiasi come basi di U 1 e
U2 . . . poiché mi basta che siano due vettori linearmente indipendenti, di prendere quelli
che ho già, cioè u1 , u2 e. . . u5 ; se io faccio cosı̀, se prendo come U1 lo spazio generato da
u1 e u2 , e come U2 lo spazio generato da u3 e u4
U1 = Span < u1 , u2 >
U2 = Span < u3 , u4 >
..
.
86. Aur: qualsiasi altra base che io scelga, cioè anche se non scelgo questi cinque vettori
come base, ma come avevo fatto prima ne scelgo dei vettori a caso, basta che siano
indipendenti a due a due, comunque trovo che. . . u si scrive come combinazione lineare
di cinque vettori linearmente indipedenti. . . e quindi, cioè non riesco con quattro vettori
linearmente indipendenti a scrivere, a scrivere u
(paragrafi 7.2.2 e 7.4.1)
172
Analisi dei risultati
I ‘casi particolari’, su cui i soggetti intervistati hanno concentrato la loro attenzione,
sembrano aver funzionato come esempi generici, o meglio ‘esemplari’, di generatori
e di sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale dato, V .
Tutto ciò sembra rivelare l’influenza sul processo di risoluzione di un ‘modello paradigmatico’ dei concetti di spazio e sottospazio vettoriale. Ricordiamo che Fischbein
parla di modello paradigmatico quando ‘t[T]he meaning subjectively attributed to it
[a formally defined concept], its potential associations, implications and various usages are tacitly inspired and manipulated by some particular exemplar, accepted as
a representative for the whole class’ (1987, p. 143). Un ‘esemplare’ soggettivamente
accettato come rappresentativo di una intera classe di oggetti e fenomeni prende il
nome di ‘modello paradigmatico’, o più brevemente ‘paradigma’.
Più precisamente formuliamo l’ipotesi che le n-uple, R n , la sua base canonica ed i
suoi sottospazi coordinati – ovvero i sottospazi di R n generati da sistemi di vettori
del tipo {ej1 , . . . , ejk }, dove indichiamo con e1 , . . . , en i vettori della base canonica
di Rn – funzionino come modelli paradigmatici dei concetti di vettore, base, sistema
di generatori, spazio vettoriale e sottospazio.
Prima di verificare la consistenza di questa ipotesi con i dati raccolti, la confrontiamo, nel prossimo paragrafo (8.1.2), con le indicazioni tratte dall’analisi dei manuali
e studiamo, nel paragrafo 8.1.3, più in dettaglio la struttura del modello ipotizzato.
8.1.2
Spazi vettoriali Rn nei manuali analizzati
L’analisi dei manuali ha evidenziato che R n è l’esempio di spazio vettoriale più utilizzato, su cui sono esemplificate tutte le nozioni introdotte, e che molte delle tâches
proposte sono formulate in ambito R n . In particolare abbiamo visto come il testo
Elementi di algebra lineare e geometria, di Abeasis, definisca tutte le nozioni chiave
della teoria degli spazi vettoriali relativamente a R n e solo in un secondo tempo le
estenda ad altri spazi vettoriali.
Già questo ci sembra assegnare un ruolo privilegiato nell’insegnamento della teoria
degli spazi vettoriali agli spazi R n . Tale ruolo appare rinforzato dal teorema che
afferma che ogni spazio vettoriale su un campo K di dimensione finita n è isomorfo
a Kn , altrimenti detto Kn è l’unico spazio vettoriale n-dimensionale su K a meno di
isomorfismi. Questo risultato teorico, importantissimo, è solitamente citato in tutti
8.1 Modelli intuitivi
173
gli insegnamenti di Algebra Lineare e riportato nei tre manuali da noi analizzati.
Alla luce di esso appare in un certo senso ‘teoricamente ben fondato’ il ruolo di
paradigma per gli spazi vettoriali reali finito-dimensionali ricoperto da R n . Come
riportato in 2.1.3, Hillel (2000) vede in questo teorema un paradosso che mina la
stessa ragion d’essere della teoria degli spazi vettoriali, rendendo apparentemente
‘inutile’ la teoria generale, nonché una fonte di difficoltà per gli studenti dei corsi di
algebra lineare.
Oltre a ciò, altri spazi vettoriali abitualmente citati nei libri di testo sono caratterizzati dall’avere ‘basi canoniche’: spazi matriciali M m,n (R) e spazi di polinomi
Rn [x]. Ciò rende possibile definire in ‘modo naturale’ un isomofismo tra questi e
Rn , il cui ruolo di paradigma del concetto di spazio vettoriale risulta di conseguenza
consolidato.
Coerentemente, quello di n-upla appare l’esempio dominante di vettore nell’insegnamento dell’algebra lineare. A tal proposito rileviamo l’ambiguità che sorge dal
fatto che una n-upla può essere interpretata come elemento di R n o come vettore
delle coordinate di un vettore rispetto ad una base, e quindi può potenzialmente
rappresentare qualsiasi vettore a seconda della base scelta.
Infine sottolineiamo che a differenza di quanto accade per altre nozioni della teoria
degli spazi vettoriali, gli studenti sono solitamente introdotti alla nozione di vettore
a partire dalla scuola secondaria: vettori come n-uple (o solo come coppie o terne) di
numeri reali, come segmenti orientati, vettori come rappresentanti (alcune) grandezze fisiche. Molto prima quindi dell’introduzione formale degli spazi vettoriali e della
susseguente definizione di vettore come elemento di uno spazio vettoriale, ha inizio
la costruzione da parte dei soggetti del significato di vettore e con essa la costruzione
di modelli intuitivi di vettore.
La sistematizzazione della teoria degli spazi vettoriali ed il suo insegnamento – per
quanto si può inferire dall’analisi dei testi – sembrano caratterizzati da una elevata
algebrizzazione. Di conseguenza, tra i possibili modelli della nozione di vettore sopra
citati, quello di vettore come n-upla (o coppia o terna) di numeri reali ci sembra
possa più facilmente mantenere una piena e condivisa accettabilità all’interno della
teoria medesima.
Fino ad ora non abbiamo descritto il modello tacito ipotizzato ma piuttosto abbiamo
mostrato il ruolo ‘privilegiato’ che gli spazi R n (o Kn ) rivestono nella teoria degli
spazi vettoriali e nella presentazione che ne viene fatta nei manuali. Nel prossimo
174
Analisi dei risultati
paragrafo, descriviamo più in dettaglio il modello cercando di metterne in risalto la
struttura sistemica.
8.1.3
Struttura del modello tacito ipotizzato
A conclusione del paragrafo 8.1.1, abbiamo formulato l’ipotesi che le n-uple, R n ,
la sua base canonica ed i suoi sottospazi coordinati funzionino come modelli paradigmatici dei concetti di vettore, base, sistema di generatori, spazio vettoriale e
sottospazio.
Ricordiamo a tal proposito che secondo Fischbein, un modello non è una regola
isolata, ma una ‘entità strutturale’ (1992, p. 33). In questo paragrafo, precisiamo
alcuni elementi del modello ipotizzato e ne approfondiamo la struttura sistemica.
Per farlo studiamo come le nozioni di vettore, base, sottospazi, ecc. si presentano e
si articolano in questo modello. La coerenza tra R n come paradigma del concetto
di spazio vettoriale e n-upla come paradigma di vettore ci sembra non necessiti di
ulteriori argomentazioni.
Per quanto riguarda la nozione di base, una caratteristica degli spazi R n è l’esistenza
di una base ‘canonica’. Notiamo subito che avere a disposizione una base privilegiata, vuol dire avere a disposizione anche un sistema privilegiato di generatori. Inoltre
avere una base privilegiata significa avere una scelta privilegiata per le basi dei sottospazi di Rn . In questo senso i sottospazi coordinati sono sottospazi privilegiati di
Rn e possono funzionare come paradigmi del concetto di sottospazio vettoriale.
Inoltre è evidente che, dato uno spazio vettoriale R n , tra i suoi sottospazi vettoriali
si impongono all’attenzione in modo diretto ed immediato i sottospazi coordinati.
D’altra parte, consideriamo uno spazio vettoriale V di dimensione n ed un suo sottospazio W di dimensione k: coerentemente con l’ipotesi sostenuta sopra, V e W
verrebbero tacitamente concepiti come R n , il primo, e Rk , il secondo – in quanto
esso stesso è uno spazio vettoriale di dimensione k. Ora, un modello significativo
ed efficace della situazione deve render conto del fatto che W è sottospazio di V : la
stessa relazione dovrebbe cioè sussistere tra i paradigmi R k e Rn . Un’immersione
naturale di Rk in Rn si ottiene proprio definendo come immagini dei vettori della
base canonica del primo, vettori della base canonica del secondo, le immagini delle
immersioni cosı̀ definite sono tutti e soli i sottospazi coordinati di R n di dimensione
k.
8.1 Modelli intuitivi
175
Veniamo ora alle combinazioni lineari, un vettore v definito da una combinazione
lineare di n vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V può essere
rappresentato in modo immediato come una n-upla (il vettore delle sue coordinate
rispetto a quella famiglia di vettori linearmente indipendenti): lo spazio vettoriale
‘naturale’ cui essa appartiene è R n . Può appartenere ad uno spazio Rm con m ≥ n,
se si vede Rn come sottospazio di Rm ; oppure ad uno spazio Rk con k < n, se n − k
componenti della n-upla sono nulli, cioè se il vettore v è ‘in realtà’ combinazione
lineare di k vettori linearmente indipendenti.
Il punto ci sembra essere che la rappresentazione di una combinazione lineare di n
vettori linearmente indipendenti come n-upla, pur legittima, non incorpora l’informazione essenziale di quale sia il sistema di vettori linearmente indipendenti rispetto
a cui tale rappresentazione è fatta. Emerge la già accennata (8.1.2) ambiguità tra
n-upla come vettore e n-upla come coordinate di un vettore rispetto ad una data
famiglia di vettori linearmente indipendenti.
Abbiamo ora delineato elementi a sufficienza per affrontare l’analisi dei protocolli.
Sottolineiamo che quanto detto nel paragrafo precedente non pretende di descrivere i processi mentali che soggiacciono o soggiaccerebbero all’adozione del modello
descritto, piuttosto ha inteso mostrare la coerenza interna dell’ipotesi formulata.
8.1.4
Interpretazione delle difficoltà
In questo paragrafo mostriamo come le difficoltà degli allievi siano coerenti con la
tacita attivazione del modello paradigmatico descritto.
Riprendiamo i due estratti, relativi alla tâche generatori , con cui abbiamo aperto il
paragrafo 8.1.1. Secondo la nostra ipotesi il paradigma descritto induce i soggetti,
nella fattispecie Ema e Aur, a considerare come ‘esemplari’ i sottospazi vettoriali di
V generati da vettori della ‘base canonica’ dello spazio V stesso. Evidentemente V
non ha veramente una base canonica, tuttavia possono essere concepiti in tali termini
i vettori dati u1 , . . . , u5 . Coerentemente i sottospazi di V generati da un sottoinsieme
di {u1 , . . . u5 } risultano ‘privilegiati’ se non addirittura gli unici disponibili.
27. Ema: [. . . ] sarebbe cosı̀ ui , uj e uz , con i, j e z che variano da 1 a 5 ma che sono
diversi
W1 =< ui , uj , uz >
W2 =< up , uq , ut >
i, j, z = 1, . . . , 5 i 6= j 6= z
p, q, t = 1, . . . , 5
176
Analisi dei risultati
(paragrafo 7.4.2)
Anche Aur come Ema affronta il problema esplorando effettivamente soltanto il
caso in cui i generatori degli spazi cercati (in questo caso U 1 , U2 ) siano scelti tra
u1 , . . . u5 . La differenza è che Aur sembra consapevole che il suo studio ha portata
limitata (si riferisce alla possibilità di scegliere altre basi) eppure non conduce studi
più approfonditi. Sembra che il modello tacito agisca in questo caso da un lato
‘limitando’ la ricerca di possibile sottospazi vettoriali, dall’altro imponendo come
intuitivamente ovvio il fatto che non sia possibile ‘scrivere u con quattro vettori
linearmente indipendenti’.
86. Aur: qualsiasi altra base che io scelga, cioè anche se non scelgo questi cinque vettori
come base, ma come avevo fatto prima ne scelgo dei vettori a caso, basta che siano
indipendenti a due a due, comunque trovo che. . . u si scrive come combinazione lineare
di cinque vettori linearmente indipedenti. . . e quindi, cioè non riesco con quattro vettori
linearmente indipendenti a scrivere, a scrivere u
(paragrafo 7.2.2)
Questo stesso fatto si impone intuitivamente anche ad Nic:
83. Nic: e qui ho già più seri dubbi che sia possibile. . . perché. . . perché per scrivere u ho
bisogno di cinque vettori linearmente indipendenti, per scriverlo come somma di due sottospazi di dimensione 2 al più ne posso usare quattro, perché siccome sono linearmente
indipendenti [. . . ]
(paragrafo 7.2.1)
L’accettazione senza (una vera) discussione di questo risultato può essere interpretato in termini del modello tacito ipotizzato: infatti, se una combinazione lineare
di cinque vettori linearmente indipendenti è pensata come quintupla ed una combinazione lineare di quattro vettori linearmente indipendenti come quadrupla, non
stupisce che sia impossibile trasformare la prima nella seconda (a meno che una delle
cinque coordinate sia nulla). Questo contribuisce a spiegare le difficoltà dei soggetti
relativamente alla tâche combinazione lineare , a cui i due estratti, di Nic e di Aur,
si riferiscono.
Appaiono coerenti con il modello tacito descritto anche le difficoltà degli allievi
emerse dalla tâche dimensione . Consideriamo ad esempio Enr (7.3.1):
8.1 Modelli intuitivi
20. Enr: [. . . ] dunque vediamo un po’... il vettore u... contiene questi 5 elementi
e −π
 √
2
 1
 −
 3

 1

 3

−π
177
√
2, − 31 , 1, 3









[. . . ]
24. Enr: però u è formato da cinque coordinate e quindi da cinque vettori linearmente
indipendenti, perciò stando nella somma dovrebbe essere combinazione lineare di tutti
questi cinque quindi vuol dire che la base, cioè la dimensione deve essere almeno 5; invece
la somma non può avere dimensione maggiore di 4, perché ce l’ha proprio solo se i due
sottospazi hanno intersezione nulla e quindi questo mi porta a dire che invece questi due
sottospazi non esistono
e Sab (7.4.2 e 7.3.2):
13. Sab: [. . . ] per avere che u è nella loro somma io devo avere per lo meno che nella somma
posso trovare sia u1 che u2 che u3 che u4 che u5 [. . . ]
..
.
48. Sab: al massimo dimensione qua. . . quattro, [. . . ] e appunto, u non può essere a questo
punto proprio. . . non può essere contenuto in un sottospazio proprio né di dimensione 2,
1, 3, 4, deve almeno appartenere al sottospazio di dimensione 5 [. . . ]
Infatti se una combinazione lineare di k vettori linearmente indipendenti è percepita
come k-upla (si veda Enr, item 20), uno spazio che la contiene deve essere necessariamente Rk , o più correttamente Rm con m ≥ k. Quindi uno spazio vettoriale che
contiene una combinazione lineare di k vettori linearmente indipendenti dovrebbe
avere dimensione maggiore o uguale a k. D’altra parte se la combinazione lineare,
come in questo caso, è combinazione lineare dei vettori (percepiti come vettori) della
‘base canonica’, questi devono essere tra i generatori dello spazio in questione (Sab,
item 13).
178
8.1.5
Analisi dei risultati
Conclusioni
In risposta alle domande di ricerca formulate nel paragrafo 3.4, abbiamo descritto,
nei paragrafi precedenti, un modello intuitivo che sembra rendere conto in modo
efficace di molte delle difficoltà evidenziate nel precedente capitolo. Tale modello
coinvolge in modo sistemico i diversi modelli di spazio vettoriale, sottospazio, vettore, combinazione lineare e dimensione, che quindi non costituiscono affatto regole
isolate per la soluzione di problemi isolati, ma al contrario risultano organizzati in
un’unica coerente struttura.
Inoltre, anche se non è sufficiente per affermare un’origine didattica del modello
ipotizzato, esso appare coerente con i risultati ottenuti dall’analisi dei manuali, e
quindi, coerentemente con le nostre ipotesi, con l’organizzazione teorica presentata agli allievi durante il corso di algebra lineare. Ribadiamo la nostra intenzione
di non negare che gli studenti possano aver costruito modelli intuitivi diversi da
quello descritto nei paragrafi precedenti, in particolare modelli intuitivi ‘geometrici’,
molto più semplicemente, i protocolli raccolti non forniscono elementi tali da poter
sostenere che modelli diversi da quello descritto siano stati attivati nella soluzione
del problema proposto né, tantomeno, tali da consentire una descrizione di questi
eventuali altri modelli.
Non sarà sfuggito che non abbiamo discusso in termini di modelli intuitivi le difficoltà riscontrate dai soggetti intervistati relativamente alla tâche dipendenza lineare ,
per la cui soluzione in effetti il modello descritto non prospetta particolari ostacoli.
Questo non esclude che tali difficoltà siano sintomi delle limitazioni imposte dall’attivazione di modelli taciti non adeguati (possibilmente diversi da quello descritto);
però, a tal proposito, i dati a nostra disposizione non consentono di formulare ipotesi
precise.
Concludiamo osservando che il modello descritto non sembra essere sempre attivato
dagli studenti. Ne forniscono un esempio i protocolli di Nic e Aur. Le loro difficoltà
nel risolvere il secondo quesito del problema esistenza sottospazi sono interpretate come effetto dei limiti posti dal modello tacito ipotizzato. Eppure entrambi
hanno risolto il primo quesito del medesimo problema prendendo gli spazi W 1 , W2
generati rispettivamente da {u, u1 , u2 } e {u, u3 , u4 }, scelta che sembra in parziale
contraddizione con i limiti imposti dal modello: i due sottospazi considerati non
sono sottospazi coordinati, i vettori u 1 , . . . u5 non sembrano concepiti come elementi
8.2 Concezioni
179
della ‘base canonica’, il vettore u non sembra concepito come quintupla.
8.2
Concezioni
Nel paragrafo 3.2, abbiamo presentato la definizione formale di ‘concezione’ che il
modello ck/c propone nel tentativo di modellizzare le conoscenze del soggetto in modo da render conto sia della loro efficacia locale sia della loro possibile mancanza
di coerenza globale. Balacheff (1995) propone di caratterizzare una concezione come una quadrupla costituita da un insieme di problemi, P , la sfera di pratica della
concezione, un insieme di operatori R, cioè di azioni (non necessariamente fisiche)
compiute per risolvere il problema, un sistema di rappresentazioni, L, che permetta
di esprimere problemi e operatori, ed una struttura di controllo, Σ, che valuta la
rilevanza degli operatori, decide se un problema è o meno risolto, ed in generale
garantisce la coerenza della concezione medesima.
Come abbiamo detto la soluzione di un problema può essere descritta in termini di
concezioni, come successione di operatori, eventualmente di concezioni diverse, che
trasformano il problema originale fino ad ottenere un problema appartenente alla
sfera di pratica di una concezione; si presenta quindi la possibilità di descrivere e
interpretare alcune difficoltà dei soggetti in termini di concezioni.
In questo paragrafo cercheremo di investigare questa possibilità relativamente alle
difficoltà evidenziate nel capitolo precedente.
Precisiamo che non pretendiamo di caratterizzare le concezioni mobilitate dai soggetti intervistati nella soluzione dei problemi proposti; ci proponiamo, piuttosto, di
individuare nei protocolli raccolti alcuni passaggi specifici e circoscritti che evidenzino difficoltà incontrate dagli allievi, e cercare di stabilire se e in che misura tali
‘passaggi’ siano interpretabili come istanziazioni di conoscenze efficaci per risolvere
certe classi di problemi, ed eventualmente quali. In altri termini, cercheremo di
individuare tra le ‘azioni’ dei soggetti intervistati alcuni operatori e controlli e relative sfere di pratica che appartengano a concezioni eventualmente mobilitate nella
soluzione dei problemi proposti, senza però spingerci a caratterizzare tali concezioni
– nemmeno a dare loro un nome.
Prima di procedere all’analisi, definiamo in modo più preciso la metodologia che
seguiremo. All’interno del modello ck/c la ‘soluzione di un problema’ viene definita
180
Analisi dei risultati
come una successione di operatori relativi a diverse concezioni (Balacheff 1995, 2000,
e ripresa nel paragrafo 3.2.2). Coerentemente con questa definizione, cercheremo di
individuare alcuni operatori a partire da quanto gli allievi hanno detto, scritto e
fatto per risolvere il problema loro proposto.
I controlli saranno desunti ricercando tra i risultati della teoria degli spazi vettoriali
quelli ‘coerenti’ con gli operatori mobilitati dagli allievi ed esprimendoli nel sistema
di rappresentazione più vicino a quello usato per esprimere gli operatori. Alla base
di questa scelta stanno da un lato l’ipotesi che alla costruzione di controlli e operatori contribuisca fortemente lo studio dei manuali 1 , dall’altro l’ipotesi che controlli
ed operatori, in quanto conoscenza, abbiano potenzialità coerenti con la teoria.
Organizziamo questa sezione in modo da evidenziare quali candidati operatori o
controlli siano mobilitati per risolvere le tâches dipendenza lineare , combinazione
lineare , dimensione e generatori .
8.2.1
Tâche combinazione lineare
Nella sua risposta al secondo quesito del problema esistenza sottospazi, già
riportata nel paragrafo 7.2.1, Nic afferma:
83. Nic: e qui ho già più seri dubbi che sia possibile. . . perché. . . perché per scrivere u ho
bisogno di cinque vettori linearmente indipendenti, per scriverlo come somma di due sottospazi di dimensione 2 al più ne posso usare quattro, perché siccome sono linearmente
indipendenti. . . però potrei usarne altri. . .
Isolando gli argomenti presenti in questo item troviamo 2 :
1 : ‘per scrivere u ho bisogno di cinque vettori linearmente indipendenrN
ic
ti’;
2 : ‘per scriverlo come [elemento della] somma di due sottospazi di
rN
ic
dimensione 2 al più ne posso usare quattro’.
1
2
O, comunque, l’insegnamento dell’algebra lineare che riteniamo coerente con i manuali
Per denotare possibili operatori usiamo la lettera r indicizzata con il nickname associato al
soggetto cui si riferisce il protocollo, l’apice segue l’ordine cronologico in cui i candidati operatori
sono stati espressamente mobilitati. Per denotare i possibili controlli usiamo la lettera σ , anch’essa
indicizzata con il nickname associato al soggetto, per quanto riguarda gli apici: il numero individua
a quale operatore si riferirebbe il controllo, la lettera non ha altra funzione che distinguere tra loro
controlli riferiti ad uno stesso operatore. Nei casi in cui non ci sia pericolo di ambiguità, uno o
entrambi gli apici possono essere omessi.
8.2 Concezioni
181
2
rN
ic è perfettamente coerente con vari risultati (non eplicitati dal soggetto) della
teoria degli spazi vettoriali che possono funzionare come controlli ad esso relativi:
2,a
σN
ic : La dimensione della somma di due spazi vettoriali 2-dimensionali è
minore o uguale a 4.
2,b
σN
ic : Un sottospazio W di un dato spazio vettoriale V è esso stesso uno
spazio vettoriale (con le operazioni indotte da V ).
2,c
σN
ic : La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori delle
sue basi.
2,d
σN
ic : Fissata una base di uno spazio vettoriale, i suoi elementi si scrivono
come combinazione lineare dei vettori della base.
2,e
σN
ic : La dimensione di uno spazio vettoriale è il massimo numero di
vettori linearmente indipendenti
2,a
2,b
2,c
2,d
2,e
In effetti coerentemente con σN
ic , σN ic , σN ic , σN ic e σN ic si può concludere che gli
elementi di uno spazio vettoriale di dimensione 4, come è nella fattispecie U 1 + U2 ,
si possono scrivere come combinazione lineare degli elementi di una base, formata
appunto da quattro vettori, e che, d’altra parte, non essendovi sistemi di cinque
vettori linearmente indipendenti non vi sono combinazioni lineari di cinque vettori
linearmente indipendenti.
2
Pur coerente con risultati della teoria degli spazi vettoriali, r N
ic è inadeguato per la
soluzione del problema. L’inadeguatezza ci sembra derivi dal fatto che la mobilita2,b
2,c
2,d
2,e
zione di σN
ic , con la conseguente attivazione di σ N ic , σN ic e σN ic , induce a trattare
uno sottospazio vettoriale alla stregua di uno spazio vettoriale trascurandone alcune
specificità: nel nostro caso una possibile conseguenza è che venga trascurata l’esistenza di uno ‘spazio vettoriale ambiente’ in cui possono esistere sistemi di cinque
(eventualmente sei, sette...) vettori linearmente indipendenti e quindi vettori che
siano combinazioni lineari di essi. In altre parole è senz’altro vero che a U 1 + U2
non appartengono combinazioni lineari di cinque vettori linearmente indipendenti
in U1 + U2 , però le cose cambiano se quei cinque vettori non appartengono a U 1 + U2
ma allo ‘spazio vettoriale ambiente’ V . Inadeguato rispetto al problema in esame,
2
rN
ic è cionondimeno adeguato se limitato ai soli spazi vettoriali o alle combinazioni
lineari di soli elementi del sottospazio considerato.
Trattandosi di elementi desunti dalla teoria degli spazi vettoriali, quale sia la loro
182
Analisi dei risultati
rilevanza e la loro sfera di pratica dovrebbe essere un punto fuori discussione, tutta2,b
via ci piace sottolineare la rilevanza nell’ambito della teoria matematica di σ N
ic , che
riveste particolare importanza nella nostra interpretazione delle difficoltà di Nic, che
consente di ‘trasferire’ ai sottospazi vettoriali ‘tutte le nozioni e le proprietà’ degli
spazi vettoriali, quali, ad esempio, le nozioni di base, dimensione e generatori, e
che, ancor più, conferisce rilevanza e significatività alla nozione stessa di sottospazio
vettoriale.
Ribadiamo che non intendiamo affermare che i controlli ipotizzati siano effettivamente controlli della(e) concezione(i) mobilitata(e) mobilitate per la soluzione del
2
problema ma piuttosto che fornirebbero una struttura di controllo coerente con r N
ic
e con elementi della teoria degli spazi vettoriali.
1 .
Discutiamo ora rN
ic
1 : ‘per scrivere u ho bisogno di cinque vettori linearmente indipendenrN
ic
ti’.
1 , ci sembrano essere:
Coerenti con rN
ic
1,a
σN
ic : Se v1 , . . . , vk sono vettori linearmente indipendenti di uno spazio
vettoriale V su un campo K, e α1 , . . . , αk , β1 , . . . , βk sono scalari
tali che α1 v1 + · · · + αk vk = β1 v1 + · · · + βk vk allora αj = βj per
ogni j = 1, . . . , k.
1,b
σN
ic : Data una base di uno spazio vettoriale V , ogni vettore di V si scrive
in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base.
1,a
1,b
σN
ic e σN ic esprimono risultati tra loro molto vicini, il primo è forse più aderente
1
a rN
ic non menzionando basi ma solo sistemi di vettori linearmente indipendenti, il
1
secondo d’altra parte condivide con r N
ic lo stesso sistema di rappresentazione.
1,a
1,b
Osserviamo che in virtù di σN
ic e σN ic una combinazione lineare α 1 v1 + · · · + αn vn
di n vettori linearmente indipendenti v 1 , . . . vn non può essere scritta come combinazione lineare di un sottoinsieme proprio di quegli stessi vettori a meno che alcuni
degli scalari α1 , . . . , αn non siano nulli. Può invece essere scritta come combinazione
lineare di una famiglia di vettori linearmente indipendenti che contenga altri vettori
1,a
1,b
oltre v1 , . . . vn . In altri termini σN
ic e σN ic è coerente con il fatto che il numero
8.2 Concezioni
183
di vettori linearmente indipendenti che compaiono in una combinazione lineare può
nel senso appena precisato essere immediatamente aumentato a piacere (dimensione
dello spazio vettoriale permettendo) ma non diminuito.
Inoltre è interessante notare che il sistema di rappresentazione L è quasi interamente
limitato al linguaggio naturale: sembrano assenti, o comunque relegati in secondo
piano, operatori e controlli relativi al trattamento del problema nel registro smbolico
tipico dell’algebra.
1
2
Osserviamo che Aur mobilita operatori ‘analoghi’ a r N
ic e rN ic , rispettivamente
2
1 (item 74. paragrafo 7.2.2).
rAur
(item 86. paragrafo 7.2.2) e rAur
2 : ‘[. . . ] u si scrive come combinazione lineare di cinque vettori linearrAur
mente indipendenti. . . e quindi, cioè non riesco con quattro vettori
linearmente indipendenti a scrivere, a scrivere u’;
1 : ‘se [u] è un elemento che si scrive come somma di, di un elemento
rAur
di U1 e di un elemento di U2 , cosı̀ ad idea, al massimo può essere
combinazione lineare di quattro vettori linearmente indipendenti’.
2,
Relativamente a questo ultimo, accanto ai possibili controlli σ N
ic sopra evidenziati,
ci sembra opportuno aggiungere:
1,a
σAur
: Gli elementi di U1 + U2 si scrivono come somma di un elemento di
U1 e uno di U2 .
1,b
σAur
: La somma di due combinazioni lineari di due vettori ciascuna è
combinazione lineare di quattro vettori.
1,c
σAur
: La somma di due combinazioni lineari di due vettori linearmente
indipendenti è combinazione lineare di al massimo quattro vettori
linearmente indipendenti.
1,a
1,b
σAur
evoca direttamente una definizione di teoria degli spazi vettoriali. σ Aur
è cor-
retto se intenso nel senso che ‘se v e w sono combinazione lineare rispettivamente
di v1 , v2 e w1 , w2 allora v + w è una combinazione lineare di v 1 , v2 , w1 , w2 ’. Ana1,c
logamente σAur
appare ‘corretto’ solo se si intende nel senso che ‘la somma di due
combinazioni lineari di due vettori linearmente indipendenti ciascuna, diciamo v 1 , v2
e w1 , w2 , è combinazione lineare dei vettori v 1 , v2 , w1 , w2 ’ che potrebbero non essere
184
Analisi dei risultati
linearmente indipendenti.
1,b
1,c
Precisiamo che abbiamo scelto di esprimere σ Aur
e σAur
in linguaggio naturale piut-
tosto che, anche solo parzialmente, algebrico per coerenza con il sistema di rappre1 . D’altra parte il sistema di rappresensentazione usato da Aur per esprimere r Aur
tazione è un elemento costitutivo di una concezione secondo il modello ck/c . Quanto
scritto sopra mostra come il linguaggio algebrico consenta di esprimere in modo
meno ambiguo quei controlli, precisandone chiaramente i limiti, e suggerisce quindi che alcune delle difficoltà documentate sarebbero forse state meglio affrontate se
l’uso di tale linguaggio non fosse mancato o, comunque, non fosse stato cosı̀ limitato.
Concludiamo il paragrafo riportando alcuni operatori che emergono dal protocollo
di Lau 7.2.4 (items 286 e 295) e che ci sembrano coerenti con quelli finora trattati.
1 : ‘u però è combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipenrLau
denti, come faccio a trovare il quinto se ne ho quattro, al massimo,
di linearmente indipendenti?’
2 : ‘u è combinazione lineare di 5 vettori linearmente indipendenti. . . sı̀,
rLau
no no, va bene, cinque vettori linearmente indipendenti che non ce
li trovo nella somma perché la somma è fatta di quattro, al più
quattro, vettori indipendenti’.
Osserviamo che questi due operatori sembrano più ‘non-operatori’, in quanto piuttosto che evocare un’azione evocano l’impossibilità di un’azione. Ci sembra che anche
in presenza di difficoltà, in particolare ostacoli o blocchi sia possibile un’interpretazione in termini di operatori anche se la loro formulazione degli operatori appare
particolare. In quanto desunti coerentemente alla teoria, saranno i controlli ad assumere una formulazione pi standard.
La lettura completa del brano riportato nel paragrafo 7.2.4 evidenzia altri operatori
e la conseguente necessità di arrichire la struttura di controllo soggiacente; si tratta
tuttavia di operatori e controlli che richiamano direttamente definizioni e teoremi,
quali la formula di Grassmann, la cui menzione non ci sembra aggiungerebbe nuovi
elementi rilevanti per l’analisi delle difficoltà condotta sopra.
8.2 Concezioni
8.2.2
185
Tâche generatori
Nel paragrafo 7.4 abbiamo messo in evidenza che alcuni soggetti non hanno affrontato il problema proposto loro in piena generalità ma piuttosto in alcuni casi specifici,
precisamente i casi in cui i sottospazi cercati fossero generati da sottoinsiemi dell’insieme {u1 , . . . , u5 }. Limitare lo studio di un problema ad un caso particolare
può essere, a seconda dei problemi, una scelta adeguata purché chi la compie risulti
consapevole della portata limitata dello studio condotto sotto queste nuove condizioni. Come abbiamo già sottolineato, tale consapevolezza non sempre appare dai
protocolli raccolti.
Ne è un esempio Ema (7.4.3, item 21) che considera soltanto i sottospazi (3-dimensionali)
di V generati da terne di {u1 , . . . , u5 }.
1
rEma
: ‘per avere sottospazi di dimensione 3, dovrei avere, allora. . . tre. . . una
base composta da tre vettori linearmente indipendenti, ora io li
posso scegliere solo tra questi cinque [u 1 , u2 , u3 , u4 , u5 ]’.
Osserviamo che Ema non meziona il fatto che i due sottospazi devono contenere
u, né lo farà nei minuti successivi. Non abbiamo quindi elementi per stabilire se il
fatto che i due sottospazi devono contenere u sia implicitamente presente a Ema o
1
no. Svilupperemo la nostra discussione attenendoci a r Ema
cosı̀ come scritto, che
corrisponde a come verbalmente formulato da Ema durante l’intervista . Prima di
concludere, prenderemo brevemente in esame la possibilità che Ema abbia implicitamente presente che u deve appartenere ai due sottospazi. In questo caso l’operatore
mobilitato sarebbe più fedelmente espresso come segue:
0
rEma
: ‘per avere sottospazi di dimensione 3 che contengono u, dovrei ave-
re, allora. . . tre. . . una base composta da tre vettori linearmente indipendenti, ora io li posso scegliere solo tra questi cinque [u 1 , u2 , u3 , u4 , u5 ]’.
Considerare soltanto spazi vettoriali generati da sottoinsiemi di un dato insieme di
vettori linearmente indipendenti, ci sembra coerente con:
1,a
σEma
: Un sottospazio W di un dato spazio vettoriale V è esso stesso uno
spazio vettoriale (con le operazioni indotte da V ).
1,b
σEma
: La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori delle
sue basi.
186
Analisi dei risultati
1,c
σEma
: Se {v1 , . . . , vn } è un insieme di vettori linearmente indipendenti, un
suo sottoinsieme di k elementi genera un sottospazio vettoriale di
dimensione k
1,d
σEma
: Sia B una base di uno spazvio vettoriale V , un suo sottoinsieme B 0
di k elementi genera un sottospazio vettoriale di V di dimensione k
1,e
σEma
: Un sistema di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vetto-
riale può essere completato ad una base dello spazio medesimo
1,f
σEma
: Se W è un sottospazio di V e B 0 ne è una base, allora V ammette
una base B ⊇ B 0
1,
Tutti i σEma
corrispondono più o meno direttamente a teoremi.
1,a
1,b
1,c
1
I controlli σEma
, σEma
e σEma
sono sufficienti a garantire la correttezza di r Ema
limitatamente all’asserzione che tre vettori di {u 1 , . . . , u5 } generano sottospazi di
dimensione 3; ma non contribuiscono a spiegare perché la scelta dei vettori sia percepita come unica scelta possibile dagli allievi.
1,e
1,d
1,f
1,c
Si può obiettare che σEma
e σEma
sono conseguenze dirette di σEma
e σEma
rispet-
tivamente, e che quindi potrebbero essere eliminate dall’elenco proposto in quanto
1,d
1,f
inutili pleonasmi. In realtà σEma
e σEma
ci interessano particolarmente perché ci
sembra che veicolino fortemente l’idea (corretta) che dati uno spazio vettoriale V
ed un suo sottospazio è sempre possibile scegliere le loro basi almeno parzialmente
‘in comune’. Riteniamo che questo elemento potrebbe contribuire a conferire un
1
: infatti se u1 , . . . , u5 sono percepiti come (elementi
carattere di adeguatezza a rEma
di) una base di V e se posso sempre scegliere le basi di V e dei suoi sottospazi parzialmente in comune, allora posso scegliere gli elementi delle basi dei sottospazi di
V tra i vettori u1 , . . . , u5 .
1,c
1,d
Concludiamo osservando che σEma
e σEma
fornirebbero operatori adeguati ed effi-
caci per risolvere rapidamente il problema di determinare (alcuni) sottospazi di uno
spazio vettoriale di cui sia nota una famiglia di vettori linearmente indipendenti, e
1,e
1,f
che a σEma
e σEma
corrisponderebbero operatori particolarmente efficaci ad esem-
pio in problemi quali ‘trovare il supplemente di un sottospazio vettoriale’, e nella
dimostrazione della formula di Grassmann.
Nel caso in cui si voglia ammettere che Ema abbia presente tacitamente la condizio0
ne che u appartenga a W1 e a W2 – e quindi si voglia considerare l’operatore r Ema
1,
– una struttura di controllo potrebbe comprendere oltre ai σ Ema
già citati, controlli
8.2 Concezioni
187
relativi all’unicità di rappresentazione di un vettore rispetto ad una data base (un
1,
esempio è fornito da σN
ic in 8.2.1), che potrebbero rinforzare il senso di adeguatezza
1
di rEma
suggerendo che i vettori u1 , . . . u5 medesimi dovrebbero appartenere a W 1 e
W2 . Ema comunque non esplicita questa passaggio e nulla ci autorizza a ipotizzarlo.
Sab, invece, mobilita esplicitamente proprio questo operatore (7.4.2, item 13):
1 : ‘per aver che u è nella loro somma [U +U ] io devo avere perlomeno
rSab
1
2
che nella somma posso trovare sia u1 che u2 che u3 che u4 che u5 ;
perché sono linearmente indipendenti e quindi non li posso ricavare
uno dall’altro’.
1
In rSab
già si trova il riferimento ad un controllo che è anche diretta conseguenza
della definizione di indipendenza lineare.
1,a
σSab
: In un insieme di vettori linearmente indipendenti, nessuno si può
scrivere come combinazione lineare degli altri.
1 , una
Questo da solo non ci sembra possa assicurare rilevanza ed adeguatezza a r Sab
struttura di controllo adeguata potrebbe comprendere:
1,b
: Un sottospazio di V è chiuso per combinazioni lineari.
σSab
1,c
σSab
: Se W è un sottospazio di V e u + v ∈ W e u ∈ W allora v ∈ W .
1,d
σSab
: Una combinazione lineare di vettori di V appartiene al medesimo
spazio vettoriale V .
Per definire una possibile struttura di controllo, il più completa possibile, accanto
a questi andrebbero inseriti alcuni controlli già citati, quali ad esempio l’unicità di
rappresentazione (in brevis), oppure che la somma di due sottospazi di uno spazio
vettoriale V è un sottospazio vettoriale di V . Ci soffermiamo su questi che ci sembrano introdurre alcuni elementi di novità nella discussione.
Innanzitutto, per quanto i tre controlli esprimano la stessa proprietà matematica, i
1,c
significati che abbiamo inteso veicolare sono tra loro diversi. Ad esempio, σ Sab
pur
equivalente alla proprietà di chiusura rispetto alla somma di uno spazio vettoriale,
evoca la ‘disgregazione’ di una combinazione lineare: il fatto che una combinazione
lineare appartenga ad un dato sottospazio consente di trarre informazioni sui vettori che compongono la combinazione lineare medesima. Al di là della sua validità,
188
Analisi dei risultati
1,c
σSab
può essere usato nella dimostrazione di teoremi quali la formula di Grassmann.
1,d
Infine, σSab
che esprime il fatto che una combinazione lineare di vettori v 1 , . . . , vn
appartiene allo stesso spazio a cui appartengono i vettori v 1 , . . . , vn , può veicolare
il significato che una combinazione lineare di vettori v 1 , . . . , vn non può appartenere a niente di più piccolo, di più ‘specifico’ dello spazio cui appartengono i vettori
v1 , . . . , vn . Come conseguenza si avrebbe che i vettori v 1 , . . . , vn ed una loro combinazione lineare appartengono ai medesimi sottospazi.
1,
potrebbero costituire un sistema
Ci sembra in virtù di quanto detto sopra che i σ Sab
1
di controllo per l’operatore rSab
in grado di assicurargli adeguatezza ed efficacia per
la soluzione del problema.
Accenniamo in chiusura di paragrafo che coerente con la struttura di controllo sopra
ipotizzata è anche questo altro operatore che emerge dal protocollo di Sab (7.3.2,
item 48)
2 : ‘[u] non può essere contenuto in un sottospazio proprio, né di dirSab
mensione 2, 1, 3, 4, deve almeno appartenere al sottospazio di
dimensione 5’.
8.2.3
Tâche dipendenza lineare
Nel paragrafo 7.1 abbiamo riportato difficoltà e errori di alcuni soggetti intervistati
nel decidere se l’insieme costituito da una combinazione lineare di dati vettori ed
alcuni di essi sia o meno un sistema di vettori linearmente indipendenti, o nello scegliere vettori che costituissero insieme ad una data combinazione lineare un sistema
di vettori linearmente indipendenti.
rLau : ‘u è combinazione lineare di u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , quindi questo [u] non
è linearmente indipendente da questi altri due [u 1 , u2 ]
rCar : ‘il problema è che u contiene u1 , u2 , u3 , u4 e u5 , se u conteneva solo
u1 , u2 , u3 io qua ci mettevo u4 e u5 ’
rN ic : ‘u dipende da u1 , u2 ’
Finora abbiamo cercato i controlli relativi agli operatori mobilitati dagli allievi tra
i risultati della teoria degli spazi vettoriali, ipotizzando, quindi, tacitamente che
l’oggetto della concezione mobilitata – che non abbiamo mai preteso di caratterizzare
– fosse relativo a questa teoria.
8.2 Concezioni
189
Ci sembra che in questo caso non possiamo mantenere lo stesso assunto. Infatti l’uso
del verbo ‘dipendere’ richiama esplicitamente problemi, operatori e controlli propri
non solo della teoria degli spazi vettoriali, ma anche della teoria delle funzioni.
Esprimiamo, quindi, possibili controlli coerenti con elementi delle due teorie:
σ 1 : I vettori v1 , . . . , vk sono linearmente indipendenti se e solo se nessuno di loro si può scrivere come combinazione lineare degli altri.
σ 2 : I vettori v1 , . . . , vk sono linearmente dipendenti se e solo se uno di
loro si può scrivere come combinazione lineare degli altri.
√
σ a : La relazione algebrica ‘u = 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5 definisce
una funzione di variabili indipendenti u 1 , u2 , u3 , u4 , u5 e variabile
dipendente u.
σ b : I valori che la variabile dipendente assume dipende dai valori che
assume ciascuna delle variabili indipendenti.
Osserviamo che σ 1 e σ 2 non sembrano veramente coerenti con gli operatori citati, a
meno di intendere l’espressione ‘scrivere v come combinazione lineare di v 1 . . . . , vk ’
son il significato di ‘v1 . . . . , vk compaiono nella (o in una) combinazione lineare che
definisce il vettore v’.
Ciò che potrebbe aver fatto attivare controlli ‘esterni’ alla teoria degli spazi vettoriali
è, come detto, la presenza di significanti comuni nei sistemi di rappresentazione per
esprimere problemi di dipendenza funzionale e di dipendenza lineare: da un lato,
√
la relazione algebrica u = 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5 , dall’altro, i significanti
‘dipende’, ‘dipendente’ ecc.
8.2.4
Conclusioni
Osserviamo innanzitutto che non siamo riusciti ad analizzare tutti i brani riportati
nel capitolo 7, questo principalmente perché in alcuni casi gli operatori mobilitati
non sono espressi in modo chiaro, nitido e sono mancati, inoltre, elementi per inferire
in modo ben fondato i controlli relativi agli operatori mobilitati.
Per quanto riguarda le domande di ricerca, riteniamo di aver evidenziato sistemi di
operatori e controlli ad essi relativi che presentano una coerenza interna compatibile
con quella di concezione, nel senso del modello ck/c .
190
Analisi dei risultati
Sottolineiamo che operatori e controlli, messi in luce dalla nostra analisi, permettono di esprimere difficoltà ed errori, emersi dalle interviste, come conoscenza, e in
rapporto al sapere matematico una conoscenza male adattata, coerentemente con il
modello ck/c . Ciononostante non siamo riusciti a caratterizzare in pieno una o più
concezioni alle quali ricondurre gli operatori e i controlli evidenziati. Sembrerebbe
necessario, per rispondere a questa domanda, affinare la metodologia di analisi.
8.3
Dualità processo/oggetto nella concettualizzazione
della nozione di combinazione lineare
Come ricordato nel capitolo 3.3, assunto di base del quadro teorico sviluppato da
Sfard è che i concetti matematici possono essere concepiti in due modi fondamentalmente diversi ma essenzialmente complementari: operativamente, come processi,
e strutturalmente, come oggetti (Sfard, 1991). Come abbiamo già avuto occasione
di sottolineare i termini operativo (‘operational’) e strutturale (‘structural’) si riferiscono alle due facce inseparabili, seppur drammaticamente diverse, di una stessa
medaglia (Sfard, Linchevski, 1994) e per questo Sfard parla di dualità piuttosto che
di dicotomia.
Tra le nozioni elementari di teoria degli spazi vettoriali sulle quali abbiamo focalizzato la nostra attenzione in questo studio, ci sembra che, in particolare, la nozione
di combinazione lineare possa, coerentemente al quadro teorico in questione, essere concepita come oggetto, il vettore risultante dalla combinazione lineare, e come
processo, il processo di ‘combinazione’ - somma e prodotto per scalare - dei vettori
che compaiono nella combinazione lineare.
La dualità processo/oggetto nella concettualizzazione della nozione di combinazione
lineare si riflette anche sulla concettualizzazione delle altre nozioni - indipendenza
lineare, sistema di generatori, base - che coinvolgono direttamente questa.
Vista l’importanza che Sfard attribuisce nella concettualizzazione alle rappresentazioni, sottolineiamo - e lo evidenzieremo anche nel seguito - che una combinazione
lineare può essere designata con significanti propri del linguaggio ‘naturale’ (specie
verbalmente), ad esempio ‘una combinazione lineare dei vettori v 1 . . . vn ’, o del linguaggio algebrico, ad esempio ‘α1 v1 + · · · + αn vn ’. Nel primo caso il processo cui il
significante rimanda è ‘oscuro’, funziona come una scatola nera che dato un certo
8.3 Dualità processo/oggetto nella concettualizzazione della nozione di
combinazione lineare
191
numero di vettori v1 . . . vn come input produce un vettore in output - la combinazione lineare di quei vettori, appunto. Nel secondo caso il processo è invece palese,
il significante incorpora un ‘senso algebrico’ (Arzarello et al. 1994), esplicita cioè
tutte le singole operazioni che compongono il processo medesimo.
In questa sezione, investigheremo come la prospettiva offerta da questo quadro
teorico consenta di interpretare le difficoltà dei soggetti evidenziate nel capitolo
7.
8.3.1
Il processo di ‘combinazione lineare’
Cominciamo con il considerare le risposte dei soggetti alla tâche combinazione lineare
che coinvolge direttamente la nozione di combinazione lineare.
Da quasi tutti i protocolli riportati nel paragrafo 7.2 emerge che la risposta a tale
tâche viene formulata e giustificata nel registro del linguaggio ‘naturale’, piuttosto
che in quello algebrico. È il caso, ad esempio, di Nic (7.2.1):
83. Nic: e qui ho già più seri dubbi che sia possibile. . . perché. . . perché per scrivere u ho
bisogno di cinque vettori linearmente indipendenti, per scriverlo come somma di due sottospazi di dimensione 2 al più ne posso usare quattro, perché siccome sono linearmente
indipendenti [. . . ]
..
.
89. Nic: eh, perché io innanzitutto avevo considerato, u lo scrivo con cinque vettori e mi
servono tutti e cinque insomma, non è che posso farne a meno perché questi vettori sono
linearmente indipendenti [. . . ]
Aur (7.2.2):
74. Aur: dico che cosı̀ ad occhio mi sa di no perché u è combinazione lineare di cinque vettori
linearmente indipendenti. . . e se si scrive come [elemento di U 1 + U2 ] [. . . ] al massimo
può essere combinazione lineare di quattro vettori linearmente indipendenti [. . . ]
..
.
86. Aur: qualsiasi altra base che io scelga, [. . . ] u si scrive come combinazione lineare di
cinque vettori linearmente indipendenti. . . e quindi, cioè non riesco con quattro vettori
linearmente indipendenti a scrivere, a scrivere u
e Lau (7.2.4)
192
Analisi dei risultati
286. Lau: esatto è al massimo 4 e se voglio, come dice qui, un u che appartenga ad U 1 + U2 ,
u però è combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti, come faccio a
trovare il quinto se ne ho quattro, al massimo, di linearmente indipendenti? dico io. E
basta, quindi direi che non esistono.
Come già osservato in precedenza, il linguaggio naturale non fornisce elementi di
trattamento3 per trasformare l’espressione ‘combinazione lineare di cinque vettori
linearmente indipendenti’ nell’espressione ‘combinazione lineare di quattro vettori
linearmente indipendenti’; il primo significante non palesa il processo che origina
il vettore u, processo che non risulta quindi ri-organizzabile come sarebbe invece
necessario per rispondere correttamente alla tâche.
Inoltre l’espressione ‘combinazione lineare’ evoca una classe di processi piuttosto
che un processo specifico, non consente di differenziare processo da processo, combinazione lineare da combinazione lineare. Quando è usata in espressioni del tipo
‘u è combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti, si può scrivere
come combinazione lineare di quattro vettori linearmente indipendenti?’, lo stesso significante, ‘combinazione lineare’, rappresenta processi particolari differenti (o
potenzialmente tali) di una stessa classe, ma trattandosi appunto del medesimo significante i due processi rischiano di risultare ‘indistinguibili’.
L’unico elemento esplicito che distingue i due significanti ‘combinazione lineare di
cinque vettori linearmente indipendenti’ e ‘combinazione lineare di quattro vettori linearmente indipendenti’, risultando un attributo dell’espressione ‘combinazione
lineare’, è l’indicazione del numero di vettori, che quindi finisce per diventare distintivo e caratterizzante del processo di costruzione e, allo stesso tempo, dell’oggetto
costruito. Coerentemente ciò che caratterizza il vettore u sarebbe il numero di vettori (cinque) che compaiono nella combinazione lineare che lo definisce, data nel testo
del problema.
I protocolli riportati mostrano chiaramente come all’interno del sistema di significanti del linguaggio naturale l’attenzione dei soggetti sia diretta sull’unico elemento
di distinzione tra i significanti medesimi, cioè l’indicazione del numero di vettori;
in mancanza di possibilità di distinguere i processi ‘combinazione lineare’ l’unica
distinzione è fatta sul numero di input dei medesimi: non si vede come si possa
passare da cinque a quattro (o ad un altro numero) di vettori.
3
Con il termine ‘trattamento’ intendiamo, seguendo Duval, ‘une transformation de
représentation interne à un registre de représentations ou à un système’ (1995, p. 39)
8.3 Dualità processo/oggetto nella concettualizzazione della nozione di
combinazione lineare
193
Il fatto che gli studenti abbiano fatto massicciamente ricorso al linguaggio naturale,
non deve far pensare che il linguaggio algebrico o l’attività di simbolizzazione siano
assenti. Al contrario, molti soggetti ricorrono al linguaggio algebrico per esprimere
le relazioni tra gli oggetti in gioco, anche se a volte non riescono ad usare in modo
efficace gli strumenti che potenzialmente tale linguaggio offre.
Ad esempio, Sab (7.2.3) e Nic 7.2.1 descrivono il problema, almeno parzialmente,
in termini algebrici corretti, senza riuscire però a sviluppare con successo questo
approccio.
24. Sab: io so che u è un elemento di W1 e u è elemento di W2
u ∈ W1
u ∈ W2
quindi u si scrive come, ora per ora non so ancora la base che voglio mettere, comunque
facciamo che v1 . . . v3 sia una base di W1 e. . . non mi vengono le lettere. . . w1 , . . . , w3
base di W2
W1 =< v1 , v2 , v3 >
W2 =< w1 , w2 , w3 >
allora io lo devo poter scrivere sia come
u = α 1 v1 + α 2 v2 + α 3 v3
u = β 1 w1 + β 2 w2 + β 3 w3
ora però io mi devo ricordare che W1 è contenuto in V ed è contenuto strettamente perché
ha dimensione minore, quindi ho. . .
W1 ⊂ V
e so che u è una combinazione. . . li chiamo c perché non ho voglia di scriverli
u = c 1 u1 + · · · + c 5 u5
104. Nic: allora viene fuori che. . . u è uguale a. . . un vettore che sta. . . generico, quindi α 1 v1 +
α2 v2 +, giusto per cambiare lettera, β1 v3 + β2 v4 . . .
u = α 1 v1 + α 2 v2 + β 1 v3 + β 2 v4
questi sono linearmente indipendenti. . . [. . . ]
194
Analisi dei risultati
Precedentemente, abbiamo attribuito alla mancanza di elementi di trattamento dei
significanti del linguaggio naturale parte delle difficoltà evidenziate, cosa cambia nel
caso del ricorso al linguaggio algebrico che, al contrario, è caratterizzato da potenti
strumenti di manipolazione dei significanti? come si modifica la nostra analisi? Perché l’approccio algebrico, ricco di possibilità di trattamento, non conduce comunque
Sab e Nic alla soluzione del problema?
Relativamente all’approccio seguito da Nic, osserviamo innanzitutto che coerente√
mente al quadro elaborato da Sfard, i significanti ‘ 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5 ’
e ‘α1 v1 + α2 v2 + β1 v3 + β2 v4 ’ continuano ad evocare due processi diversi, o meglio
un processo specifico, evocato dalla prima espressione, non riconducibile immediatamente alla classe di processi evocata dalla seconda espressione. Osserviamo che
la difficoltà di risolvere il problema non sembra emergere dalla necessità di concettualizzare una combinazione lineare alternativamente come oggetto – un vettore – o
come processo, quanto piuttosto dal fatto che il significante evoca un processo ‘privilegiato’ per la costruzione del vettore u, processo con il quale i soggetti intervistati
sono chiamati necessariamente a confrontarsi, viste le strategie scelte.
La prospettiva adottata suggerisce che affinché il processo descritto dal significante
√
‘ 2u1 − 31 u2 + u3 + 3u4 − πu5 ’ possa essere ricondotto ad un processo rappresenta-
bile come ‘α1 v1 + α2 v2 + β1 v3 + β2 v4 ’, è necessario che dal primo venga isolato un
√
sottoprocesso (ad esempio, il sottoprocesso ‘ 2u1 − 13 u2 ’ ), concettualizzato come
oggetto e a quindi considerato insieme agli altri vettori (nel nostro esempio u 3 , u4
e u5 ) come input di un nuovo processo, che porti alla costruzione del vettore u.
Inoltre, operare una simile riconcettualizzazione richiede di rompere la simmetria
tra i ruoli che vettori dati u1 , . . . , u5 rivestono nel processo ‘privilegiato’ evocato da
√
‘ 2u1 − 31 u2 + u3 + 3u4 − πu5 ’ e per contro trattare in modo simmetrico elementi
dati direttamente dal testo del problema (u 3 , u4 e u5 ) ed elementi costruiti durante
√
il processo di soluzione ( 2u1 − 13 u2 ). Duncker riconosce nella necessità di tali ri-
concettualizzazioni una fonte di difficoltà nella soluzione dei problemi e denota sotto
l’espressione ‘fissità funzionale degli elementi del problema’ (Duncker 1969, Capitolo
ottavo pp. 187-204) la resistenza offerta dai soggetti ad operare tali riconcettualizzazioni.
Considerazioni del tutto analoghe valgono per il protocollo di Sab, i significanti
‘c1 u1 + · · · + c5 u5 ’ e ‘α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 ’ (e ‘β1 w1 + β2 w2 + β3 w3 ’) evocano rispettivamente un processo specifico – se confidiamo che Sab, conformemente a quanto
8.3 Dualità processo/oggetto nella concettualizzazione della nozione di
combinazione lineare
195
dichiara, considera i coefficienti c i come sostituiti dei coefficenti numerici – o una
classe di processi, ed una classe di processi in cui il primo non è direttamente rappresentato. Ricondurre il processo evocato da (o un processo della classe evocata
da) c1 u1 + · · · + c5 u5 ad un elemento della seconda richiede ri-concettualizzazioni
analoghe, con difficoltà analoghe a quelle appena descritte.
La potenza offerta dal linguaggio algebrico nella manipolazione delle espressioni risulta limitata da un lato dal fatto che il vettore u è definito come prodotto di un ben
specifico processo che dovrebbe essere totalmente riorganizzato – o, in altri termini,
√
il senso algebrico incorporato nell’espressione ‘ 2u1 − 13 u2 +u3 +3u4 −πu5 ’ dovrebbe
essere totalmente modificato – e dall’altro lato dal fatto che tale riorganizzazione
richiede il ricorso ad una dialettica processo/oggetto piuttosto articolata.
8.3.2
Dipendenza della combinazione lineare dai vettori
Se una combinazione lineare è concettualizzata come processo, ne discende direttamente che il vettore prodotto di quel processo ‘dipende’ dai vettori input del
medesimo: ‘dipende’ non – almeno non necessariamente – nel senso della dipendenza lineare, ma nel senso specifico della dipendenza funzionale – la relazione
√
f : (x1 , · · · , x5 ) 7→ 2x1 − 13 x2 + x3 + 3x4 − πx5 definisce una funzione da V 5
in V – e nel significato comune del termine dipendere: ‘derivare, procedere; esser
causato o determinato’ (Il Grande Dizionario di Italiano 2005, Garzanti).
In questo senso, appunto, il vettore u è determinato, dipende dai vettori u 1 , . . . , u5
come chiaramente espresso da Lau (7.1.1)
59. Lau: e il punto è: [u1 e u2 ] sono indipendenti rispetto a u? no [. . . ] perché questo è
combinazione lineare. . . eh sı̀, è combinazione lineare di u 1 . . .
60. Lau: u è combinazione lineare di u1 , u2 , u3 , u4 , u5 quindi questo non è linearmente
indipendente da questi altri due
e da Car (7.1.2)
109. Car: proviamo a fare questa roba allora. proviamo a cercare vettori linearmente indipendenti [da u]. . . ma come faccio, questo [u] c’è già. . . tutti u1 , u2 , u3 , u4 e u5
Osserviamo che le espressioni usate dagli allievi e riportate in questo paragrafo sono
leggermente improprie: l’espressione ‘il vettore u dipende dai vettori u 1 , . . . , u5 ’, ad
196
Analisi dei risultati
esempio, non è esplicitamente definita in teoria degli spazi vettoriali 4 . La nozione di
dipendenza/indipendenza lineare si applica ad un sistema di vettori e non ad un solo
vettore rispetto ad altri – a differenza della nozione di dipendenza (funzionale) che
riguarda un elemento rispetto ad altri e quindi si applica anche ad un solo elemento.
Il referente teorico dovrebbe essere più propriamente espresso tramite i significanti ‘i
vettori u, u1 , . . . , u5 sono linearmente dipendenti’, ‘il vettore u si può scrivere come
combinazione lineare dei vettori u 1 , . . . , u5 ’ o ancora ‘il vettore u appartiene allo
spazio generato dai vettori u1 , . . . , u5 ’, che risultano però meno adeguati ed efficaci,
il primo perché si riferisce ai vettori in modo simmetrico evitando di specificare quale
vettore ‘dipende’ da quali, gli altri due perché non evocano direttamente la nozione,
centrale in questo caso, di dipendenza.
È interessante notare come Lau riesca ad aggirare il problema, scegliendo il vettore
√
u − 2u1 + 13 u2 al posto di u ed esprimendolo come combinazione lineare dei vettori
u3 , u 4 , u 5 .
√
61. Lau: ah però, se prendessi come vettore u− 2u1 + 31 u2 questo è uguale a u3 +3u4 −πu5
u−
√
2 + 31 u2 = u3 + 3u4 − πu5
..
.
68. Lau: questo qui [u −
√
2u1 + 31 u2 ], se io lo chiamo per esempio w, questo qui è
combinazione lineare dei soli vettori u3 , u4 e u5
√
Lau è ben consapevole che i due vettori u − 2 + 13 u2 , u3 + 3u4 − πu5 sono il medesimo, tuttavia i processi che le due combinazioni lineari evocano sono profondamente
diversi, ed il processo evocato dalla seconda non avendo tra i suoi input u 1 e u2
risulta in un prodotto da essi indipendente.
In conclusione, la concettualizzazione, in accordo con il quadro teorico della dualità
processo/oggetto, della nozione di combinazione lineare come processo e come prodotto appare coerente con - rinforza - un’interpretazione dei termini ‘dipendente’,
‘dipendere’, ‘dipende’ più vicina al loro significato quotidiano che al significato dalla
nozione di ‘dipendenza lineare’. Questa prospettiva offre una chiave per interpretare
le difficoltà emerse dalla tâche dipendenza lineare: il prodotto combinazione lineare
4
Espressioni di questo tipo sono assenti dai manuali da noi analizzati anche se non intendia-
mo escludere che possano essere accettate ed usate coerentemente nella pratica dell’insegnamento
universitario.
8.3 Dualità processo/oggetto nella concettualizzazione della nozione di
combinazione lineare
197
necessariamente ‘dipende’ dal
processo e quindi dai vettori su cui il processo è implementato.
8.3.3
Il carattere ‘locale’ della dimensione
Le risposte alla tâche dimensione (7.3) evidenziano la convinzione da parte di alcuni
soggetti intervistati che uno spazio vettoriale che contenga u debba avere dimensione
almeno 5, cioè il numero di vettori della combinazione lineare che definisce il vettore
u.
La dimensione acquisisce in un certo senso carattere ‘locale’: pur continuando ad
essere considerata una caratteristica di uno spazio vettoriale – nessun soggetto intervistato ha attribuito esplicitamente la dimensione ad un vettore – appare deducibile
dalle proprietà dei singoli vettori appartenenti allo spazio vettoriale considerato, o
più esattamente da una proprietà particolare che riguarda la loro scrittura.
48. Sab: [. . . ] u non può essere a questo punto proprio. . . non può essere contenuto in un
sottospazio proprio né di dimensione 2, 1, 3, 4, deve almeno appartenere al sottospazio di
dimensione 5 [. . . ]
(paragrafo 7.3.2)
La dimensione indicherebbe quindi il numero di input del processo di costruzione
del vettore u, la resistenza al cambiamento di tale processo, documentata in 8.3.1, è
consistente con il fatto che, pur desunta dalle caratteristiche di un singolo vettore, la
dimensione sia comunque considerata una caratteristica dello spazio vettoriale. Uno
spazio vettoriale contenente una combinazione lineare di cinque vettori linearmente
indipendenti deve aver dimensione maggiore o uguale a 5, se tale combinazione lineare potesse essere espressa come combinazione lineare di un numero minore di vettori
(diciamo quattro) la dimensione potrebbe essere minore di 5, in breve la dimensione
dello spazio cambierebbe a seconda di come il vettore viene espresso.
La concettualizzazione della dimensione come numero di input del processo di costruzione di un vettore, cioè numero di vettori che compaiono in una data combinazione
lineare, ci sembra del tutto coerente con la visione della dimensione di uno spazio
vettoriale come indicazione del numero di parametri necessari (e sufficienti) per descrivere tutti i vettori appartenenti al medesimo. Tale chiave di lettura della nozione
di dimensione è, ad esempio, esplicitamente offerta nel testo ‘Geometria’ di Abate:
198
Analisi dei risultati
Osservazione 4.9 In un certo senso, la dimensione di uno spazio vettoriale V è il
numero di parametri necessari per descriverlo [. . . ].
(Abate, 1996, p. 84)
Il numero di parametri necessario per descrivere una combinazione lineare coincide
con il numero di vettori della combinazione lineare medesima.
La misura della ‘forza’ di questa concettualizzazione della nozione di indipendenza
lineare risulta ancor più evidente dal fatto che nessun conflitto sembra emergere al momento di valutare la dimensione dello spazio vettoriale generato da una
combinazione lineare:
87. Ram: sı̀ ti sto dicendo che nel caso specifico [la dimensione di W 1 ∩ W2 ] deve essere 5
..
.
90. Ram: perché deve essere 5? sı̀, deve essere 5 perché
91. Ram: perché è lo spazio generato da u
(paragrafo 7.3.3)
Concludiamo ricordando che, come argomentato nel paragrafo 8.1.4, lo stesso fenomeno, cioè il fatto che gli studenti sembrano inferire la dimensione di uno spazio
vettoriale dalle proprietà dei singoli vettori, può essere interpretato, coerentemente
con la prospettiva offerta dalla teoria dei modelli taciti, come conseguenza dei limiti
del modello tacito di vettore costituito dalle n-uple: una combinazione lineare di un
certo numero di vettori (cinque) è pensata, esplicitamente o implicitamente, come
quintupla, e quindi come elemento di R 5 , cioè di uno spazio di dimensione 5.
8.3.4
Generatori
Strettamente correlato a quanto discusso nei paragrafi precedenti è il problema della
determinazione di generatori, o meglio di una base, di uno spazio vettoriale che contiene una combinazione lineare. Un sistema di generatori di uno spazio vettoriale è
un insieme di vettori tramite le cui combinazioni lineari possono essere espressi tutti
i vettori dello spazio dato. Questo richiede in particolare che il sistema di generatori
consenta di esprimere la combinazione lineare in oggetto e per quanto detto al paragrafo 8.3.1 questo implicherebbe che i vettori della combinazione lineare originiaria
8.3 Dualità processo/oggetto nella concettualizzazione della nozione di
combinazione lineare
199
siano tra i generatori dello spazio vettoriale. Inoltre il numero di elementi della
base è, per definizione, la dimensione dello spazio vettoriale, che, come discusso nel
paragrafo precedente (8.3.3), può essere concettualizzata come il numero di vettori
della combinazione lineare.
Come risulta evidente, questi aspetti sono interrelati e si rinforzano mutuamente: da
un lato la dimensione di uno spazio che contiene u deve essere maggiore od uguale
al numero di vettori della combinazione lineare che definisce il vettore u, dall’altro
è il numero di elementi di una base dello spazio vettoriale, che affinché contenga il
vettore u deve garantirne la costruibilità, cioè contenere i vettori della combinazione
lineare. Il protocollo di Sab (7.3.2 e 7.4.2) testimonia a pieno questo legame:
13. Sab: [. . . ] per avere che u è nella loro somma [U1 + U2 ] io devo avere per lo meno che
nella somma posso trovare sia u1 che u2 che u3 che u4 che u5 [. . . ]
..
.
48. Sab: [. . . ] u non può essere a questo punto proprio. . . non può essere contenuto in un
sottospazio proprio né di dimensione 2, 1, 3, 4, deve almeno appartenere al sottospazio di
dimensione 5 [. . . ]
8.3.5
La differenza come processo inverso
Prima di concludere segnaliamo un ulteriore elemento coerente con l’analisi in termini di processo/oggetto che emerge dal protocollo di Nic. Nic infatti sembra considerare l’operazione di differenza come ‘inversa’ dell’operazione di ‘combinazione
lineare’ (in cui la struttura addittiva è dominante) ed in quanto tale come processo inverso al processo di combinazione lineare, cioè come processo di disgregazione
che ricevuto in input una combinazione lineare trasmette in output i vettori in essa
coinvolti (items 153-155).
Nic considera il problema risolto, pur non avendo esplicitamente dimostrato nessuna
delle condizioni richieste; gli spazi vettoriali U 1 e U2 che indica come esempi di spazi con le proprietà richieste sono rispettivamente generati da u 1 , u2 (nel protocollo
rinominati v1 , v2 ) e da u3 e da 3u4 − πu5 (rinominati v3 , v4 ). Solo dietro esplicita
richiesta dell’intervistatore, Nic tenta di produrre le relative dimostrazioni, riportia-
mo un piccolo passo relativo alla dimostrazione che il vettore u non appartenga ai
due sottospazi, né che lo stesso appartenga a U 1 + U2 .
200
Analisi dei risultati
153. Nic: [. . . ] ok, se u stesse qua dentro [U1 + U2 ] per differenza dovrebbero starci anche
u3 , u4 e u5 , facciamo v3 e v4 . . .
154. Int: non ho capito
155. Nic: nel senso che. . . se u per esempio sta in U1 per differenza ci devono stare, dicevo v3
e v4 semplicemente perché u già ce li ha tutti insomma
156. Int: perché ci devono stare v3 e v4 ? Per differenza tra chi e chi?
157. Nic: perché allora, se u sta in U1 , questo è uguale a v1 + v2 + v3 + v4
u ∈ U1
U1 u = v 1 + v 2 + v 3 + v 4
quindi se ci metto qui meno, quanto meno ci deve stare v 3 + v4 facciamo cosı̀ (modifica
quanto appena scritto per ottenere:)
u − v1 + v2 = v3 + v4 ∈ U
tutto questo sta in U e quindi anche questo sta in U ; se ci sta v 3 + v4 . . . ora, sarà vero
che v3 + v4 è indipendente da v1 e v2 . . .
8.3.6
Conclusioni
La soluzione del problema proposto ai soggetti richiede una continua articolazione
tra punto di vista strutturale e procedurale della nozione di combinazione lineare.
L’analisi in termini di dualità processo/oggetto ha messo in luce le difficoltà ad
operare tali articolazioni (non solo tra processo e oggetto, ma anche tra processo
e processo) ed ha mostrato la loro connessione soprattutto con le difficoltà relative
alle nozioni di combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, generatori.
Nonostante la portata generale del quadro della dualità, le difficoltà evidenziate ci
sembrano particolarmente inerenti all’uso dell’algebra.
Abbiamo inoltre evidenziato come lo studio dei sistemi di rappresentazione usati
fornisca elementi interessanti che arricchiscono l’analisi delle articolazioni tra i punti
di vista strutturale e operazionale.
Terminiamo segnalando che l’analisi condotta non consente di definire in modo appropriato il ruolo dell’ipotesi di indipendenza lineare dei vettori coinvolti nelle combinazioni lineari. Il vettore u è dato come combinazione lineare di vettori linearmente
indipendenti, l’analisi svola non sembrerebbe sensibile a queso dato, al fatto cioè che
i vettori u1 , . . . , u5 siano lineramente indipendenti. L’insistenza con cui gli studenti
8.4 Riepilogo
201
sottolineano questa condizione lascia qualcosa di più della semplice sensazione che
essa sia fondamentale .
8.4
Riepilogo
In questo capitolo abbiamo sviluppato le analisi delle difficoltà coerentemente con i
singoli quadri teorici. Anche se non abbiamo espressamente richiamato le domande specifiche formulate nel paragrafo 3.4, abbiamo condotto le nostre analisi con lo
scopo di dare a quelle domande risposte adeguate.
Nel prossimo capitolo, le riassumeremo brevemente e mostreremo, mettendo direttamente in relazione analisi e domande di ricerca, come esse consentano di rispondere
alle specifiche domande poste.
Ricordiamo che accanto a queste domande specifiche, abbiamo posto il problema
della possibilità di confrontare ed integrare tra loro i contributi delle diverse analisi
ed i diversi quadri teorici adottati.
La discussione degli aspetti relativi a queste domande sarà, anch’essa, oggetto del
prossimo capitolo.
202
Analisi dei risultati
Capitolo 9
Conclusioni
Nel porre le domande di ricerca (paragrafo 3.4) abbiamo distinto tra domande specifiche relative alle possibili interpretazioni delle difficoltà coerentemente con i singoli
quadri teorici adottati, e domande più generali relative alla possibilità di confrontare
ed integrare tra loro i contributi di queste diverse analisi.
Nel capitolo precedente abbiamo tentato di fornire alcune risposte alle domande
specifiche e, nel farlo, abbiamo messo in luce le diverse interpretazione coerenti con
i diversi quadri teorici.
In questo capitolo affrontiamo le domande generali. Riassumiamo parte delle analisi
sviluppate nel capitolo precedente evidenziando i diversi punti di vista sull’attività
di soluzione dei problemi che emergono coerentemente con i singoli quadri teorici.
Mostriamo inoltre come nelle analisi svolte si riflettano alcune specificità dei quadri teorici scelti e studiamo la possibilità di integrare tra loro le diverse prospettive
emerse.
Concluderemo il capitolo mettendo direttamente in relazione tra loro le domande di
ricerca che avevamo formulato ed i risultati delle analisi svolte, delineeremo infine
possibili direzioni di ricerca per futuri studi.
9.1
Confronto tra i contributi delle diverse analisi
Affrontiamo il problema del confronto tra le analisi mostrando le diverse interpretazioni di un medesimo protocollo. Riportiamo un estratto dal protocollo di Aur
(7.2.2) e richiamiamo brevemente le intrepretazioni, coerenti con i quadri teorici
204
Conclusioni
adottati, proposte nel capitolo precedente. Questo estratto è il solo sul quale, nel
capitolo precedente, sono state presentate le analisi condotte rispetto ai tre quadri
teorici; questo fatto rende il protocollo particolarmente adatto per illustrare in che
senso le analisi mettono a fuoco elementi diversi, ed in particolare quali. Come
detto, la scelta del protocollo di Aur è motivata dal fatto che tale protocollo fornisce elementi di analisi per tutti e tre i quadri teorici, tuttavia le considerazioni
che andiamo a presentare sono di portata più ampia e non si limitano solo a questo
protocollo.
Il brano che andiamo a proporre è relativo alla soluzione del secondo quesito del
problema esistenza sottospazi, che verte sull’esistenza o meno di due sottospazi
2-dimensionali, che non contengano il vettore u, ma la cui somma lo contengs.
74. Aur: dico che cosı̀ ad occhio mi sa di no perché u è combinazione lineare di cinque vettori
linearmente indipendenti. . . e se si scrive come [elemento di U 1 + U2 ] [. . . ] al massimo
può essere combinazione lineare di quattro vettori linearmente indipendenti [. . . ]
..
.
78. Aur: U1 + U2 è lo spazio generato da w1 , w2 , v1 e v2 e ha una dimensione minore o
uguale a quattro
U1 + U2 = Span < w1 , w2 , v1 , v2 >
79. Aur: no, stavo pensando, invece di prendere dei vettori qualsiasi come basi di U 1 e
U2 . . . poiché mi basta che siano due vettori linearmente indipendenti, di prendere quelli
che ho già, cioè u1 , u2 e. . . u5 ; se io faccio cosı̀, se prendo come U1 lo spazio generato da
u1 e u2 , e come U2 lo spazio generato da u3 e u4
U1 = Span < u1 , u2 >
U2 = Span < u3 , u4 >
..
.
86. Aur: qualsiasi altra base che io scelga, [. . . ] u si scrive come combinazione lineare di
cinque vettori linearmente indipendenti. . . e quindi, cioè non riesco con quattro vettori
linearmente indipendenti a scrivere, a scrivere u
Riassumiamo le diverse interpretazioni coerenti con i diversi quadri.
Modelli taciti. L’attenzione rivolta allo studio di ‘casi particolari’ (item 79) ed
il fatto che, all’apparente consapevolezza della portata limitata di uno studio
9.1 Confronto tra i contributi delle diverse analisi
205
condotto solo su quei casi, non sia seguita una analisi ed una ridiscussione delle
conclusioni inferite (item 86), ci hanno fatto formulare l’ipotesi dell’azione di
modelli taciti paradigmatici. Coerentemente, Aur, anche se consapevole del
carattere non generale della scelta fatta per gli spazi U 1 e U2 , non riuscirebbe a rimettere davvero in discussione le conclusioni già tratte a causa delle
limitazioni imposte tacitamente dal modello, che sono coerenti con quelle conclusioni.
Nel modello ipotizzato, n-uple, lo spazio R n , la sua base canonica ed i suoi
sottospazi coordinati, organizzati in un sistema coerente, giocano il ruolo di
paradigmi per le nozioni di vettore, spazio vettoriale, base e sottospazio.
In breve, il modello tacito indurrebbe da un lato a considerare – tacitamente –
i vettori u1 , . . . , u5 come elementi di una base ‘privilegiata’ (canonica) di V , e
a prendere in considerazione come sottospazi di V solo i sottospazi coordinati,
rispetto a tale base, e dall’altro a concepire il vettore u come una quintupla,
cioè coincidente con il vettore delle sue coordinate rispetto a u 1 , . . . , u5 .
Coerentemente se u è, tacitamente, pensato come quintupla, con tutti i coefficienti diversi da 0, allora non può essere ‘ridotto’ ad una quadrupla e, di conseguenza, non può appartenere ad uno spazio vettoriale generato da quattro
vettori linearmente indipendenti, che appunto contiene (solo) quadruple.
ck/
c . Tra gli operatori mobilitati da Aur ne abbiamo evidenziato due in particolare
(altri studenti ne hanno mobilitati di analoghi).
1 : ‘se [u] è un elemento che si scrive come somma di, di un elemento di U
rAur
1
e di un elemento di U2 , cosı̀ ad idea, al massimo può essere combinazione
lineare di quattro vettori linearmente indipendenti’;
2 : ‘[. . . ] u si scrive come combinazione lineare di cinque vettori linearmente
rAur
indipendenti. . . e quindi, cioè non riesco con quattro vettori linearmente
indipendenti a scrivere, a scrivere u’.
Ricercando tra i risultati della teoria degli spazi vettoriali quelli ‘coerenti’ con
i due operatori mobilitati, si può ipotizzare una struttura di controllo per i
due operatori che comprenda controlli relativi alla definizione e alle proprietà
(inerenti generatori, basi, dimensione) della somma di due sottospazi vettoriali,
nonché controlli relativi all’unicità della rappresentazione di un dato vettore
206
Conclusioni
come combinazione lineare di un sistema di vettori linearmente indipendenti
(in particolare di una base); in 8.2 abbiamo esplicitato tali controlli.
I controlli ipotizzati corrispondono, in modo più o meno diretto, a definizioni e
proposizioni della teoria, si presentano quindi come ‘conoscenza’ con un proprio
dominio di validità, una propria sfera di pratica, ovvero con una classe di
problemi rispetto ai quali offrono soluzioni adeguate.
Difficoltà ed errori emergono dal fatto che la conoscenza, espressa da questi
operatori e dai relativi controlli, è mobilitata al di fuori della propria sfera di
pratica, su un problema sul quale si rivela male adattata.
Ci sembra che l’uso, quasi esclusivo, del linguaggio naturale, in forme spesso
coincise e con molti impliciti, possa in parte mascherare i confini delle sfere di
pratica portando alla mobilitazione di operatori e controlli al di fuori di esse.
Dualità processo/oggetto. Abbiamo interpretato le affermazioni di Aur secondo cui una combinazione lineare di 5 vettori linearmente indipendenti non si
può scrivere come combinazione lineare di 4 vettori linearmente indipendenti
(items 74 e 86), evidenziando come apparentemente le due occorrenze dell’espressione ‘combinazione lineare’ evochino processi tra loro indistinguibili se
non per il numero di vettori che coinvolgono.
L’unico elemento esplicito che distingue i due significanti ‘combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti’ e ‘combinazione lineare di
quattro vettori linearmente indipendenti’, risultando un attributo dell’espressione ‘combinazione lineare’, è l’indicazione del numero di vettori, che quindi
finisce per diventare distintivo e caratterizzante del processo di costruzione e,
allo stesso tempo, dell’oggetto costruito. Coerentemente ciò che caratterizza
il vettore u sarebbe il numero di vettori (cinque) che compaiono nella combinazione lineare che lo definisce, data nel testo del problema.
Quindi ‘una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti’
risulta concepita come un processo che ha per input cinque vettori linearmente
indipendenti e ‘una combinazione lineare di quattro vettori linearmente indipendenti’ come lo stesso processo (o comunque uno non distinguibile) che ha
per input ‘solo’ quattro vettori linearmente indipendenti: non si vede come sia
possibile trasformare uno nell’altro.
La difficoltà ad articolare tra processo e oggetto e tra processo e processo
9.1 Confronto tra i contributi delle diverse analisi
207
non appare caratteristica dell’uso del linguaggio naturale, nel paragrafo 8.3
abbiamo mostrato che tale difficoltà può emergere anche quando si ricorre al
linguaggio algebrico.
Sottolineiamo infine che la difficoltà a concepire la nozione di combinazione lineare come oggetto e come processo si riflette anche in difficoltà inerenti altre
nozioni: dipendenza/indipendenza lineare, generatori, ecc.
Questo breve e parziale richiamo dell’analisi già presentata nel capitolo precedente ci
consente di sottolineare come i tre quadri evidenzino, in questo caso, aspetti diversi
ma del tutto compatibili anche se forse difficilmente confrontabili.
Un elemento che distingue le tre analisi e che rende difficile il confronto tre esse è il
diverso modo in cui la stessa struttura lineare viene messa a fuoco.
Nell’analisi in termini di modelli taciti, la struttura di spazio vettoriale appare
‘condensata’. È senz’altro vero che viene presa in considerazione; abbiamo in
effetti parlato di modelli taciti di spazio e sottospazio vettoriale, ma poiché
tali modelli, secondo la nostra ipotesi sono forniti da R n e dai suoi sottospazi
coordinati, la struttura di spazio vettoriale, quella naturale su R n , rimane implicita.
In particolare, la nozione stessa di combinazione lineare viene riletta nel modello direttamente in termini di n-upla, quindi, in un certo senso, la sua centralità
risulta attenuata. Analogamente per la nozione di somma di sottospazi: secondo il modello tacito ipotizzato, in uno spazio vettoriale, R n , la costruzione
della somma di due sottospazi (coordinati) R h + Rk è direttamente data da un
sottospazio (coordinato) Rm , con m opportuno, che non conserva traccia dei
due sottospazi di cui è somma.
Nell’analisi in termini di dualità processo/oggetto, al contrario, la struttura lineare,
nel senso della possibilità di fare combinazioni lineari, è al centro dell’analisi
medesima. Quello che invece appare rimanere in secondo piano è la struttura globale di spazio vettoriale nel suo insieme: abbiamo sviluppato infatti la
nostra analisi in riferimento soprattutto alla nozione di combinazione lineare,
mettendoci quindi all’interno della struttura di spazio vettoriale. Il focus dell’analisi è indirizzato, in un certo senso, dentro gli spazi vettoriali, considerati
quindi in quanto ambiente, e non verso gli spazi vettoriali come oggetti in sé.
208
Conclusioni
Infine, l’analisi in termini del modello ck/
c ha evidenziato operatori e controlli
che attengono sia alla composizione tra vettori che alla composizione tra sottospazi, sia alle proprietà ‘locali’ dei vettori che a quelle ‘globali’ di spazi e
sottospazi. Rimane però da approfondire cosa determini la mobilitazione di
operatori e controlli inadeguati al problema proposto. Inoltre si presenta il
rischio – almeno cosı̀ ci pare – di una frammentazione in operatori e controlli,
che potrebbe risultare eccessiva. Rischia di venir meno una visione unitaria,
più ampia, capace di rendere conto della coerenza di operatori e controlli.
I contributi delle diverse analisi non sono in antitesi, ma sono comunque diversificati
tra loro: sono messi in risalto aspetti diversi e da diverse prospettive. Alla luce di
ciò, il processo di integrazione non si può ridurre ad un assemblaggio meccanico, ad
una semplice giustapposizione dei singoli risultati; al contrario, appare necessario un
riesame dei quadri teorici e degli elementi specifici di ciascuno di essi.
Nel prossimo paragrafo affrontiamo esplicitamente la questione della possibilità di
un’analisi delle difficoltà che integri tra loro elementi specifici dei diversi quadri.
9.2
Un’ipotesi di integrazione
In questo paragrafo presentiamo un’ipotesi interpretativa di alcune delle difficoltà
evidenziate, che tenta di integrare diversi aspetti dei quadri teorici adottati. Nel
formulare la nostra ipotesi ci svincoleremo almeno in parte dalle analisi sviluppate
nel capitolo 8 e riprese nella sezione precedente.
L’interesse di tentare un’integrazione di questo tipo ci sembra duplice:
• da un lato essa tenta di offrire un’ulteriore chiave di lettura delle difficoltà
degli studenti emerse nel corso del nostro lavoro;
• dall’altro rappresenta un primo tentativo, di integrare i vari strumenti di analisi
ed interpretazione che i diversi quadri teorici offrono. 1
Ricordiamo innanzitutto che il confronto proposto nel paragrafo precedente (9.1) ha
evidenziato due tendenze opposte che caratterizzano le analisi in termini di modelli
1
Da questo punto di vista, quindi, quale sia lo specifico campo della matematica in esame – sia
esso l’algebra lineare, l’analisi, o altro – appare un aspetto secondario, anche se ci sembra importante
che tale integrazione venga comunque contestualizzata.
9.2 Un’ipotesi di integrazione
209
taciti e di concezioni: rispettivamente una tendenza a ‘condensare’ i singoli e specifici comportamenti in più ampie unità strutturali e strutturanti, ed una tendenza
opposta a ‘parcellizzarli’, quasi ‘frammentarli’. L’ipotesi che andiamo ad illustrare
tenterà, in un certo senso, di armonizzare queste due tendenze.
Prendiamo come punto di partenza per la formulazione della nostra ipotesi, l’analisi
sviluppata in termini di dualità processo/oggetto, che, all’interno del nostro studio,
rispetto alla scelta dei quadri teorici, ha funzionato come quadro specifico relativo
all’algebra. Molto brevemente, tale analisi assegna, nell’interpretazione delle difficoltà, un ruolo centrale alla nozione di combinazione lineare, e mostra come le
difficoltà a concepire la combinazione lineare come processo e come oggetto e ad
articolare i due livelli si riflettano in difficoltà inerenti altre nozioni di teoria degli
spazi vettoriali.
Questo suggerisce l’importanza dell’idea di ‘costruzione’, attorno alla quale sviluppiamo la nostra proposta. Osserviamo, ancora, che l’analisi in termini di dualità
processo/oggetto è centrata sulla nozione di combinazione lineare come processo di
costruzione di vettori, ma una volta che si vuole esplicitamente prendere in considerazione l’idea di costruzione non si possono trascurare altri processi di costruzione,
in particolare quelli di spazi vettoriali.
Riconsideriamo, a questo punto, gli operatori individuati e i controlli ipotizzati in 8.2
alla ricerca di quelli che in un modo o nell’altro attengano all’attività di costruzione,
di generazione di vettori a partire da vettori dati, e di spazi vettoriali a partire da
vettori e da altri spazi vettoriali, o all’attività ‘opposta’ di de-costruzione. Possiamo
citare, tra gli altri, gli operatori:
1 : ‘per scrivere u ho bisogno di cinque vettori linearmente indipendenti’;
rN
ic
2 : ‘per scriverlo come [elemento della] somma di due sottospazi di dimensione 2
rN
ic
al più ne posso usare quattro’;
1 : ‘se [u] è un elemento che si scrive come somma di, di un elemento di U e di
rAur
1
un elemento di U2 , cosı̀ ad idea, al massimo può essere combinazione lineare
di quattro vettori linearmente indipendenti’;
1
rEma
: ‘per avere sottospazi di dimensione 3, dovrei avere, allora. . . tre. . . una base
composta da tre vettori linearmente indipendenti, ora io li posso scegliere solo
tra questi cinque [u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ]’;
210
Conclusioni
1 : ‘per aver che u è nella loro somma [U + U ] io devo avere perlomeno che
rSab
1
2
nella somma posso trovare sia u1 che u2 che u3 che u4 che u5 ; perché sono
linearmente indipendenti e quindi non li posso ricavare uno dall’altro’.
i controlli attinenti alla costruzione di vettori, da un lato:
2,d
σN
ic : fissata una base di uno spazio vettoriale, i suoi elementi si scrivono come
combinazione lineare dei vettori della base;
1,b
σN
ic : data una base di uno spazio vettoriale V , ogni vettore di V si scrive in modo
unico come combinazione lineare dei vettori della base;
1,a
σAur
: gli elementi di U1 + U2 si scrivono come somma di un elemento di U 1 e uno di
U2 ;
1,b
σAur
: la somma di due combinazioni lineari di due vettori ciascuna è combinazione
lineare di quattro vettori;
1,c
σAur
: la somma di due combinazioni lineari di due vettori linearmente;
e quelli attinenti alla costruzione di spazi o sottospazi vettoriali, dall’altro 2 .
2,a
σN
ic : la dimensione della somma di due spazi vettoriali 2-dimensionali è minore o
uguale a 4;
1,c
σEma
: se {v1 , . . . , vn } è un insieme di vettori linearmente indipendenti, un suo sot-
toinsieme di k elementi genera un sottospazio vettoriale di dimensione k;
1,d
σEma
: se B è un insieme di vettori linearmente indipendenti, un suo sottoinsieme B 0
di k elementi genera un sottospazio vettoriale di dimensione k;
1,b
σSab
: un sottospazio di V è chiuso per combinazioni lineari;
1,d
σSab
: una combinazione lineare di vettori di V appartiene al medesimo spazio vet-
toriale V .
Precisiamo che non abbiamo riportato tutti i controlli relativi agli operatori citati
sopra, ma solo quelli in qualche senso attinenti all’idea di costruzione.
2
Concordiamo sul fatto che questa distinzione sia in parte forzata ed artificiosa, ma speriamo
che contribuisca ad organizzare meglio e rendere più facilmente leggibile il paragrafo.
9.2 Un’ipotesi di integrazione
211
A questo punto si pone la questione se sia o meno possibile inserire tali operatori
e controlli in un modello intuitivo, nel senso di Fischbein, che rifletta l’idea di ‘costruzone’, e che renda conto della coerenza globale di operatori e controlli, della loro
efficacia e dei limiti della loro adeguatezza.
Secondo un tale modello vettori e spazi vettoriali dovrebbero essere concepiti in modo – diciamo – ‘costruttivo’, cioè come risultato di uno o più (infiniti?) processi di
costruzione a seconda dei casi: ad esempio, come combinazione lineare di un sistema
di vettori, come somma di due spazi vettoriali, o come spazio generato da un sistema
di vettori.
Concepire vettori e concepire spazi vettoriali come oggetti costruiti o costruibili a
partire da vettori dati sono aspetti, in un certo senso, duali tra loro:
da un lato un vettore può essere costruito a partire da un sistema di vettori come
specifica combinazione lineare ed uno spazio vettoriale può risultare dall’aggregazione dei vettori ottenuti, o, se si preferisce, delle combinazioni lineari dei
vettori dati;
dall’altro uno spazio vettoriale può essere costruito direttamente a partire dai suoi
generatori; i singoli processi di costruzione dei singoli vettori sono sintetizzati,
condensati, concepiti in un unico processo di costruzione ‘generico’, ed i singoli
vettori dello spazio vettoriale sono particolari istanziazioni di questo processo.
L’efficacia di fronte a molte situazioni problematiche di pensare uno spazio vettoriale in termini di spazio generato da un sistema di vettori ci pare cosı̀ evidente che
avvertiamo a mala pena la necessità di menzionarla: d’altra parte, proprio la possibilità di ‘dominare’ l’intera complessa struttura di spazio vettoriale tramite una sua
base ci sembra uno degli aspetti di maggior rilevanza di tutta la teoria degli spazi
vettoriali.
Tuttavia, nonostante l’efficacia di un tale modello, anch’esso ha proprie limitazioni,
che potrebbero imporsi nell’attività di soluzione di problemi, e ‘zone di inefficacia’,
cioè problemi per i quali risulta semplicemente inadatto: ne vediamo alcuni.
Esistenza vs costruzione. Il problema esistenza sottospazi (e anche esistenza sottoinsieme) chiede di determinare se certi oggetti (rispettivamente due
coppie di sottospazi vettoriali ed un insieme) esistono o meno. L’attivazione
212
Conclusioni
di un modello come quello descritto comporterebbe, o rinforzerebbe, un’interpretazione di tale richiesta come richiesta di determinare se si possono esibire
o costruire tali oggetti. Di conseguenza risulterebbero privilegiate – di fatto lo
sono state – le strategie che puntano a costruire tali oggetti a partire da oggetti dati (o a mostrarne la non-costruibiltà); strategie alternative rimarrebbero
non disponibili, inaccessibili allo studente.
Si ricorderà che nel capitolo 6, a proposito del problema esistenza sottoinsieme abbiamo accennato al fatto che diverse difficoltà dei soggetti sono sorte
in relazione al significato di cosa voglia dire dimostrare l’esistenza di un insieme (paragrafo 6.6.2). Quella difficoltà può essere in parte letta attraverso
una analoga prospettiva: cosa vuol dire ‘costruire’ un insieme, quali processi
di costruzione di insiemi sono disponibili agli allievi? O meglio, quali processi
di costruzione di insiemi, all’interno della teoria degli spazi vettoriali, sono
disponibili agli allievi?
De-costruzione. Risolvere il secondo quesito del problema esistenza sottospazi, vista la strategia scelta dai soggetti intervistati, richiede di congetturare
(alcune) proprietà dei generatori dello spazio U 1 + U2 dalla caratterizzazione
del vettore u, e da queste quelle dei generatori di U 1 e U2 ; o, più coerentemente
con l’ipotesi che stiamo formulando, richiede di congetturare modi, strumenti,
strategie, processi per costruire U 1 + U2 , e da questi congetturare i processi di
costruzione di U1 e U2 .
L’analisi dei manuali ha mostrato che tâches di de-costruzione sono rare, se si
eccettuano le richieste di esprimere un dato vettore (una n-upla, una matrice,
una funzione,. . . ) come combinazione lineare di un insieme dato di vettori
(rispettivamente, n-uple, matrici, funzioni). La differenza più importante è
che in queste tâches è del tutto assente il problema di decidere se è necessario,
opportuno de-costruire ed eventualmente stabilire in che direzione farlo.
La scarsità di tâches di de-costruzione non permette agli allievi di costruire
operatori e controlli, in termini ck/c , adeguati per trattare la decomposizione,
la de-costruzione di un vettore o di uno spazio vettoriale.
Chiusura. La somma di due funzioni continue è una funzione continua, la composizione di due isometrie è un’isometria, la somma connessa di due varietà
topologiche connesse è una varietà topologica connessa, la composizione di
9.2 Un’ipotesi di integrazione
213
due cammini su uno spazio topologico è un cammino... L’idea di chiusura
di un insieme rispetto ad una determinata operazione, di permanenza di certe proprietà sotto la stessa operazione è un’idea fondamentale, pervasiva in
matematica, cruciale quando si parla di strutture algebriche e quindi di spazi
vettoriali.
Proprio la significatività dell’idea di chiusura può funzionare da ostacolo nella
soluzione del problema esistenza sottospazi: come può u appartenere a
U1 + U2 se non vi possono appartenere i vettori u 1 , . . . , u5 che lo costruiscono?
C’è il rischio che si imponga una sorta di chiusura in negativo, per cui se i
vettori u1 , . . . , u5 non appartengono ad un dato spazio [U 1 + U2 ] nemmeno una
loro combinazione lineare può appartenervi.
Costruzione. Inoltre, su un modello siffatto non possono non esercitare la propria
influenza altri modelli taciti inerenti all’idea di costruzione: ad esempio modelli taciti dell’operazione di addizione, che ci sembra l’archetipo dell’idea di
costruzione in matematica.
Conseguentemente, ad esempio, l’idea che ‘la somma sia più grande degli addendi’ si rifletterebbe nell’idea che l’oggetto costruito è ‘più grande’, in qualche
senso, di quelli che servono a costruirlo. Questo, da un lato, contribuirebbe
ad aumentare la significatività della proprietà di chiusura, che fornisce delle
limitazioni sulla crescita dell’oggetto che si va a costruire, e, dall’altro, veicolerebbe l’immagine che u non possa appartenere ad uno spazio ‘troppo piccolo’,
cosı̀ piccolo da non contenere i vettori u 1 , . . . , u5 .
Specificità. Il fatto che il vettore u sia espresso tramite una combinazione lineare
data (cioè un processo di costruzione) sembra conferirgli un carattere di specificità. In realtà il carattere specifico del vettore u è illusorio: la genericità
dei vettori u1 , . . . u5 determina la genericità del vettore u. La specificità di u
esiste solo rispetto ai vettori u1 , . . . , u5 , ma non a V .
Nel problema esistenza sottospazi la definizione di u come combinazione
lineare di u1 , . . . u5 , anche se può essere usata per risolvere con successo il problema, è in realtà superflua. L’illusione della specificità del vettore u impedisce
di prescindere da essa per la soluzione del problema medesimo 3 .
3
Che nessuno studente abbia prescisso dalla definizione data di u non è solo effetto di questa
specificità illusoria: evidentemente elementi del contratto didattico giocano in questo un ruolo
214
Conclusioni
Ci sembra che le considerazioni svolte ci permettono di formulare l’ipotesi, per ora
espressa in termini un po’ vaghi e che dovrà essere affinata, che:
• l’analisi in termini dualità processo/oggetto, per noi quadro teorico specifico
dell’algebra, ha permesso di evidenziare come l’idea di ‘costruzione’, ancorché
un po’ vaga, sia correlata in modi diversi alle difficoltà emerse dalle interviste
ed attorno alla quale costruiamo la nostra ipotesi;
• pensare in termini di modelli intuitivi taciti fornisce una struttura che permette di organizzare in modo unitario e coerente operatori e controlli di date
concezioni, evidenziando in particolare la loro efficacia ed i loro limiti;
• la modellizzazione in termini ck/c consente di determinare in modo analitico gli
elementi del comportamento dei soggetti che evidenziano l’attivazione di certi
modelli, e le difficoltà che ne derivano.
In particolare, l’integrazione dei due quadri – teoria dei modelli taciti e modello ck/c –
che ci sembra senz’altro possibile nell’ambito matematico in esame, equilibrerebbe le
opposte tendenze di condensazione e parcellizzazione a cui più volte ci siamo riferiti.
9.3
Epilogo e prospettive
In questo paragrafo riprendiamo le domande di ricerca formulate in 3.4 e relativamente a ciascuna di esse sintetizziamo molto brevemente i risultati del nostro lavoro.
Un primo obiettivo del nostro studio, formulato in termini generali era:
Documentare (alcune) difficoltà degli studenti universitari relative alle nozioni di combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, sistema di generatori e basi.
A tal proposito, le interviste raccolte e la analisi delle trascrizioni hanno evidenziato alcune difficoltà dei soggetti intervistati che siamo riusciti a circoscrivere ed
identificare presentandole sotto forma di tâches:
• Tâche Dipendenza lineare: Una combinazione lineare ed i vettori che la definiscono sono tra loro dipendeni o indipendenti?
prominente.
9.3 Epilogo e prospettive
215
• Tâche Combinazione lineare: Una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti può essere scritta come combinazione lineare di quattro (o tre) vettori linearmente indipendenti?
• Tâche Dimensione: Quale dimensione deve avere uno spazio vettoriale che
contiene una combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti?
• Tâches Generatori: Come si possono scegliere i generatori di uno spazio vettoriale che contiene una data cominazione lineare?
Notiamo che l’analisi delle difficoltà inerenti la nozione di dimensione non era originariamente oggetto del nostro studio. Tuttavia le difficoltà inerenti tale nozione,
emerse dalle interviste, si sono imposte alla nostra attenzione e la loro analisi ha
mostrato quanto esse siano correlate con le difficoltà inerenti alle nozioni di combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, sistema di generatori e basi, per
cui abbiamo deciso di inserire tale analisi nel nostro lavoro.
Ci sembra, infine, degno di nota il fatto che difficoltà relative a tali tâches siano
emerse dalle interviste fatte sia a studenti del primo anno del corso di laurea, sia
a studenti al termine degli studi universitari, sia a studenti della scuola di dottorato.
Accanto a questo obiettivo generale, abbiamo posto domande più specifiche, formulandole all’interno dei singoli quadri teorici.
Relativamente alla Teoria dei modelli taciti.
È possibile individuare un modello tacito che renda conto delle
difficoltà osservate?
L’analisi in termini di modelli taciti evidenzia come n-uple, lo spazio R n , la sua base
canonica e i suoi sottospazi coordinati possano giocare il ruolo di paradigmi per
le nozioni di vettore, spazio, base e sottospazio vettoriale. Nonostante il carattere
esplorativo del nostro studio, siamo riusciti a descrive in modo approfondito, anche
se forse non del tutto completo, un modello intuitivo che comprende ed organizza in
una struttura sistemica i paradigmi citati.
L’attività di problem-solving è influenzata dall’attivazione di tale modello e dalle
limitazioni da esso imposte.
216
Conclusioni
È possibile ipotizzare l’origine di tale modello? ad esempio nell’insegnamento universitario? nell’insegnamento pre-universitario?
Non abbiamo elementi sufficienti per formulare ipotesi precise sull’origine del modello. Tuttavia, l’analisi dei manuali ha evidenziato una certa coerenza tra questo e
l’insegnamento universitario.
Relativamente al modello ck/
c
È possibile interpretare le difficoltà degli studenti in termini di
operatori male adattati o inadeguati alla situazione problematica e relativi controlli?
Riteniamo di aver evidenziato sistemi di operatori e controlli ad essi relativi che
presentano una coerenza interna compatibile con quella di concezione, nel senso del
modello ck/c .
Le difficoltà emerse sono interpretabili in termini di operatori e controlli mobilitati
al di fuori della propria sfera di pratica. Quindi coerentemente con il modello ck/c
difficoltà ed errori possono essere espressi in termini di conoscenza, e in rapporto al
sapere matematico, di conoscenza male adattata.
Una volta che i comportamenti degli allievi nella soluzione
di determinati problemi sono stati interpretati come operatori e controlli è possibile ipotizzare una concezione alla quale
ricondurli?
Rispetto a questa domanda la risposta è parzialmente negativa: sebbene, come detto,
abbiamo individuato operatori e controlli che presentano una coerenza compatibile con quella di concezione, tuttavia non siamo riusciti a caratterizzare in pieno
concezioni alle quali ricondurre gli operatori e i controlli evidenziati. Sembrerebbe
necessario, per rispondere a questa domanda, affinare la metodologia di analisi.
Relativamente alla Dualità processo/oggetto.
Le difficoltà degli allievi sono interpretabili in termini di dialettica operazionale/strutturale?
9.3 Epilogo e prospettive
217
Quali aspetti specifici emergono da un’analisi in termini di
processo/oggetto?
Viste le strategie scelte dai soggetti per risolvere il problema, la soluzione del medesimo richiede nella concettualizzazione della nozione di combinazione lineare una
continua articolazione tra processo e oggetto e tra processo e processo. L’analisi in
termini di dualità processo/oggetto evidenzia le difficoltà dei soggetti ad operare tali
articolazioni, e di conseguenza a risolvere il probelma proposto loro. Dall’analisi risulta, inoltre, come a tali difficoltà siano correlate le difficoltà relative alle nozioni di
combinazione lineare, dipendenza/indipendenza lineare, generatori emerse durante
le interviste.
Accanto alle domande specifiche appena discusse, ci siamo posti l’obiettivo di investigare la possibilità di armonizzare e di integrare tra loro, nell’analisi delle difficoltà,
gli elementi peculiari relativi ai singoli quadri teorici.
È possibile un confronto tra i contributi delle diverse analisi?
da quale punto di vista?
Il confronto tra i diversi contibuti evidenzia come le analisi mettano in luce aspetti
tra loro diversi che anche se non sono antitetici non sono comunque immediatamente
assemblabili, giustapponibili uno all’altro.
Sono possibili interpretazioni delle difficoltà che sintetizzino,
articolandole tra loro le specificità di ciascun quadro?
Nel paragrafo precedente abbiamo proposto gli elementi per una ipotesi interpretativa delle difficoltà degli studenti che integri aspetti diversi e peculiari dei singoli
quadri teorici adottati. L’ipotesi è costruita attorno all’idea di costruzione, che
emerge dall’analisi in termini di processo/oggetto. Relativamente ad essa, sono stati
individuati alcuni operatori e controlli, ed abbiamo provato a definire alcune caratteristiche apparentemente riconoscibili come elementi tra loro coerenti di un potenziale
modello intuitivo. Anche se si tratta di una proposta non ancora organica e formulata in termini un po’ vaghi, ci sembra se ne possano trarre indicazioni interessanti
sulla possibilità di integrare i diversi quadri teorici.
218
Conclusioni
Prospettive.
Passiamo ora a definire alcune possibili direzioni di ricerca aperte,
o lasciate tali, dal presente lavoro.
Innanzitutto, lo studio non intendeva essere uno studio statistico, avere carattere
quantitativo, bensı̀ essere uno studio esplorativo di carattere qualitativo. I soggetti
coinvolti nello studio sono un numero relativamente piccolo (15 studenti in totale) e
tutti di formazione matematica, anche se di livello di formazione differente (studenti
del primo anno di università, studenti al termine del corso di laurea, studenti del
dottorato).
Avvertiamo, a questo punto, l’esigenza di uno studio di più larga diffusione che
coinvolga:
• un maggior numero di soggetti, sempre di diversi livelli di formazione, per
verificare (i) da un lato la diffusione delle difficoltà evidenziate, (ii) dall’altro
l’apparente trasversalità delle difficoltà medesime rispetto ai livelli di formazione;
• studenti di diverse discipline: non solo studenti di matematica, ma anche di
fisica, ingegneria, informatica. Quali differenze, se ce ne sono, tra i modelli
intuitivi, le concezioni costruite da studenti di matematica, di fisica, ecc?
Il questionario, incrociato con interviste cliniche su un campione più ristretto, appare la metodologia più adatta per questo nuovo studio. Il problema esistenza
sottospazi non sembra, però, adatto per un questionario. Pur non avendo ancora
formulato proposte specifiche per un futuro questionario, riteniamo comunque che
esso possa/debba essere costruito attorno alle tâches sopra riportate.
In secondo luogo, sebbene l’analisi dei manuali abbia evidenziato aspetti quali la
prominenza assegnata agli spazi vettoriali numerici (spazi R n e matriciali), la scarsa
attenzione a problemi di articolazione tra combinazioni lineari e vettori e l’apparente
assenza di compiti di de-costruzione (di spazi e vettori) nella pratica universitaria,
che sembrano coerenti con un’ipotesi dell’origine didattica delle difficoltà documentate, l’impossibilità, nel corso del nostro studio, di accedere direttamente alle pratiche
di insegnamento non ci permette di precisare meglio e sostenere adeguatamente tale
ipotesi. Definire in modo più accurato tale ipotesi e verificarne la consistenza richiede uno studio specifico che comprende l’analisi delle pratiche di insegnamento e la
progettazione di interventi didattici specifici.
9.4 The blind men and the elephant
219
Infine, concludiamo ricordando il tentativo illustrato nella sezione precedente (9.2)
di formulare un’ipotesi interpretativa delle difficoltà dei soggetti, che fondesse elementi caratteristici dei tre quadri teorici .
L’ipotesi è formulata in termini ancora piuttosto grossolani: necessita di essere meglio e più precisamente elaborata, rifinita, e soprattutto messa alla prova con un’indagine mirata.
Due ci sembrano essere le possibili direzioni per un prossimo studio.
1. Uno studio per precisare meglio l’ipotesi specifica centrata sull’idea di ‘costruzione’ e quindi un’indagine sulla consistenza della medesima. Il problema esistenza sottospazi può essere reinvestito in uno studio di questo tipo, magari
variando opportunamente il numero di vettori che compaiono nella combinazione lineare, le dimensioni dei sottospazi cercati e modificando i coefficienti
della combinazione lineare.
2. Uno studio teorico sulla possibilità di integrare i diversi quadri. In questo
studio l’interesse si sposta sulla dimensione teorica ed il settore disciplinare
coinvolto diventa un aspetto secondario. Tenendo presente che abbiamo motivato la scelta del quadro teorico elaborato da Sfard con la sua efficacia in
algebra, abbandonare questo settore porta a rimettere in discussione la scelta
stessa di questo quadro. Muovendosi lungo questa linea di ricerca, ci sembra
soprattutto interessante indagare le possibilità di integrazione tra modello ck/c
e teoria dei modelli intuitivi, proprio per gli aspetti fortemente complementari
che li caratterizzano. Una tale indagine può essere condotta almeno inizialmente tentando di ‘ri-leggere’ la letteratura esistente relativa a ciascun quadro
in termini dell’altro: concezioni di angolo (Vadcard, 2002), di funzione (Balacheff, Gaudin 2002) e modelli intuitivi della moltiplicazione, degli insiemi,
dell’infinito (Fischbein 1987, 1992).
9.4
The blind men and the elephant
Concludiamo questo capitolo e con esso la presentazione del nostro lavoro riportando
una poesia di John Godfrey Saxe (1816-1887) ispirata ad un’antica parabola indiana. Abbiamo trovato il riferimento ad essa e maturato l’idea di inserirla in questo
220
Conclusioni
contesto dal contributo presentato alla conferenza CERME4 da Uri Leron (Leron
2005), verso cui siamo quindi debitori.
The Blind Men and the Elephant4
John Godfrey Saxe
It was six men of Indostan
To learning much inclined,
Cried, Ho! what have we here
Who went to see the Elephant
So very round and smooth and sharp?
(Though all of them were blind),
To me ’tis mighty clear
That each by observation
This wonder of an Elephant
Might satisfy his mind.
Is very like a spear!
The First approached the Elephant,
4
The Second, feeling of the tusk,
The Third approached the animal,
And happening to fall
And happening to take
Against his broad and sturdy side,
The squirming trunk within his hands,
At once began to bawl:
Thus boldly up and spake:
God bless me! but the Elephant
I see, quoth he, the Elephant
Is very like a wall!
Is very like a snake!
Poesia e figura sono tratte dall’URL:
http://www.bookthink.com/0020/20bli.htm.
Una versione della leggenda a cui si ispira si può trovare all’URL:
http://www.cs.princeton.edu/∼ rywang/berkeley/258/parable.html.
9.4 The blind men and the elephant
The Fourth reached out an eager hand,
And felt about the knee.
What most this wondrous beast is like
Is mighty plain, quoth he;
’Tis clear enough the Elephant
Is very like a tree!
The Fifth, who chanced to touch the ear,
Said: E’en the blindest man
Can tell what this resembles most;
Deny the fact who can
This marvel of an Elephant
Is very like a fan!
The Sixth no sooner had begun
About the beast to grope,
Than, seizing on the swinging tail
That fell within his scope,
I see, quoth he, the Elephant
Is very like a rope!
And so these men of Indostan
Disputed loud and long,
Each in his own opinion
Exceeding stiff and strong,
Though each was partly in the right,
And all were in the wrong!
Moral:
So oft in theologic wars,
The disputants, I ween,
Rail on in utter ignorance
Of what each other mean,
And prate about an Elephant
Not one of them has seen!
221
222
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230
Appendice
Per dare un’idea del tipo di dati raccolti nella fase sperimentale, presentiamo la
trascrizione completa, non commentata, di un’intervista relativa al problema esistenza sottospazi.
Nella redazione della trascrizione abbiamo seguito le convenzioni che abbiamo definito nel paragrafo introduttivo del capitolo 7 e che riportiamo di seguito:
• La segmentazione dei protocolli in items segue i criteri:
– cambio di interlocutore: intervistato/intervistatore,
– pausa non breve (più lunga di 3 secondi circa),
– netto cambiamento di tema,
– stesura di un testo non commentata da parte del soggetto.
• La numerazione degli items segue l’ordine cronologico degli ‘interventi’, senza
voler fornire indicazioni sul tempo trascorso.
• I testi, eventualmente scritti dagli studenti mentre parlano, ed i relativi com-
menti sono inseriti all’interno di un unico item. In questo caso i testi scritti
sono riportati in un paragrafo separato.
• I puntini di sospensione ‘. . . ’ indicano una frase lasciata in sospeso o una breve
pausa di pochi secondi (2 o 3 circa), i due avvenimenti spesso coincidono.
• Indichiamo con ‘ inaudible ’ una parola, o raramente un’espressione, che
risulta incomprensibile dalle registrazioni.
• Inseriamo tra parentesi quadre ‘[ ]’ termini od espressioni lasciate sottointese
dall’interlocutore, che riteniamo opportuno esplicitare per agevolare le lettura
del testo.
232
• Eventuali annotazioni del tipo: ‘il soggetto bisbiglia’, ‘ripete a voce alta quello
che scrive’, ecc. sono in italico.
Aur – primo anno – high – 2002
Problema esistenza sottospazi:
Sia V uno spazio vettoriale reale e siano u 1 , u2 , u3 , u4 e u5 cinque vettori
√
linearmente indipendenti in V. Sia u = 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5 .
• Dire se esistono due sottospazi di V, W 1 e W2 , di dimensione 3 tali che
W1 ∩ W2 =< u >.
• Dire se esistono due sottospazi di V, U 1 e U2 , di dimensione 2 che non
contengono u e tali che u ∈ U1 + U2 .
.
1. Aur: mi riscrivo le ipotesi – leggendo il testo, scrive:
u1 , . . . u5 lin.ind.
√
u = 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5
2. Aur: qui [< u >], quando è cosı̀ indica lo spazio generato da u o u solo?
3. Int: lo spazio generato
4. Aur: lo spazio generato da u
5. Aur: quindi devo trovare due sottospazi che abbiano come intersezione un
sottospazio di dimensione uno
6. Aur: considerando che quei cinque vettori sono linearmente indipendenti,
potrei prendere come W1 rispettivamente il sottospazio generato da u 1 , u2 e u
W1 = Span < u1 , u2 , u >
e W2 lo spazio generato da altri due vettori linearmente indipendenti u 3 , u4 e
u,
W1 = Span < u3 , u4 , u >
vediamo se cosı̀ funziona?
Appendice
233
7. Aur: allora, va be’ intanto u sicuramente starà nell’intersezione
8. Aur: allora u è combinazione lineare dei cinque vettori indipendenti inaudible
9. Int: forse ho dimenticato di specificarlo, lo spazio vettoriale è reale
10. Aur: ah, sı̀ sı̀
11. Aur: quello che sto cercando di pensare è praticamente che con il fatto che u
è combinazione lineare di quei cinque vettori, se facendo una cosa del genere
con gli spazi: W1 lo spazio generato da u1 , u2 e u e W2 lo spazio generato da
u3 , u4 e u che non si intersecano più che nello spazio generato da u
12. Aur: proprio per il fatto che è combinazione lineare di questi
13. Aur: un vettore appartenente a W 1 , w1 si scriverà come α1 u1 + α2 u2 + α3 u,
mentre un vettore appartenente a... con gli α i appartenenti a R
w1 = α 1 u1 + α 2 u2 + α 3 u
αi ∈ R
un vettore dell’altro sottospazio si scriverà β 1 u3 + β2 u4 + β3 u
w2 = β 1 u3 + β 2 u4 + β 3 u
βi ∈ R
14. Aur: (bisbiglia tra sé ripetendo quello che scrive)
√
w1 = α1 u1 + α2 u2 + α3 ( 2u1 − 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5 )
√
w2 = β1 u3 + β2 u4 + β3 ( 2u1 13 u2 + u3 + 3u4 − πu5 )
15. Aur: (sottovoce) però non so dove arriverò, allora... un attimo
16. Int: perché hai scritto w1 e w2 ?
17. Aur: perché, hmm...
18. Aur: cerco di vedere quando un elemento appartenente ad uno dei due spazi
appartiene anche all’altro
19. Aur: e per vedere se è solo...
20. Aur: cioè quello che voglio vedere è che se va bene questa cosa qui nel senso
che se l’intersezione è solo, è solo lo spazio generato da u...
234
21. Aur: però non so perché ho preso questa via
22. Aur: allora, preso nell’intersezione, quindi si scriverà sia come combinazione
lineare degli elementi della base di W 1 sia come una combinazione lineare degli
elementi della base di W2 , quindi invece che fare cosı̀, prendo un elemento
nell’intersezione...
23. Aur: che quindi si scriverà... chiamiamolo solo w... si scriverà sia, allora, come
combinazione lineare della base di W 1 e come combinazione lineare dell’altra
w = α 1 u1 + α 2 u2 + α 3 u = β 1 u3 + β 2 u4 + β 3 u
24. Aur: hmm... quindi, affinché w appartenga all’intersezione
α1 u1 + α2 u2 − β1 u3 − β2 u4 + (α3 − β3 )u = 0
25. Aur: che me ne faccio?
26. Aur: potrei riscrivere a questo punto u come... però a quel punto arriverei
solo alla combinazione lineare dei cinque vettori indipendenti, e posso dire che
è nulla, però...
27. Int: spiegami meglio, se puoi perché non ho capito bene quest’ultima parte
28. Aur: no, stavo dicendo, a questo punto l’unica cosa che mi viene in mente di
fare è scrivere u per intero come la sua combinazione lineare di cinque vettori,
e... arrivo ad un condizione sui coefficienti, perché la combinazione lineare dei
cinque vettori deve essere, cioè tutti i coefficienti devono essere nulli, perché
sono indipendenti
29. Aur: però... non... una volta trovata la condizione sui coefficienti non so
cosa... cosa farne
30. Aur: non trovo altre... forse, mi viene in mente che, il fatto che uno spazio
vettoriale ha almeno, cioè ha cinque vettori linearmente indipendenti quindi
la dimensione di V è maggiore o uguale a cinque
31. Aur: quindi potrei... trovare come, diciamo, una parte della base di V ,
utilizzare i vettori canonici di... però, no... non so che dimensione... cioè
Appendice
235
32. Aur: se prendo... i due spazi W1 , W2 come spazio generato, uno da una parte
da...il vettore e1 dove si intende il vettore (1 0 0 0 0) e e 2 e u e come W2 , e3 , e4
e u e... a quel punto il...
33. Aur: no, a parte che è sbagliato dall’inizio perché questo non ha dimensione
tre e questo neanche
34. Aur: no, aspetta... allora...
inaudible u 1 , u si scrive come combinazione
lineare di...
35. Int: quindi, com’è la dimensione di quegli spazi? corretta?
36. Aur: no... la dimensione, stavo pensando al fatto... al fatto che u è combinazione lineare degli u1 solo che in uno spazio, cioè, è combinazione lineare di,
tipo in W1 è combinazione lineare sı̀ di u1 e u2 però ci sono altri vettori indipendenti... se fosse solo combinazione lineare degli altri, non andrebbe bene
come dimensione perché sarebbe indipendente dagli altri
37. Int: dopo alcuni minuti di silenzio da parte del soggetto – diciamo che hai
detto un po’ di cose che secondo me possono aiutarti ad arrivare alla fine, per
trovare la soluzione del problema. Il mio problema è che hai detto un paio
di cose che tu hai detto vanno in direzione diverse. Quindi non so su quale è
meglio farti riflettere. Rispetto a questa che hai sviluppato di più, qual’è la
tua posizione adesso? Hai un posizione... chiara? Rispetto a questa strategia
che hai sviluppato di più, altre le hai solo accennate
38. Aur: cioè più che altro sono arrivata che volevo trovare un elemento nell’intersezione...
39. Aur: per vedere se apparteneva solo allo spazio generato da u e non dagli
altri e sono arrivata al punto che, tipo, cioè, posso solo porre, posso porre delle
condizioni sui coefficienti su come si scrive come combinazione lineare dei...
dei vettori... del, diciamo di una base di W 1 e di W2 , però non... a parte,
arrivo in fondo che comunque si scrive come combinazione lineare degli u i
40. Int: tipo che cosa inaudible se si scrive come combinazione, non mi è chiaro
41. Aur: prendo un elemento nell’intersezione
236
w ∈ W 1 ∩ W2
ho detto che si può scrivere come combinazione lineare di u 1 , u2 e u e come
combinazione lineare di u3 , u4 e u...
42. Aur: arrivo al fatto, cioè... che trovo una combinazione lineare degli u i che
deve, che è posto uguale a zero, quindi arrivo a delle condizioni sui coefficienti
43. Int: sai anche dire quali siano queste condizioni sui coefficienti, già che ci
siamo?
44. Aur: scrivendo u, allora
√
α1 u1 +α2 u2 −β1 u3 −β2 u4 +(α3 −β3 )( 2u1 − 13 u2 +u3 +3u4 −πu5 ) = 0
quindi ho che
(α1 +
√
2(α3 − β3 ))u1 + (α2 − 31 (α3 − β3 ))u2 + (α3 − β3 − β1 )u3 +
(3(α3 − β3 ) − β2 )u4 − π(α3 − β3 )u5 = 0
poiché gli ui sono indipendenti, avrò che tutti i coefficienti devono essere uguali
a zero, quindi avrò che (ripete quello che scrive)
α1 +
α2 −
√
2(α3 − β3 ) = 0
1
3 (α3
− β3 ) = 0
α3 − β 3 − β 1 = 0
3(α3 − β3 ) − β2 = 0
π(α3 − β3 ) = 0
45. Aur: però poi...
46. Aur: che cosa posso ottenere da questo? Che α 3 intanto deve essere uguale a
β3 , dall’ultima, π è diverso da zero quindi... e quindi
α3 = β 3
β2 = 0
β1 = 0
α2 = 0
α1 = 0
Appendice
237
cioè w si scrive come...
47. Aur: in entrambi i casi siccome... solo come multiplo di u perché trovo gli
altri coefficienti che sono nulli, quindi... quindi va be’... ho trovato che w
appartiene all’intersezione...
48. Aur: il fatto che w appartiene all’intersezione implica che la... la sua combinazione lineare come... degli elementi di W 1 , è solo, cioè... l’unico coefficiente
non nullo è il coefficiente di u e pure, come elementi di W 2 trovo la stessa cosa,
cioè... l’unico, l’unica possibilità è che sia multiplo di u
49. Aur: va bene?
50. Int: non sono io che ti devo dire se va bene o no
51. Int: sei tu devi arrivare alla conclusione
52. Aur: mi sembra di sı̀, allora ripercorro un attimo
53. Aur: ho preso W1 e W2 , come W1 ho preso lo spazio generato da u1 , u2 e u
e W2 lo spazio generato da u3 , u4 e u... allora, sono due spazi di dimensione
tre? Sı̀, in quanto u1 e u2 sono indipendenti per ipotesi e u si scrive come
combinazione lineare anche di altri vettori indipendenti e quindi è indipendente
coi primi due
54. Int: cosa vuol dire altri vettori indipendenti?
55. Aur: u3 , u4 e u5 , indipendenti da u1 e u2
56. Int: non devi cercare un tranello, non sono inaudible
57. Aur: sı̀, sı̀, no, no, mi metti il dubbio
58. Int: puoi sospendere un attimo lı̀ e vedere se torna il resto e magari poi tornare
lı̀
59. Aur: supponiamo vada bene che siano di dimensione tre, allora prendo un
elemento appartenente all’intersezione e quindi lo posso scrivere come combinazione lineare degli elementi, diciamo, della base di W 1 e della base di W2 ... e
quindi ho trovato, facendo cosı̀ che una combinazione lineare dei cinque vettori
238
indipendenti per ipotesi è uguale a zero, il che significa che i coefficienti devono
essere uguali a zero... e quindi sı̀ ho trovato sı̀ le condizioni, cioè ho posto i
coefficienti uguali a zero e ho trovato che il.. gli unici coefficienti che possono
non essere zero della... della combinazione di... allora, ho trovato che w... si
può scrivere solo come un multiplo di u, w se appartiene all’intersezione si può
scrivere solo come un multiplo di u
60. Aur: quindi dovrebbe andare bene
61. Int: e il dubbio sulla dimensione?
62. Aur: allora, la dimensione...
63. Aur: penso che vada bene perché, allora se u 1 , abbiamo u1 e u2 sono vettori di
V ... se, per esempio se considerassi V come spazio di dimensione cinque e quindi questi sarebbero una base, u1 , u2 , u3 , u4 e u5 sarebbero una base...avrei...
che
64. Aur: allora ho fissato su V una base, proprio u 1 u2 u3 , u4 e u5 ... praticamente è R5 , quindi ho che, come... diciamo le... in R 5 , cioè facendo questo
isomorfismo di fissare la base ho che u 1 in R5 ... nelle coordinate della base
lo scrivo come (1 0 0 0 0) e u2 come (0 1 0 0 0) mentre u lo scrivo come
√
( 2, − 13 , 1, 3, −π)
V
↓
R5
  √
2
     1
 0   1   −
     3
    
 0   0   1
    
 0   0   3
    
0
0
−π

1
 
0









allora per vedere se questi sono indipendenti, posso scrivere una... li metto
insieme, li considero una matrice e...
65. Aur: cioè faccio il...
66. Aur: praticamente la combinazione lineare di questi tre vettori e vedo, la
pongo uguale a zero e vedo che le tre incognite devono essere uguali a zero
Appendice
239
affinché, cioè l’unica soluzione è uguale a zero... che in questo caso è vero in
quanto, cioè...
67. Aur: ho
x+
√
2z = 0
y − 13 z = 0
z=0
3z = 0
πz = 0
le ultime due sono inutili praticamente... da cui sostituendo trovo, va be’
z=0
y=0
x=0
quindi la combinazione lineare uguale a zero di questi tre vettori è solo la
combinazione nulla, quindi sono indipendenti e lo stesso posso fare per, per gli
altri due... per l’altro spazio, cioè... per W 2
68. Int: quindi abbiamo finito?
69. Aur: sı̀
70. Int: andiamo al secondo punto
71. Aur: legge il testo della seconda parte del problema
72.
u∈
/ U 1 , U2
dimU1 = dimU2 = 2
t.c. u ∈ U1 + U2
73. Aur: cosı̀ ad occhio mi sa di no, però insomma...
74. Aur: dico che cosı̀ ad occhio mi sa di no perché u è combinazione lineare
di cinque vettori linearmente indipendenti... e se si scrive come somma di...
cioè è un elemento che si scrive come somma di, di un elemento di U 1 e di un
elemento di U2 , cosı̀ ad idea, al massimo può essere combinazione lineare di
quattro vettori linearmente indipendenti... allora, vediamo
240
75. Aur: fissiamo su U1 e U2 delle basi, chiamiamo B base di U1 con w1 e w2 e C
base di U2 con v1 e v2
B base di U1 , {w1 , w2 }
C base di U2 , {v1 , v2 }
76. Aur: quindi... U1 sarà lo spazio generato da w1 e w2 e U2 lo spazio generato
da u1 e u2
U1 = Span < w1 , w2 >
U2 = Span < v1 , v2 >
77. inaudible
78. Aur: U1 + U2 è lo spazio generato da w1 , w2 , v1 e v2 e ha una dimensione
minore o uguale a quattro
U1 + U2 = Span < w1 , w2 , v1 , v2 >
79. Aur: no, stavo pensando invece di prendere dei vettori qualsiasi come basi di
U1 e U2 ... poiché mi basta che siano due vettori linearmente indipendenti di
prendere quelli che ho già, cioè u 1 , u2 e... u5 , se io faccio cosı̀, se io prendo
come U1 lo spazio generato da u1 e u2 e come U2 lo spazio generato da u3 e u4
U1 = Span < u1 ; u2 > U2 = Span < u3 ; u4 >
80. Aur: il... va be’ intanto U1 + U2 sarà lo spazio generato dai quattro vettori
U1 + U2 = Span < u1 ; u2 ; u3 ; u4 >
81. Aur: sicuramente u non appartiene a... il... questo vettore u non può appartenere alla somma di questi due spazi, in quanto non... ne manca un pezzo,
diciamo al... gli elementi di questo, di questo spazio si scriveranno come combinazione lineare di questi quattro vettori e... poiché u 5 sicuramente non si
può scrivere come combinazione lineare di questi vettori, u sicuramente non
può appartenere a questo spazio
82. Aur: e lo stesso se scelgo in altro modo questi... questi vettori, a parte che,
cioè non dipende da...
Appendice
241
83. Int: ‘se scegli in altro modo’ cosa vuol dire? ad esempio se prendi u 5 al posto
di u1 ? intendi questo?
84. Aur: sı̀!
85. Int: dici non dipende dal fatto che hai lasciato fuori u 5 da questa scelta
86. Aur: qualsiasi altra base che io scelga, cioè anche se non scelgo questi cinque
vettori come base, ma come avevo fatto prima ne scelgo dei vettori a caso, basta
che siano indipendenti a due a due, comunque trovo che... u si scrive come
combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipedenti... e quindi, cioè
non riesco con quattro vettori linearmente indipendenti a scrivere, a scrivere u
87. Int: questo però me lo stai dicendo a voce, in un compito lo diresti cosı̀ ? Puoi
anche dirmi sı̀ lo scriverei cosı̀...
88. Aur: allora, vediamo se troviamo un modo di scriverlo
89. Int: cioè, ammesso che non vorrei inaudible , magari non sei ancora sicura
non vorrei inaudible di fartelo scriverti
90. Aur: no, no, sono abbastanza sicura di quello che ho detto, però come
scriverlo...
91. Aur: allora...
92. Aur: quando si scrive non so bene da dove partire, perché qua sono partita dal
caso; prendo come base questi elementi, gli elementi che ho già e dico che con
questi, avendo due spazi di dimensione due, con questi non riesco a scrivere u
come elemento appartenente alla somma. E poi sono passata al caso generale
dicendo anche se prendo altri due vettori linearmente indipendenti come base di
uno ed altri due linearmente indipendenti come base dell’altro, comunque sia u
si scrive come combinazione lineare di cinque vettori linearmente indipendenti
e quindi non riesco a scriverlo come elemento della somma, però...
93. Int: a voce è più facile dirlo ?!
94. Aur: sı̀
242
95. Int: per aiutarti, forse... cerchiamo di dire delle cose che mi sembra che non
sono state chiarite, magari si riesce a vedere come scriverle. Questo passaggio al
generale, mi sembra che questo dia un po’ di difficoltà, finché mi tengo gli u 1 ...
u5 si vede bene, ma poi io ad un certo punto dico se prendo anche un’altra base
succedono i soliti problemi. Ecco spieghiamo... secondo me bisogna cercare di
chiarire un po’ meglio questo punto qui. Se prendi un’altra base di chi? di che
cosa? dello spazio V ? degli spazi U1 e U2 ? A me questo, per esempio, non
è chiaro. Perché pare di capire che tu abbia detto dello spazio V però lı̀ hai
scritto solo di U1 e U2
96. Aur: no, di U1 e U2
97. Int: quindi prendiamo U1 e U2 generati da due coppie di vettori che non
sono necessariamente u1 , u2 , u3 ... se li prendiamo tutti e quattro linearmente
indipendenti
98. Aur: no, cioè non importa che siano tutti e quattro linearmente indipendenti,
basta che lo siano a due a due... perché voglio che abbiano dimensione due
99. Int: il punto è, mi pare, che u è combinazione lineare di cinque vettori linearmenti indipendenti... benissimo, se stesse in U 1 + U2 io dovrei poterlo
scrivere come combinazione lineare di quattro... di al massimo quattro vettori
linearmente indipendenti, potrebbere anche essere tre, diciamo al più quattro
vettori linearmente indipedenti tra loro. e quindi è lı̀ mi sembra, che secondo
te cade il coso, giusto? Cioè è questo secondo te il motivo per cui non si può
fare?
100. Aur: hmm
101. Int: mi pare di aver capito, ho interpretato bene?
102. Int: cerchiamo di dire perché non si può fare. perché questo u non si può
scrivere come combinazione lineare di quattro
103. Aur: perché... allora, preso comunque U 1 + U2 ... avrò che gli elementi di
U1 + U2 si scriveranno come...prendiamo questo caso qui, in questo caso qui
abbiamo (ripete scrivendo)
α1 w1 + α 2 w2 + α 3 v1 + α 4 v2
α1 ∈ R
Appendice
243
tutti gli elementi si scriveranno in questa maniera e...
104. Aur: ho un sottile dubbio... allora, no mi viene un dubbio perché
105. Aur: potrei prendere, cioè, potrei prendere come vettori del... della base di
uno u1 e u2 , dell’altro u3 e come altro vettore, lo chiamo, w1 che è proprio,
cioè che è somma di due... di altri due... di due... di u 4 e u5
106. Int: in che senso somma di u4 e u5 ?
107. Aur: cioè nel senso...
108. Int: u4 + u5 ?
109. Aur: no... stavo pensando, il fatto che dicevo.. del fatto che prendo... cioè,
io sto prendendo al massimo quattro vettori linearmente indipendenti... ma...
cioè... non... non nel caso in cui siano u 1 , u2 , u3 , u4 , ma nel caso in cui non so
chi sono ma so solo che sono indipendenti a due a due, uno dei vettori potrebbe
essere somma di uno dei due... potrebbe essere combinazione lineare di, di due
degli... di ui ... e dunque questo però mi metto un po’ in dubbio su.. su quello
che avevo detto prima
110. Int: mi sembra un’osservazione giusta che se w 1 e w2 sono dei vettori qualunqui
possono anche essere... possono essere sia u 1 che u2 , non essere né u1 né u2 ,
possono essere u1 + u2 o cose di questo genere... sempre che vada bene tutto
il resto voglio dire. E questo cambia le cose, dici?
111. Aur: nel senso che se io, ad esempio, come... va be’... U 1 ho detto generato
da w1 e w2 e hanno come w1 e w2 , u1 e u2 , quindi ho α1 u1 + α2 u2 (scrive).
Poi ho U2 generato da, come v1 prendo u5 e come v2 , u3 + 3u4 , allora
α1 u1 + α2 u2 + α3 u5 + α4 (u3 + 3u4 )
a questo punto, cioè questo non mi... le dimensioni vanno bene dei due spazi,
sono sempre di dimensione due e a questo punto preso α 1 uguale a, cos’era?,
√
2...(scrive e ripete)
α1 =
√
2
α2 = − 13
α3 = −π
α4 = 1
ottengo u come somma di elementi di U 1 e U2
244
112. Int: sei convinta, o...
113. Aur: sı̀ sı̀
114. Int: più convinta di questo che del ragionamento precedente?
115. Aur: sı̀
116. Int: le dimensioni sono a posto?
117. Aur: le dimensioni vanno bene, perché U 1 è generato da u1 e u2 che sono
indipendenti, U2 è generato da u5 e quest’altro vettore, chiamiamolo – com’era?
– v2 che è u3 + 3u4 che comunque sia è indipendente con u 5
118. Int: perché quello è indipendente da u 5 ?
119. Aur: perché, allora, potrei fare lo stesso ragionamento come facevo nell’esercizio prima per far vedere che u era indipendente da,dagli altri, da altri due
ui e... sempre, se considero...
120. Int: aspetta un momento, scusa se ti interrompo, ma io ho il sospetto che
questo ragionamento, ricorrere alle coordinate, tu lo faresti per convincermi,
a me, per dimostrarmi che hai ragione, mi sembra che lo faresti per questo. Io
sto cercando di capire perché tu sei convinta di questo
121. Aur: perché comunque u3 , u4 e u5 sono indipendenti, quindi se sommo u 3 e
u4 comunque rimarrà indipendente da u 5
122. Int: hai terminato?
123. Aur: penso di sı̀