Sottospazi vettoriali
Sottospazi vettoriali
Sia V uno spazio vettoriale.
Un sottospazio è un sottoinsieme non vuoto S
(sottoinsieme di V) è chiuso rispetto:
alla somma:
- per ogni s, t in S, vale s + t appartiene ad S;
e al prodotto per gli scalari:
- s appartenente ad S e λ appartenente ad
R, vale che λs appartiene ad S.
Esempio 1
X1
S=
X2
x1-2X2= 0
E’ un sottospazio di R2?
Considero due elementi di S
2a
2b
a
b
Verifico se la loro somma è elemento di S
2a+2b
a+b
=
2(a+b)
(a+b)
λ
Verifico se è λ a è elemento di S
2a
a
= 2a λ
aλ
Esempio 2
T=
X1
X2
X2≥ 0
E’ un sottospazio di R2?
Considero due elementi di S la loro somma
è un elemento di S perché la somma di due
numeri positivi o nulli è ancora un numero
positivo o nullo
Verifico se è λ v è elemento di S.
Non è detto
NON è UN SOTTOSPAZIO
Generatori
• Sia V uno spazio vettoriale considerare un
insieme di vettori di v si dice che n vettori
sono un sistema di generatori di V se ogni
vettore può essere espresso come
combinazione lineare degli n vettori.
Combinazione lineare di vettori
Dati due o più vettori u1, u2, … un ,
se si moltiplica ciascuno di essi per un numero
arbitrario (diverso da zero) e poi si sommano i
vettori così ottenuti, si ottiene una combinazione
lineare dei vettori dati.
Combinazione lineare di vettori
Quindi se:
w = c1u1 + c2u2 + … + cnun
(dove c1, c2,…, cn sono numeri non tutti nulli)
diciamo che il vettore w è una combinazione lineare
dei vettori u1, u2, … un.
Es.: u = (2; 3; -5); v = (1; 0; 4)
w = 2u + v = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5; 6; -6)
w è una combinazione lineare dei vettori u e v.
Esempio di combinazione
Siano v1=
,
v2=
v3=
tre vettori di uno spazio tridimensionale.
Esempio di combinazioni lineari è :
5
-3
+4
Dipendenza lineare tra vettori
N vettori (due o più) (u1; u2; …; un) si dicono
linearmente dipendenti
se ciascuno di essi si può esprimere come
combinazione lineare degli altri n-1 vettori.
Ciò equivale a dire che la combinazione lineare
degli n vettori è nulla (uguale al vettore nullo) per
valori dei coefficienti ci non tutti nulli.
Sono linearmente dipendenti
Vettori linearmente indipendenti
Siano x1 , x 2 ,, x n  un insieme di vettori di uno spazio vettoriale X
Siano a1 , a2 ,, an  scalari
Se sussiste la seguente relazione
a1x1  a2 x 2    an x n  0 ai  0
x1 , x2 ,, xn 
sono linearment e indipenden ti
Come stabilire
dipendenza/indipendenza di vettori
• Fare combinazione lineare dei vettori dati
• Scrivere il sistema di equazioni nei
parametri (sono le incognite del sistema)
• Risolvere il sistema
• Se le soluzioni sono tutte nulle i vettori
sono linearmente indipendenti, se almeno
una soluzione è non nulla allora sono
linearmente dipendenti.
Si considerino i vettori v1=
v2=
v3=
a)dire se i tre vettori sono linearmente dipendenti ;
b) dire quale tra i tre vettori è combinazione lineare dei restanti.
a) Consideriamo una generica combinazione lineare nulla dei tre vettori:
λ1
+λ2
+λ3
=
In base alla definizione dobbiamo verificare se tale uguaglianza è verificata con almeno
uno, tra gli scalari λ1 , λ 2 , λ 3, non nullo.
Le soluzioni del sistema sono date da λ1 = 0 , λ2 = -2 λ3, λ3 = λ3, ;
ad esempio λ1 = 0 , λ2 = -2, λ3 =1.
Poichè vi sono due scalari diversi da zero i tre vettori sono linearmente dipendenti.
b) I vettori che sono esprimibili come combinazione lineare dei restanti vettori sono
quelli associati a scalari diversi da zero ;
Si considerino i vettori v1=
v2=
v3=
Dire se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti
Il sistema ha per unica soluzione quella nulla, λ1 = λ2 = λ3 =0, e quindi i vettori sono
linearmente indipendenti.
Spanning a Space
Sia X uno spazio vettoriale lineare, e sia u1 , u 2 ,, u m  un
sottoinsieme di X.
Possiamo dire che il sottoinsieme u1 , u 2 ,, u m , “spanna” cioè genera
lo spazio X se e solo se
x  X (a1 ,, am ) ' x  a1u1    amu m
N.B. La dimensione di uno spazio è costituito dal numero minimo di
vettori che generano lo spazio
Base
Un sistema di generatori v1,v2,…..vn di uno
spazio vettoriale V, costituito da vettori
linearmente indipendenti è detto base di V
Base = n° minimo di generatori
= n° massimo di vettori linearmente
indipendenti
V={ v : v= a1v1+...+apvp }
dim(V)=p.
Come faccio a stabilire se i
vettori dati formano una base?
• Costruisco una matrice con i vettori dati
come colonne
• Calcolo il rango
• Stabilisco se sono linearmente
indipendenti (n° di vettori linearmente
indipendenti = rango)