EFFETTO COMPTON
Esperimento di diffusione dei raggi x
L’effetto Compton consiste in questo:
Se un fascio di raggi x colpisce una piastra di grafite(*)(carbonio), la
radiazione uscente viene deviata di un angolo Ɵ (perché i quanti di
energia dei raggi x colpiscono gli elettroni contenuti nella grafite e
vengono deviati come nelle palle da biliardo) e l’elettrone (miliardi di
elettroni) viene espulso con un angolo Φ. Si dimostra che, detta λ la
lunghezza d’onda del raggio incidente e λ' quella del raggio diffuso,
    
 > 
  C  1 cos  
1
(*) la
grafite ha la proprietà di moderatore delle reazioni nucleari
perché aumenta la lunghezza d’onda, diminuisce la frequenza
c    quindi diminuisce l’energia delle radiazioni quindi il calore
Nei reattori delle centrali nucleari si utilizzano delle barre di grafite.
C
è la lunghezza d’onda caratteristica di Compton
h è la costante di Planck
h
C
me  c
me è la massa dell’elettrone
c è la velocità della luce
m2 

 
 J  s   kg  s 2  s 
C    m   
  m
m 
 kg    kg 
s  
s 

Dalla (1) si osserva che la lunghezza d’onda della radiazione
diffusa dipende solo dall’angolo Ɵ con cui la radiazione viene
diffusa.
Compton riuscì a dimostrare tale formula ipotizzando, come aveva
fatto Einstein, la natura corpuscolare della luce; di conseguenza la
radiazione dei raggi x è costituita da quanti di luce, i fotoni, che
vanno a colpire gli elettroni posti nella grafite; dall’urto tra queste
due particelle si origina una deviazione sia del fotone che
dell’elettrone.
Dimostrazione
Applichiamo il principio di conservazione dell’energia al sistema
fotone-elettrone.
Energia del fotone prima dell’urto + energia dell’elettrone prima
dell’urto = energia del fotone dopo l’urto + energia dell‘elettrone
dopo l’urto
h   me  c  h    pe  c  me  c
2
2
2
2
4
1
pe=quantità di moto dell’elettrone
Applichiamo adesso il principio di conservazione della quantità di
moto all’urto fotone-elettrone
p = quantità di moto
del fotone prima
fotone B
dell’urto
p
p
O
pe


pR  p
C
elettrone
p  p  pe
p risultante ha modulo, direzione e verso di p.
p' = quantità di moto
del fotone dopo l’urto
pe=quantità di moto
dell’elettrone dopo
l’urto
Applicando il teorema di Carnot al triangolo OBC
pe  p  p  2  p  p  cos
2
2
2
2
2
2
2
2

h


h


h
2
pe 
 2  2  2     cos 
2
c
c
c
mettiamo insieme le formule (1) e (2)
2
 h   m  c 2  h    p 2  c 2  m 2  c 4
e
e
e

2
 2 h 2  2 h 2  2
h
 pe  2  2  2  2     cos 
c
c
c

dalla (1)
(h   h    me  c )  pe  c  me  c4
2 2
2
2
2
(h   h    me  c 2 )2  me  c 4  pe  c 2
2
2
sostituendo pe2 dell’equazione (2) nella (3) si ha:
3
(h   h    me  c 2 )2  me  c 4  h2  2  h2  2  2  h2     cos
2
sviluppando il quadrato si ha:
h   h    me  c  2  h     2  h  me   c  2  h  me    c  me  c4 
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2

 h   h   2  h     cos 
2
 2  h 2    2  h  me  c 2      2  h 2     cos 
2  me  c 2      2  h     2  h     cos 
2
h
   
    1  cos  
2
me  c
c   
 
c

La (4) in funzione di λ diventa:
c
h
c c


   1  cos  
2
   me  c   
c
h c c
1 1 
c    
   1  cos  
2
     me  c   
(4)
h
    
1 cos 
c 

      me     
     
h    
 1 cos  
c  me     
h
   
 1 cos  
me  c
  C  1 cos  
Einstein aveva ipotizzato, utilizzando l’ipotesi di Planck, che la
luce fosse composta di quanti di energia, i fotoni che si
muovono, secondo la teoria della relatività, con velocità v=c.
Dimostriamo che la massa a riposo dei fotoni è zero, ma la loro
quantità di moto relativistica è diversa da zero.
L’energia totale di una particella di massa m è:
E  mc
2
m    m0
sostituendo si ha:
E    m0  c
2
E
1
v2
1 2
c
 m0  c 2
v2
E  1  2  m0  c 2
c
ma per il fotone v=c
E  0  m0  c 2
0  m0  c 2
m0  0
il fotone ha massa a riposo 0
L’energia relativistica
E  p  c  m0  c 4
2
Per il fotone
2
2
m0  0
E
p
c
E  p2  c2  p  c
e per la legge di Planck
c   
h 
p
 
p
h 
c
h
p

fotone
Sin(x)
’, ’
, 
Sin(x)


raggi X
grafite
eelettrone