ISTITUTO DI METODI
QUANTITATIVI
Corso sperimentale di Matematica
per l’Economia e la Finanza
Modelli dinamici e applicazioni economico/finanziarie
Introduzione.
I modelli dinamici sono, normalmente, utilizzati per studiare fenomeni che si evolvono nel tempo. Possiamo
pensare in grande, come al moto dei pianeti, o in piccolo come all’evoluzione di una popolazione di batteri
in una capsula da laboratorio. Nel campo delle “scienze sociali” (economia, scienze politiche…) possiamo
considerare l’andamento dei prezzi della benzina o il numero di elettori di un partito. Ma gli esempi
possono essere molto più numerosi e vari, interessando altre discipline come la sociologia o la chimica o la
meteorologia.
Per descrivere e studiare questi fenomeni si fa ricorso a “modelli matematici”, cioè rappresentazioni
artificiali, necessariamente semplificate, della realtà, che consentano, però, delle “buone” (cioè attendibili)
previsioni.
Presupposto per poter usare il linguaggio matematico è, ovviamente, l’esistenza di grandezze misurabili in
modo oggettivo (il numero di individui di una popolazione, il prezzo di un bene, il saldo di un conto
corrente, l’indice dei prezzi al consumo…). Queste verranno chiamate variabili di stato e l’insieme dei loro
valori descrive il sistema in un determinato momento. Compito del modello dinamico è descrivere
l’evoluzione, il cambiamento nel tempo, di queste variabili.
Per ragioni di ordine pratico, restringeremo la nostra analisi a fenomeni per i quali il tempo possa essere
considerato una grandezza discreta, cioè assuma solo valori multipli interi di una data unità di misura
(giorno, mese, trimestre, anno…) a seconda del fenomeno specifico. In questo modo potremo sempre
considerare il tempo attraverso una variabile che assume solo valori interi e non nulli:
particolare, l’istante iniziale sarà convenzionalmente rappresentato con
In
.
E’ opportuno osservare come la scelta di un tempo discreto non sia affatto un limite alla rappresentazione.
Molti fenomeni, soprattutto nell’ambito delle scienze economico/aziendali, non hanno una natura
continua. Pensiamo ai saldi di un conto corrente, normalmente calcolati trimestralmente, oppure ai valori
di bilancio, prodotti con cadenza annuale (trimestrale per le società quotate), ma anche ai prezzi dei beni,
rilevati a scadenze precise.
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Equazioni alle differenze.
Nozioni di base.
Le equazioni alle differenze consentono di formalizzare problemi di natura molto diversa, che spaziano
dalla biologia, alla medicina, all’economia ed alla finanza.
Cosa hanno in comune il numero di individui di una popolazione di conigli, la quantità di pescato
nell’Adriatico, i saldi di un libretto di risparmio, l’ammortamento di un mutuo, i prezzi di un mercato
concorrenziale? Apparentemente nulla! Almeno da un punto di vista “fisico”. Riguardano discipline diverse,
ma che condividono, tutte, l’uso della matematica per formalizzare i problemi.
In estrema sintesi, un’equazione alle differenze è una “regola” per definire una sequenza di numeri. Il
significato di questi valori dipende dall’utilizzatore del modello. Possiamo procedere, attraverso il seguente
esempio, a costruire il nostro primo sistema dinamico.
Esempio [saldo di un libretto di risparmio]:
Un capitale iniziale di 100,00€ è depositato in un libretto postale il primo gennaio 2010. Poste Italiane
garantisce interessi annui pari al 5,00% del capitale in giacenza. Gli interessi sono capitalizzati una volta
l’anno1. Interessa conoscere i saldi del libretto ad ogni 1 gennaio.
Il meccanismo descritto ammette una semplice rappresentazione matematica:
S0= € 100,00
Saldo iniziale
S1= € 105,00
Saldo dopo un anno
S2= € 110,25
S3= € 115,76
Capitale
100
Interessi
100x0,05
Capitale
105
Interessi
105x0,05
Capitale
110,25
Saldo dopo due anni
Saldo dopo tre anni
Interessi 110,25x0,05
Ogni anno si aggiungono al saldo dell’anno precedente gli interessi maturati. Possiamo scrivere questa
relazione analiticamente:
1
Significa che ad una scadenza definita contrattualmente (solitamente il 31 dicembre), gli interessi vengono calcolati
sul capitale in giacenza ed “accreditati” sul libretto. Dal primo gennaio, gli interessi saranno considerati parte del
capitale e, il 31 dicembre successivo, concorreranno al calcolo dei nuovi interessi.
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La prima equazione prende il nome di condizione iniziale ed esprime il primo valore della sequenza di
numeri, la seconda equazione è la prima equazione alle differenze che incontriamo.
Osservazioni:
• I valori della tabella sono coerenti con le formule descritte, che potrebbero essere efficacemente
usate nella costruzione del modello in Excel;
• La “variabile” t assume solo valori interi e non negativi, infatti i saldi sono rilevati solo con cadenza
annuale, a partire dall’istante 0.
Esercizio [L’astrattezza della matematica]:
Nel periodo estivo del 2009 la temperatura media a Città del Messico è stata circa 100° (Fahrenheit,
ovviamente). Un noto ambientalista allarmista ha stimato che, per l’inquinamento atmosferico, si registrerà
un aumento del 5% della temperatura ogni anno. Calcolare le temperature previste per i prossimi anni.
Il nostro obiettivo è quello di “formulare e risolvere” equazioni alle differenze. Tuttavia occorre anteporre
alcune precisazioni, a partire dal concetto stesso di soluzione di una equazione alle differenze. Una volta
esplicitata la condizione iniziale, infatti, è sempre possibile calcolare la sequenza
.
Possiamo chiamare questo elenco di valori soluzione per enumerazione. Vale forse la pena di osservare
che, nel nostro esempio, se non disponessimo dello stato iniziale del nostro libretto di risparmio, non
potremmo nemmeno calcolare i saldi successivi. Insomma, l’equazione alle differenze, da sola, è inutile,
non consente nessuna previsione.
Risulta comunque impossibile ottenere direttamente
, senza enumerazione. Per questo motivo può
essere interessante ricavare dall’equazione alle differenze una formula del tipo
che trasformi
in
, senza passare dai 132 valori che lo precedono. Anche questa funzione
direttamente
merita di essere definita soluzione dell’equazione alle differenze. Parleremo, in questo caso, di soluzione in
forma chiusa.
Osservazione:
Purtroppo, non tutte le equazioni alle differenze ammettono una soluzione in forma chiusa.
Variabile di stato
Legge del moto
Usando l’esempio introdotto possiamo dedurre quale sia la forma generale di una equazione alle
differenze:
Come detto nell’introduzione, la variabile di stato descrive il sistema in un determinato istante di tempo,
mentre la legge del moto è la regola con la quale il sistema evolve nello stato successivo. Benché l’esempio
introdotto fosse particolarmente semplice, non occorre molta fantasia per capire che, in generale, il
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prossimo stato del nostro sistema può dipendere non solo dal precedente, ma da un numero di stati
precedenti. In questo caso si parla di equazione alle differenze di ordine k. Anche la forma analitica della
funzione f caratterizza l’equazione. In particolare, quando f è lineare2 parleremo di una equazione alle
differenze lineare, altrimenti di equazioni alle differenze non lineari. La distinzione è molto importante,
perché, come vedremo, le equazioni lineari hanno una soluzione in forma chiusa, mentre quelle non lineari
tendono a creare dei problemi.
A titolo di esempio, possiamo considerare le due equazioni alle differenze:
1.
2.
;
.
La prima è un’equazione alle differenze del primo ordine (compare solo nel membro di destra), ma non
lineare (infatti, svolgendo il prodotto compare una potenza). La seconda è un’equazione alle differenze del
secondo ordine (assieme a
, compare anche
) lineare3.
Come abbiamo già evidenziato, per poter cercare una soluzione, è necessario anche esplicitare una
condizione iniziale. Nel caso di equazioni alle differenze di ordine
della variabile di stato in t=0,
, però, non è sufficiente il solo valore
. Risulta necessario specificare i primi
valori delle variabili di stato,
indispensabili per calcolare il
Per concludere questa sezione preliminare, ritorniamo all’esempio del conto corrente postale, per trovare
anche la soluzione in forma chiusa.
Esempio [saldo di un libretto di risparmio] – Soluzione in forma chiusa:
E’ evidente che si tratti di una equazione alle differenze lineare del primo ordine. Riprendiamo l’espressione
analitica:
Ogni saldo del conto deve obbedire alla legge descritta, quindi:
2
Una funzione è detta lineare quando è additiva ed omogenea, cioè:
•
•
(additiva)
(omogenea)
Tuttavia, nel caso di funzioni di una variabile reale le funzioni lineari sono solo del tipo
. Con abuso di
, benché non
linguaggio, ma in modo abbastanza frequente, si definiscono lineari anche le funzioni
soddisfino le due proprietà.
3
Per riconoscere se un’equazione alle differenze è lineare, è sufficiente verificare che tutte le variabili di stato nel
membro di destra compaiano con esponente 1.
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Ed infine, ricordando che
, otteniamo
.
Modelli lineari: Crescita esponenziale e Indice dei Prezzi al Consumo.
L’indice dei prezzi al consumo (CPI, con acronimo anglosassone) è una grandezza impiegata dagli
economisti come misura del costo della vita e dell’inflazione. In Italia l’Istat provvede ad elaborare questo
indice a partire da un paniere di beni. Viene definito un anno base, come riferimento per tutti i prezzi
successivi e, fatto cento l’indice per questa annualità, si stima il tasso di crescita annuo dei prezzi.
Per non essere tacciati di provincialismo e disporre di dati pre-elaborati, possiamo fare riferimento
all’elaborazione (equivalente) del Bureau of Labor Statistics (L’Istat statunitense), che prende come
riferimento l’indice elaborato per gli anni 1983/1984 e, approssimativamente, ha stimato4 una crescita
media annua del CPI pari al 3,2% annuo.
Possiamo facilmente impostare il sistema dinamico corrispondente. La legge del moto sarà:
Con procedimento analogo a quanto fatto nella sezione precedente avremo
L’ultima formula è la soluzione in forma chiusa dell’equazione alle differenze del nostro modello. Notiamo
che è possibile calcolare il CPI in un qualsiasi anno successivo a quello di riferimento,
.
4
I valori del CPI calcolabili con l’ipotesi di una crescita costante del 3,2% annuo non sono molto diversi da quelli
rilevati empiricamente, cioè veri.
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Osservazione:
La sequenza dei CPI, scritta nella formula
“esponenziale”5.
manifesta chiaramente la propria natura
Il modello appena affrontato può essere generalizzato, considerando una qualsiasi quantità che aumenti di
costante per intervallo di tempo. Possiamo fissare, per comodità,
una percentuale
un’equazione alle differenze del primo ordine lineare del tipo
e avere
per
ed ottenere come soluzione in forma chiusa
5
Una funzione esponenziale è del tipo
l’esponente variabile.
.
, con la base
numero reale positivo diverso da 1 costante e
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Analogamente si può immaginare che una quantità decresca di una percentuale costante per intervallo di
tempo. Con la stessa notazione del modello precedente, avremo:
per
e la soluzione in forma chiusa
.
Modelli lineari affini: Un semplice piano di accumulo.
Come abbiamo detto un’equazione alle differenze del primo ordine è lineare solo se della forma
Tuttavia sono molto simili, matematicamente, delle forme del tipo
.
per
che abbiamo definito lineari affini.
Il caso che vogliamo studiare è quello di un semplice piano di accumulo. Riprendendo l’esempio del nostro
libretto postale, abbiamo a disposizione uno strumento finanziario che remunera annualmente il capitale
depositato ad un tasso del 5%. Nel nostro primo investimento abbiamo “conferito” capitale una sola volta,
all’inizio, ed abbiamo guardato crescere i saldi. Con il Piano di Accumulo, invece, a scadenze prefissate (per
comodità coincidenti con l’accredito degli interessi, prevediamo di integrare il nostro risparmio con un
. Questa semplice operazione cambia la legge del moto del nostro
versamento costante di
modello.
Infatti,
senza
necessità
di
ripetere
i
Il nuovo versamento
Il capitale più gli interessi
calcoli iniziali, il
saldo
del
prossimo anno sarà:
Anche in questo caso, conoscendo il versamento iniziale, siamo in grado di calcolare, per enumerazione, i
saldi successivi:
E’ interessante anche cercare una possibile soluzione in forma chiusa.
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Osservazione:
La formula appena ricavata appare meno chiara delle precedenti a causa dell’ultima parentesi. Tuttavia è
opportuno ricordare che
Finalmente, la soluzione in forma chiusa è:
L’espressione appena ricavata consente alcune valutazioni sull’operazione finanziaria intrapresa. E’
possibile, ad esempio, chiedersi dopo quanti anni avremo raddoppiato il capitale iniziale. Matematicamente
il problema equivale alla soluzione della disequazione
Senza indugiare, per brevità, nella soluzione di una disequazione esponenziale, si ottiene che dopo 6 anni il
capitale risulta più che raddoppiato.
Esercizio:
Un piano di accumulo prevede versamenti mensili di
in un prodotto finanziario che garantisce un
rendimento netto del
mensile. Non è previsto nessun versamento iniziale. Dopo avere scritto
l’equazione alle differenze che governa il sistema ed averne trovato la soluzione in forma chiusa,
determinare dopo quanti mesi il piano di investimento superi il valore di 10.000,00€.
Soluzione generale per le equazioni alle differenze del primo ordine lineari
(affini).
La soluzione dell’esercizio precedente suggerisce l’opportunità di sviluppare una soluzione in forma chiusa
per una qualsiasi equazione della forma
per
con
positivo (crescita) o negativo (decrescita) e
Seguendo passaggi simili a quelli già svolti avremo:
.
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Il modello matematico, così sviluppato, si adatta ad una varietà di problemi, non solo economici.
Esercizio:
Il Dottor Casa decide di somministrare ad un paziente un antibiotico in dosi costanti di 200 milligrammi ogni
12 ore. Il medicinale viene smaltito dall’organismo e la dose in circolo nel sangue si riduce del 40% ogni 12
ore. Costruire l’equazione alle differenze che rappresenta l’ammontare di antibiotico nel sangue del
paziente ogni 12 ore, risolvere il modello e calcolare il dosaggio dopo 48 ore di cura.
Ammortamento di un debito.
Ammortizzare un debito significa semplicemente ripagarlo. In un mondo capitalistico il tempo è denaro,
quindi per restituire in futuro un capitale prestato oggi, dovremo riconoscere al nostro creditore anche un
interesse (una sorta di premio per la pazienza). Uno dei metodi (matematici) più frequenti per ripagare i
debiti (mutui, prestiti personali, rateizzazioni di pagamenti, ma anche, con qualche piccola differenza,
leasing) è noto come “ammortamento alla francese”. La pratica consiste nel pagare, a scadenze fisse, una
somma di denaro costante che restituisce parte del capitale prestato e paga una quota degli interessi
maturati nel frattempo. Ad ogni pagamento, quindi, il debito si sarà ridotto, ma rimarrà, comunque, una
quota di capitale sulla quale matureranno nuovi interessi. Dopo ogni pagamento, il debito residuo
(
sarà il debito pregresso
, aumentato degli interessi (in ragione di una percentuale
dovuti per il periodo di tempo trascorso e diminuito della rata
corrisposta. Quindi
)
Esempio [Ammortamento di un debito]
Un mutuo prima casa di
deve essere restituito mediante il pagamento di rate annue di
importo 7.967,90€. Il tasso di interesse annuo concordato è
differenze del debito residuo e la soluzione in forma chiusa.
. Scrivere l’equazione alle
Ovviamente avremo
che ricade nel modello appena sviluppato in modo generale. Possiamo quindi ricavare, senza ulteriori
passaggi, che la soluzione sarà
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Osservazione:
Se provassimo, con l’ausilio di una calcolatrice, a calcolare
?
nullo. Cosa significa? Quanto varrebbe
troveremmo un risultato (praticamente)
Disporre di un modello generale permette alcune valutazioni ulteriori.
Esempio:
Un debito di 1.000,00€ deve essere ripagato in 20 rate mensili di importo costante. Il tasso di interesse
mensile concordato è
. Calcolare l’importo della rata da corrispondere.
Poiché è nota la funzione che definisce il debito residuo:
La richiesta è che
. Quindi si chiede di risolvere una (facile) equazione di primo grado:
dalla quale si ottiene, con un po’ di approssimazione
Esercizio [Il dilemma di Mastrotta]:
Un materasso del valore commerciale di 850,00€ è acquistato a rate. Si pianifica di pagare 36 rate mensili di
importo costante, riconoscendo al venditore un tasso di interesse mensile
modello dinamico che rappresenta i debiti residui. Calcolare l’importo della rata.
. Scrivere e risolvere il
Equazioni alle differenze del secondo ordine.
Possiamo ora considerare il caso di equazioni alle differenze lineari del secondo ordine. La forma generale è
In questo caso non è più sufficiente, per l’enumerazione delle soluzioni, una sola condizione iniziale. Infatti,
data la sola
non ci sarebbe modo di conoscere . Sono evidentemente necessarie due condizioni, o
meglio i primi due valori della sequenza di numeri.
Forse il primo di questi problemi è stato proposto e risolto nel 1202 dal matematico italiano Fibonacci.
Esempio [I conigli di Fibonacci]
Un agricoltore acquista una coppia di conigli (uno maschio e l’altro femmina), per avviare il proprio
allevamento. Gli animali sono troppo giovani per procreare immediatamente, ma saranno in grado di farlo
trascorso un mese. La particolare razza prescelta garantisce che ogni coppia di conigli è in grado di generare
una coppia (maschio+femmina) ogni mese a partire dal secondo. Supponendo che i conigli non muoiano,
vogliamo sapere quante coppie di conigli saranno presenti dopo
mesi.
Applicando le regole di natalità descritte, possiamo ottenere la successione delle coppie:
0
0
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3
3+
0
0
1
1+
0
0
1
1+
2
2+
0
0
1
1+
4
4+
2
2+
0
0
Le nuove coppie nate saranno in grado di produrre conigli solo dopo un mese. Numericamente, la
consistenza dell’allevamento sarà, mese dopo mese:
Questa soluzione è nota come successione di Fibonacci e può essere generata dall’equazione alle differenze
per
fissando
come soluzioni iniziali.
E’ interessante cercare di ottenere anche una soluzione in forma chiusa dell’equazione. In questo caso
adottiamo un metodo anche detto “per tentativi ed errori”. Cerchiamo una plausibile soluzione, la
sostituiamo nell’equazione alle differenze e vediamo a cosa ci porta.
Per le equazioni lineari del primo ordine abbiamo già visto che la soluzione è di tipo esponenziale. Proviamo
dunque una forma simile nel caso dei conigli e vediamo cosa possiamo ottenere. L’ipotesi è dunque
con
costante da determinare. Se la nostra ipotesi è corretta, allora dovremmo avere anche
Supponendo
, per ovvie ragioni e semplificando per , fattore comune e positivo tra i tre addendi,
l’equazione precedente risulta equivalente alla equazione di secondo grado
Il polinomio nel membro di sinistra è detto polinomio caratteristico dell’equazione alle differenze.
L’uguaglianza è vera per
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La soluzione
è nota come sezione aurea.
Abbiamo quindi trovato due soluzioni possibili soluzioni della nostra equazione alle differenze
In realtà ne abbiamo trovate infinite. Infatti possiamo dimostrare che anche una qualsiasi combinazione
lineare delle due soluzioni (una somma con dei coefficienti) è ancora una soluzione.
, per
qualsiasi, almeno per il momento. Dobbiamo verificare che
Consideriamo
soddisfa l’equazione alle differenze, ovvero:
Raccogliendo a fattore comune si ottiene
come volevasi dimostrare.
Il procedimento svolto fino a questo punto ha permesso di determinare una generica soluzione
dell’equazione alle differenze. Per concludere il problema del nostro agricoltore occorre determinare i
valori dei parametri
. Per farlo possiamo ricorrere alle condizioni iniziali:
Che si riduce al sistema
Con soluzione (unica!)
Finalmente, quindi, il numero di conigli dopo
mesi sarà
Il fatto più impressionante di questa formula è, provare per credere, che, nonostante i valori irrazionali, i
risultati che si ottengono sono sempre interi!
Osservazione:
Senza voler proseguire nei calcoli, conviene comunque ricordare che ogni equazione alle differenze lineare
di ordine può essere risolta con il metodo descritto. Il polinomio caratteristico sarà di ordine , come
saranno i parametri indipendenti da determinare. Per le equazioni non lineari, invece, i metodi analitici per
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la soluzione sono scarsi e si possono trovare soluzioni in forma chiusa solo per casi particolari.
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Esercizi proposti.
Esercizio 1. Ogni anno una colonia di conigli cresce, per effetto della natalità, del 3% (tasso di natalità)
della popolazione esistente. Nello stesso tempo, tuttavia, la popolazione diminuisce del 1,5% (tasso
di mortalità) della popolazione esistente, per effetto dei decessi (spontanei e per macellazione).
Sapendo che la popolazione attuale è di 300 conigli, quale sarà la popolazione tra n anni? Tra
quanti anni avrà superato la soglia di 1.000 conigli?
Esercizio 2. Un impiegato riesce a risparmiare 100,00€ al mese che deposita in un conto vincolato che
garantisce un tasso di interesse dello 0,30% al mese.
a. Calcolare il saldo del conto vincolato dopo n mesi, supponendo che non vengano effettuati
prelievi.
b. Dopo quanti mesi l’impiegato sarà in grado di acquistare l’ultimo modello di Home Theater
del valore di 20.000,00€, comprensivo di abbonamento alle dirette della ProPatria Calcio?
Esercizio 3. Una famiglia necessita di un mutuo prima casa per un valore complessivo di 120.000,00€.
L’Istituto di Credito erogante propone un piano di rimborso con rata mensile fissa ed interessi
mensili pari al 0,50% del debito residuo. Calcolare il numero di anni necessari per ripagare
completamente il debito.
Esercizio 4. Un Comune contrae un debito di 500.000,00€ per l’ammodernamento della rete fognaria.
Cassa deposito e prestiti propone un tasso di interesse semestrale pari al 2,47% ed un rimborso a
rate semestrali costanti. Calcolare l’importo della rata affinché il rimborso avvenga in 30 anni.
Esercizio 5. Sia
6
la soluzione del problema di Fibonacci. Dimostrare6 che
Suggerimento: dividere l’equazione alle differenze per
e supporre che il limite esista positivo.
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Equilibrio di un sistema dinamico discreto del primo ordine.
Come detto, non sempre siamo in grado di trovare una soluzione in forma chiusa della nostra equazione
alle differenze. In molte occasioni, tuttavia, questo non è un limite. L’interesse per la soluzione può essere
legato a conoscere l’evoluzione del sistema, al fine di prevedere se, prima o poi, si verificherà una
situazione di equilibrio.
Partiamo con la descrizione matematica del concetto di equilibrio di un sistema dinamico (discreto). Come
nel linguaggio comune, equilibrio significa “assenza di moto”. Un sistema dinamico è dunque in equilibrio
quando non vi è evoluzione. Nel caso delle nostre equazioni alle differenze l’equilibrio può essere
caratterizzato dalla condizione:
Poiché la legge del moto ci garantisce che
, l’equazione descritta diventa
Poiché la variabile è la medesima a destra e sinistra dell’uguale, possiamo anche omettere l’indice
ricerca degli equilibri si riduce, quindi, alla risoluzione di una semplice (?) equazione.
. La
Esempio.
Consideriamo l’equazione alle differenze non lineare
sistema.
. Cerchiamo gli equilibri del
Dobbiamo risolvere l’equazione7
Ovvero l’equazione di secondo grado
, che ha soluzioni
e
.
Osservazione:
Cosa succederebbe se la condizione iniziale fosse
?
L’interesse per lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è connesso al comportamento delle soluzioni
generali del sistema stesso.
Esempio [Evoluzione di una popolazione]
Riprendiamo il realistico esempio dell’esercizio 1. I nostri conigli crescono secondo il sistema
7
Come detto, eliminiamo l’indice!
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Ne conosciamo la soluzione in forma chiusa, essendo il sistema dinamico lineare:
Ora possiamo anche trovare l’equilibrio del sistema dinamico… sorprendentemente, l’unica soluzione è
.
Proviamo a chiederci cosa succederà al passare del tempo, quanti conigli affolleranno il nostro allevamento
lasciando passare le stagioni? Matematicamente il problema può essere risolto andando a “sbirciare” nel
futuro con l’operazione
Risultato prevedibile, per le note doti dei conigli! La popolazione tenderà ad esplodere, se non
intervengono meccanismi esterni.
L’equilibrio del sistema descritto, pur facile da determinare, non dà grandi soddisfazioni (la popolazione è in
equilibrio solo se non ci sono individui … eventualmente contati come coppie …). Ogni soluzione (in forma
chiusa), cioè indipendentemente dal valore
, inevitabilmente produrrà una colonia di proporzioni
sterminate! In situazioni di questo genere si parla di equilibrio instabile. Il contrario di questa situazione è
definito attrattore. Un equilibrio di un sistema dinamico è un attrattore globale quando per ogni valore
della condizione iniziale, la soluzione del sistema converge a :
La condizione può essere mitigata, definendo un attrattore locale, quando solo per alcuni valori di
la condizione descritta dal limite.
vale
Osservazioni:
1. Un sistema dinamico può non possedere equilibri (ad esempio
)
2. Se un sistema dinamico possiede un attrattore globale, questo è unico. (Perché?)
3. Se un sistema dinamico possiede più di un equilibrio, nessuno sarà un attrattore globale. (Perché?)
Esempio [Ancora sui conigli]
Forti della capacità dei bianchi roditori di crescere a dismisura, possiamo allora avviare un fiorente
commercio di conigli da compagnia (o da tavola). Programmiamo di rifornire il nostro cliente principale di
15 conigli adulti ogni mese (ovvero con la stessa frequenza delle natalità/decessi già rappresentati).
Vogliamo verificare l’equilibrio del sistema, trovarne la soluzione e verificare la stabilità del sistema.
Il sistema che governa l’evoluzione sarà ora
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Anche in questo caso, ne abbiamo già sviluppato la soluzione:
L’equilibrio è
da cui
simpatici conigli.
Possiamo ora verificare se l’equilibrio sia ancora instabile o un attrattore:

1, 015t − 1 
lim x t = lim  1, 015t × 300 − 15 ×
 = −∞ !!!
x →∞
x →∞
0, 015 

Siamo dunque destinati a vedere fallire i nostri sogni di ricchezza.
Lo studio della stabilità degli equilibri può, dunque, prevenire scelte economicamente avventate.
Matematicamente esistono metodi “classici”, basati su condizione analitiche richieste alla legge del moto
per garantire la stabilità degli equilibri e metodi “moderni”, che utilizzano anche condizioni grafiche,
attraverso i diagrammi di fase.
Stabilità dei sistemi dinamici: diagrammi di fase.
Un diagramma di fase è il grafico della funzione f che abbiamo chiamato legge del moto. Sull’asse delle
ascisse rappresentiamo l’”oggi”, ovvero x t , sull’asse delle ordinate il “domani, ovvero x t +1 .
Esempio:
Rappresentiamo il diagramma di fase dell’equazione alle differenze
1
x t +1 = x t + 1
2
1
La funzione di cui cerchiamo il grafico è f ( x ) = x + 1 : una retta crescente. La condizione che definisce
2
1
l’equilibrio, x = x + 1 , può essere letta come condizione di intersezione tra il grafico di f e quello della
2
bisettrice del primo e terzo quadrante.
Il diagramma di fase consente anche di “visualizzare” l’evoluzione del sistema. Sull’asse delle ascisse
possiamo infatti individuare il valore dalla condizione iniziale x 0 = −1 e “risalire” fino al grafico di f .
Troveremo così la coppia
domani, la coppia successiva sarà
sfruttando ancora la bisettrice.
, ovvero
, (oggi, domani). Poiché il domani di oggi è l’oggi di
… grazie alle proprietà di simmetria, possiamo “muoverci”
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Appare abbastanza evidente che, partendo dalla condizione iniziale, l’evoluzione del sistema porterà verso
l’equilibrio
Abbiamo finalmente trovato un equilibrio stabile, un attrattore. Provando con altri valori
iniziali, otterremo “percorsi” simili, tutti convergenti a . L’equilibrio è un attrattore globale.
Esercizio:
Ricavare la soluzione generale dell’esempio precedente e calcolare il
.
Esercizio:
Costruire il diagramma di fase dell’esempio dei conigli e studiare la stabilità dell’equilibrio.
Appoggiandoci allo studio del diagramma di fase, si intuisce che la stabilità dell’equilibrio è connessa alla
pendenza del grafico della legge del moto. Meglio, alla pendenza della legge del moto rispetto a quella della
bisettrice. Vale infatti il seguente
Teorema: Se è un equilibrio per il sistema dinamico
attrattore (almeno) locale.
e se
allora
è un
Osservazione:
Con sistemi lineari la valutazione è più semplice: basta considerare il coefficiente angolare!
Equilibrio in un mercato concorrenziale.
Equilibrio statico
Un mercato si dice in equilibrio quando la domanda uguaglia l’offerta del bene venduto. Per semplicità
assumiamo che nel mercato sia venduto un unico bene indifferenziato: Caffè.
La variabile che influenza principalmente tanto la domanda quanto l’offerta è il prezzo del bene. Il prezzo di
equilibrio è tale da garantire l’uguaglianza tra quantità domandata e quantità offerta. Normalmente,
all’aumentare del prezzo diminuisce la domanda (funzione decrescente) ed aumenta l’offerta (funzione
crescente). La forma funzionale più semplice per le due funzioni è lineare affine:
dove
è la quantità (domandata o offerta),
il prezzo e
sono parametri. In
economia si definisce poi il concetto di domanda potenziale, ovvero la quantità di caffè che sarebbe
domandata (e consumata) se il bene fosse gratuito ( ).
Osservazione:
• Il grafico delle due funzioni, dal punto di vista economico, esiste solo nel primo quadrante.
• Tutti i valori dei parametri sono rilevabili empiricamente.
La condizione di equilibrio statico, come detto, richiede
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QUANTITATIVI
Ovvero l’intersezione tra le due rette.
Esempio:
Siano la domanda e l’offerta di caffè regolate dalle funzioni:
e
Troviamo l’equilibrio di mercato. Anche senza ricorrere al grafico, possiamo ricavare
da cui
e la quantità di equilibrio sarà
Qualsiasi prezzo diverso da 15€ lascerebbe della domanda insoddisfatta o dell’offerta in eccesso.
Esercizio:
Verificare che il prezzo di equilibrio, in un modello con domanda e offerta lineari, è
.
Equilibrio dinamico.
Purtroppo i mercati non sono “naturalmente” in equilibrio, ma esistono processi di aggiustamento che, nel
tempo, possono condurre verso l’equilibrio. Il problema più ovvio è che produttori e consumatori non
assumono le decisioni contemporaneamente. Il caffè disponibile nel mercato oggi, infatti, è stato piantato
un anno fa. Se il consumatore decide quanto caffè acquistare in base al prezzo di oggi ( ), il produttore ha
dovuto decidere un anno prima quanto caffè produrre e offrire oggi, quindi in base a delle previsioni sui
prezzi (
). Una parte interessante dell’economia studia come queste aspettative si formino. L’idea più
elementare è che siano semplicemente i prezzi dell’anno prima:
definisce l’equilibrio diventa
Un sistema dinamico.
Esempio:
Riprendendo i dati dell’esempio statico, avremo:
Da cui si ottiene l’equazione alle differenze
. Ecco allora che l’equazione che
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QUANTITATIVI
La forma lineare dipende dalla forma iniziale delle funzioni di domanda e offerta.
Ecco quindi definito il meccanismo di aggiustamento dei prezzi. Ogni anno, per effetto della legge della
domanda e dell’offerta, i prezzi si aggiornano e, di conseguenza, le quantità domandate e offerte.
Supponiamo che
. Per questo prezzo, i coltivatori di caffè sono disposti a produrre solo 2 unità. La
domanda resterebbe insoddisfatta (potenzialmente si consumerebbero 26 unità) e, di conseguenza, i clienti
). Ecco fissato ! Con
sarebbero disposti a pagare prezzi più elevati, esattamente 12 euro (
questo prezzo, però, viene programmata una produzione eccessiva rispetto alla domanda: 14 unità
prodotte contro le 6 domandate. L’eccesso di offerta produce una diminuzione dei prezzi…
Possiamo sia scrivere la soluzione in forma chiusa, sia cercare l’equilibrio e la sua stabilità. Lasciando la
prima parte come esercizio, ci concentriamo sulla seconda. L’equilibrio è dato dalla condizione:
! Lo stesso equilibrio statico. Sia graficamente, sia in base al teorema, si
Risolvendo si ottiene
evidenzia che l’equilibrio è sicuramente stabile, ovvero possiamo aspettarci che i prezzi del mercato si
avvicinino a 15€.
Esercizio:
1. Dopo avere trovato, nell’esempio precedente, la soluzione in forma chiusa, determinare dopo
quanto tempo i prezzi saranno maggiori di 14€.
2. E’ possibile che, trascorso il tempo ricavato al punto 1., i prezzi diventino maggiori di 17€? E minori
di 12€? Perché?
Osservazione:
Un tempo infinito è chiaramente inconcepibile. Nella teoria economica, tuttavia, tale situazione è spesso
rappresentata come “Lungo Periodo”, un orizzonte temporale che trascende una singola generazione e nel
quale è possibile immaginare che anche il nostro mercato del caffè sia in equilibrio.
Esercizi proposti.
Esercizio 1. Rappresentare il diagramma di fase del sistema dinamico
, individuarne gli
equilibri e rappresentare la stabilità dell’equilibrio rispetto alla soluzione con dato iniziale
.
Esercizio 2. Dato il sistema dinamico
, trovare gli eventuali equilibri e dedurne la
stabilità.
Esercizio 3. In una provincia della Liguria la popolazione di cinghiali ha un tasso di natalità del 12%
annuo, mentre la mortalità naturale dell’8%. Ogni anno 100 nuovi capi si introducono dalle zone
limitrofe. L’assessorato alle Politiche agricole intende autorizzare la caccia fino all’abbattimento di
una percentuale k dei cinghiali ogni anno. Calcolare il valore minimo di k affinché il sistema abbia
un equilibrio stabile.
, mentre l’offerta
.
Esercizio 4. In un mercato la domanda è
ISTITUTO DI METODI
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a. Determinare l’equilibrio statico del mercato.
b. Verificare la stabilità dell’equilibrio.
Esercizio 5. Dimostrare che nel modello di mercato concorrenziale, l’equilibrio statico è stabile se e solo
se
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Sistemi lineari di equazioni alle differenze.
Finora abbiamo immaginato che il nostro modello potesse essere composto da un’unica equazione. Accade
spesso, però, che una sola equazione non sia sufficiente a rappresentare la complessità di un sistema. Si
ricorre quindi a sistemi di equazioni, ovvero a gruppi di equazioni alle differenze che devono essere risolti
simultaneamente. Il seguente schema rappresenta un generico sistema di equazioni alle differenze del
primo ordine:
Notiamo che ora le variabili di stato sono n e l’evoluzione di ognuna, potenzialmente, dipende dallo stato
precedente anche delle altre.
Nella forma più semplice, tutte le leggi del moto sono lineari. In questo caso il sistema può essere scritto in
forma matriciale, utilizzando strumenti dell’algebra delle matrici. Innanzitutto definiamo il vettore di stato
. Raccogliendo in una matrice tutti i coefficienti delle “x” nelle leggi del moto possiamo costruire
una matrice
e, analogamente, un vettore dei termini noti
equazioni alle differenze diventa allora
. Il sistema di
Molto simile, almeno nella forma, ad una singola equazione alle differenze.
Osservazione:
Quando il vettore
è il vettore nullo, il sistema si dice omogeneo.
Per questo tipo di sistema dinamico si pongo (con un maggiore grado di difficoltà) gli stessi problemi
incontrati finora:
1.
2.
3.
4.
Trovare le soluzioni per enumerazione;
Trovare una soluzione in forma chiusa;
Trovare eventuali equilibri;
Studiare la stabilità degli equilibri.
Non vogliamo approfondire questi problemi, quanto introdurre alcuni dei modelli che si studiano
nell’economia con dei sistemi dinamici lineari.
ISTITUTO DI METODI
QUANTITATIVI
Analisi di mercato.
Accade molto spesso che più concorrenti offrano un prodotto “omogeneo” alla propria clientela. Pensiamo
ad esempio ai servizi di telefonia mobile, ma anche al “prodotto” supermercato. In questi casi è quasi
fisiologico che vi siano delle “migrazioni” di clienti da una marca all’altra, variando, nel tempo, le quote di
mercato tra i concorrenti.
Esempio [I clienti di un supermercato]
Un noto marchio di supermercati ha aperto un nuovo punto vendita in grado di servire le popolazioni di
Busto Arsizio e Castellanza. Il numero di utenti è supposto costante e pari a 100. Sul territorio esiste un
concorrente e il mercato risulta equamente ripartito tra i due centri (50 al Supermercato X e 50 al
Supermercato Y). Il Supermercato X intende lanciare una nuova campagna di marketing, grazie alla quale
ritiene di poter fidelizzare l’80% dei propri clienti ed attrarre il 40% dei clienti del concorrente.
Vogliamo rappresentare l’evoluzione della clientela. Indichiamo con
il numero dei clienti dei due
punti vendita al mese t. La sintetica descrizione del problema ci dice, innanzitutto, che
Osservazione:
E’ importante notare che
ogni mese, data l’ipotesi di costanza dei clienti.
Possiamo scrivere le equazioni che governano il moto dei clienti, notando che il numero dei clienti di X
dipende anche da quelli di Y. Per farlo premettiamo una semplice considerazione: se l’80% dei clienti di X
resta fedele al marchio, significa che il 20% passerà, inevitabilmente, a servirsi da Y. Analogamente, il 40%
di clienti di Y che cambia supermercato, significa che il 60% resterà invece fedele. Quindi
Possiamo anche scrivere la forma matriciale del problema:
Osservazione:
1. La matrice dei coefficienti è, solitamente, chiamata matrice di transizione.
2. La somma dei coefficienti nelle colonne della matrice dei coefficienti è pari a 1. Perché? E’ un caso?
A questo punto, l’operazione più semplice è enumerare le soluzioni del sistema dinamico. Come nel caso
unidimensionale, partiremo da
Avremo
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Non ci soffermiamo certo sulla costruzione di una soluzione in forma chiusa (che comunque sarebbe
possibile). Ci interessiamo, piuttosto alla ricerca di un equilibrio. Infatti, i risultati dei primi due mesi
lasciano la curiosità se la campagna di marketing avviata abbia, in qualche modo, avviato la “fine” del
Supermercato Y.
Anche in questo caso, equilibrio significa assenza di evoluzione, ovvero:
Dove cambia solo il fatto che le variabili sono ora dei vettori. L’equazione sarà:
Come nel caso unidimensionale possiamo omettere l’indice t. L’equazione è ora da risolvere con le regole
dell’algebra lineare. Avremo, quindi
Dove il membro di destra è un vettore nullo (con tutte le componenti uguali a zero). Nel caso specifico
Per le regole dell’algebra matriciale, possiamo scrivere
Dove la seconda matrice è nota come matrice identità I.
Il sistema ha infinite soluzioni del tipo
Ovvero, possiamo dare qualsiasi valore alla x e la y sarà metà di x. Cosa significa? E’ forse un errore? In
realtà è una fortuna! Infatti una semplice soluzione del sistema precedente sarebbe stata x=y=0 e
ricordiamo l’insoddisfazione per tale tipo di equilibrio nel problema dei conigli. Ma ora i possibili equilibri
sono troppi! Dimentichiamo tuttavia un vincolo che era presente nel nostro modello: il numero totale dei
clienti. L’equilibrio è quello che garantisce x+y=100. Quindi
Cioè, con un po’ di approssimazione:
questo equilibrio.
. Omettiamo anche lo studio della stabilità di
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Osservazione:
La richiesta che, nella matrice di transizione, la somma degli elementi di ogni colonna sia 1 garantisce
l’esistenza di equilibri diversi da quello nullo. Potete immaginare perché?
Previsioni elettorali.
Immaginiamo una repubblica parlamentare perfettamente bipolare. Il partito X è al governo e quello Y
all’opposizione. L’azione politica di entrambi determina, ovviamente, lo spostamento delle preferenze da
uno schieramento all’altro. Il governo X opera in modo da garantire la fedeltà del 60% del proprio
elettorato e convincere il 10% degli elettori di Y della bontà delle proprie idee. Le elezioni si svolgono ogni
lustro e gli elettori sono in numero costante (600). Alle ultime elezioni X ha ottenuto 600 voti. Il partito Y
avrà mai la possibilità di governare?
Per rispondere al quesito è necessario impostare il sistema dinamico che rappresenta la composizione degli
elettori ad ogni tornata elettorale:
Possiamo quindi immaginare l’evoluzione dei votanti e osservare che, già il mandato successivo sarà
appannaggio del partito Y con 600 voti e, supponendo nulla cambi nelle preferenze degli elettori, la
situazione per X non migliorerà nelle tornate successive.
Esercizio:
Calcolare l’equilibrio del sistema descritto.
Esercizi proposti.
Esercizio 1. Tre operatori concorrenti di telefonia mobile competono in un mercato del valore
complessivo di 100 milioni di euro. Da analisi di mercato, si ottiene la matrice di transizione
. Inizialmente le quote di mercato sono
, espresse in milioni di euro di
fatturato.
a. Quale percentuale, ogni anno passa dall’operatore 2 all’operatore 1?
b. Calcolare le quote di mercato dopo 3 anni.
c. Determinare, se esiste, l’equilibrio di mercato.
Esercizio 2. [Un modello di parco-macchine] Una società di NCC (Noleggio con conducente) dispone di
25 veicoli in servizio. E’ stato rilevato che ogni settimana il 5% della flotta in servizio deve essere
fermata per riparazioni. Il 90% dei veicoli che si trovano in riparazione dovrà superare un collaudo
la settimana successiva prima di essere reintegrato nel servizio, il 5% richiede una ulteriore
settimana in officina ed il restante 5% deve essere tolto dal servizio. Infine, dei veicoli in collaudo
dopo la manutenzione, il 95% è rimesso in servizio dopo una settimana ed il 5% deve essere reinviato alla manutenzione. Ipotizzando che la società inizi la propria attività con tutti i veicoli in
servizio,
ISTITUTO DI METODI
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a.
b.
c.
d.
Scrivere le equazioni che governano l’evoluzione del sistema;
Determinare il numero di veicoli in servizio dopo tre settimane;
Calcolare un eventuale equilibrio del sistema;
Supponendo che la società programmi l’acquisto di 2 nuovi veicoli ogni settimana, come
verranno modificate le equazioni del sistema? E la soluzione di equilibrio?
Esercizio 3. In un mercato con due concorrenti la transizione dei clienti è governata dal sistema
dinamico
a. Determinare le quote di mercato dopo tre periodi, nell’ipotesi che
b. Calcolare l’eventuale equilibrio del sistema.
;
Bibliografia:
•
•
W. Briggs, Ants, Bikes, & Clocks, Problem solvings for undergraduates, SIAM, Philadelphia, US, 2005.
G.I. Bischi, R. Carini, L. Gardini, P. Tenti, Sulle orme del caos, Comportamenti complessi in modelli
matematici semplici, Bruno Mondadori, Milano, 2004.