La Géométrie di Descartes
Determinazione della tangente
ad una curva
Paolo Freguglia
Dept. of Engineering and Science of
Information and Mathematics (DISIM)
University of L’Aquila, Italy
Nel secondo libro della Géométrie troviamo il
tema cruciale che riguarda la dterminazione della
tangente ad un punto assegnato di una curva
assegnata. Descartes dice:
«[…] crederò di aver messo qui tutto quello che si
richiede per gli elementi delle curve quando avrò dato in
modo generale il metodo per tracciare le rette che
cadono ad angolo retto su un loro punto preso a piacere.
E oso dire che questo è il problema più utile e generale
che io sappia, ma anche che abbia mai desiderato di
sapere in Geometria.»
• Per Descartes il problema della determinazione
della tangente in un punto assegnato
B  (x0, y0) si riduce al problema della
determinazione della normale in quel punto
(essendo questa perpendicolare alla prima).
Quindi la normale è il raggio del cerchio
tangente nel punto considerato della curva
assegnata. Tra gli infiniti cerchi Descartes
sceglie uno di centro C  (v, 0) (variabile
sull’asse delle x).
• Poiché, come sappiamo, per Descartes le curve
geometriche sono esprimibili tramite un’equazione, si può
stabilire un metodo generale, valido per tutte, per trovare
la retta tangente alla curva in suo punto. Come dicevamo,
più che le tangenti Descartes cerca le normali cercando
appunto uno dei cerchi tangenti alla curva nel punto
considerato: il raggio del cerchio tangente che passa per
questo punto individua la normale e quindi la tangente
alla curva.
• La curva sia individuata da una equazione del tipo
P(x, y) = 0
• Fissato il punto O come origine del riferimento e
l’asse delle ascisse, note l’equazione della curva e
le coordinate del punto B di tangenza, si tratta di
determinare il punto C appartenente all’asse delle
ascisse in modo che la circonferenza di centro C
sia tangente in B alla curva. Individuare il cerchio
tangente significa trovare quel cerchio che ha in
B(x0, y0) due intersezioni coincidenti con la
curva.
• Sia OC = v e CB = s (raggio), l’equazione del
cerchio sarà:
y 2  ( x  v) 2  s 2
Per trovare le intersezioni tra cerchio e curva bisogna risolvere il sistema:

 P ( x, y )  0
 2
2  s2
y

(
x

v
)


che, dopo aver eliminato la y, si riduce ad una equazione nella sola x del tipo
Q(x) = 0.
Se l’equazione Q(x) = 0 deve avere una radice
doppia in x = x0 deve poter essere riscritta nella
forma
Q(x) = (x - x0)2 · R(x)
con R(x) polinomio incognito di grado inferiore
di due unità rispetto a Q(x).
• Per chiarire meglio il metodo cartesiano, proponiamo un
nostro esempio. Si individui cioè la normale alla parabola di
equazione y = x2 nel punto B di coordinate x0 e y0= x02 .
• Bisogna in primo luogo eliminare la y tra le
equazioni:
y = x2 della curva
e (x - v)2 + y2 = s2 della circonferenza.
In questo caso l’eliminazione è molto semplice, e
si ottiene l’equazione
(x - v)2 + x4 = s2,
ossia sviluppando x4 + x2 - 2vx + v2 - s2 = 0
• Si impone ora che questa equazione abbia una radice doppia per x = x0,
ossia che risulti
x4 + x2 - 2vx + v2 - s2 = (x - x0)2 ·(x2 + ax + b)
ovvero, sviluppando il prodotto a secondo membro, si ha:
Uguagliando i coefficienti delle potenze simili, si ottiene
da cui si ricava
In realtà trovare il raggio s è superfluo, dato che una volta determinato il valore
di v è individuato il centro C, e la normale si ottiene congiungendo C con B.
• Per approfondimenti e confronti si rimanda a:
http://web.math.unifi.it/archimede/note_storia/Gavagna-Laboratorio-tangenti.pdf