Superfici
Superfici
Ricordiamo che una superficie è luogo dei punti dello spazio le cui coordinate soddisfano una
equazione della forma F(x, y, z) = 0, detta equazione cartesiana della superficie.
Se l'equazione è un polinomio, si parla di superficie algebrica. In questo caso il grado della
equazione indica il numero di intersezioni che la generica retta dello spazio ha con la superficie e
viene più propriamente chiamato ordine della superficie. Per esempio:
F(x, y, z) = 0 di primo grado  piano
ax + by + cz + d = 0
F(x, y, z) = 0 di secondo grado  quadrica.
Quadriche
Esempi (sono date le forme canoniche delle equazioni delle quadriche, che sono forme
particolarmente semplici, dovute ad una scelta opportuna della posizione della quadrica rispetto al
sistema di riferimento).
sfera (con centro O e raggio r)  x2+y2+z2 = r2;
x2 y2 z 2
(1)  ellissoide  2  2  2 1
a
b
c
x2 y 2 z 2
(2)  iperboloide a una falda (iperbolico)  2  2  2 1
a
b
c
2
2
2
x
y
z
(3)  iperboloide a due falde (ellittico)  2  2  2 1
a
b
c
2
2
x
y
(4)  paraboloide ellittico  2  2 z 0
a
b
2
x
y2
(5)  paraboloide iperbolico  2  2 z 0
a
b
2
2
2
x
y
z
(6)  cono quadrico  2  2  2 0
a
b
c
Casi particolari:
Equazione omogenea  cono, con vertice nell'origine (ad esempio il cono quadrico appena visto o
x3 - xy2 + 3yz2 - 2xyz = 0 che è un cono cubico)
Equazione in cui una variabile non compare F(x, y) = 0 o F(x, z) = 0 o F(y, z) = 0  cilindro, con
generatrici parallele all'asse z, y, x rispettivamente (la variabile che non compare) e direttrice la
-1-
Laura Citrini
Superfici
curva F(x, y) = z = 0 e analogamente per le altre.
Un cilindro è in generale un luogo di rette generatrici tutte parallele tra loro e che passano per i
punti di una curva, piana o gobba: la direttrice. Se F è di secondo grado si parla di cilindro
quadrico, ma non è necessario, anche y2 = sinz è un cilindro (ha la forma della lamiera ondulata….).
Ma anche casi patologici: una coppia di piani (es: x2 
y2 = 0), una sola retta (es: x2 + y2 = 0) o un
2
2
2
2
2
solo punto (es: x + y + z = 0) o nessun punto (es: x + y + z2 = 4).
Le sezioni di superfici tra loro sono curve, ordinariamente gobbe, a meno che una delle due
superfici sia un piano.
Un
F
x
punto di una superficie è detto regolare se almeno una delle tre derivate parziali
F F
,
,
non si annulla nel punto, singolare altrimenti.
y 
z
Si chiama retta tangente ad una superficie in un punto regolare la tangente ad una qualsiasi
curva disegnata sulla superficie e che passi per tale punto, che deve essere regolare per la curva
stessa.
Se si considerano tutte le curve piane che passano per un punto regolare di una superficie, si può
dimostrare che le tangenti a tali curve (esistenti per la regolarità del punto stesso), appartengono
tutte ad un piano, detto piano tangente alla superficie nel punto. La sua equazione è

F
F 
F ( x x ) 


( y y P ) 
 
  ( z z P ) 0
P


x 
z P
y 
P
P
Esempio:
Superficie: S := xy2 + 3yz2 
2xyz = 1
P(0, 3, 1/3)S
L’equazione del piano tangente in P alla superficie è:
(y2 2yz)P x +(2xy + 3z2 - 2xz)P(y 3)+(6yz - 2xy)P(z 1/3) = 0
7x + (1/3) (y 3) + 6(z 1/3) = 0
Il vettore normale a tale piano è detto vettore normale alla superficie e per quanto detto ha per
componenti le derivate parziali calcolate nel punto.
Il piano tangente taglia la superficie secondo una curva piana C che ha nel punto P di tangenza un
punto singolare (di solito il punto si dice più precisamente "doppio"); se le tangenti in P a C sono
due rette distinte reali il punto si dice iperbolico, se sono immaginarie si dice ellittico, se sono
coincidenti si dice parabolico.
iperbolico
ellittico
parabolico
Nel caso delle quadriche vale una proprietà particolare molto interessante: tutti i punti della
-2-
Laura Citrini
Superfici
quadrica sono della stessa natura; ad esempio la sfera ha tutti punti ellittici, il cilindro circolare retto
tutti punti parabolici, l'iperboloide a una falda o il paraboloide iperbolico hanno tutti punti
parabolici. Tale proprietà però non è vera per altri tipi di superfici.
Equazioni parametriche
x(u, v ) 

Se si considerano tre funzioni definite e continue di due parametri u e v il punto 
y (u, v) descrive

z(u, v ) 

una superficie in forma parametrica (che in particolare è un piano se le tre funzioni sono lineari),
purché però le due variabili siano funzionalmente indipendenti; questo significa in parole povere
che nessuna delle tre funzioni deve essere ottenuta attraverso le altre.
Esempi di equazioni parametriche di quadriche già viste:
cos cos 

cos 

u cos 




sen





u 



 u
sfera 
, cilindro 
, cono 
sen
cossen
usen





(queste sono equazioni parametriche non razionali (cioè in cui i parametri non compaiono in
polinomi o quozienti di polinomi, ma ogni quadrica ha una rappresentazione parametrica razionale.
Non così per la generica superficie)
Se nelle tre funzioni si pone u costante (o v costante) si ottiene una curva, disegnata sulla superficie.
Più in generale se si pone u in funzione di v (o viceversa) si ottiene una curva sulla superficie.
Esempi:
 nella sfera = 0 dà "l'equatore", = 0 "il meridiano di Greenwich";
 nel cilindro u = 0 dà una direttrice (che è una circonferenza), = 0 dà una generatrice (che è una
retta);
 nel cono u = 0 dà un punto, il vertice e questi è un caso singolare, = 0 dà una generatrice (una
retta).
L'insieme di tutte le curve ottenute ponendo u costante (o v costante) viene chiamato sistema di
curve coordinate (sulla sfera sono, per esempio, i meridiani e i paralleli, sul cilindro e sul cono si
hanno le generatrici, e varie direttrici); ogni coppia di valori u, v dà un punto della superficie.
Un punto di una superficie algebrica in forma parametrica si dice regolare se è due il rango della
matrice costituita dalle derivate parziali:
x y z 

u u u 
x y z 


v v 
v
Il prodotto vettoriale dei due vettori riga di tale matrice individua il vettore normale alla
superficie nel punto e il piano passante per il punto e perpendicolare a tale vettore è il piano
tangente alla superficie nel punto, che quindi ha equazione:
-3-
Laura Citrini
Superfici


x x P y y P
x  
y

det 
   

u P u P

x  
y







v

v 

P
P


z zP 
z  0
 
u P 
z  
 
v 
P
Cioè:
y
z 
y
z
x
z 
x
z
x
y 
x
y




x xP 



z z P 0


y yP 

v 
v u 

u

v

v

u

u

v

v

u
u 




P
P
P
Le curve disegnate sulla superficie congiungenti due punti e che hanno la minima lunghezza sono
dette geodetiche e si dimostra che la normale principale ad ogni geodetica in un suo punto è la
normale alla superficie in quel punto, o anche che il piano osculatore alla curva nel punto è
perpendicolare al piano tangente alla superficie.
Sulla sfera, ad esempio, le geodetiche sono gli archi di cerchio massimo (sezioni della sfera con
piani passanti per il centro).
Se una superficie contiene delle rette, tale superficie si dice rigata e tra le rigate costituiscono una
classe importante le rigate sviluppabili, cioè tali che si possono distendere senza strappi su un piano
(ad esempio coni e cilindri sono rigate sviluppabili).
Se una superficie è rigata, le rette della superficie sono tra le sue geodetiche.
Ci sono molte proprietà della teoria differenziale delle superfici che, però, non possono essere
presentate in questo corso.
-4-
Laura Citrini