I luoghi piani (retta e cerchio) sono evidentemente casi particolari (degenerati)
di luoghi solidi (iperbole,parabola,ellisse). Questi luoghi infatti non sono altro
che quelli che contengono un punto ricercato da qualche problema cui manca
una condizione per essere interamente determinati, come in questo esempio,
dove tutti i punti di una stessa curva possono essere presi per quello richiesto;
se questa linea è retta o circolare si dice Luogo piano, se invece è una
parabola, un iperbole o un ellisse si chiama Luogo solido. Tuttavia, in ciascuno
di tali casi si può sempre pervenire ad un Equazione che contiene due incognite,
equazione del tutto analoga ad una di quelle che abbiamo appena risolto. Poi, se
la curva che così determina il punto cercato è di un grado più composto delle
coniche, possiamo chiamarla, nello stesso modo, un Luogo soprassolido. Se
per la determinazione poi di questo punto mancano due condizioni, il luogo dove
esso si trova è una superficie che può essere, ugualmente, piana, sferica o più
composta.
Quando il problema manca di una condizione, la soluzione non è una sola
(rappresentata da un solo punto),ma è rappresentata da infiniti punti giacenti su
una linea, il cui genere è determinato dalla complessità delle relazioni.
Quel che Descartes assume come primo genere di linee curve non può
comprendere altra linea se non il cerchio, la parabola, l’iperbole e l’ellisse.
Tutte le diverse soluzioni dei problemi con cui Descartes definisce il primo
genere sono rappresentate al massimo da equazioni di secondo grado. Come
l’autore ha suggerito, tale equazioni possono convenire solo al cerchio, all’ellisse,
alla parabola e all’iperbole, che costituiscono dunque insieme delle curve del
primo genere.
Se poi il problema è proposto per cinque linee tutte parallele, è chiaro che il
punto cercato sarà sempre su una retta. Giacché è naturale scegliere l’incognita
su una perpendicolare comune a tutte le rette date, appare evidente che tutti i
segmenti richiesti, essendo paralleli al segmento scelto, debbano contenere solo
quella incognita. Se invece è proposto per cinque linee, di cui quattro parallele,
e una, la quinta, che le intersechi ad angoli retti e tutte le linee condotte dal
punto cercato incontrino le linee date pure ad angoli retti,e, infine, il
parallelepipedo, formato da tre di queste linee condotte in tal modo su tre delle
parallele, sia uguale al parallelepipedo composto da due linee, condotte l’una
sulla quarta delle parallele e l’altra su quella che le interseca ad angoli retti, e da
una terza data, il punto cercato sarà sulla curva descritta dal movimento di una
parabola, nel modo cui sopra spiegato.
Nell’analisi delle curve di Descartes si deduce che tutte le altre proprietà
dipendono dagli angoli che tali curve formano con linee scelte e determinate.
La determinazione della normale e della tangente a una curva in un punto
costituisce l’attributo essenziale della curva stessa, attributo che fa conoscere
l’essenza di esse e permette di determinare le altre proprietà che sono tutte
secondarie rispetto alla prima.
Il metodo che Descartes descrive nella Geometria per trovare le tangenti a una
curva data può riassumersi nel modo seguent: data una curva di equazione
F(x,y)=0, si consideri una circonferenza centrata, per esempio, sull’asse y, la cui
equazione sarà G(x,y,r,yc)=0, dove r è il raggio e yc l’ordinata del centro. Si
considera il sistema:
F(x,y)=0
G(x,y,r,yc)=0
cioè l’intersezione della curva e del cerchio, ed eliminando, per esempio, x si
ottiene la nuova equazione H(y,yc,,r)=0. Se vogliamo che il cerchio sia tangente
alla curva bisogna che questa equazione abbia due soluzioni coincidenti. Quindi
si eguaglia H(y,yc.r) ad un polinomio nella variabile x, dello stesso grado di H e
avente due soluzioni identiche. Uguagliando poi ad uno ad uno i coefficienti
della stessa potenza della variabile(metodo dei coefficienti indeterminati) si
ottengono le equazioni che permettono di trovare yc e r e quindi di tracciare la
normale alla curva in un punto dato (il raggio) e quindi la tangente ad essa
perpendicolare. È interessante notare come nella geometria il problema delle
tangenti appaia come un problema “geometrico”, cioè esatto e perfettamente
calcolabile.
Decartes possedeva gia un metodo per la costruzione delle tangenti gia dal 1619
circa. Egli possedeva gia da allora una concezione particolare della tangente,
rappresentata come limite della secante i cui due punti comuni con la curva
giungono a confondersi e, conseguentemente, che da quella data la base del
metodo generale proposto nella geometria fosse gettato. Furono comunque
queste pagine della geometria che colpirono soprattutto i matemateci suoi
contemporanei e, intorno ad esse, si iniziò uno dei più interessanti dibattiti
scientifici del XVII secolo.
Il metodo introdotto da Descartes, metodo dei coefficienti indeterminati,
consiste ad uguagliare tra loro due polinomi nella stessa variabile ed a dedurne
tante equazioni quanti sono i coefficienti presenti. È importante notare che due
polinomi di stesso grado e stessa variabile possono avere coefficienti diversi e
assumere valori uguali per particolari valori della variabile. Se si vuole invece che
l’uguaglianza sia soddisfatta per tutti i valori della variabile allora,
necessariamente, i coefficienti delle potenze della variabile sono uguali ad 1 e
ciò conduce ad un sistema di n+I equazioni, n essendo il grado del polinomio. È
questo secondo caso il metodo dei “coefficienti indeterminati”.
Lo studioso Fermat ha un diverso modo di considerare il problema della
tangente. Il metodo di Fermat in termini moderni potrebbe così riassumersi: sia
P(x) un polinomio di grado qualunque nella variabile x. Per trovare gli estremi di
tale funzione basta riscrivere, ordinando i termini secondo la potenza della
variabile supplementare e, il polinomio P(x+e). Fermat applica il suo metodo alla
ricerca della tangente alla parabola in un punto dato.
Appare chiaramente che il metodo di Fermat ha poco in comune con il metodo di
Descartes. Quello di Descartes è puramente geometrico ed è chiaro che
conduce facilmente a calcoli assai complessi. Quello di Fermat è invece
difficilmente generalizzabile. Questo metodo è valido poi solo per le funzioni
polinomiali, ciò è assai limitativo. Pero il metodo di Fermat richiama
immediatamente l’analisi moderna ed il concetto di derivata, così come il
concetto di limite, indispensabile nell’analisi infinitesimale.
Descartes aggiunge inoltre la
spiegazione delle Ovali utili
per la Teoria della Catottrica
della Diottrica.