La Géométrie di Descartes
Le rappresentazioni geometriche delle
soluzioni delle equazioni
Paolo Freguglia
Dept. of Engineering and Science of
Information and Mathematics (DISIM)
University of L’Aquila, Italy
• Il primo libro della Géométrie inizia con l’affermare che come
l’aritmetica ha per i numeri le sue operazioni, così la geometria
ha per i segmenti analoghe operazioni.
• Descartes dice:
«Ma spesso [per stabilire il calcolo tra segmenti] non c’è bisogno di
tracciare questi segmenti sulla carta; sarà sufficiente designare con una
lettera una volta per tutte ciascuno di essi. Così per sommare un
segmento BD a GH io indico l’uno con a e l’altro con b e scrivo a + b,
e a - b per sottrarre b da a; e ab per moltiplicare l’uno con l’altro; e a/b
per dividere a per b; e aa o a2 per moltiplicare a per se stesso, [...] e
 (a2 + b2) per indicare la radice quadrata di a2 + b2 [...].»
Descartes introduce il segmento unità, cioè il segmento a cui compete il
nome 1. Vediamo ora il calcolo geometrico (con segmento non
orientati) presentato da Descartes. In realtà già Rafael Bombelli agli
inizi della seconda metà del Cinquecento (nel c.d. Quarto libro ritrovato
e editato da Bortolotti nel 1929) introduce predetto calcolo.
• Relativamente alla Fig.1 si ha
che AC = AB + CB e AB =
AC – BC
• Relativamente alla Fig.2 si ha
per Talete che:
AB : CD = BC : BE
BD  BC = AB  BE
Da cui essendo AB = 1 si
ottiene: BE = BD  BC
Per dividere BE per BD basterà
congiungere E con D, per cui
tirando la parallela per A a DE si
individua il punto C e dunque il
segmento BC risultato della
divisione.
• Relativamente alla
Fig.3, in base al secondo
teorema di Euclide si
ha:
GI2 = FG  GH
Da cui avendo posto
FG = 1
si ottiene:
GI2 = FG  GH
Ossia: GI  GH
• Vediamo quindi come seguendo Descartes si arriva
all’impostazione di una equazione algebrica :
«Così, volendo risolvere un problema [geometrico] si
deve innanzi tutto [...] dare nomi ad ogni segmento che
risulti necessario per la costruzione del problema, sia che
il segmento risulti dato, sia che risulti incognito rispetto
agli altri. Poi, senza considerare alcuna differenza tra i
segmenti dati e quelli incogniti, si deve analizzare il grado
di difficoltà del problema in modo da stabilire, in termini
più naturali possibili, le relazioni tra i segmenti in
questione. Ciò fino a trovare un modo per esprimere una
medesima quantità in due modi diversi. Si stabilisce così
una Equazione [...]»
• RAPPRESENTAZIONE
GEOMETRICA
• Consideriamo
l’equazione
z 2  az  b2
• Poniamo nella figura LM =
b, LN = (1/2)a con b e a
assegnate. Per Pitagora
avremo:
MN 

NL2  LM 2 
1 2
a  b2
4
• Essendo ON = NL
(raggi dello stesso
cerchio) avremo:
z  MO  NO  MN 

1

a
1 2
a  b2
4
Eliminiamo ora la radice e
si ha:
1
2
z  a 
a

1 2
a  b2
4

  b2


e qundi, sostituendo,
z 2  az  b2
• Dunque MO = z rappresenta
una delle radici
dell’equazione data. L’altra
soluzione si costruirebbe
considerando
NP – NM
dove NM > NP
essendo NP = (1/2)a e
NM 
1 2
a  b2
4
quindi
z  NP  NM 

1

a
1 2
a  b2
4
che risulta negativa. Descartes
non considera come «vere» le
soluzioni negative
• Per il caso:
z 2  az  b 2
si costruiscono
analogamente le soluzioni:
z1,2 
1
1 2 2

a b
a
4
Descartes propone la
figura accanto e procede
con lo stesso criterio
• Dunque, le soluzioni delle
equazioni di primo e di
secondo grado si ottengono
rispettivamente dalle
intersezioni tra retta e
circonferenza (vedi I libro
della Géométrie). Mentre
le soluzioni delle equazioni
di terzo e quarto grado si
ottengono intersecando una
parabola con una
circonferenza (vedi III
libro della Géométrie) .
Nella figura accanto ci si
riferisce al quarto grado.
• Ricordiamo ora, per il
seguito, che la Prop. I, 11
della Coniche di
Apollonio stabilisce che:
2    
al variare di , mentre
 è sempre costante.
 viene chiamato latus
rectum. Posto:
 = 2p (costante)
 = x e  = y la
precedente espressione
diventa: y2 = 2px
• Avremo
RAPPRESENTAZIONE
GEOMETRICA DI
EQUAZIONI DI QUARTO
GRADO
Consideriamo con Descartes
la seguente equazione di
quarto grado:
z 4  pz 2  qz  r
Diamo la seguente
costruzione (vedi figura
accanto)
- Siano assegnati il latus
rectum AS = 1,
AC = (1/2)AS,
CD = (1/2)p,
DE = (1/2)q, AR = r
tracciamo una parabola con
questi dati.
• - centro in V (essendo RV =
VS) con il compasso
tracciamo la
semicirconferenza RS
• - conduciamo la
perpendicolare AH che
incontri la
semicirconferenza RS in H e
tracciamo HE
• - centro in E, raggio EH
tracciamo la circonfeenza
FG
• - consideriamo quindi le
intersezioni fra la parabola e
la circonferenza FG
• Descartes dice:
«[…] Ora questo cerchio FG può
tagliare o toccare la parabola in 1, o 2, o
3, o 4 punti; tirando da questi puntile
perpendicolari sull’asse (della parabola),
si ottengono tutte le radici
dell’equazione, sia quelle vere [le reali
positive], sia quelle false [le reali
negative]. […] E infine se questo
cerchio non interseca né tocca la
parabola in alcun punto, ciò vuol dire
che non abbiamo nessuna radice né vera
né falsa dell’equazione e che esse radici
sono tutte immaginarie»
• Il problema associato alla
precedente costruzione è:
• Problema:
Date le lunghezze dei segmenti
AS, AC, CD, DE, AR (cioè la
figura accanto)
Trovare la lunghezza del
segmento KG.
Soluzione: Si ponga KG = z,
dalle proprietà della parabola si
ha:
AK : GK = GK : latus rectum
(latus rectum AS = 1) dunque:
AK = z2
• Dalla figura risulta:
DK = EM =
AK – (AC + CD)
Cioè, sostituendo,
DK = EM =
z2 – 1/2 – (1/2)p
che al quadrato diventa:
DK2 = EM2 =
z4 + 1/4 + (1/4)p2 – pz2 – z2
+ (1/2)p
• Sempre dalla figura si
ha:
DE = KM = (1/2)q
GM = KG + KM =
z + (1/2)q
Facendo il quadrato si ha:
GM2 = z2 + (1/4)q2 + qz
Dunque:
EG2 = GM2 + EM2 =
(*) z4 – pz2 + qz + (1/4)q2 +
(1/4)p2 + (1/2)p + 1/4
• Constatiamo che:
EG = EH (raggi dello
stesso cerchio)
EA2 = ED2 + DA2
Essendo:
ED = (1/2)q
AD = (1/2)p + q
per cui avremo:
EA 
1 2 1 2 1
1
q  p  p
4
4
2
4
• Abbiamo inoltre che:
AS : HA = HA : AR
Sostituendo:
1 : HA = HA : r
cioè: HA2 = r.
Dalla figura si ha:
EH2 = EA2 + HA2,
sostituendo avremo:
(**) EH2   1 q 2  1 p 2  1 p  1   r
4
4
2
4
• Poiché EG = EH (raggi di una
stessa circonferenza) e quindi
EG2 = EH2 confrontando (*) e (**) si
ha:
1 2
1 2
1
1
q 
p 
p 

4
4
2
4
1
1
1
1
  q 2  p 2  p    r
4
2
4
4
z 4 – pz 2  qz 
e a conti fatti si trova la:
z 4  pz 2  qz  r
Per cui z = KG interpreta
adeguatamente in modo geometrico
una sua soluzione reale mediante
l’intersezione circonferenza-parabola.