La Géométrie di Descartes
Le curve
Paolo Freguglia
Dept. of Engineering and Science of
Information and Mathematics (DISIM)
University of L’Aquila, Italy
• Il fatto di associare ad una curva un’equazione
e viceversa è l’aspetto cruciale della
Géométrie. E ciò va inteso come criterio
generale. Si inaugura così quella fase storica
che può essere chiamata di algebrizzazione
della geometria.
• Nel passato le curve venivano studiate in base
alla loro costruzione geometrico-sintetica.
• Vediamo come si procedeva con qualche
esempio, quando appunto le curve NON erano
legate alle equazioni
•
Da un punto di vista sintetico, facendo riferimento soprattutto
agli antichi, è molto significativo legare una curva ai metodi con
cui questa viene generata. Le coniche (Apollonius di Perga) come
sezioni di un piano con un cono, le cilindriche (Serenus di
Antinouplis) come sezioni di un piano con un cilindro e le
sferiche (Teodosio da Tripoli) come sezioni di un piano con una
sfera. Oltre quanto poc'anzi detto, si ritiene (Morris Kline) che i
greci, come illustra Pappo Alessandrino, classificassero le curve
in luoghi (curve) piane se costruiti mediante rette e cerchi e curve
lineari, come la quadratrice, la concoide, la cissoide e la spirale.
Faremo vedere di seguito un esempio, poco noto al lettore non
specialistico, di generazione di sezioni coniche mediante
intersezione di un piano con un paraboloide.
• Stando alle notizie che ci fornisce Roshdi Rashed,
Ahmad ibn Muhammad ibn 'Abd al Jalil al-Sijzi
fu un matematico persiano attivo fra gli anni
sessanta del X secolo e gli inizi dell'XI secolo.
Figlio di un matematico ebbe una cospicua
produzione scientifica e per quel che ci riguarda
studiò la geometria delle coniche dalla quale
riportiamo un interessante teorema e cioè che le
sezioni piane di un paraboloide possono dare o
parabole o ellissi o cerchi. Seguiremo la
ricostruzione di Rashed.
• Consideriamo il caso della
parabola, partendo dal
paraboloide generato dalla
rotazione della parabola CAD
(vedi Figura) . Si consideri il
piano secante HEI parallelo
all'asse della parabola CAD e
perpendicolare al piano di
CAD. Inoltre il piano HEI
taglia il piano CAD lungo la
retta ER e taglia altresì la
base del paraboloide lungo
IH. Avremo dunque ER//AB e
IH⊥CD. Nella parabola si
considerano le ordinate EQ,
KGL e MXN tali che ER tagli
KL in S e MN in D.
• Inoltre i cerchi di diametri
rispettivamente LK e MN
giacciono su piani
perpendicolari ad AB. A
questo punto tracceremo
SP⊥LK e OU⊥MN, essendo
P e U punti intercettati sulla
superficie del paraboloide. I
punti P e U stanno altresì sul
piano HEI. Da note
proposizioni euclidee
otteniamo:
 PS 2  SK·SL


2  OM·ON

OU

• e tenendo presente che
XU = XN (raggi di una
stessa circonferenza) e
che OX = GS = EQ per
costruzione, avremo:
OU 2  MO  ON  XN 2  OX 2


2
2
 XN  EQ

 PS 2  KS  SL  GL2  GS 2

 GL2  EQ 2

• Teniamo ora presente la
Prop. I, 20 delle
Coniche di Apollonio
I, 20: Nella parabola i
quadrati delle ordinate
sono proporzionali alle
ascisse.
Cioè, se Q1 e Q2 sono due
punti sulla parabola e le
rispettive ordinate sono
Q1V1 e Q2V2, allora:
Q1V12 : Q2V2 2= PV1 : PV2.
• Ricavando XN² e GL² si
ottiene dividendo e per
la I, 20 delle Coniche di
Apollonio:
2 MO  ON  EQ 2
XN
AX
(1)


GL2
KS  SL  EQ 2
AG
• D'altronde risulta KS⋅SL
= GL² - EQ² per cui,
essendo GQ = AG - AQ,
avremo:
KS  SL GL2
AG
GQ

1
1
AQ
AQ
(2) EQ2 EQ2
• Facendo il rapporto tra la (1) e
la (2) e tenendo presente che XQ
= OE e GQ = ES, si ottiene:
OU 2 MO  ON XQ OE



KS  SL
GQ SE
PS 2
Da cui discende che:
(3)
OU 2 OE
PS 2

SE
Quanto sopra ottenuto, cioè la (3),
può essere ripetuto per ogni
parallela a SP condotta da un punto
di ER, così, ad esempio:
IR 2
ER

PS 2 SE
Pertanto la sezione HEI è una
parabola
• Viene altresì
dimostrato che la
parabola HEI è
uguale alla parabola
CAD.
• Richiamiamo ora di seguito
alcuni aspetti dell’algebra prima
di Descartes, di quella fase
storica che potremmo definire di
geometrizzazione dell’algebra
• I principali algebristi nel XVI e XVII secolo
prima di Descartes:
- Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria […] (1494)
- Scipione dal Ferro (1505 o 1515)
- Anton Maria Fiore
- Gerolamo Cardano, Ars Magna (1545)
- Lodovico Ferrari (1544, 1545)
- Niccolò Tartaglia, Quaesiti et inventioni diverse (1546)
- Rafael Bombelli, L’Algebra (1572)
- Simon Stevin, L’Arithmétique (1585)
- François Viète, Isagoge in Artem analyticem, ecc. (1591, 1593)
- Chr. Clavius, Algebra (1608)
=======================
- Allievi di Viète (Vaulézard, Hume, Vasset, ecc. (1630))
- René Descartes, La Géométrie (1637)
• “Teoria” geometrico sintetica delle equazioni
algebriche (“Dimostrationi”) negli algebristi
del Cinquecento
• Costruzione di un modello geometrico euclideo
dell’uguagianza che alla base dell’equazione
medesima (possibile dal 1° al 4° grado)
• Interpretazione geometrica della procedura risolutiva
(possibile dal 1° al 3° grado)
• Determinazione con riga e compasso delle soluzioni
(possibile solo per il 1° e 2° grado) se vale il principio
di omogeneità dimensionale, altrimenti anche per il
3° grado (vedi succesivamente)
• Se ci soffermiamo (vedi di seguito a proposito delle
«dimostrazioni» (geometriche) degli algebristi del
Cinquecento delle equazioni) sulle interpretazioni delle
equazioni di primo, di secondo e di terzo grado (caso
solido) si osserva che esse avvengono in conformità con
un principio che associa ad ogni monomio dell'equazione
una superficie, nel caso del primo e del secondo grado,
un volume, nel caso del terzo grado. Per cui, come
tradizionalmente si dice, questa interpretazione
soddisfa al principio di omogeneità (dimensionale).
Più precisamente, si tratta di interpretazioni che
associano a x un lato, a x2 un quadrato, a x3 un cubo, ad
un numero o una linea (segmento), o una figura piana,
o una figura solida a seconda dei casi di omogeneità di
cui si è detto poc’anzi.
• François Viète (1540 – 1603)
Isagoge ad artem analyticem (1593)
• Esplicitazione come legge (Assioma
algebrico, nell’ambito della logistica
speciosa) del principio di omogeneità
• “Homogenea ad homogeneis comparari”
Es.: A cubus + B plano in A, aequetur C solido
• R.Bombelli (L’Algebra, 1572), Libro II
Dimostratione del Capitolo di Tanti eguale a numero
«E benchè questa scientia sia Aritmetica (come la chiamano
Diofante Autore Greco e li Indiani) però non resta che il tutto non
si possi provare per figure Geometriche (come fa Euclide
[applicazione delle aree] nel secondo, sesto, decimo). Però
volendo che il Lettore resti in tutto soddisfatto mi sono risoluto
porre tutte le dimostrazioni dello agguagliare, cioè Capitolo per
Capitolo, tanto in linea senza numero quanto in linea composto di
numero e questa parte non è men bella che dilettevole: però senza
altra circolutione di parole verrò alla dimostratione di questo
primo Capitolo di tanti uguale a numero».
«Questa dimostratione può essere in due modi, o in linea overo in
superficie, e prima sia in superficie».
• R.Bombelli (1572) : Dimostratione del Capitolo di Tanti eguale a
numero: modello geometrico dell’uguaglianza alla base
dell’equazione
ax = b caso: 3x = 24
Th.: Rect (pfbe) = Rect (ehgd)
Cioè: pf  fe = ed  eh
Interpretazioni:
x  fi = eh
1 fp = eb
24  fe = ih
3  ed = hg
Il teorema interpreta
la seguente espressione: 3x = 124
• R.Bombelli 1572: Interpretazione della procedura
risolutiva ax = b, caso: 3x = 24
Th.: Triang(eda) è
simile al Triang(efi)
cioè: fi : ad = fe : ed
Interpretando:
x : 1 = 24 : 3
cioè:
x=8
•
R.Bombelli (1572): Determinazione con riga e compasso
della soluzione dell’equazione: ax = b (case: 3x = 24)
1. Tracciamo fe = 24
2. Prolunghiamo fe con ed = 3
3. Tracciamo eb = fp = ad = 1
perpendicolari a fed
4. Prolunghiamo ae e fp
5. Determiniamo il punto i
6. Affermiamo che fi = x
“Dimostrazione” per l’equazione cubica quando si fa valere il
principio di omogeneità dimensionale
• G.Cardano (1545), R.Bombelli (1572)
• Th.: Cubo(r,k) + 3Parall.(m,i) =
= Cubo(c,k) – Cubo (b,s) =
= Gnomonide (r, k)
Caso: x3 + 6x = 20 (x3 + px = q)
uv = p/3 e u3 – v3 = q
Interpretazioni: x  ab
 x3  ab3 = Cubo (r,k)
 6x = 32x = 3uvx  3acbcab=
= 3 Parall(m, i)
 20 = u3 – v3 = q  ac3 – bc3 =
= Gnom(r, k)
“Dimostrazione” per l’equazione cubica quando NON si fa valere
il principio di omogeneità dimensionale
• R.Bombelli (1572) [applicazione del cd. 1° teor. di Euclide]
Caso: x3 + 6x = 20
• Th.: hi2 = mhhe =
= bc(hc + ce)
Interpretazioni:
mh = hn = bc
hi2  20
hc = nb  6
dc  1
bc  x (graficamente
determinabile) = 2
Geometricamente
cd : bc = bc : ce  1 : x = x : ce  ce  x2
• IL PROBLEMA DI PAPPO IN DESCARTES
• Il classico problema di Pappo (o di Apollonio), ripreso da
Descartes nella Géométrie (1637) , conduce ad
un'importante generalizzazione del concetto di curva come
luogo geometrico di punti. Si tratta appunto di introdurre un
metodo generale per trattare le curve. Questo tema viene
presentato da Descartes nel primo libro, dove vengono
riportati alcuni passi in latino tratti dalla traduzione di
Federico Commandino del 1588 delle Collectiones
mathematicae (VII libro) di Pappo. Pappo a sua volta si
riconduce ad Apollonio (III libro delle Coniche).
Riportiamo quindi alcuni passi del brano riportato da
Descartes.
• «Ecco in che cosa consiste un luogo geometrico relativo a tre e
quattro rette, a proposito del quale Apollonio fu il primo a scrivere.
Se, assegnate tre rette secondo la loro rispettiva posizione, si
conduce da uno stesso punto a queste tre rette altre tre rette secondo
angoli assegnati e viene dato anche il valore del rapporto fra il
rettangolo formato da due dei segmenti individuati dalle rette
condotte [dal punto considerato all'intersezione con le rette date] ed
il quadrato costruito sul terzo dei segmenti condotti, allora il punto
considerato si troverà su un luogo solido dato per posizione [...]».
• «Se su quattro rette assegnate per posizione si conducono da un
punto quattro segmenti con angolazioni date in modo tale che sia
dato anche il valore del rapporto tra il rettangolo formato da due
dei segmenti condotti e il rettangolo formato dagli altri due
segmenti condotti, allora il punto in questione si troverà su una
sezione conica data per posizione. D'altra parte se le rette
assegnate sono solamente due si può stabilire che il luogo
determinato sia piano; però se sono assegnate più di quattro rette,
il luogo descritto dal punto considerato non rientra tra quelli a noi
noti. [...] Se sempre da un punto considerato si conducono
segmenti con una certa angolatura a cinque rette assegnate per
posizione, in modo che sia noto il rapporto tra il parallelepipedo
rettangolo costituito da tre dei segmenti condotti ed il
parallelepipedo rettangolo determinato dagli altri due segmenti
condotti ed un segmento giacente sopra una delle cinque rette
assegnate, allora il punto descriverà una certa linea data per
posizione».
Dunque anche per sei rette assegnate è possibile far individuare al
punto considerato una linea data per posizione non appena sia
assegnato il valore del rapporto fra il parallelepipedo costituito da
tre segmenti condotti ed il parallelepipedo formato dagli altri tre.
Tuttavia se consideriamo più di sei rette dovremmo assegnare il
valore del rapporto fra figure geometriche di dimensione maggiori di
tre. Ciò non era compatibile con la mentalità di Pappo e degli antichi.
Descartes è però in grado di superare la limitazione eliminando ai
prodotti quell'interpretazione dipendente da quel principio di
omogeneità dimensionale tanto caro (esplicitamente) a Viète e
considerato (implicitamente) dagli altri algebristi (Cardano, Tartaglia,
Bombelli, Stevin, ecc.) del Cinquecento. Il metodo delle coordinate,
come vedremo tra poco con qualche esempio, deve molto a quanto
prospettato dal problema di Pappo.
• Per esempio:
• Posto AB = x e CB = y, assegnate le inclinazioni (angoli) e
utilizzando per i triangoli il teorema dei seni, si determinano CD,
CF, CH. Si possono così determinare per esempio i luoghi:
CH  CD
CH  CB
  oppure
  ' con  ,  ' R
2
CD

CF
CB
e a conti fatti dalla prima delle precedenti si può ottenere:
ax2  by 2  cxy  dy  ex  0 con a, b, c, d , e  R
• In breve e nel caso più semplice (come afferma
E.Giusti, 1987), per Descartes il problema di Pappo
consiste nell’assegnare 2n rette e quindi di trovare il
luogo dei punti tali che i prodotti delle distanze dalle
prime n rette siano uguali ad un multiplo dei prodotti
delle distanze dalle rimanenti. Sia C  (x, y),
Descartes fa vedere che la distanza di C dalla retta iesima è data da:
a xb y c
i
i
i
dove i coefficienti ai, bi, e ci dipendono dalla
retta considerata. Quindi il luogo dei punti cercato è:

n
i 1
(a x  b y  c ) i n1 (a x  b y  c )
i
i
i
2n
i
i
i
• Per Descartes le curve sono solo quelle che possono
essere espresse da equazioni algebriche (escludendo ad
esempio le equazioni trascendenti). Così la
contrapposizione tra curve geometriche e curve
meccaniche (come la spirale e la quadratrice) consisteva
nel fatto che quest’ultime non potevano essere messe in
equazione.
• Agli inizi del secondo libro della Géométrie viene
discusso il tema della generazione costruttiva delle curve.
• Qual’ è la costruttività che interessa Descartes? Egli sostiene
che "non c'è bisogno, per le linee che vengono introdotte [nella
Géométrie], di supporre niente altro che due o più linee
possono essere mosse l'una su l'altra e che le loro intersezioni
determinino altre curve".
• E' questa una posizione che conduce ad una certa
generalizzazione della nozione di luogo geometrico e che
porterà Descartes a progettare uno strumento ideale-concreto,
un nuovo produttore di curve piane accettabile quanto la riga e
il compasso. Questo strumento (vedi Figura) è il mesolabum o
compasso a squadre scorrevoli proposto nelle Cogitationes
privatae (1620) e mai da lui costruito. Ma ciò che interessa è il
suo funzionamento concettuale.
• Si consideri il punto O intorno al quale può ruotare in un senso determinato
un braccio OX, che nella posizione di partenza è sovrapposto al braccio OZ.
Sui due bracci OX e OZ sono predisposte a scorrere un certo numero di
squadre rettangolari in modo tale che nella posizione iniziale (OX
sovrapposto a OZ) queste squadre sono tra loro sovrapposte e i punti B, C,
D, E, F, G e H sono riuniti nel punto A. Facendo ruotare OX le righe
scorrono l'una rispetto all'altra in base al grado di libertà che ad esse rimane
ed è così che i punti D, F e H tracciano curve tra loro diverse di grado
maggiore di due. Il punto B invece traccia un cerchio di raggio OB.
• Per renderci conto di come funzioni questo
metodo costruttivo proposto da Descartes e la
metodologia scaturita dalla soluzione del
problema di Pappo, faremo vedere esempi
tratti dalla Géométrie.
• Riportiamo dapprima di seguito un esempio,
ripreso appunto dal secondo libro della
Géométrie, che illustra come Descartes
costruisce una curva di secondo grado e come
dalla costruzione risale alla relativa equazione.
• Tenendo presente la Figura,
la curva in questione sarà
individuata dai punti C
intersezione della retta (riga)
GL con la retta (riga) KN,
allorquando al ruotare in
senso antiorario intorno a G
della retta GL il punto K
scorre lungo l'asse AB di
modo che restino sempre
costanti i segmenti GA = a,
LN = c e KL = b.
• Posti allora CB = y e AB = x
(sono questi infatti i segmenti
che, individuando il punto C,
variano nel "movimento" del
sistema che genera la curva),
dalla similitudine dei triangoli
KLN e KCB (LN è costruito
parallelo a GA) si ha:
NL : LK  CB : BK cioè : c : b  y : BK
da cui : BK  (b / c) y
• Si ha pure che:
BL  BK  KL  (b / c) y  bAL 
AB  BL  x  (b / c) y  b
• Dalla similitudine dei
triangoli LGA e LCB (CB
è preso parallelo a GA)
abbiamo che:
CB : BL  GA : AL
• Sostituendo in base alle
posizioni fatte si ha:
y :[(b / c) y  b]  a :[x  (b / c) y  b]
e a conti fatti si ha a
conica:
Ax2  Bxy  Cy  D  0
dove A, B, C, D sono numeri
reali.
• Nel secondo libro della Géométrie troviamo
anche un interessante esempio in cui Descartes
applica da un lato l'impostazione relativa al
problema di Pappo, per il caso di cinque rette
assegnate, e dall'altro una tecnica costruttiva del
tipo poc'anzi visto. In questo modo egli fa così
vedere che si può determinare una medesima
equazione di una curva procedendo separatamente
secondo le due impostazioni da lui presentate per
l'individuazione di luoghi geometrici. Procediamo
secondo il problema di Pappo.
• Con riferimento alla
Figura sia AI = AE = GE
= a , le rette r, s, t, v siano
tra loro parallele e la retta
r sia perpendicolare alle
precedenti che interseca
rispettivamente nei punti
G, E, A, I. Si ponga quindi
CB = y e CM = x, avremo
allora:
CF  FB  CB  2a  y
CD  DB  CB  a  y
CH  CB  BH  a  y
• Da cui ponendo:
CF⋅CD⋅CH = CB⋅CM⋅DB
e sostituendo in base alla
precedente si ha:
(2a - y)(a - y)(a + y) = yxa
facendo i conti si ottiene:
y3  2ay2  a 2 y  2a3  axy
•
Ma Descartes fa vedere che si
arriva alla precedente equazione
se consideriamo il luogo
geometrico generato dal seguente
"movimento". Partiamo dalla
parabola CKM (vedi Figura) in
cui sia KL = a, essendo K il
vertice ed L il fuoco. Il luogo
verrà generato dai punti
intersezione della parabola con la
retta GL, allorché la parabola
scorre lungo l'asse t, avendo
solidale con la retta GL il punto L
e G fissato e centro della
rotazione di GL, subordinata allo
scorrimento della parabola lungo
t.