Corso sperimentale- Sessione suppletiva - a.s. 2007-2008
Soluzione di De Rosa Nicola
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ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
Tema di: MATEMATICA
a. s. 2007-2008
PROBLEMA 1
Siano dati un cerchio di raggio r ed una sua corda AB uguale al lato del quadrato in esso inscritto.
1. Detto P un generico punto della circonferenza, giacente sull’arco maggiore di estremi A e B, si
_____
2
consideri il rapporto:
_____
2
PA + PB
_____
2
e lo si esprima in funzione di x = tan PAˆ B
AB
2. Si studi la funzione f(x) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ, indipendentemente dai limiti posti dal
problema geometrico.
3. Detto C il punto d’intersezione della curva γ con il suo asintoto orizzontale, si scriva l’equazione della
tangente a γ in C.
4. Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva γ, la suddetta tangente e la retta di
equazione x = k, essendo k l’ascissa del punto di massimo relativo.
PROBLEMA 2
Si consideri la funzione:
y = a sin 2 ( x ) + b sin ( x ) + c
1. Si determinino a, b, c, in modo che il suo grafico γ passi per A(0,2), per B(π/6,0) ed abbia in B
tangente parallela alla retta 3 3 x + 2 y − 5 = 0 .
2. Si rappresenti graficamente la curva γ nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π.
3. Si calcoli il valore dell’area di ciascuna delle due parti di piano compresa fra la retta y=2 e la
curva stessa.
4. Tra tutte le primitive della funzione data, si determini quella il cui grafico passa per P(0,6) e si
scriva l’equazione della retta ad esso tangente in detto punto.
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QUESTIONARIO
1) Si determinino le costanti a e b in modo tale che la funzione:
⎧ax + b
⎪
f (x ) = ⎨ e x − 1
⎪
⎩ x
x≤0
x>0
risulti continua e derivabile nel punto x=0.
2) Un meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il punto d’incontro si trovi fra l’equatore
e il tropico del Cancro (latitudine λ = 23° 27’ nord)?
3) Si determini il numero reale positivo λ in modo che la curva rappresentativa della funzione
g ( x ) = e − λx divida in parti equiestese la regione delimitata dalla curva rappresentativa della
funzione f ( x ) = e λx , dall’asse x e dalle rette x = 0 e x = 1.
4) Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte
testa.
5) Si dimostri che l’equazione (3 − x )e x − 3 = 0 per x>0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli un
valore approssimato con due cifre decimali esatte.
6) Si dimostri che il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio r è medio
proporzionale fra il volume del cono equilatero inscritto e il volume della sfera.
(
)
7) Si calcoli il valore medio della funzione y = arccos 1 − x 2 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1
8) In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani sono assegnati i punti A(0,1), B(0,4). Si
determini sul semiasse positivo delle ascisse un punto C dal quale il segmento AB è visto con un
angolo di massima ampiezza.
ln x
9) Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione:
∫
1
et
dt nel punto P di ascissa
t2
x = e.
10) Tenuto conto che:
π
1
=
2
∫
1
dx
6 0 1− x2
si calcoli un’approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi d’integrazione numerica studiati.
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PROBLEMA 1
Siano dati un cerchio di raggio r ed una sua corda AB uguale al lato del quadrato in esso
inscritto.
Punto 1
Detto P un generico punto della circonferenza, giacente sull’arco maggiore di estremi A e B, si
_____
consideri il rapporto:
_____
PA 2 + PB 2
_____
2
e lo si esprima in funzione di x = tan PAˆ B
AB
Il quadrato inscritto nella circonferenza ha la diagonale pari al diametro 2r , cui corrisponde il lato di
lunghezza
2r
2
(
(
)
= r 2 . Quindi AB = r 2 . Inoltre per il teorema della corda AB = 2r ⋅ sin APˆ B per
)
cui sin APˆ B =
2
cui corrisponde APˆ B = 45° (supponendo che APˆ B sia acuto, assunzione che
2
non lede la generalità della discussione che porteremo avanti); per differenza, posto PAˆ B = α ,
ABˆ P = 135° − α come rappresentato nella figura sottostante:
Sempre per il teorema della corda si ha:
PB = 2r sin (α ), PA = 2r sin (135° − α ) = 2r [sin (135°) cos(α ) − cos(135°)sin (α )] = r 2 [cos(α ) + sin (α )]
. In tal modo
AB 2 = 2r 2
PB 2 = 4r 2 sin 2 (α )
PA 2 = 2r 2 [1 + sin (2α )]
per cui
_____
f (α ) =
_____
PA 2 + PB 2
_____
2
= 1 + sin (2α ) + 2 sin 2 (α ) = 1 + sin (2α ) + (1 − cos(2α )) = 2 + sin (2α ) − cos(2α )
AB
Sfruttando le identità goniometriche per cui sin (2α ) =
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2 tan (α )
1 − tan 2 (α )
(
)
, la funzione
,
cos
2
α
=
1 + tan 2 (α )
1 + tan 2 (α )
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⎞ 3x 2 + 2 x + 1
⎟⎟ =
.
1+ x2
⎠
⎛1− x2
2x
diventa f ( x ) = 2 +
−⎜
1 + x 2 ⎜⎝ 1 + x 2
Punto 2
Si studi la funzione f(x) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ, indipendentemente dai limiti
posti dal problema geometrico.
Studiamo la funzione f ( x ) =
3x 2 + 2 x + 1
1+ x2
Dominio: R
3x 2 + 2 x + 1
−1± i 2
= 0 ⇒ 3x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇒ x =
per cui non
Intersezioni asse ascisse: f ( x ) =
2
3
1+ x
ci sono intersezioni con l’asse delle ascisse
Intersezioni asse ordinate: x = 0 ⇒ f (0 ) = 1
Eventuali simmetrie: la funzione non è né pari né dispari
Positività: f ( x ) =
3x 2 + 2 x + 1
> 0 ∀x ∈ R
1+ x2
Asintoti verticali: non ce ne sono
⎛ 3x 2 + 2 x + 1 ⎞
⎟⎟ = 3 per cui la retta y = 3 è asintoto orizzontale
Asintoti orizzontali: lim ⎜⎜
2
t → ±∞
⎠
⎝ 1+ x
Crescenza e decrescenza: f ' ( x ) =
funzione
è
strettamente
(6 x + 2)(1 + x 2 ) − (2 x )(3x 2 + 2 x + 1) = − 2(x 2 − 2 x − 1)
(1 + x )
(1 + x )
2 2
crescente
in
(1 −
2 2
)
2 ,1 + 2 ,
strettamente
(− ∞,1 − 2 )∨ (1 + 2 ,+∞) e si annulla in x = 1 − 2 in cui presenta
m(1 − 2 ,2 − 2 ) ed in x = 1 + 2 in cui presenta un massimo relativo M (1 +
Concavità e convessità: f ' ' (t ) =
(
)
4( x + 1) x 2 − 4 x + 1
(1 + x )
2 3
per cui la
decrescente
in
un minimo relativo
)
2 ,2 + 2 .
per cui la funzione presenta tre flessi alle
ascisse x1 = −1, x 2 = 2 − 3 , x3 = 2 + 3 .
Il grafico è di seguito presentato:
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Punto 3
Detto C il punto d’intersezione della curva γ con il suo asintoto orizzontale, si scriva
l’equazione della tangente a γ in C.
Il punto C è dato dal la risoluzione dell’equazione
3x 2 + 2 x + 1
= 3 da cui si ricava C (1,3) .
1+ x2
⎡ − 2(x 2 − 2 x − 1)⎤
L’equazione della tangente in C è y = m( x − 1) + 3 con m = f ' (1) = ⎢
⎥ =1
2
⎢⎣ (1 + x 2 )
⎥⎦ x =1
pertanto la tangente è y = x + 2 .
Punto 4
Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva γ, la suddetta tangente e la
retta di equazione x = k, essendo k l’ascissa del punto di massimo relativo.
Calcoliamo l’intersezione della curva con la tangente: bisogna risolvere l’equazione
3x 2 + 2 x + 1
2
= x + 2 e cioè x 3 − x 2 − x + 1 = ( x − 1) (x + 1) = 0 ⇒ x = 1, x = −1 .
2
1+ x
Quindi l’ulteriore intersezione è D(− 1,1) .
L’area da calcolare è raffigurata in grigio sotto:
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L’area vale
1+ 2
∫
Area =
−1
1+ 2
∫
=
−1
1+ 2
∫
=
−1
⎡
⎛ 3x 2 + 2 x + 1 ⎞⎤
⎟⎟⎥dx =
⎜⎜
+
−
x
2
⎢
2
⎠⎦
⎝ 1+ x
⎣
⎡
2x
2
⎛
⎢x + 2 − ⎜3 + 1 + x 2 − 1 + x 2
⎝
⎣
⎞⎤
⎟⎥dx =
⎠⎦
2x
2 ⎤
⎡
⎢⎣ x − 1 − 1 + x 2 + 1 + x 2 ⎥⎦dx =
1+ 2
⎤
⎡ ( x − 1)2
=⎢
− ln x 2 + 1 + 2 arctan( x )⎥
⎦ −1
⎣ 2
(
[
)
=
)
( )]
= 2 arctan(1 + 2 ) + 2 arctan(1) − ln (4 + 2 2 ) + ln (2 ) − 1 =
⎛π ⎞
⎛ 3π ⎞
= 2 ⋅ ⎜ ⎟ + 2 ⋅ ⎜ ⎟ − ln (2 + 2 ) − 1 =
8
4
(
= 1 − ln 4 + 2 2 + 2 arctan 1 + 2 − [2 − ln(2) + 2 arctan(− 1)] =
⎝
=
⎠
(
⎝
)
⎠
5π
− ln 2 + 2 − 1
4
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PROBLEMA 2
Si consideri la funzione: y = a sin 2 (x ) + b sin ( x ) + c
Punto 1
Si determinino a, b, c, in modo che il suo grafico γ passi per A(0,2), per B(π/6,0) ed abbia in B
tangente parallela alla retta 3 3 x + 2 y − 5 = 0 .
Il passaggio per A(0,2) comporta subito
a b
+ + 2 = 0 ⇒ a = −2b − 8 .
4 2
La
derivata
c = 2 ; il passaggio per B(π/6,0) comporta
della
funzione
y = a sin 2 (x ) + b sin ( x ) + c
è
3
⎛π ⎞
(a + b ) per cui la terza condizione di tangente in B(π/6,0)
y ' = a sin (2 x ) + b cos(x ) e y ' ⎜ ⎟ =
⎝6⎠ 2
3
⎛π ⎞
(a + b ) = − 3 3 ⇒ a + b = −3 .
parallela alla retta 3 3 x + 2 y − 5 = 0 si traduce in y ' ⎜ ⎟ =
2
⎝6⎠ 2
Queste condizioni comportano i seguenti parametri incogniti:
⎧a = 2
⎪
2
⎨b = −5 ⇒ y = 2 sin ( x ) − 5 sin ( x ) + 2 = (1 − 2 sin (x ))(2 − sin ( x ))
⎪c = 2
⎩
Punto 2
Si rappresenti graficamente la curva γ nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π.
Studiamo la funzione f ( x ) = (1 − 2 sin ( x ))(2 − sin (x )) in [0,2π ]
Dominio: [0,2π ]
Intersezioni asse ascisse:
f ( x ) = (1 − 2 sin ( x ))(2 − sin ( x )) = 0 ⇒ sin ( x ) =
1
5π
π
⇒ x = ,x =
2
6
6
Intersezioni asse ordinate: x = 0 ⇒ f (0 ) = 2
Eventuali simmetrie: la funzione non è pari né dispari
Positività: f ( x ) = (1 − 2 sin ( x ))(2 − sin ( x )) ≥ 0 ⇒ sin ( x ) ≤
1
π 5π
⇒0≤ x≤ ∨
≤ x ≤ 2π
2
6
6
Asintoti verticali: non ce ne sono
Asintoti orizzontali ed obliqui: non ce ne sono
Crescenza e decrescenza: f ' ( x ) = 4 sin ( x ) cos( x ) − 5 cos( x ) = − cos( x )(5 − 4 sin ( x )) .
Ora f ' ( x ) > 0 ⇒ cos(x ) < 0 ⇒
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π
2
<x<
3π
mentre (5 − 4 sin (x )) > 0 ∀x ∈ [0,2π ] per cui la funzione
2
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⎡ π ⎡ ⎤ 3π
⎤ π 3π ⎡
⎤
è strettamente crescente in ⎥ , ⎢ , strettamente decrescente in ⎢0, ⎢ ∨ ⎥ ,2π ⎥ e si annulla in
⎣ 2⎣ ⎦ 2
⎦2 2 ⎣
⎦
x=
3π
⎛π
⎞
⎛ 3π ⎞
in cui ha un minimo relativo m⎜ ,−1⎟ , in x =
in cui ha un massimo relativo M ⎜ ,9 ⎟
2
2
⎝2
⎠
⎝ 2 ⎠
π
Concavità e convessità:
f ' ' (x ) = −8 sin 2 ( x ) + 5 sin ( x ) + 4 = 0 ⇒ sin ( x ) =
funzione presenta flessi alle ascisse per cui sin ( x ) =
5 ± 3 17
16
per cui la
5 − 3 17
5 + 3 17
in quanto sin ( x ) =
> 1 . Le
16
16
ascisse dei flessi saranno:
⎛ − 5 + 3 17 ⎞
⎛ − 5 + 3 17 ⎞
⎟, x = 2π − arcsin⎜
⎟.
x = π + arcsin⎜⎜
⎟
⎜
⎟
16
16
⎝
⎠
⎝
⎠
Il grafico è di seguito presentato:
Punto 3
Si calcoli il valore dell’area di ciascuna delle due parti di piano compresa fra la retta y=2 e la
curva stessa.
Si consideri la figura seguente in cui le due aree sono state raffigurate in grigio chiaro e grigio
scuro:
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π
[
]
A1 = ∫ 2 − (2 sin 2 ( x ) − 5 sin ( x ) + 2) dx =
0
π
[
π
]
= ∫ − 2 sin (x ) + 5 sin ( x ) dx = ∫ [cos(2 x ) − 1 + 5 sin ( x )]dx =
2
0
0
⎡ sin (2 x )
⎤
=⎢
− x − 5 cos( x )⎥ = [− π + 5] − [− 5] = 10 − π
⎣ 2
⎦0
π
2π
A2 =
∫π [(2 sin (x ) − 5 sin (x ) + 2) − 2]dx =
2
2π
=
∫ [2 sin
2π
2
π
(x ) − 5 sin (x )]dx = ∫ [− cos(2 x ) + 1 − 5 sin (x )]dx =
π
⎡ sin (2 x )
⎤
= ⎢−
+ x + 5 cos( x )⎥ = [2π + 5] − [π − 5] = 10 + π
2
⎣
⎦π
2π
Punto 4
Tra tutte le primitive della funzione data, si determini quella il cui grafico passa per P(0,6) e si
scriva l’equazione della retta ad esso tangente in detto punto.
[
]
F ( x ) = ∫ (2 sin 2 (x ) − 5 sin ( x ) + 2) dx = ∫ [− cos(2 x ) + 3 − 5 sin ( x )]dx = −
sin (2 x )
+ 3x + 5 cos( x ) + k
2
quella che passa per P(0,6) è F (0 ) = 5 + k = 6 ⇒ k = 1 da cui F ( x ) = −
L’equazione della retta tangente ad F ( x ) = −
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e
sin (2 x )
+ 3x + 5 cos( x ) + 1 .
2
sin (2 x )
+ 3x + 5 cos( x ) + 1 in P(0,6) è y = mx + 6 con
2
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[
m = F ' (0) = 2 sin 2 ( x ) − 5 sin ( x ) + 2
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]
x =0
= 2 per cui la retta tangente ha equazione y = 2 x + 6 .
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QUESTIONARIO
Quesito 1
Si determinino le costanti a e b in modo tale che la funzione:
⎧ax + b
⎪
f (x ) = ⎨ e x − 1
⎪
⎩ x
x≤0
x>0
risulti continua e derivabile nel punto x=0.
Affinché la funzione sia continua in x = 0 deve aversi che lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) . Poiché
x →0
x →0
lim f ( x ) = lim− (ax + b ) = b
x →0 −
x →0
⎛ e x −1⎞
⎟⎟ = 1
lim f ( x ) = lim+ ⎜⎜
x →0 +
x →0
⎝ x ⎠
la continuità in x = 0 impone b = 1 .
⎧a
⎪
La derivata della funzione è f ' ( x ) = ⎨ xe x − e x − 1
⎪
x2
⎩
(
)
x≤0
x>0
ed affinchè la funzione sia derivabile
in x = 0 deve aversi che lim− f ' ( x ) = lim+ f ' ( x ) . Poiché
x →0
x →0
lim f ' ( x ) = lim− (a ) = a
x →0 −
x →0
(
)
De
⎛ xe x − e x − 1 ⎞ L 'Hopital
⎛ xe x + e x − e x
⎟
⎜
=
lim+ f ' ( x ) = lim+ ⎜⎜
lim
⎟
x →0
x →0
x →0 + ⎜
2x
x2
⎝
⎠
⎝
la derivabilità in x = 0 impone a =
⎞
⎛ ex
⎟⎟ = lim+ ⎜⎜
⎠ x →0 ⎝ 2
⎞ 1
⎟⎟ =
⎠ 2
1
.
2
La funzione diventa allora
⎧x
⎪⎪ 2 + 1
f (x ) = ⎨ x
⎪e −1
⎪⎩ x
x≤0
x>0
Quesito 2
Un meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il punto d’incontro si trovi fra
l’equatore e il tropico del Cancro (latitudine λ = 23° 27’ nord)?
Consideriamo la Terra come una sfera. Il tropico del cancro è un parallelo che si trova alla latitudine
λ = 23° 27’ nord rispetto all’equatore. Per questo motivo, la superficie impattata dall’asteroide è una
zona sferica.
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Pertanto, supponendo che la caduta degli asteroidi abbia una distribuzione uniforme, la probabilità
richiesta può essere calcolata come il rapporto tra l’area della zona sferica e l’area della sfera.
L’area della sfera è S Sfera = 4πR 2 , mentre l’area della zona sferica di altezza h è S Zona = 2 ⋅ π ⋅ h ⋅ R
sferica
dove l’altezza è h = R sin (23°27') . In tal modo la probabilità richiesta è pari a
p=
S Zona
sferica
=
S Sfera
2 ⋅ π ⋅ h ⋅ R 2 ⋅ π ⋅ R 2 sin (23°27') sin (23°27')
=
=
≅ 0.199 = 19,9%
2
4πR 2
4πR 2
Quesito 3
Si determini il numero reale positivo λ in modo che la curva rappresentativa della funzione
g ( x ) = e − λx divida in parti equiestese la regione delimitata dalla curva rappresentativa della
funzione f ( x ) = e λx , dall’asse x e dalle rette x = 0 e x = 1.
L’area sottesa dalla curva f ( x ) = e λx , dall’asse x e dalle rette x = 0 e x = 1 è
1
⎡ e λx ⎤
eλ − 1
.
Area = ∫ e dx = ⎢ ⎥ =
λ
⎣ λ ⎦0
0
1
λx
Una delle regioni (in grigio chiaro nella figura sottostante) in cui la curva g ( x ) = e − λx suddivide la
regione delimitata dalla curva f ( x ) = e λx , dall’asse x e dalle rette x = 0 e x = 1 ha area
1
Area = ∫ e
1
− λx
0
Imponendo
⎡ e λx ⎤
1 − e−λ
dx = ⎢−
=
.
⎥
λ
⎣ λ ⎦0
1 − e −λ
λ
=
1 ⎛ eλ −1⎞
⎜⎜
⎟⎟ , poiché per ipotesi λ > 0 , si ha l’equazione e λ + 2e − λ − 3 = 0 da
2⎝ λ ⎠
(
)(
)
cui e 2λ − 3e λ + 2 = e λ − 1 e λ − 2 = 0 e cioè λ1 = 0, λ 2 = ln 2 . Dovendo essere λ > 0 , la soluzione
accettabile è λ2 = ln 2 .
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Quesito 4
Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte
testa.
Poiché la moneta non è truccata, la probabilità che esca testa è uguale alla probabilità che esca
croce, per cui P(C ) = P(T ) =
4
4
8
1
. Applicando la legge binomiale, la probabilità richiesta sarà
2
8
8
⎛ 8 ⎞⎛ 1 ⎞
⎛ 8 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
8! ⎛ 1 ⎞
5⋅ 6 ⋅ 7 ⋅8 ⎛ 1 ⎞
70
35
=
.
⋅⎜ ⎟ =
⋅⎜ ⎟ =
p = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ =
4!⋅4! ⎝ 2 ⎠
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⎝ 2 ⎠
256 128
⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠
⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Quesito 5
Si dimostri che l’equazione (3 − x )e x − 3 = 0 per x>0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli un
valore approssimato con due cifre decimali esatte.
Indichiamo con h( x ) = (3 − x )e x − 3 . Tale funzione è definita, continua e derivabile in tutto R. La
sua derivata è h' ( x ) = (3 − x )e x − e x = (2 − x )e x per cui sarà strettamente crescente in (− ∞,2 ) ,
(
)
strettamente decrescente in (2,+∞ ) e si annulla in x = 2 in cui presenta un massimo M 2, e 2 − 3 .
Visto che h(0 ) = 0 e che in (0,2) la funzione è strettamente crescente, in tale intervallo la funzione
non si annullerà. Invece, poiché h(2 ) = e 2 − 3 > 0 e h(+ ∞ ) = −∞ e dal momento che in (2,+∞ ) la
funzione è strettamente decrescente, per il primo teorema degli zeri h( x ) = (3 − x )e x − 3 in (2,+∞ ) si
annullerà una ed una sola volta. In conclusione in (0,+∞ ) la funzione h( x ) = (3 − x )e x − 3 presenta
un unico zero reale. Per il calcolo dello zero possiamo applicare uno dei metodi numerici noti, come
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il metodo di bisezione o quello delle tangenti o quello delle secanti.
Visto che h(2 ) = e 2 − 3 > 0, h(3) = −3 < 0 , tale zero si troverà in (2,3). Calcoliamolo applicando il
metodo delle tangenti di punto iniziale x 0 = 3 , in quanto in [2,3] la derivata seconda di
h( x ) = (3 − x )e x − 3 è sempre negativa essendo h' ' ( x ) = (1 − x )e x , per cui h(3) ⋅ h' ' (3) > 0 .
Sviluppando tale metodo si ha:
x1 = x0 −
x 2 = x1 −
x3 = x 2 −
h( x 0 )
3
= 3 − 3 ≅ 2.8506
h' ( x 0 )
e
h(x1 )
≅ 2.8223
h' ( x1 )
h( x 2 )
≅ 2.8214
h' ( x 2 )
Poiché x3 − x 2 <
1
, un’approssimazione con due cifre decimali esatte è x = 2.82 .
100
Quesito 6
Si dimostri che il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio r è medio
proporzionale fra il volume del cono equilatero inscritto e il volume della sfera.
Consideriamo la figura sottostante:
Un cilindro equilatero ha altezza pari al diametro di base. Indicato con R il raggio di base del
cilindro
si
r = R 2;
ha
il
volume
del
cilindro
sarà
allora
3
VCilindro
πr 3
⎛ r ⎞
.
= π ⋅ R ⋅ h = π ⋅ R ⋅ (2 R ) = 2π ⋅ R = 2π ⋅ ⎜
⎟ =
2
⎝ 2⎠
2
2
3
Il cono equilatero ha l’apotema pari al diametro di base 2R, per cui avrà altezza
h=
(2 R )2 − R 2
= R 3 . Inoltre in un triangolo equilatero il punto di incontro delle altezze
coincide con quello delle mediane e delle bisettrici e le due parti in cui l’altezza è divisa sono l’una
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2h 2 R 3
r 3
=
da cui R =
; il volume del cono sarà allora
3
3
2
doppia dell’altra, per cui r =
VCono =
π ⋅ R2 ⋅ h
3
=
(
)= π ⋅R
π ⋅ R2 ⋅ R 3
3
3
3
3
3
π 3 ⎛⎜ r 3 ⎞⎟
3πr 3
=
⋅⎜
.
⎟ =
3
⎝ 2 ⎠
8
2
Il volume della sfera è VSfera
4πr 3
4πr 3 3πr 3 ⎛ πr 3 ⎞
⎟⎟ = (VCilindro )2 c.v.d
=
, per cui VSfera ⋅ VCono =
⋅
= ⎜⎜
3
3
8
⎝ 2⎠
Quesito 7
(
)
Si calcoli il valore medio della funzione y = arccos 1 − x 2 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1
Il valore medio di una funzione f ( x ) in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è VM =
)
(
1
b
1
f ( x )dx .
b − a ∫a
In tal caso si ha VM = ∫ arccos 1 − x 2 dx ed applicando l’integrazione per parti troviamo:
0
[
(
VM = x arccos 1 − x 2
)]
1
0
⎛
x ⎞
⎜−
⎟
⋅
x
1
⎜
2 ⎟
1− x ⎠
+∫ ⎝
dx =
2
2
0
1− 1− x
)
(
⎛
x
x ⋅ ⎜⎜ −
1− x2
+∫ ⎝
x
0
⎞
⎟
⎟
⎠dx =
[ ( )]
x
= [x arccos( 1 − x )] − ∫
dx =
1− x
π
= [x arccos( 1 − x )] + [ 1 − x ] = − 1
2
= x arccos 1 − x 2
2
1
0
1
1
1
0
2
0
2
1
0
avendo sfruttato che in [0,1]
2
1
0
x2 = x .
Quesito 8
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani sono assegnati i punti A(0,1), B(0,4). Si
determini sul semiasse positivo delle ascisse un punto C dal quale il segmento AB è visto con
un angolo di massima ampiezza.
Si consideri la figura sottostante:
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Il punto C ha coordinate generiche C ( x,0 ) con x > 0 dovendo appartenere all’asse delle ascisse
positive e l’angolo α ∈ (0°,90°) . I lati del triangolo ABC misurano AC = x 2 + 1, BC = x 2 + 16
per
cui
S ( ABC ) =
la
sua
sarà
pari
a
1
1
1
⋅ AC ⋅ BC ⋅ sin (α ) = ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 2 + 16 ⋅ sin (α ) = ⋅ x 4 + 17 x 2 + 16 ⋅ sin (α ) . Ma tale
2
2
2
area è anche pari a S ( ABC ) =
sin (α ) =
area
3x
1
1
3x
. Uguagliando le due aree si ha
⋅ AB ⋅ OC = ⋅ 3 ⋅ x =
2
2
2
. Massimizzare l’angolo α ∈ (0°,90°) è equivalente a massimizzare la
x 4 + 17 x 2 + 16
funzione sin (α ) visto che in (0°,90°) essa è strettamente crescente. La massimizzazione della
funzione
sin (α ) = f (x ) =
3x
x + 17 x 2 + 16
4
la
effettuiamo
tramite
derivate
e
si
ha:
⎛
⎞
4 x 3 + 34 x
⎟
3 x 4 + 17 x 2 + 16 − 3x⎜⎜
⎟
2 x 4 + 17 x 2 + 16 ⎠ 3 x 4 + 17 x 2 + 16 − 3x 2 x 3 + 17 x
⎝
f ' (x ) =
=
=
3
x 4 + 17 x 2 + 16
x 4 + 17 x 2 + 16 2
(
=
(x
(
3 16 − x 4
4
)
+ 17 x 2 + 16
)
3
=
2
(
)(
3 4 − x2 4 + x2
(x
4
+ 17 x 2 + 16
)
)
3
(
)
(
)
)
2
e per x > 0 la funzione sin (α ) = f ( x ) =
3x
x 4 + 17 x 2 + 16
è strettamente crescente in (0,2),
⎛ 3⎞
strettamente decrescente in (2,+∞ ) e si annulla in x = 2 in cui presenta il massimo M ⎜ 2, ⎟ . In
⎝ 5⎠
conclusione il punto C che massimizza l’ampiezza dell’angolo α è C (2,0 ) cui corrisponde
⎛3⎞
⎝5⎠
α = arcsin ⎜ ⎟ ≅ 36 °52 ' .
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Quesito 9
ln x
∫
Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione:
1
et
dt nel punto P di
t2
ascissa x = e.
ln e
All’ascissa x = e la funzione vale
∫
1
1
et
et
=
dt
∫1 t 2 dt = 0 e il punto P è (e,0) e la tangente in esso ha
t2
ln x
generica equazione y = m(x − e ) . La funzione f ( x ) =
∫
1
calcolo
integrale,
m = f ' (e ) =
e
ln e
2e(ln e )
3
2
ha
=
derivata
f ' (x ) =
(
e
et
dt per il teorema fondamentale del
t2
ln x
ln x
)
2
⋅
d
(
)
ln x
e ln x
=
3
dx
2 x(ln x ) 2
pertanto
1
1
da cui la tangente y = ( x − e ) .
2
2
Quesito 10
Tenuto conto che:
π
1
=
2
∫
1
dx
6 0 1− x2
si calcoli un’approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi d’integrazione numerica studiati.
Una procedura per calcolare il valore π si basa sull’integrazione numerica attraverso il metodo dei
rettangoli, dei trapezi o di Cavalieri Simpson. Scegliendo di suddividere l’ampiezza dell’intervallo
1
1
⎡ 1⎤
, si ha:
⎢⎣0, 2 ⎥⎦ in 4 intervallini di uguale ampiezza 8 , ponendo g ( x ) =
1− x2
•
Metodo dei rettangoli:
1
2
π = 6∫
0
⎫
⎧b − a
[
dx ≅ 6 ⋅ ⎨
g ( x0 ) + g ( x1 ) + g ( x 2 ) + g ( x3 )]⎬ =
⎭
⎩ n
1− x2
1
⎧b − a ⎡
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛ 3 ⎞⎤ ⎫
(
)
= 6⎨
+
+
+
g
g
g
g
0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟⎥ ⎬ =
⎢
⎝8⎠
⎝4⎠
⎝ 8 ⎠⎦ ⎭
⎩ n ⎣
=
•
6⎡
8
4
8 ⎤
1+
+
+
⎢
⎥ ≅ 3.0896
8⎣ 3 7
15
55 ⎦
Metodo dei trapezi:
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1
2
π = 6∫
0
⎧ b − a ⎡ g (x0 ) + g (x 4 )
⎤⎫
+ g ( x1 ) + g ( x 2 ) + g ( x3 )⎥ ⎬ =
dx ≅ 6 ⋅ ⎨
⎢
2
⎦⎭
1− x
⎩ n ⎣
1
2
⎧
⎡
⎤⎫
⎛1⎞
g (0 ) + g ⎜ ⎟
⎪
⎢
⎥⎪
2⎠
⎪b − a ⎢
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛ 3 ⎞⎥ ⎪
⎝
= 6⎨
+ g⎜ ⎟ + g⎜ ⎟ + g⎜ ⎟ ⎬ =
2
⎝8⎠
⎝4⎠
⎝ 8 ⎠⎥ ⎪
⎪ n ⎢
⎢
⎥⎪
⎪⎩
⎣
⎦⎭
2
⎡
⎤
1+
⎢
⎥
6
8
4
8
3
⎥ ≅ 3.1476
= ⎢
+
+
+
8⎢ 2
3 7
15
55 ⎥
⎢⎣
⎥⎦
• Metodo di Cavalieri Simpson:
1
2
π = 6∫
0
⎧ b − a ⎡ g (x0 ) + g (x 4 )⎤ 4
⎫
2
+ [g ( x1 ) + g ( x3 )] + g ( x 2 )⎬ =
dx ≅ 6 ⋅ ⎨
⎢
⎥
3
3
⎦ 3
1− x2
⎩ n ⎣
⎭
1
( )
⎧
⎫
1 ⎤
⎡
⎪ b − a ⎢ g (0) + g 2 ⎥ 4 ⎡ ⎛ 1 ⎞
⎛ 3 ⎞⎤ 2 ⎛ 1 ⎞⎪
= 6⎨
+ ⎢ g ⎜ ⎟ + g ⎜ ⎟⎥ + g ⎜ ⎟⎬ =
3
⎥ 3 ⎣ ⎝8⎠
⎝ 8 ⎠⎦ 3 ⎝ 4 ⎠⎪
⎪⎩ n ⎢⎣
⎦
⎭
2
⎡
1+
⎢
6
8 ⎞
3 4⎛ 8
= ⎢
+ ⎜⎜
+
⎟⎟ +
8⎢ 3
3⎝3 7
55 ⎠
⎢⎣
2⎛
⎜
3 ⎜⎝
⎤
4 ⎞⎥
⎟⎟⎥ ≅ 3.1417
15 ⎠⎥
⎥⎦
Si nota che il metodo che consente di calcolare un valore di più vicino a quello reale è il metodo
di Cavalieri Simpson.
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